平面的基本性质(3.2.1)
合集下载
平面的基本性质
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
平面的基本性质
三、平面的基本性质： 平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据
平面相关知识点总结高中
平面相关知识点总结高中一、平面的概念和特点1.1 平面的概念平面是指没有厚度、只有长度和宽度的二维几何图形。
在空间中，平面是一种没有厚度和边界的几何图形，它只有长度和宽度，可以用一个无限多边形的点集体来表示。
平面是一种基本的几何概念，也是几何学的一个重要分支。
1.2 平面的特点（1）平面上的点是没有厚度的，只有长度和宽度；（2）平面上的直线是没有宽度的，只有长度；（3）平面上的图形是由点和直线组成的，每个点和直线在平面上都有唯一的位置。
二、平面图形的基本性质2.1 平面图形的分类平面图形是指在平面上的几何图形，包括点、线段、直线、角、多边形等。
根据图形的特点，平面图形可以分为以下几类：（1）点：没有长度和宽度，只有位置；（2）线段：有两个端点，有长度，但没有宽度；（3）直线：无限延伸，没有宽度，只有长度；（4）角：由两条射线共同起点组成，可以分为锐角、直角、钝角等；（5）多边形：由多条线段组成，包括三角形、四边形、五边形等。
2.2 平面图形的性质（1）平行线的性质：平行线在同一平面上，不相交，且距离相等；（2）垂直线的性质：两条垂直线相交成直角；（3）角的性质：角的种类包括锐角、直角、钝角等，可根据角的度数进行分类；（4）多边形的性质：包括三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°等。
三、平面几何问题的解决方法3.1 轴测投影法轴测投影法是描述和分析物体形状和结构的一种有效方法，包括平行轴测投影、透视轴测投影和等轴测投影等。
在解决平面几何问题时，可以利用轴测投影法来进行图形的绘制和分析，以便更好地理解和解决问题。
3.2 图形的相似性图形的相似性是指两个或多个图形在形状上相似，但尺寸不同的一种关系。
在解决平面几何问题时，可以利用图形的相似性来推导和证明结论，从而解决问题。
3.3 平面几何的应用平面几何在生活中有着广泛的应用，包括地图制作、建筑设计、工程测量等领域。
在解决实际问题时，可以利用平面几何的知识和方法进行分析和计算，以满足实际需求。
2014年职高数学第一轮复习 平面的概念及基本性质
三.异面直线所成的角
复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
D A
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
已知： c， a，
b， a b O
求证：O c
c
O
证明：
a
b
O b，b ， O O a，a ， O
O在与的交线上，
O c 又 c，
练.判断下列命题是否正确： （1）经过三点确定一个平面。 （×） （2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α. （×） （4）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。（×）
o
o
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
练习3
下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EБайду номын сангаас ② BD ③BH
H E D A B F
G
和BH是 和FH是 和DC是
相交 平行 异面
直线 直线 直线
C
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考:
这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
平面的基本性质
答：因为不共线旳三点能够拟定一种平面.
D
C
A
B
符号表达：一般用希腊字母 , , 等来表示， 如：平面
也可用表达平行四边形旳两个相对顶点旳字母来
表达，如：平面AC，平面ABCD
一种平面在不同旳摆放状态下旳画法
四.点、直线、平面之间旳基本关系
空间图形旳基本元素是点、直线、平面， 从运动旳观点看，点动成线，线动成面，从而 能够把直线、平面看成是点旳集合.所以，它 们之间旳关系除了用文字和图形表达外，还能 够借用集合中旳符号语言来表达.
文字语言：
公理2.假如两个平面有一种公共点，那么它们还有 其他公共点，这些公共点旳集合是经过这个公共点 旳一条直线。
图形语言：
β
a
α
P
符号语言：P PFra bibliotekl且P l
公理2旳作用有二：
一是鉴定两个平面相交，即假如两个平面有一种 公共点，那么这两个平面相交；(画交线)
二是鉴定点在直线上，即点若是某两个平面旳公 共点，那么这点就在这两个平面旳交线上.
