弹性动力学问题一种新的时空域边界积分方程_姚振汉

1172009全国结构动力学学术研讨会 安徽省安庆市，2009.10.28-31 中国振动工程学会结构动力学专业委员会

弹性动力学问题一种新的时空域边界积分方程i 姚振汉 清华大学航天航空学院工程力学系, 北京, 100084 Email: demyzh@tsinghua.edu.cn 摘要：弹性动力学问题传统的时空域边界积分方程采用含时间的基本解基于动力学互等定理来建立。弹性动力学含时间的基本解是在无限弹性空间某点于某瞬时作用单位集中力脉冲的解，其中不仅含有压力波、剪切波，还有波速介于两者之间的Laplace波。本文采用加权余量格式由弹性动力学偏微分方程初边值问题出发导出一种新的时空域边界积分方程。方程中只分别利用于某瞬时会聚于弹性体边界某点的球面会聚压力波和剪切波作为核函数，从而使方程显著简化。由此建立的边界元法将比传统方法具有更高的计算效率。

关键词：弹性动力学，边界积分方程，边界元法，球面会聚压力波，球面会聚剪切波

引言 众所周知，边界元法是比有限元法稍晚几年发展起来的，最早可以看到关于间接法的一系列工作，其中求解的边界未知量并不是原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅助变量。最早的间接法边界积分方程方法的文献可追溯到1958年（Smith 和 Pierce用于位势问题）。直接法边界积分方程方法的文献出现得稍晚一些，1963年 Jaswon将其用于位势问题。1967年Rizzo发表了关于弹性静力学问题直接法边界积分方程方法的论文，我国从事固体力学边界元法研究的一些作者曾经把它作为边界元法的第一篇文献。1968年Cruse和Rizzo就发表了弹性动力学问题直接法边界积分方程方法的文章[1, 2]。弹性动力学问题在重大工程问题中广泛存在，因此弹性动力学是固体力学边界元法中最重要的研究领域之一。在近年Aliabadi的边界元法专著[3]中也有专门的一章。 上述最早的弹性动力学边界积分方程方法的文献将边界元结合Laplace变换，然后求解变换域中的椭圆型方程，后来Manolis和Beskos对其做了一些改进[4]。时间－空间域边界元描述最早是由Cole、Kosloff和Minster于1978年对反平面问题给出的[5]，后来Niwa、Kobayashi和Kitahara给出了一般形式的描述[6]。进一步的改进还可见于Antes[7]，Karabalis和Beskos[8]，以及Mansur等的文献[9]。 基于弹性动力学方程的问题除弹性波问题之外还有弹性体振动问题。主要对于后者，Nardini和Brebbia基于弹性静力学描述导出了质量阵和刚度阵[10]，后来发展成为双重互易法，用于将惯性力的域内积分化为边界积分。弹性动力学边界元法在广泛的应用中受到重视，还进一步发展了用于土壤－结构相互作用和动态断裂力学的方法。 弹性动力学传统的时空域边界积分方程采用含时间的基本解、基于动力学互等定理来建立。该基本解是在无限弹性空间某点于某瞬时作用单位集中力脉冲的解，其中不仅含有压力波、剪切波，还有波速介于两者之间的Laplace波。

i 此项研究得到国家自然科学基金资助（10602029） 118

本文采用建立边界积分方程的一般方法，由加权余量格式从弹性动力学偏微分方程初边值问题出发，导出一种新的时空域边界积分方程。方程中只利用某瞬时会聚于弹性体边界某点的球面会聚压力波和剪切波作为核函数，使方程显著简化，从而使建立的边界元法具有更高的计算效率。 弹性动力学传统的时空域边界积分方程

弹性动力学传统的时空域边界积分方程采用弹性动力学方程含时间的基本解、基于弹性动力学的互等定理来建立。

1. 弹性动力学含时间的基本解 弹性动力学传统的时空域边界积分方程所采用的含时间基本解所满足的方程是 ()),(Q)(P,,22,2221tuucucckiskisjjkisijkjτδρρρ∆∆−=−+−󰀅󰀅 (1)

其中()s

P, ; Q, kjutτ

的物理意义是τ瞬时作用在无限弹性体中一点P沿kx方向的单位集中力脉冲所引起

的弹性体任意一点Q在t瞬时jx

方向的位移分量；

122, GGccλ

ρρ+

==，分别为压力波和剪切波的波速，ρ为弹性材料的密度，

kiδ是Kroneckerδ，

(), tτ∆，()P, Q∆

为Dirac∆函数，

()()()()()(), 0 , , d, d1P, Q0 PQ, P, QdQ1Vttttt

Vτττττ

∞∞

−∞−∞∆=∀≠∆=∆=

∆=∀≠∆=∫∫

∫

该基本解的具体公式为 ()()s

212

222122122

1P, Q, 3,,HH411 +,,, , , kikikikikitrrutrrtt

rccr

rrrrrttt

cccccc

τδπρ

δ

⎧⎡⎤⎛⎞⎛⎞′

⎪

′′;=−−−−

⎢⎥⎨

⎜⎟⎜⎟

⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪

⎣⎦⎩

⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞

⎪

′′′∆−∆+∆

⎢⎥⎬⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎪⎣⎦⎭

(2)

