计数原理教案

第一章计数原理

第1节两个基本计数原理

教材分析

本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.

学情分析

高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析

⑴知识与技能

①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容

②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．

⑵过程与方法

①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用

②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题

⑶情感、态度、价值观

树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.

教学重难点分析

教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握

教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．

教法、学法分析

教法分析：

①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.

教学过程

一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）：

该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：

第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.

第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？

设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.

第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？

接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.

第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.

在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.

对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.

第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？

设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.

第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础

第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.

分步计数原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.

二、建构数学

在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.

探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点

设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.

探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）

探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.

不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.

探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理

探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.

探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.

若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.

设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.

探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤

探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.

探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数

（一）两个计数原理内容

1、分类计数原理：

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.

2、分步计数原理：

完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.

（二）例题分析

例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问

可以配制出多少种不同的品种？

分析：1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算.

解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择

第二步配一个素菜有5种选择

第三步配一个汤有2种选择

共有N=3×5×2=30（种）

例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。

（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？

（1）分析：1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算。

解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择

第二类从下层取一本书有4种选择

共有N=5+4=9（种）

（2）分析：1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算.

解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择