假如把桌面看作一种平面，把你旳笔看作 是一条直线旳话，你觉得在什么情况下， 才干使你旳笔所代表旳直线上全部旳点都 能在桌面上？
··
文字语言： 公理1.假如一条直线上两点在 一种平面内，那么这条直线上 旳全部旳点都在这个平面内 （即直线在平面内）。
图形语言：
α
A
B
符号语言： A B
直线AB
平面旳基本性质（1）
一.平面旳概念：
光滑旳桌面、平静旳湖面等都是我们很熟悉. 象这些桌面、平静旳湖面、镜面、黑板面等都
给我们以平__面__旳印象
数学中旳平面概念是现实平面加以抽象旳成果。
D
C
A
B
符号表达：一般用希腊字母 , , 等来表示， 如：平面
也可用表达平行四边形旳两个相对顶点旳字母来
表达，如：平面AC，平面ABCD
一种平面在不同旳摆放状态下旳画法
四.点、直线、平面之间旳基本关系
空间图形旳基本元素是点、直线、平面， 从运动旳观点看，点动成线，线动成面，从而 能够把直线、平面看成是点旳集合.所以，它 们之间旳关系除了用文字和图形表达外，还能 够借用集合中旳符号语言来表达.
文字语言：
公理2.假如两个平面有一种公共点，那么它们还有 其他公共点，这些公共点旳集合是经过这个公共点 旳一条直线。
图形语言：
β
a
α
P
符号语言：P PFra bibliotekl且P l
公理2旳作用有二：
一是鉴定两个平面相交，即假如两个平面有一种 公共点，那么这两个平面相交；(画交线)
二是鉴定点在直线上，即点若是某两个平面旳公 共点，那么这点就在这两个平面旳交线上.
假如把桌面看作一种平面，把你旳笔看作 是一条直线旳话，你觉得在什么情况下， 才干使你旳笔所代表旳直线上全部旳点都 能在桌面上？
··
文字语言： 公理1.假如一条直线上两点在 一种平面内，那么这条直线上 旳全部旳点都在这个平面内 （即直线在平面内）。
图形语言：
α
A
B
符号语言： A B
直线AB
平面旳基本性质（1）
一.平面旳概念：
光滑旳桌面、平静旳湖面等都是我们很熟悉. 象这些桌面、平静旳湖面、镜面、黑板面等都
给我们以平__面__旳印象
数学中旳平面概念是现实平面加以抽象旳成果。
平面基本性质
P
符号表示
l l
P l
P l
l
l
l
α
α
P
l
l1 l2 P
直线l1 l2交于 点Ｐ
l1 l2果一条直线上的两点在同 一平面内，那么这条直线上所有的点都在这
个平面内；
（２）图形语言叙述：
A B
α
l
（3）符号语言叙述：
A l , B l , A , B l
（4）作用： １、判断直线是否在平面内，点是否在平面内；
2、用直线检验平面；
平面的基本性质
公理二
（１）文字语言叙述：如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合
是一条直线。
（２）图形语言叙述： α
P
ι
（3）符号语言叙述：
β
P l且P l
D C
A
B
平面的表示
（1）通常用希腊字母
、、 等来表示平面；
（2）也可以用平行四边形的两个相对顶点来表示 平面，例如：平面AC或平面BD；
D
C
A
B
用集合中的有关符号表示点线面之间的位置关系
文字叙述 图形表示 P 点Ｐ在直线l上 点Ｐ在直线l外 直线l在平 面 α内 直线l在平 面 α外
α l
（4）作用：
１、判定两个平面是否相交的依据，只要两个平
面有一个公共点，就可以判定这两个平面必
相交于过这点的一条直线； 2、它可以判定点在直线上，点是某两个平面的 公共点，线是这两个平面的公共交线，则这
点在交线上；
随堂练习
1、如右图用符号可表述为（B ） A、 l1 , l2 , P l1 , P l2 B、 l1 , l2 , l1 l2 P C、 l1 , l2 , l1 l2 P D、 l1 , l2 , P l1 , P l2
符号表示
l l
P l
P l
l
l
l
α
α
P
l
l1 l2 P
直线l1 l2交于 点Ｐ
l1 l2果一条直线上的两点在同 一平面内，那么这条直线上所有的点都在这
个平面内；
（２）图形语言叙述：
A B
α
l
（3）符号语言叙述：
A l , B l , A , B l
（4）作用： １、判断直线是否在平面内，点是否在平面内；
2、用直线检验平面；
平面的基本性质
公理二
（１）文字语言叙述：如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合
是一条直线。
（２）图形语言叙述： α
P
ι
（3）符号语言叙述：
β
P l且P l
D C
A
B
平面的表示
（1）通常用希腊字母
、、 等来表示平面；
（2）也可以用平行四边形的两个相对顶点来表示 平面，例如：平面AC或平面BD；
D
C
A
B
用集合中的有关符号表示点线面之间的位置关系
文字叙述 图形表示 P 点Ｐ在直线l上 点Ｐ在直线l外 直线l在平 面 α内 直线l在平 面 α外
α l
（4）作用：
１、判定两个平面是否相交的依据，只要两个平
面有一个公共点，就可以判定这两个平面必
相交于过这点的一条直线； 2、它可以判定点在直线上，点是某两个平面的 公共点，线是这两个平面的公共交线，则这
点在交线上；
随堂练习
1、如右图用符号可表述为（B ） A、 l1 , l2 , P l1 , P l2 B、 l1 , l2 , l1 l2 P C、 l1 , l2 , l1 l2 P D、 l1 , l2 , P l1 , P l2
平面的基本性质
平面的基本性质
知识回顾
一.平面的概念：
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的
三.平面的表示：
通常用平行四边形或其他平面图形表示平面
知识探索
直线和平面都可以看做点的集合
a
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
A
B
文字语言： 图形语言：
公理2.如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其它公共点，这些公共 点的集合是经过这个公共点的一条直 线。
β
符号语言：
α
P
a
P P
l且P l
公理2的作用：
一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；(画两个平面相交时 一定要画交线，遮挡部分 画成虚线或不画)Fra bibliotek9.1
平 面 的 基 本 性 质
