02年(上)试题及答案

四、 设
y
y ( x)由方程
x2
xy
y 2
6确定， 求
dy （7
分）。
五、已知向量 P 同时垂直向量Q及x 轴，且Q {3, 6, 8}, P 2，求P(8分）。
六、 求由曲线 y x2，y x2 与y 2x所围成图形的面积（10分）。 2
七、 求f (x) a2 b2 (a 0, b 0)，(0,1)上的最大值和最小值 (10分) 。 x 1 x
2
22
1 ( x2 1)arc cot x x C
2
2
2.求曲线 y x3 3x2 x 1的凹凸区间与拐点坐标 解 y 3x2 6x 1 y 6x 6 0 x 1 当x 1, y 0 y在(,1]上的图形是凸的； 当x 1, y 0 y在[1,)上的图形是凹的； 当x 1时, y 2 故(1,2)是曲线的拐点.
四、设 y y( x)由方程 x2 xy y2 6确定,求 dy
解 两边求微分 2xdx ( xdy ydx) 2 ydy 0
dy 2x y dx x 2y
或先求y
2x ( y xy) 2 yy 0
y 2x y x 2y
dy 2x y dx x 2y
,
无最大值
八、设f (t)在[0, 1]上连续，证明：0 xf (sin x)dx
2
0
f
(sin
x
)dx
,
并计算0
1
x sin
dx（6分）. x
证
0
xf
(sin
x)dx
t x
0
(
t)
f
(sin t )dt
由上得
0
1
x sin
x
dx
2
0
1
1 sin
x
dx
2
202
1
1 sin
x
dx
令t
tan
x 2
,
即 5x y 13 0
三、求极限
lim
x1
x
x2
x 1
xn
n（8分）
解 lim x1
x
x2
x 1
xn
n
lim
x1
1
2
x
1
nx
n1
0
1 2 n n(n 1)
2
或
limx1x Nhomakorabeax2
x 1
xn
n
lim
x1
x
1
x2
1 x 1
xn
1
lim
x1
[1
(
x
1)
(
x
n1
x
1)]
n(n 2
1)
五、已 知向量 P 同时垂直向 量Q及x 轴,
且Q {3, 6, 8}, P 2,求P(8分）
解 设P {m, n, l}
则有
mm
2 n2 0
l
2
4
3m 6n 8l 0
m 0 m 0
ln5856或ln
6 5
8 5
P
8
j
6
k
55
六、求由曲线 y x2 , y x2 与y 2x所围成图形的 2
3. 已知平面通过两点M(3, 2, 5)及N (2, 3, 1),且平行z轴, 求它的方程
解 有很多的方法 下面采用平面的点法式方程 设所求平面方程为 A( x 3) B( y 2) 0
将N (2, 3, 1)代入方程有 A 5B 0 A 5B
则所求平面方程为 5( x 3) ( y 2) 0
八、设f (t)在[0,1]上连续，证明： xf (sin x)dx f (sin x)dx，并计算 x dx（6分）.
0
20
0 1 sin x
2002级《高数》上试题解答
一、1.求
lim
x
(4
x
2 (6
3)3(3x x2 7)5
2)4
解
(4x2 3)3(3x 2)4
lim
0
1
x sin
x
dx
2
0
1
1 sin
x
dx
事实上
2
0
1 sin 1 sin2
x x
dx
广义积分
2
0
(sec2
x
sin x cos2 x
)dx
2
[tan
x
sec
x]0
面积.(10分)
解 求交点
y y
x2 , 2x
y y
x2
2 2x
x1 y1
42,
x2 y2
00,
x3 y3
4 8
y y x2 y x2
2
A
02( x2
x2 2
)dx
24(2 x
x2 2
)dx
o
x
4
y=2x
或A
04(2 x
x2 2
)dx
02(2 x
x2 )dx
七、求f ( x) a2 b2 (a 0, b 0)， x 1 x
x
0,2
1
0
1
1 2t
2 dx 1 t2
1 t2
2
1
0 1
1 2t
t
2
dx
2
1
1
t
1 0
八、设f (t)在[0, 1]上连续，证明：0 xf (sin x)dx
2
0
f
(sin
x
)dx
,
并计算0
1
x sin
dx（6分）. x
证
0
xf
(sin
x)dx
t x
0
(
t)
f
(sin t )dt
由上得
2002 级《高等数学（上）》试题
一、试解下列各题（30 分）
1. 求 lim (4x2 3)3 (3x 2)4 ； 2. 设 y ln(1 x2 )，求y 3. 求 lim (secx tgx) ；
x
(6x2 7)5
x
2
4.
求
1 dx 0 ex ex
；
5. 证明：方程 x4 3x 1 0在[1，1]内有实根
二、试解下列各题（21 分）
1. 求 x arcctgxdx ； 2. 求曲线 y x3 3x2 x 1的凹凸区间与拐点坐标 ；
3. 已知平面通过两点 M (3, 2, 5)及N(2, 3,1)，且平行z轴，求它的方程 ；
三、 求极限 lim x x2 xn n（8分）。
x1
x 1
x
(6x2 7)5
43 34 2 65 3
2. 设 y ln(1 x2 )，求y
解 y 2x 1 x2
y 2(1 x2 ) (2x)2 (1 x2 )2
2(1 x2 ) (1 x2 )2
3. lim (sec x tan x)
x
解
2
原式
lim
x
(1 cos
x
sin cos
在(0,1)上的最大值和最小值 (10分)
解
f
( x)
a2 x2
b2 (1 x）2
(b2
a2 ) x2 2a2 x a2 x2 (1 x）2
0
在(0,1)内有唯一驻点x a
ab
另外一根x1
a
a b
1, 舍弃
f ( x)
2a 2 x2
2b2 (1 x）2
0
f最小
( a
a
b
)
(a
b)2
x x
)
2
lim
x
cos x sin x
0
2
lim
x
1
sin cos x
x
2
4.
1 0
e
x
dx ex
1 0
e e2
x x
dx 1
arctan( e x ) |10
arctan e
4
5. 证明：方程 x4 3x 1 0在[1，1]内有实根
证：设f ( x) x4 3x 1 在[1，1]上连续,
f (1) 5 0, f (1) 1 0
由介值定理的 x4 3x 1 0在(1,1)内至少有一实根
二、1. 求 x arc cot xdx
arc
cot
xd
(
x2 2
)
x2 2
arc cot
x
x2 2
1 1 x2
dx
x2 2
arc
cot
x
1 2
(1
1
1 x2
)dx
x2 arc cot x x 1 arctan x C