利用函数图像的对称性解题
利用函数图像的对称性解题【摘要】函数是数学的重要基础,函数性质的考察和应用重点和热点,而函数图像是函数性质的一种直观表现。
函数图像的对称性,充分体现了数学的对称美,具有很好的数学价值。
【关键词】函数；图像；对称性；辅助函数；二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。
其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。
所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。
比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。
现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。
分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。
另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。
本道题目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。
因此我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的交点式来求解析式。
设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。
本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。
例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。
我们也可以用二次函数的对称性来解题。
由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。
相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。
要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。
我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。
下面仅以a>0时为例进行解答。
当a<0时也是成立的。
由二次函数的对称性可知，x1+x2在第一个图中为点D的横坐标，在第二个图中为点F 的横坐标，而求当x=x1+x2时的y 值也就是求此两点的纵坐标，再由对称性可知，在第一个图中点D 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，在第二个图中点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，均为二次函数与y 轴交点的纵坐标。
所以，对于二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），当x 取x1、x2时，y值相等（x1≠x 2），则当x 取－b 2a时，y 值为顶点纵坐标的值，即y=4ac-b2/4a ，当x 取x1+x2时，y 值为二次函数与y 轴交点的纵坐标，即y=c 。
函数的自对称问题函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)； 特别，函数y=f(x)的图象关于y 轴对称⇔f(x)=f(-x).函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b ； 特别，函数y=f(x)的图象关于原点对称⇔f(-x)=-f(x).主要题型：1.求对称轴(中心)：除了三角函数y=sinx ，y=cosx 的对称轴（中心）可以由下列结论直接写出来(对称轴为函数取得最值时的x=)(,2Z k k x k ∈=+πππ,对称中心为函数与x 轴的交点()()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,0,πππ)外，其它函数的对称轴(中心)就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例1确定函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心.解析1设函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心为（h ，k ），在图象上任意取一点P （x ，y ），它关于（h ，k ）的对称点为Q （2h-x ，2k-y ），Q 点也在图象上，即有()x h x h y k -+--=-21223，由于()x x y +-=31，两式相加得 ()()h x x h k 2112233+-+--=，化简得 ()()()()01241161322=+-+--+---h k h h h x h h x h （*）. 由于P 点的任意性，即（*）式对任意x 都成立，从而必有x 的系数和常数项都为0，即h=1，k=1.所以函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心为（1,1）. 解析2设函数()x x x g +=3，则g(x)为奇函数，其对称中心为原点，由于()1)1(1)1(1)(3+-=+-+-=x g x x x f ，说明函数f(x)的图象是由g(x)的图象分别向右、向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点(1,1).所以函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心为（1,1）. 例2曲线f(x)=ax3+bx2+cx ，当x=1-3时，f(x)有极小值；当x=1+3时，f(x)有极大值，且在x=1处切线的斜率为23.(1)求f(x)；(2)曲线上是否存在一点P ，使得y=f(x)的图象关于点P 中心对称？若存在，求出点P 的坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.解析(1)()x f '=3ax2+2bx+c ，由题意知1-3与1+3是()x f '=3ax2+2bx+c=0的根，代入解得b=-3a ，c=-6a.又f(x)在x=1处切线的斜率为23，所以()231'=f ，即3a+2b+c=23，解得1,21,61==-=c b a .所以f(x)x x x ++-=232161.(2)假设存在P(x0，y0)，使得f(x)的图象关于点P 中心对称，则f(x0+x)+f(x0-x)=2y0， 即-+++++-x x x x x x 02030)(21)(610020302)(21)(61y x x x x x x =-+-+-， 化简得()0300202023121y x x x x x =-++-.