点B不在直线a上：记为：B∈a
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：A∈α
B
点B不在平面α上记：为：B∈α
A α
如果把数学课本看作一个平面，把你的笔 看作是一条直线的话，观察一条直线和一 个平面公共点的个数有哪些情况？ 怎样做才能使直线上的所有点都在平面内 呢？
知识探索
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
分别将这三个点两两连接，得到直线 AD1、AC、CD1 就是为由 A、C、D1三点所确定的平面γ与长方体的表面的 交线．
强化练习
1.平面 与平面 只有一个公共点”的说法正确吗？
知识回顾
一.平面的概念：
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的
三.平面的表示：
通常用平行四边形或其他平面图形表示平面
知识探索
直线和平面都可以看做点的集合
a
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
A
B
文字语言： 图形语言：
公理2.如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其它公共点，这些公共 点的集合是经过这个公共点的一条直 线。
β
符号语言：
α
P
a
P P
l且P l
公理2的作用：
一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；(画两个平面相交时 一定要画交线，遮挡部分 画成虚线或不画)Fra bibliotek9.1
平 面 的 基 本 性 质
点B不在直线a上：记为：B∈a
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：A∈α
B
点B不在平面α上记：为：B∈α
A α
如果把数学课本看作一个平面，把你的笔 看作是一条直线的话，观察一条直线和一 个平面公共点的个数有哪些情况？ 怎样做才能使直线上的所有点都在平面内 呢？
知识探索
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
分别将这三个点两两连接，得到直线 AD1、AC、CD1 就是为由 A、C、D1三点所确定的平面γ与长方体的表面的 交线．
强化练习
1.平面 与平面 只有一个公共点”的说法正确吗？
平面的基本性质
例2：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在 CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 求证：E、F、G、H四点共面。
A G B D
H
E
C
F
二、应用
1、如何证明直线在平面内？证明点在平面内？
2、如何证明四点共面？ 连结各点成平行或相交直线，根据推论2，推 论3可以确定一个平面，从而得到点共面。 3、如何证明多线共面？
推论1 经过一条直线和一条直线外的一点， 有且只有一个平面。
A
推论2 经过两条相交直线有且只有一个 平面 。
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 。
平面及其基本性质
一、知识点：
1、二个公理： [1] 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线上所有 的点都在这个平面内； [2] 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
证明：两两相交而不通过同一点的四条 直线必在同一平面内。
分析：
（1）无三线共点。
D C
（2）有三线共点
B
E F d B A b a a b C c A D
c
d
公理3
如果两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条通过这个点的公共直线；
符号语言： , P P
l且 P l
A B
C P
α
M
N
二、应用 1、证明三点共线的方法： 证明三点在两平面的交线上；
2、证明三线共点的方法：
2、证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上，而第 三直线又往往是两平面的交线.
练习：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在 CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， （1）求证：E、F、G、H四点共面。 （2）求证：EF、GH、BD三线共点。
A G B D
H
E
C
F
二、应用
1、如何证明直线在平面内？证明点在平面内？
2、如何证明四点共面？ 连结各点成平行或相交直线，根据推论2，推 论3可以确定一个平面，从而得到点共面。 3、如何证明多线共面？
推论1 经过一条直线和一条直线外的一点， 有且只有一个平面。
A
推论2 经过两条相交直线有且只有一个 平面 。
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 。
平面及其基本性质
一、知识点：
1、二个公理： [1] 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线上所有 的点都在这个平面内； [2] 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
证明：两两相交而不通过同一点的四条 直线必在同一平面内。
分析：
（1）无三线共点。
D C
（2）有三线共点
B
E F d B A b a a b C c A D
c
d
公理3
如果两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条通过这个点的公共直线；
符号语言： , P P
l且 P l
A B
C P
α
M
N
二、应用 1、证明三点共线的方法： 证明三点在两平面的交线上；
2、证明三线共点的方法：
2、证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上，而第 三直线又往往是两平面的交线.