式中ttτ′=−，H为Heaviside函数， ()()()1 H, H, d0 ttatatatatta

′

−∞

′∀>

⎧

′′=−=∆

⎨

′∀<

⎩

∫。

与上述基本解相应的面力基本解为 ()2122

1P, q, ,2,2,,4 2,,22,Skikiikkikikikirrttrnrnrr

rrnrn

cr

rrrn

rnrrrc

ψχχτδ

π

χψχχ

⎡∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞

;=−+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢

∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣

⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞

−+−−−⎥⎜⎟

⎜⎟

∂∂∂∂⎝⎠⎥

⎝⎠⎦

(3)

其中 223212

222211

1HH,

213, ,

crrr

tttt

ccrcr

crr

tt

rcrcc

ψ∆χψ∆∆

⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞

′′′′=−−−+

⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦

⎛⎞⎛⎞′′=−−

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∆+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∆+⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∆+⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝

⎛′∆−−=

∂

∂

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝⎛′∆+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛′∆−−=

∂

∂

1112212222222222

,,1,,13

,,1

crtcrcrtrcccrtcrcrtrrrcrtcrcrtrrr

󰀅󰀅

󰀅

χχχψ 119

以上公式中q表示弹性体任意的边界点，当基本解的源点，即集中力脉冲的作用点P趋于边界点时，也用小写字母p来表示。 这一组含时间的基本解中不仅包含弹性体中的压力波和剪切波，而且还含有波速介于两者之间的Laplace波。 2. 弹性动力学时空域边界积分方程 Graf [11]把弹性静力学的Betti功互等定理推广到了弹性动力学问题。考虑同一弹性体同一时间－空间域的两个独立的弹性动力学状态，()()()()()()()11101011, , , , ,

iiiiiiutfuuf

󰀅

和

()()()()()()()22202022, , , , ,

iiiiiiutfuuf

󰀅

，互等定理为

∫∫∫∫∫∫−+=−+

ViiViiSiiViiViiSii

QVtQutQuQVtQutQfqStqutqtQVtQutQuQVtQutQfqStqutqt)(d),(*),()(d),(*),()(d),(*),(

)(d),(*),()(d),(*),()(d),(*),(

)1()2()1()2()1()2()2()1()2()1()2()1(

󰀅󰀅󰀅󰀅

ρρ

(4)

式中*号表示卷积积分。 若将待求的状态作为第1组状态，而将基本解状态作为第2组状态，则

)Q;(p,)Q,;(p,)(Q,)Q;(p,)Q,;(p,)(Q,),(Q)(p,)(Q,)q;(p,)q,;(p,)(q,)Q;(p,)Q,;(p,)(Q,)q;(p,)q,;(p,)(q,)2()2()2()2()2()2(τττττδττττττ−≡=−≡=∆∆=−≡=−≡=−≡=tututututututtftttttttutututututu

skiskiiskiskii

kiiskiskii

skiskiiskiskii

󰀅󰀅󰀅󰀅󰀅󰀅󰀅󰀅󰀅 方程(4)中的卷积积分应表示为类似如下公式的形式： "",d)(q,)q;(p,)(q,*)(q,0)2()1(∫

−≡

t

tiskiiittututtτττ

于是方程(4)可以改写成

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫−−−+−=−−−+

VttiskiSttiskiVttiskiVttiskiSttiskiiki

VutuSttuVFtuVutuSutttuC00000(Q)dd)(Q,)Q;(p,(q)dd)(q,)q;(p,(Q)dd)(Q,)Q;(p,

(Q)dd)(Q,)Q;(p,(q)dd)(q,)q;(p,)(p,(p)

τττρττττττρτττρτττ

󰀅󰀅󰀅󰀅

(5)

将方程两端的最后一个积分分别对时间进行分部积分，就可以最终得到如下时空域的位移边界积分方程：

∫∫∫∫∫∫∫∫−+−+−=−+−+

ViskiSttiskiVttiskiViskiSttiskiikiVtuttuSttuVFtuVtuttuSutttuC(Q)d)(Q,)Q;(p,(q)dd)(q,)q;(p,(Q)dd)(Q,)Q;(p,(Q)d)(Q,)Q;(p,(q)dd)(q,)q;(p,)(p,(p)0000

000

󰀅

󰀅

ρττττττρρτττ

(6)

这一边界积分方程可以用时空域边界元法求解。 弹性动力学一种新的时空域边界积分方程 为了得到一种新的时空域边界积分方程，本文采用加权余量格式直接从弹性动力学的偏微分方程初边值问题出发进行推导。

1. 由加权余量格式推导边界积分方程 弹性动力学方程是一个场方程，因此对该方程求散度和旋度均应等于零，即 ()[]()[]⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++−=−++−

0)(Q,)(Q,)(Q,)(Q,0)(Q,)(Q,)(Q,)(Q,

,,22,2221,,22,2221

mskiijjiijjkmi

iskiijjiijj

tutftuctucce

tutftuctucc

󰀅󰀅󰀅󰀅

ρρρρρρ

(7)

这组方程是和原始的弹性动力学方程等价的。和它等价的加权余量格式的积分方程是