由于是对任意实数x 都成立，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+==-341312201003002000y x x x x y x ，而P ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1在曲线y=f(x)上. 所以曲线上存在点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1，使得y=f(x)的图象关于点P 中心对称.2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论(函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b)来解决.例3求证函数x x y -=28log 2的图象关于点P （1,3）成中心对称. 证明1在函数x x y -=28log 2的图象上任意取一点A （x ，y ），它关于点P （1,3）的对称点为B （2-x ，6-y ），因为)2(2)2(8log 2x x ----=--=-+=-=62log 32log 3)2(8log 222x x x x x x x x -28log 2y -=6，所以点B 在函数x x y -=28log 2的图象上，故函数x x y -=28log 2的图象关于点P （1,3）对称.证明2因为()()1111log 32log 328log 222---++=-+=-=x x x x x x y . 由于x x y -+=11log 2是奇函数，所以x x y -+=11log 2的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移1个单位，向上平移3个单位，就得到函数x x y -=28log 2的图象，所以x x y -=28log 2的图象关于点P （1,3）对称.()()()()()()()()32664log 111164log 1218log 1218log )1()1( 32222⨯===⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=---++-+=-++x x x x x x x x x f x f 证明所以x x y -=28log 2的图象关于点P （1,3）对称.已知函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解.例4已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,43对称，且满足,2)0(,1)1(),23()(-==-+-=f f x f x f 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)的值为（）.A ．-2B.-1C.0D.1解析由f(x)的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,43对称，则说明函数)43(-x f 是奇函数，也就是有-=--)43(x f )43(-x f ，即)23()(---=x f x f ，又)23()(+-=x f x f ，所以)23(--x f )23(+=x f ，即)()(x f x f =-，函数f(x)是偶函数.所以1)1()1(==-f f ，又)()23()2323()3(x f x f x f x f =+-=++=+，即f(x)以3为周期，f(2)=f(-1)=1，f(3)=f(0)=-2，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)=668（f(1)+f(2)+f(3)）+f(2005)=f(2005)=f(1)=1，选D.例5已知函数f(x)=x x a x a ++-2326的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1中心对称，求f(x).解析1设f(x)图象上任意一点A （x ，y ），它关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1的对称点为B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x 38,2，由于A 、B 都在f(x)上，所以()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+--=-++-=x x a x a y x x a x a y 2222638262323，相加整理得23238+=a ，解得a=1.所以f(x)=x x x ++-232161. 5结论其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。
所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。
函数关于某点对称的问题
函数关于某点对称的问题函数关于某点对称的问题是数学中的一个重要概念。
在平面上，两点关于某点对称指的是，以这个点为对称中心，将一个点关于这个点对称后，会得到另一个点。
在函数中，如果一个函数的图像关于某点对称，意味着将函数图像以这个点为对称中心进行对称操作后，会得到与原函数图像完全一致的图像。
这是一种特殊的对称性，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
首先，我们来考虑一些基本的函数关于原点（0,0）的对称性。
对于奇函数来说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则函数关于原点对称。
奇函数一般表现为关于原点对称的图像，比如函数y=x，y=|x|等。
对于偶函数来说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则函数关于原点对称。
偶函数一般表现为关于y轴对称的图像，比如函数y=x²，y=|x|等。
其次，我们来考虑一些函数关于其他点对称的情况。
假设我们有一个函数f(x)，图像关于点（a,b）对称，即对于任意x，有f(x)=2b-f(x-a)。
其中，a表示点的横坐标偏移量，b表示点的纵坐标偏移量。
这种情况下，我们可以通过将函数图像以点（a,b）为对称中心进行对称操作，从而得到与原函数图像完全一致的图像。
这种对称性在函数的图像研究中非常有用，可以帮助我们更好地理解函数的行为。
函数关于某点对称的性质可以帮助我们进行函数图像的描绘和分析。
首先，我们可以利用对称性来确定函数的图像在某一区间的性质。
比如，在一个函数关于原点对称的情况下，如果我们知道函数在区间[0,+∞)上是递增的，那么根据对称性，我们可以得出函数在区间(-∞,0]上也是递增的。
这样，我们就可以通过研究函数在非负半轴上的变化情况，来推断整个函数图像的性质。
其次，函数关于某点对称的性质也可以帮助我们求解函数方程和函数不等式。
比如，如果一个函数满足f(x)=f(2a-x)，即关于点(a,f(a))对称，那么我们可以通过这个对称性来简化函数方程的求解。
函数的对称性真题答案解析
函数的对称性真题答案解析在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念。