练习：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在 CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， （1）求证：E、F、G、H四点共面。 （2）求证：EF、GH、BD三线共点。
平面的基本性质共点共线共面
4，6或7 ，8 三个平面呢?_________________ 。
看看答案吧
3条直线相交于一点时：
（1）、3条直线共面时 （2）、每2条直线确定一平面时
已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点 求证:a 、 b 、 c 、 d在同一平面内
分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种： 一是有三条直线共点； 二是没有三条直线共点， 故证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、 c相交于点O． 求证：a、b、c、d共面． 证明：∵d∩a＝P， ∴过d、a确定一个平面α（推论2）． 同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ． ∵O∈a，O∈b，O∈c， ∴O∈α，O∈β，O∈γ． ∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O． ∴α、β、γ重合． ∴a、b、c、d共面． 注：本题的方法是“同一法”．
平面的基本性质— 共点共线共面
知识回顾
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其 他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公 共点的直线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一 个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有 一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
P P 平面ABC
同理Q、R也为公共点 所以P、Q、R共线
P
P 平面ABC
R
Q
3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点, 平面 经过D,E 两点 (1)求直线AB 与平面 的交点 P A (2)求证:D,E,P三点共线.
高中数学《平面的基本性质》教案
高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。
让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。
1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。
平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。
平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。
1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。
讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。
引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。
2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。
平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。
2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。
讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。
讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。
3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。
平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。
3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。
讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。
讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。
4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。
平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 □ 讲
15.设平面 与平面 交于 ,直线 ,直线 ,则 .
16.直线 ,直线 ,点 点 ,点 ,点 ,若直线 直线 ,则点 必在直线 上.
三、解答题
17.根据下列条件,画出图形:平面 平面
,直线 ,直线
18.如下图,已知 分别是空间四边形 各边 上的点,且直线 和
交于 .求证: 三点在同一条直线上.
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
平面的基本性质
[典型例题[:
例1求证:两两相交且不过同一点四条直线共面(写出已知、求证和证明).
例2已知正方体 中, 分别为 的中点, ,求证:(1) 四点共面；
(2)若 交平面 于 点,则 三点共线.
[基础练习]:
5.下列推理错误的是 ( )
,且 不共线
与 重合
6.空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数和为 ( )
7.下列说法正确的是 ( )
①一条直线上有一个点在平面内,则这条直线上所有的点在这平面内
②一条பைடு நூலகம்上有两点在一个平面内,则这条线在这个平面内
③若线段 平面 ,则线段 延长线上的任何一点必在平面 内
一、选择题
1.下面给出四个命题:①一个平面长4m,宽2m;②2个平面重叠在一起比一个平面厚;③一个平面的面积是25 ;④一条直线的长度比一个平面的长度大,其中正确命题的个数是 ( )
2.水平放置的平面用平行四边形表示,通常把它的锐角画成 ( )
3.点 在直线 上,直线 在平面 内,可记为 ( )
4.如果 ,那么下列关系成立的是 ( )
[能力测试]:
一、选择题
1.空间四边形 各边 上分别取 四点,如果 ,则 ( )
一定在直线 上
一定在直线 上
在直线 或 上
不在直线 上也不在 上
2.如下图,棱长为 的正方体 中, 分别为 的中点,过 三点的平面与直线 交于 ,则线段 的长为 ( )
3.如下图,在正方体 中,直线 是平面 与下面哪个平面的交线 ( )
④一条射线上有两点在一个平面内,则这条射线上所有的点都在这个平面内
①②③ ②③④
③④ ②③
8.两个平面重合的条件是它们的公共部分有( )
两个公共点 三个公共点
四个公共点 两条平行直线
9.平面 平面 ,点 ,点 且 ,又 ,如下图,过 三点确定的平面为 ,则 是 ( )
直线 直线
直线 以上均错
10.一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是 ( )
19.已知:直线 ,且直线 与 都相交.
求证: 共面.
20.在正方体 中,直线 交平面 于点 ,试作出点 的位置.
21直线 和直线 不在同一平面内,直线 上有两点 ,直线 上有三点 ,在此五点中选三点作平面,试写出所有不同的平面.
22.一扇窗是用“合页”把它与窗框连在一起的,它可以随意转动,为避免碰损玻璃,应如何固定窗户?试说出两种做法,并说明理由.