了解和掌握函数的对称性对于解题和理解函数性质都有很大的帮助。
下面，我们将通过对几道函数对称性的真题进行解析，来深入了解函数对称性的应用和解题技巧。
1. 已知函数f(x)在R上满足f(1-x) = f(x) + 1，求f(0)的值。
首先，我们来分析题目中给出的函数对称性条件，即f(1-x) = f(x) + 1。
这个条件意味着函数关于直线x=1/2对称。
我们可以利用这个对称性进行解题。
假设f(x)的图像在平面直角坐标系上对称于直线x=1/2，那么对于任意x，x和1-x关于直线x=1/2的距离是相等的。
也就是说，对于任意实数x，有|x-1/2|=|1-x-1/2|。
当x=0时，左边的绝对值式子等于1/2，右边的绝对值式子也等于1/2。
所以，f(0)的值与f(1/2)的值是相等的。
进一步推导，我们可以得到f(0) = f(1/2) + 1。
再来看题目中给出的等式f(1-x) = f(x) + 1。
将x替换为1/2，得到f(1/2) = f(1/2) + 1。
这个等式显然是不成立的。
所以，我们可以得出结论，函数f(x)在R上不存在。
通过这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性在解题中的应用。
通过观察题目中给出的条件，我们可以得到函数图像的对称轴，进而得到所求的函数值。
这种方法可以解决关于函数对称性的问题，尤其是对称于直线x=a的情况。
2. 已知函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，且满足f(x) = f(3x)，求f(0)的值。
对于这道题目，我们需要利用函数的对称性以及函数在给定区间上等式的性质来进行解答。
首先，我们来分析题目中给出的条件。
题目中指出函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，说明函数关于原点(0,0)对称。
另外，已知f(x) = f(3x)，表明函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。
结合这两个条件，我们可以得到f(x)在[-1,1]上的对称轴是直线x=0，同时函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究
函数对称性是高中数学中一个重要的概念，在数学问题的解决过程中具有重要的应用价值。
本文将探究函数对称性在数学题目中的应用。
一、基本概念
函数的对称性是指函数图像在某一规则下的运动或转换后，与原图像重合或等价的性质。
常见的对称性有：轴对称、点对称、中心对称、旋转对称等。
二、应用探究
1.轴对称
轴对称是指函数图像相对于某一直线对称。
一些具有轴对称性质的函数在解题过程中能够利用这个性质简化计算方式，比如：
（1）正弦函数$f(x)=sinx$是一个偶函数，其图像关于$y$轴对称。
（2）函数$f(x)=x^2$关于$y$轴对称，因此，当$x≥0$时，$f(x)$的值等于$x^2$，当$x＜0$时，$f(x)$的值等于$f(-x)=x^2$。
2.点对称
3.中心对称
中心对称是指函数图像相对于某一点对称，其中，中心点是图像的重心。
（1）圆函数$f(x) = \sqrt{1-x^2}$是一个中心对称的函数，它关于坐标原点对称。
4.旋转对称
旋转对称是指函数图像相对于某一点进行旋转后与原图像重合。
（1）函数$f(x)=\frac{1}{x}$是一个旋转对称的函数，它关于点$(1,1)$进行逆时针$90$度旋转后与原图像重合。
三、总结
函数对称性是高中数学中的一个重要概念，掌握了函数的对称性质以后，可以大大简化计算过程，提高解题效率。
我们需要在学习数学的时候，加强对函数对称性的理解，在实际问题中加以运用，方能更好地掌握此类内容。
高中数学如何求解三角函数的极值和最值
高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。
本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。
二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。
2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。
对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。
（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。
例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。
在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。
三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。
2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。
在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。
（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。
例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。
从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。
数学函数图像中的对称性问题浅析
课例研究新教师教学函数是我在高中数学的学习过程中非常重要的一部分，因为函数的应用几乎贯穿了整个高中数学学习中，它也是整个高中数学的核心内容，而高考中对于函数的考查也特别多，甚至考查的内容可能会比课本上的知识更深一点，因此我觉得能不能学好函数是在高考中数学是否能拿到高分的关键所在。
学好函数就要了解函数的概念和定义，还要熟练掌握函数的性质——单调性、周期性以及对称性。
在这里，我想主要谈一下我对函数对称性的理解。
我对于函数的对称性还是比较感兴趣的，从表面上看，函数的对称关系体现了数学之美，因为对称的图形总是比较美观的；往深里说，函数的对称性一直都是各种数学类考试的重点和热点，而且利用好函数的对称性还能很巧妙地解决数学问题。
我把函数的对称性问题进行了归纳和总结后，分成了两大类，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图像的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题。
虽然将函数的对称性这样分成两大类更容易理解与掌握，但其实在实际的学习过程中，两函数图像关于某直线对称或关于某点成中心对称，还有函数自身的对称轴或对称中心这两种情况，我们总是容易混淆，从而造成解题失误。
事实上，这两种类型是有本质区别的，我想就这个问题总结一下相关的一些结论。
一、函数自身的对称性定理1.函数 的图像关于点对称的充要条件是。
其证明如下：（必要性）设点P （x ，y ）是y=f （x ）图像上任一点，∵点P （x ，y ）关于点A （a ，b ）的对称点P ’（2a-x ，2b-y ）也在y=f （x ）图像上，∴2b-y=f （2a-x ），即y+f （2a-x ）=2b 故f （x ）+f （2a-x ）=2b ，必要性得证。
（充分性）设点P （x 0，y 0）是y=f （x ）图像上任一点，则y 0=f （x 0）∵f （x ）+f （2a-x ）=2b ∴f （x 0）+f （2a-x 0）=2b ，即2b-y 0=f （2a-x 0）。
掌握中考数学解题技巧如何应对函数的对称性和奇偶性问题
掌握中考数学解题技巧如何应对函数的对称性和奇偶性问题函数的对称性和奇偶性问题在中考数学中是一个重要的考点，通过掌握相应的解题技巧，可以更好地应对这类问题。
本文将介绍如何通过观察函数的图像和运用相应的性质来解决这类数学问题。
一、函数的对称性问题对称性是函数图像的一个重要特征，通过观察函数图像的对称性可以得到一些有用的信息。
常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。
1. 关于x轴对称若函数图像关于x轴对称，即对于函数f(x)，有f(-x) = f(x)，则函数在对称轴上的函数值相等。
对于这类对称性问题，我们可以通过观察函数的部分图像来确定函数的性质。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，若其图像关于x轴对称，则a = 0，此时函数为一次函数。
2. 关于y轴对称若函数图像关于y轴对称，即对于函数f(x)，有f(-x) = -f(x)，则函数在对称轴上的函数值相等但符号相反。
同样，我们可以通过观察函数的图像来判断函数的性质。
例如，对于奇次函数，其图像关于y轴对称，而对于偶次函数，其图像关于y轴对称。
3. 关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数f(x)，有f(-x) = -f(x)，则函数在原点对称。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数的性质。
例如，对于奇次函数，其图像关于原点对称，而对于偶次函数，其图像关于原点对称。
二、函数的奇偶性问题奇偶性是函数的一个重要性质，同样可以通过观察函数的图像和运用相应的性质来解决相关数学问题。
下面我们将介绍奇函数和偶函数的性质以及解题技巧。
1. 奇函数若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
奇函数的特点是在定义域内，当变量取相反数时，函数值取相反数。
例如，对于一次函数y = kx，当x取相反数时，函数值取相反数；对于三次函数y = ax^3 + bx，同样满足奇函数的性质。
在解题过程中，我们可以利用奇函数的性质简化计算。
利用反比例函数图像对称性巧解题
利用反比例函数图像对称性巧解题林艺彬(福建省漳州市第三中学㊀３６３０００)摘㊀要:反比例函数图像应用的最突出性质就是对称性ꎬ运用函数图像的对称性能够解决大量的数学问题.本文基于反比例函数对称性的描述ꎬ谈利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法.关键词:函数ꎻ图像ꎻ对称性ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)３５－００２３－０３收稿日期:２０２２－０９－１５作者简介:林艺彬(１９８２.１０－)ꎬ女ꎬ福建省漳州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀反比例函数是初中数学课程中的重要组成部分ꎬ同时对学生而言也是一个学习难点ꎬ其知识内容呈现出较为复杂抽象的特征.学习反比例函数的前提便是画好函数图像ꎬ在此基础上对函数图像的对称性进行研究ꎬ引导学生就函数图像对称性做到综合运用ꎬ对培养学生的数学思维与解题能力有着十分重要的作用.如今ꎬ伴随新课改的持续推行ꎬ针对反比例函数对称性解题的教学方法层出不穷ꎬ总体上都是向细致化与科学化发展ꎬ对教学实践起到了显著的促进作用.在此ꎬ笔者基于个人教学经验ꎬ同时借鉴一些成熟的教学案例ꎬ提出利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法ꎬ仅供参考.１反比例函数图像的对称性要想让学生学好反比例函数ꎬ前提便是能够让学生正确作图.函数作图主要包括三个步骤ꎬ分别是列表㊁描点及连线.反比例函数图像是一个中心对称图形ꎬ其坐标原点即是图形的对称中心ꎬ同时反比例函数也是一个轴对称图形ꎬ对称轴是直线ｙ＝ｘ或ｙ＝－ｘ.在实际解题过程中ꎬ反比例函数的对称性性质有着十分广泛的应用ꎬ如对于 图形面积的求解 或是 存在性 等相关问题ꎬ便可采用该性质来进行解决.对于反比例函数ｙ＝５ｘꎬ其中说法正确的是?①此函数图像属于轴对称图形ꎻ②此函数图像属于中心对称图形ꎻ③点(５ꎬ－１)是图像上一点ꎻ④在ｘ的正半轴ꎬｙ随ｘ减小而增大.通过反比例图像可以得出ꎬ反比例既是中心对称ꎬ也是轴对称图形ꎬ在每个象限内ꎬｙ随ｘ减小而增大.由此可见ꎬ利用反比例函数图像的对称性解决相关类型的题目ꎬ能够实现复杂问题的简单化处理ꎬ有利于提升学生的解题效率.２利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法㊀㊀反比例函数的表达式为ｙ＝ｋｘ(ｋʂ０)ꎬ图像是双曲线ꎬ其不仅为轴对称图形ꎬ同时也属于中心对称图形.在平面直角坐标系当中利用反比例函数图像的对称性ꎬ可以帮助学生巧妙地解决相关题目.而关于反比例函数图像的对称性问题ꎬ可主要分成下面的这三种情形.２.１图象为中心对称图形ꎬ对称中心是坐标原点例１㊀如图１ꎬ双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交３２于Ａ㊁Ｂ两点ꎬＢ点坐标为(－２ꎬ－３)ꎬＡ点坐标为(㊀㊀).Ａ.(－２ꎬ－３)㊀㊀㊀㊀Ｂ.(２ꎬ３)Ｃ(－２ꎬ３)Ｄ.(２.－３)图１解析㊀由于已知条件双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ可以画出关于原点(０ꎬ０)对称的中心对称图形ꎬ当得知Ｂ点坐标为(－２ꎬ－３)ꎬ通过利用中心对称图形的横纵坐标互为相反数的定理ꎬ得到Ａ点坐标为(２ꎬ３).结论１㊀双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ则Ａ㊁Ｂ两点关于原点成中心对称ꎬ基于中心对称图形的横纵坐标互为相反数ꎬＡ点坐标为(ａꎬｂ)ꎬＢ点坐标则为(－ａꎬ－ｂ).２.２图象为轴对称图形ꎬ对称轴为直线ｙ＝ｘ或ｙ＝－ｘ例２㊀如图３ꎬ点Ａ㊁Ｂ在反比例函数ｙ＝ｋｘ(ｘ>０)的图象上ꎬ点Ａ与点Ｂ关于直线ｙ＝ｘ对称ꎬ若点Ａ(１ꎬ２)ꎬ则Ｂ的坐标为.图３解析㊀基于点Ａ与点Ｂ关于直线ｙ＝ｘ对称的已知条件ꎬ可互换横纵坐标ꎬ即(ａꎬｂ)变换为(ｂꎬａ).已知点Ａ的坐标为(１ꎬ２)ꎬ那么点Ｂ的坐标为(２ꎬ１).结论２㊀反比例函数图象关于直线ｙ＝ｘ对称ꎬ其对称点为Ａ(ａꎬｂ)㊁Ｂ(ｂꎬａ)ꎬ呈现出横纵坐标互换的点坐标特征.例３㊀如图４ꎬ圆Ａ和圆Ｂ的圆心在反比例函数ｙ＝１ｘ上ꎬ且圆Ａ和圆Ｂ都与ｘ轴和ｙ轴相切ꎬ求阴影部分的面积?