面 面
面 面
4.已知空间有 条直线,其中任意两条都相交,那么这 条直线 ( )
相交于一点 共面
过同一点或共面 以上均不对
二、填空题
5.三条直线两两相交,过其中两条直线作一个平面,共可以作 个平面.
6.如下图,下正方体 中,对角线 与过 的平面相交于点 ,则
三、解答题
7.四边形的内和一定是 吗?若正确,试证明;若不正确,试举出反例.
8.正方体 中, 分别是棱 的中点,求证:点 共面.
第 页
11.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是 ( )
12.两条直线及直线外两个点,它们至多能确定 个平面,至少能确定 个平面,那么 的值为( )
二、填空题
13.水平放置的平面用平行四边形表示时,通常把横边画成邻边的 倍.
14.设平面 与平面 交于直线 ,且直线 ,则直线
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
15.设平面 与平面 交于 ,直线 ,直线 ,则 .
16.直线 ,直线 ,点 点 ,点 ,点 ,若直线 直线 ,则点 必在直线 上.
三、解答题
17.根据下列条件,画出图形:平面 平面
,直线 ,直线
18.如下图,已知 分别是空间四边形 各边 上的点,且直线 和
交于 .求证: 三点在同一条直线上.
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
平面的基本性质
[典型例题[:
例1求证:两两相交且不过同一点四条直线共面(写出已知、求证和证明).
例2已知正方体 中, 分别为 的中点, ,求证:(1) 四点共面；
(2)若 交平面 于 点,则 三点共线.
[基础练习]:
5.下列推理错误的是 ( )
,且 不共线
与 重合
6.空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数和为 ( )
7.下列说法正确的是 ( )
①一条直线上有一个点在平面内,则这条直线上所有的点在这平面内
②一条பைடு நூலகம்上有两点在一个平面内,则这条线在这个平面内
③若线段 平面 ,则线段 延长线上的任何一点必在平面 内
一、选择题
1.下面给出四个命题:①一个平面长4m,宽2m;②2个平面重叠在一起比一个平面厚;③一个平面的面积是25 ;④一条直线的长度比一个平面的长度大,其中正确命题的个数是 ( )
2.水平放置的平面用平行四边形表示,通常把它的锐角画成 ( )
3.点 在直线 上,直线 在平面 内,可记为 ( )
4.如果 ,那么下列关系成立的是 ( )
[能力测试]:
一、选择题
1.空间四边形 各边 上分别取 四点,如果 ,则 ( )
一定在直线 上
一定在直线 上
在直线 或 上
不在直线 上也不在 上
2.如下图,棱长为 的正方体 中, 分别为 的中点,过 三点的平面与直线 交于 ,则线段 的长为 ( )
3.如下图,在正方体 中,直线 是平面 与下面哪个平面的交线 ( )
④一条射线上有两点在一个平面内,则这条射线上所有的点都在这个平面内
①②③ ②③④
③④ ②③
8.两个平面重合的条件是它们的公共部分有( )
两个公共点 三个公共点
四个公共点 两条平行直线
9.平面 平面 ,点 ,点 且 ,又 ,如下图,过 三点确定的平面为 ,则 是 ( )
直线 直线
直线 以上均错
10.一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是 ( )
19.已知:直线 ,且直线 与 都相交.
求证: 共面.
20.在正方体 中,直线 交平面 于点 ,试作出点 的位置.
21直线 和直线 不在同一平面内,直线 上有两点 ,直线 上有三点 ,在此五点中选三点作平面,试写出所有不同的平面.
22.一扇窗是用“合页”把它与窗框连在一起的,它可以随意转动,为避免碰损玻璃,应如何固定窗户?试说出两种做法,并说明理由.
面 面
面 面
4.已知空间有 条直线,其中任意两条都相交,那么这 条直线 ( )
相交于一点 共面
过同一点或共面 以上均不对
二、填空题
5.三条直线两两相交,过其中两条直线作一个平面,共可以作 个平面.
6.如下图,下正方体 中,对角线 与过 的平面相交于点 ,则
三、解答题
7.四边形的内和一定是 吗?若正确,试证明;若不正确,试举出反例.
8.正方体 中, 分别是棱 的中点,求证:点 共面.
第 页
11.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是 ( )
12.两条直线及直线外两个点,它们至多能确定 个平面,至少能确定 个平面,那么 的值为( )
二、填空题
13.水平放置的平面用平行四边形表示时,通常把横边画成邻边的 倍.
14.设平面 与平面 交于直线 ,且直线 ,则直线
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△