图４解析㊀由圆Ａ和圆Ｂ的圆心在反比例函数ｙ＝１ｘ上ꎬ且都与ｘ轴和ｙ轴相切可以得出两个圆的半径为１ꎬ由反比例函数对称性得出ꎬ阴影部分面积可以转化为圆Ａ或圆Ｂ的面积ꎬ问题就有效解决.结论３㊀反比例函数图象关于直线ｙ＝－ｘ对称ꎬ其对称点为Ａ(ａꎬｂ)㊁Ｂ(－ｂꎬ－ａ)ꎬ呈现出横纵坐标互换且互为相反数的点坐标特征.３反比例函数与几何综合题的方法分析反比例函数与几何综合有着密不可分的关系ꎬ针对于这种类型的题目ꎬ教师可引导学生从以下几种思路来进行处理:一是就关键点处入手ꎬ基于关键点坐标及线段长度的相互转化ꎬ将函数特征和几何特征相结合而展开研究ꎻ二是围绕函数特征与几何特征进行组合㊁转化及列方程求解ꎬ如果能够有效利用反比例函数的模型ꎬ便可快速实现将函数特征向几何特征转化的目的.例４㊀已知矩形ＡＢＣＤ的四个顶点均在反比例函数ｙ＝１ｘ的图象上ꎬ且点Ａ的横坐标是２ꎬ则矩形ＡＢＣＤ的面积为.解析㊀关于这道题的解答ꎬ首先需要进行图象的绘制(见图５)ꎬ通过分析可知矩形既是轴对称图形同时也是中心对称图形ꎬ那么关于直线ｙ＝ｘ轴对称ꎬ需要实现横纵坐标的互换ꎬ而基于原点对称ꎬ便是横纵坐标互为相反数ꎬ已知的Ａ的横坐标２ꎬ便可得到Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ的坐标ꎬ之后用到两点间的距离公式４２Ａ(ｘ１ｙ１)Ｂ(ｘ２ｙ２)ꎬＡＢ＝(ｘ１－ｘ２)２＋(ｙ１－ｙ２)２ꎬＡＤ＝(ｘ１＋ｘ２)２＋(ｙ１＋ｙ２)２ꎬ再结合Ｓ矩形＝ＡＢ ＡＤ的面积公式ꎬ便可求出具体的图形面积.方法一㊀以上为一种最基本的算法ꎬ具体计算过程为ＡＢ＝(２－１２)２＋(１２－２)２＝３２２ꎬＡＤ＝(２＋１２)２＋(１２＋２)２＝５２２ꎬＳ矩形＝ＡＢ ＡＤ＝３２２ ５２２＝１５２.图５㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６方法二㊀如图６ꎬ得到ＳΔＡＯＢ＝Ｓ梯形ＡＢＥＦ＝１５８ꎬＳ矩形＝４ˑ１５８＝１５２.４反比例函数图像对称性解题的教学方法４.１加入实例ꎬ增强学生反比例函数概念认知在实际教学中ꎬ我们发现许多学生的记忆力都是很好的ꎬ可将教师在课堂上讲解的概念内容及时地记忆下来ꎬ但之后由于未能掌握相关学习方法且不愿意动脑ꎬ对数学学习便逐渐丧失了兴趣.数学教育并非是以单纯引导学生记忆数学概念与公式为主要目的ꎬ教师要通过教学让学生感到数学学习是一种乐趣㊁一种享受.如此ꎬ教师便要致力于激活学生的思维能力ꎬ调动学生学习兴趣ꎬ将难懂的反比例函数概念与实例相结合ꎬ帮助学生更好地理解与分析ꎬ减轻知识学习难度.以实际事例展开教学可丰富课堂内容与增强课堂教学的趣味性ꎬ而学生在不断地数学学习中也会实现数学思想的有效掌握ꎬ有利于其综合素养的培养.４.２引导积累ꎬ提升学生学习主观能动性反比例函数对称性的相关理论知识的抽象性与复杂性极强ꎬ并不是仅凭几节课或是一段时间就能让学生完全领悟的ꎬ甚至于到了知识综合应用的解题环节ꎬ更是需要学生拥有较高的知识储备与应用能力.如此ꎬ教师便要引导学生去不断积累知识ꎬ同时做到长时间的坚持不懈ꎬ依照实际教学情境将反比例函数对称性的相关知识很好地融合起来ꎬ不断提升其个人认知ꎬ获知反比例函数对称性的实际价值与意义ꎬ这样一来ꎬ便能很好地提升学生学习的主观能动性.具体教学中ꎬ教师需要为学生提供一个自由㊁独立的学习空间ꎬ鼓励学生进行自主学习ꎬ而方法㊁教师都是其学习中的引导者ꎬ要为其发展提供关键力量.如可采用课题研究的教学模式ꎬ要求学生就反比例函数对称性的问题进行思考与探讨ꎬ将自身的想法与经验表达出来ꎬ同时吸收他人的宝贵意见ꎬ营造出一种团队合作与竞争的氛围.最后ꎬ还要把各个小组的劳动成果进行展示ꎬ先让学生进行自我点评ꎬ然后老师进行引导ꎬ这样不但突出了学生的主体地位ꎬ还实现了教师的引导作用.总之ꎬ反比例函数图象的对称性是学生解题中一个重要的性质ꎬ若灵活运用此性质ꎬ必然能够及时㊁正确地解决题目ꎬ进而为反比例函数相关知识的学习提供很大的方便.对此ꎬ教师应在充分把握反比例函数图象对称性这一性质的基础上ꎬ通过结合实际例题与运用合适的教学方法ꎬ帮助学生更好地理解㊁掌握反比例函数图像的对称性性质ꎬ培养其解题思维ꎬ切实促进初中生数学核心素养的发展.参考文献:[１]刘国强.用反比例函数图象的对称性解题[Ｊ].数理天地(初中版)ꎬ２０２１(４):２.[２]陈天宇.利用对称性求解反比例函数图象问题[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０１８(１０Ｘ):３.[３]刘国强.反比例函数图象的对称性在解题中的运用[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２１(１):３.[４]李志英.例说函数对称性在高考数学解题中的运用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１８(２０):２.[责任编辑:李㊀璟]５２。
函数图象的对称性在高考中的应用
函数图象的对称性在高考中的应用众所周知,函数历来是高考的重点内容之一,高考对函数的考查离不开函数性质的研究应用,特别是函数的单调性与奇偶性更是高考命题的热点,理应成为高三复习的重点.函数图像的对称性作为奇偶性拓展与延伸,在各类高考试题和模拟题中更是屡见不鲜,同时也是出错率非常高的题目.如果从图象的角度审视函数,有两类比较特殊的函数,一类是它们图象成中心对称,一类是它们图象成轴对称,那么这样的函数具有什么性质呢？不难发现,这两类函数图象总可以通过适当的平移,转化为具有奇偶性的函数,下面就对有关函数对称性和奇偶性的性质做一总结.有关函数对称性与奇偶性的一些重要性质:自对称与互对称问题(1)若函数()f x 为奇函数,则()()()()0f x f x f x f x -=-+-=；;()f x 的图象关于原点对称,反之亦成立.(2)若函数()f x 为偶函数,则()()()()2()f x f x f x f x f x -=+-=；;()()f x f x =;()f x 的图象关于y 轴对称,反之亦成立.推论:函数()-f x a 的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f x a f a x -=-,则()f x 的图象关于直线0x =对称,反之亦成立.(4)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f a x f a x -=+,则()f x 的图象关于直线x a =对称,反之亦成立.(5)若函数()f x 对任意自变量x 都有()+()=2f a x f a x b -+,则()f x 的图象关于点(,)a b 对称,反之亦成立.(6)若函数()f x 对任意自变量x 都有(2)()f a x f x -=,则()f x 的图象关于直线x a =对称,反之亦成立.(7)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2a b x +=对称,反之亦成立.(8)函数()f x 与函数()f x -的图象关于y 轴对称,反之亦成立.(9)函数()f x 与函数()f x -的图象关于x 轴对称,反之亦成立.(10)函数()f x 与函数()f x --的图象关于x 轴对称,反之亦成立.(11)函数(1)f x -与函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称,反之亦成立.(12)函数()f a x +与函数()f b x -的图象关于直线2b a x -=对称,反之亦成立. (13)在()f x ,g()x 的公共定义域上有如下结论:以上结论中,前7条是一个函数自身的对称性问题,后6条是两个函数之间的对称性问题.下面主要来研究函数的对称性在各类题型中的应用.命题方向一:基于函数,考查运算能力这类题目一般都会给出函数的解析式,目标是求函数值或由函数值求相应的自变量的值,,着重考查考生的运算能力和逻辑思维能力.这类题目不是简单的求值或解方程,而是要考查考生如何如何合理的选择运算路径,即从函数解析式出发,结合函数的奇偶性、单调性、周期性进行运算,达成目标.【例1】.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g g =+-==则【解析】解法一:由题意得(2)(2)9=3(2)=6g f f -=-+--，,因为()f x 为奇函数,所以(2)=6,(2)(2)915f g f =+=.解法二:因为()f x 为奇函数,所以()f x 图象关于(0,0)点成中心对称;将()f x 沿着y 轴向上平移9个单位长得到()g x 的图象,所以()g x 图象关于(0,9)点成中心对称,由第五条结论可知:()+()=18g x g x -,所以(2)+(2)=18,(2)=15g g g -【例2】已知函数32()=sin 4(,),(lg(log 10))5f x ax b x a b R f ++∈=,则(lg(lg 2))=f【解析】因为函数3()=sin g x ax b x +为奇函数,图象关于原点对称,所以()f x 图象关于点(0,4)对称,即有()()8f x f x +-=.而21lg(log 10)lg lg(lg(2))lg 2⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以2(lg(log 10))(lg(lg 2))8f f +=,又2(lg(log 10))5f =,所以(lg(lg 2))3f =,选C.【评注】这两道题都是考查函数奇偶性的常规问题.由函数解析求定量的函数值,代入计算是最直接的想法,但有时是行不通的.要解决这两个类似的问题,首先考生要熟练掌握函数的奇偶性的性质,函数图象平移的基本法则,其次是对数的化简;进而联想到互为相反数的函数值与函数奇偶性之间的关系;其次是分析函数()f x 的特征,建立与函数奇偶性的联系,这是这两道题的能力要求之所在.【例3】设函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M m += 【解析】因为222(1)sin 2sin ()111x x x x f x x x +++==+++,又22sin ()1x x g x x +=+为R 上的奇函数,所以()f x 的图象关于(0,1)点成中心对称,从而()f x 的图象上的最大值点与最小值点也关于(0,1)对称,因此2M m +=【评注】本题貌似一道最值问题,实则为一道函数奇偶性的应用问题,与前两题比较,对奇偶性的应用隐藏的更深,要求考生要有敏锐的观察能力.命题者对函数解析式结构进行适当的“伪装”,只有适当变形,揭露其本质,才是解题的关键点.【例4】已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++ ,则55((22f f -++-= 【解析】11112525()441234(1)(4)(2)(3)x x f x x x x x x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+++=-- ⎪⎢⎥++++++++⎝⎭⎣⎦22114(25)5456x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪++++⎝⎭. 因为22115456y x x x x =-++++的图象关于直线52x =-成轴对称,直线25y x =+关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称,所以函数()f x 的图象关于点5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称.因此55()()822f x f x -++--=,即55((822f f -++--=. 【评注】相比例2,例3,本题的难度自然要大得多,同样是用函数图象的对称性解题,但是“伪装”的更加深而已,因此对考生的观察能力和知识点的综合应用能力提出了更高的要求.当然,如果直接代入计算,也是可行的,只是过程显得有点“恐怖”.而思维灵活的同学,如果考虑()(5)f x f x +--,则过程更显简洁.()(5)f x f x +--=1235432812344321x x x x x x x x x x x x x x x x +++--------⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪++++--------⎝⎭⎝⎭【例5】设函数32()3614f x x x x =+++,且()1,()19f a f b ==,则a b +=【解析】由323()3614(1)3(1)10f x x x x x x =+++=++++,设31,()x t f t t t +==+为奇函数,可知()f x 的图象关于点()1,10-成中心对称,即有(1)(1)20f x f x -++--=,从而有()()11920f a f b +=+=,又'()0f x >恒成立,()f x 为单调函数,所以a b +=-2.【评注】本题可视为例4的逆向问题,依然考查函数的中心对称问题,其核心是探求三次多项式函数的对称性.解题过程中,要求有较强的代数式变形能力,这是对考生创新意识的考查.也就是,要仿照二次函数通过“配平方”求对称轴的方法,对本题三次函数通过“配立方”的方法,寻找函数的对称中心.这里要提醒大家注意的是:若函数()f x 对任意自变量x 都有()+()=2f a x f a x b -+⇔则()f x 的图象关于点(,)a b 对称;但是若函数()f x 图象关于点(,)a b 对称,且()+()=2f m f n b ,则不一定有+=2m n a .【结论1】如果一个单调函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称,且()+()=2f m f n b ,那么必有+=2m n a .同类题目练习:1.函数1111() (1232015)f x x x x x =++++++++图象的对称中心的坐标为 . (答案:(-1007,0))2.已知函数 )()ln 22f x x =+,则1(ln 2)+(ln )=2f f . (答案:4) 3.已知函数21()ln(1)32x f x x e x =+-+的最大值为M ,最小值为m ,则M m += . (答案:6) 4.已知函数32115()33212f x x x x =-+-,则1232013...2014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (答案:2014) 5.函数()3112x y x x +=≥-的值域为 . (答案:()(),13,-∞-+∞U ,提示:317322x y x x +==+--的图象关于点()2,3成中心对称，结合自变量的取值范围与函数图象即可快速得出答案)命题方向二:立足方程,考查数形结合能力鉴于函数与方程的特殊关系,方程的根就是函数的零点,就是函数图象与x 轴交点的横坐标.若一个函数的图象具有某种对称性,那么它所对应的方程的根也就有相似的对称性.因此,考查方程根的分布问题的考题往往会涉及到函数图象的对称性.这类考题需要考生挖掘题目所给方程所对应的函数的特殊性质,侧重考查考生数形结合能力.【例6】方程(1)sin 1x x π-=在区间(-1,3)上有四个不同的实数根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=【解析】因为1y x =-与sin y x π=交于()1,0点,且1y x =-与sin y x π=的图像都是关于()1,0点成中心对称,所以函数()()1sin 1f x x x π=--的图像关于直线1x =对称.因此函数()()1sin 1f x x x π=--与x 轴的交点关于点()1,0中心对称,即方程(1)sin 1x x π-=的根“成对”出现,且每对根的和都是2.由于区间()1,3-关于()1,0点中心对称,所以四个不同的实数根1234,,,x x x x 分成两对,有12344x x x x +++=【评注】本题中的方程的根显然是无法求得的只能探求根之间的特殊关系,而根的特殊性是由方程的特殊性决定的,自然引导我们考察函数()()1sin f x x x π=-的特殊性质.类比函数()sin g x x x =的性质:y x =与sin y x =都是奇函数,图像都是关于原点对称,而奇函数与奇函数的积是偶函数,因此()sin g x x x =为偶函数；由此我们可以得到()()1sin f x x x π=-向左平移1个单位长度后也是偶函数,所以()()1sin f x x x π=-的图像关于直线1x =对称.【结论2】如果一个函数存在零点且该函数的图像关于直线x a =或点(),0a 对称,那么该函数的图像与x 轴的交点也关于点(),0a 对称.即该函数的零点会“成对”出现,且每对零点之和为2a .【例7】已知定义在R 上的函数()f x 满足222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩,且25(2)(),()2x f x f x g x x ++==+,则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上所有实根之和为 . 【解析】当(1,1)x ∈-时,()f x 的图像关于点()0,2对称,又(2)()f x f x +=,所以()f x 的图像(除去21,x k k Z =+∈的点)关于点()2,2k 中心对称.而251()222x g x x x +==+++的图像关于点()2,2-中心对称,故函数()f x (除去21,x k k Z =+∈的点)与()g x 的图像都关于点()2,2-中心对称.又(3)(3)1,(1)(1)f g f g -=-=-≠-,所以[)3,1x =--时,()f x 与()g x 有且只有一个交点,即方程()()f x g x =在[)3,1x =--上有且只有一个实根.所以方程()()f x g x =在区间[]5,1-上有3个实数根,其中一根为3-,另外两根关于关于点()2,2-中心对称,故所有实根之和为7-.【评注】考查函数零点或方程根的问题,一般不在于解方程,而更多的是倾向于考查函数的性质.借助函数的奇偶性,图像的对称性,易发现两函数图像都是关于点()2,2-中心对称,其中一根为3-,点()3,1-是两个函数的交点,而()3,1-关于点()2,2-的对称点点()1,3-不是两个函数的交点,这正是本题“陷阱”所在.同类题目练习:5.方程()()2sin 1x x x ππ-+-=的所有解之和为 .(答案: 2π) 6.函数442x x y =+的图像与函数()11cos 3422y x x π=+-≤≤的所有交点的横坐标之和为 . (答案: 3.5)7.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤≤时,3()f x x x =-,则函数()f x 的图像在区间[]0,6上与x 轴的交点个数为 . (答案: 6)8.已知()f x 是R 上以3为周期的奇函数,当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2()ln(1)f x x x =-+,则函数()f x 的图像在区间[]0,6上零点个数为 . (答案: 7)命题方向三:着眼综合,考查转化化归能力【例8】设函数2()(3)1f x x x =-+-,数列{}n a 为公差不为0的等差数列,且127()()...()14f a f a f a +++=,则127...a a a +++= .【解析】因为2()(3)(3)2f x x x =-+-+,所以函数()f x 的图像关于点()3,2成中心对称,进一步有(3)(3)4f x f x -++=.127()()...()1427,(3)2f a f a f a f +++==⨯=,()f x 为单调函数,数列{}n a 为公差不为0的等差数列,所以1726354==+=223a a a a a a a ++=⨯,因此127...21a a a +++=.【例9】已知函数()sin tan f x x x =+,项数为27的等差数列{}n a 满足,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且公差0d ≠.若1227()()...()0f a f a f a +++=,则当k = 时,()0k f a =.【解析】()sin tan f x x x =+为奇函数且单调递增,其函数图象关于原点对称,(0)0f =.因为1227()()...()0f a f a f a +++=,等差数列{}n a 满足,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且公差0d ≠,所以必有12722614()()()()...()0f a f a f a f a f a +=+===,故当k = 14 时,()0k f a =.【评注】这类问题的典型特征是数列与函数的结合,综合考察函数的奇偶性,对考生的数学能力提出了更高的要求.【结论3】如果一个单调函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称, {}n a 为等差数列且12()+()...+()=n f a f a f a nb +,那么必有12+...=n a a a na ++.【例10】设直线l 与曲线31y x x =++交与3个不同的点,,A B C ,且AB BC ==则直线l 的方程为 . 【解析】因为AB BC =,所以B 为线段AB 的中点,而曲线31y x x =++关于点()0,1成中心对称,所以点B 的坐标为()0,1.可以设直线l 的方程为1y kx =+,代入曲线31y x x =++,解得1)x k =>, 因为AB BC ===解得2k =,故所求直线方程为21y x =+.【评注】本题看似一道解析几何问题,如果按照解析几何求曲线与直线相交的弦长问题解决,那么解题将趋于繁琐,甚至步入困境.仔细观察题目,AB BC =与31y x x =++的特殊性,问题中隐含了点B 是AC 中点的重要信息,抓住这一关键点,问题迎刃而解!【例11】已知函数321()3f x x x ax b =-++的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为32y x =-. (Ⅰ)求实数a ,b 的值.(Ⅱ)设()()1m g x f x x =+-是[)2,+∞上的增函数. (1)求实数m 的最大值;(2)当m 取得最大值时,是否存在点Q ,使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(Ⅰ)过程略3a =,2b =-(Ⅱ) (1)321()()32131m m g x f x x x x x x =+=-+-+--,22'()23(1)m g x x x x =-+-- 因为()g x 是[)2,+∞上的增函数,所以'()0g x ≥在[)2,+∞上恒成立,设[)2(1),1,t x t =-∈+∞,则22m t t ≤+在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以2min (2)3m t t ≤+=,故m 的最大值为3(2)由(1)得3231131()32(1)2(1)31313m g x x x x x x x x =-+-+=-+-++--,其图像关于点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,即2(1)(1)3f x f x -++=,也就是说存在点Q 11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,使得过点Q 的直线与曲线()y g x =围成两个封闭图形面积总相等.【评注】看似很复杂的问题,在经过适当的变形后,根据题意,从“使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等”概括提炼出图像的对称性问题,解体就一帆风顺!同类题目练习:9.设函数()2cos ,()2sin f x x x g x x x =-=+,数列{}n a 是公差为8π的等差数列,若71()7i i f a π==∑,则71()2i i g a π=-=∑ ()247i f a a a ⎡⎤⎣⎦=⋅ .(答案: 0,647) 10.已知函数323y x x x =++的图像C 上存在一点P 满足:若过点P 的直线l 与曲线C 相交于异于点P 的两点()()1122,,,M x y N x y ,就恒有12y y +为定值0y ,则0y = . (答案: 2)通过以上问题不难发现，函数对称性在高考试题当中千变万化，花样层出不群，但是无论题目如何变化，函数的性质始终保持不变，以“不变应万变”，只要大家扎实掌握了函数的性质，那么解决函数问题自然就不成问题了。
高中函数的对称性(含练习题及解析)
【答案】5【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数．【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称，①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示，由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x +=，2322x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案.【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为13-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1xf x e =-，则23x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ）6．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.7．已知函数21()ln |2|45f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.【答案】111(,)(,1)322⋃ 【分析】由函数解析式知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，利用定义证得2x >时，函数()f x 是减函数，2x <时，函数为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可.【详解】∵f(x)=1x 2−4x+5−ln |x −2|=1(x−2)2+1−ln |x −2|，21(2)ln ||1f t t t ∴-=-+，。
初中数学解题技巧知识点大全
初中数学解题技巧知识点大全数学作为一门重要的学科，对于初中学生来说，是必修的科目之一。
在学习数学过程中，解题是其中的核心内容。
掌握解题技巧，能够更快地解决问题，提高数学水平。
本文将介绍初中数学解题的一些常见技巧和知识点，帮助初中生们更好地应对数学考试。
一、代数运算技巧1. 同类项的加减运算：在做代数式的加减运算时，需要先化简，将同类项的系数相加或相减。
2. 分配律的运用：在解决含有括号的代数式时，可以利用分配率将乘法运算进行展开。
3. 平方差公式：当遇到二次方差的时候，可以运用平方差公式将其化简。
二、几何解题技巧1. 图形的等式性质：在解决几何题时，可以利用图形的等边、等角性质来得到一些等式关系。
2. 图形的尺度性质：在解决几何题时，可以利用图形的尺度性质来求解未知的边长或角度。
3. 图形的相似性质：在解决几何题时，可以利用图形的相似性质来判断各个线段、角度之间的关系。
三、函数解题技巧1. 利用函数图像的性质：在解决函数题时，可以利用函数图像的对称性、周期性等性质来进行分析和求解。
2. 函数间的运算法则：在解决函数运算题时，需要掌握函数间的加减乘除的法则，能够正确地计算函数的运算结果。
四、方程解题技巧1. 利用等式的性质：在解决方程题时，可以灵活运用等式的性质，进行方程的变形和化简。
2. 二次方程的求解：当遇到二次方程的时候，可以利用因式分解、配方法等技巧进行求解。
3. 绝对值方程的求解：当遇到绝对值方程的时候，需要将绝对值拆解成正负两种情况进行讨论。
五、概率与统计技巧1. 求概率的方法：在解决概率题时，可以利用等可能性原理、频率概率等方法来计算概率。
2. 统计图的分析：在解决统计题时，可以通过分析统计图表来得到一些统计数据。
3. 平均数的计算：在解决统计题时，需要掌握计算算术平均数、加权平均数等平均数的方法。
六、解决思路和策略1. 弄清题意：在解决任何数学题目之前，首先要仔细阅读题目，弄清题意。