重复测量两个因素的三因素实验设计
重复测量设计资料的方差分析
F
2n-1
SS组间
1
SSA
MSA
MSA/ MS组间误差
2(n-1) 2n
SS组间- SSA SS组内
MS组间误差
1
SSB
MSB
MSA/ MS组内误差
1
SSAB
MSAB
MSAB/ MS组内误差
2(n-1) SS组内- SSB- SSAB MS组内误差
重复测量资料方差分析－SPSS数据格式
包括3个变量： Group：组别， 1=处理组，2=对 照组
设立平行对照的目的是为了保证非处理因素 的影响在处理组和对照组中达到均衡。
表12-2 两组高血压患者治疗前后的舒张压
序号
1 2 …… 9 10
处理组 治疗前 治疗后
130 114 124 110 …… …… 126 108 124 106
序号
11 12 …… 19 20
对照组 治疗前 治疗后
118 124 132 122 …… …… 120 124 134 128
C
SS组内
X2 1 2
M
2 j
表中n为每个处理组中观察对象的例数，X为 每个观察结果，M为每个观察对象前后两次 观察的合计，C为校正系数。
表12-10 重复测量设计两因素两水平的方差分析表
变异来源 组间（对象）
干预（A） 组间误差 组内（重复） 时间（B） AB交互作用 组内误差
自由度
SS
MS
表12-8 考虑干预和时间因素的SS分解
变异来源 处理组间
干预（A） 时间（B） AB交互作用
自由度 离均差平方和(SS)
3
SS处理
1 n
(T12
SPSS重复测量的多因素方差分析
SPSS重复测量的多因素方差分析多因素方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或更多个因素对于一个或多个变量的影响。
在实验设计中，重复测量多因素方差分析常用于研究不同因素（比如治疗、时间、性别等）对同一测量结果的影响。
多因素方差分析假设各个因素之间相互独立，并将数据分为各个因素的组合。
例如，一个的实验可能包括两个因素：治疗和时间。
治疗可以有两个水平：A和B，时间可以有三个水平：T1、T2和T3、通过重复测量同一个变量，并结合不同的因素水平，可以得到一个完整的数据集。
进行多因素方差分析需要检验三个假设：主效应假设、交互效应假设和均等性假设。
主效应是指每个因素对于因变量的直接影响，交互效应是指多个因素之间相互作用的影响，均等性假设是指各组之间的方差是否相等。
首先，我们需要计算各组的平均值、总平均值、因素间平方和、误差平方和以及均方。
平均值是各组数据的均值，总平均值是所有数据的均值。
因素间平方和是各组均值与总平均值之差的平方和乘以每组的样本量。
误差平方和是各个样本与其对应组均值之差的平方和。
均方是因素间平方和和误差平方和除以对应的自由度。
接下来，我们需要计算F统计量，并进行假设检验来确定各个因素是否显著影响因变量。
F统计量是因素间均方和误差平方的比值。
根据假设检验的结果，如果得到的p值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则我们拒绝原假设，即说明该因素对因变量有显著影响。
当我们观察到交互作用时，可以进行进一步的分析来确定具体哪些因素交互作用显著。
可以通过绘制交互作用图来进行可视化分析。
此外，还有很多其他的方法可以对多因素方差分析的结果进行进一步分析。
比如，事后检验（post-hoc analysis）常用于确定哪些因素水平之间存在显著差异。
Tukey's HSD、Bonferroni修正和Sidak校正是常用的事后检验方法之一总结起来，多因素方差分析是一种强大的统计方法，可以研究多个因素对一个或多个变量的影响。
心理学与教育研究中的多因素实验设计——————舒华
心理学与教育研究中的多因素实验设计——————舒华第二章 几种基本的实验设计一、 基本特点适用于：研究中有一个自变量，自变量有两个或多于两个水平。
方法：把被试随机分配给自变量的各个水平，每个水平被试只接受一个水平的处理。
二、 计算与举例（一） 检验的问题与实验设计 （二） 实验数据及其计算()()()()()22i 22j T 2j ij j ss ss X X NX X ss n nNss ss n S X ss ss X X ss X =+=-=-=∙-=-=∙=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑总变异组间组内总变异组间组内总变异组间一、 基本特点适用于：研究中有一个变量，自变量有两个或多个水平（P ≥2），研究中还有一个无关变量，也有两个或多个水平（n ≥2）；并且自变量的水平与无关变量的水平之间没有交互作用。
适合检验的假说：（1）处理水平的总体平均数相等或处理效应为零；（2）区组的总体平均数相等或区组效应为零。
二、计算ss ss ss (ss SS ss =+=++总变异组间组内组间区组残差）三、优点：从实验中分离出了一个无关变量的效应，从而减少了实验误差。
一、 基本特点定义：是一个含P 行、P 列、把P 个字母分配给方格的管理方案，其中每个字母在每行中只出现一次。
适用于：（１）研究中自变量与无关变量的水平平均≥２，一个无关变量的水平被分配给Ｐ行，另一个则给Ｐ列；（２）假定处理水平与无关变量水平之间没有交互作用， （３）随即分配处理水平给2P 个方格单元，每个处理水平仅在每行，每列中出现一次。
1c 2c 3c 4c无关变量Ｃ的四个水平 无关变量Ｂ的四个水平 1b 自变量Ａ的四个水平 2b3b4bA B C SS SS SS SS SS SS SS SS =+=++++处理间总变异处理内残差单元内（）一、 基本特点：（也叫被试内设计） 基本方法：实验中每个被试接受所有的处理水平目 的：利用被试自己做控制，使被试的各方面特点在所有的处理中保持恒定，以最大限度地控制由被试的个体差异带来的变异。
三因素重复测量设计
重复测量三个因素的三因素实验设计：三因素被试内设计一、三因素被试内实验设计的基本特点三因素被试内设计适合下列的研究条件：1、研究中有三个自变量，它们都是被试内变量，每个自变量两个或多个水平。
2、如果实验中的三个自变量分别有p 、q 、r 个水平，则研究中共有p ×q ×r 个处理的结合。
图6—3—1 三因素被试内设计中的被试的分配从图解中可以看出，与前两种混合设计相比，三因素被试同设计所用的被试最少（N=n ），因此进的被试间的个体差异也最少，当实验中的三个自变量都适合作被试内变量，且实验任务较简单，每次施测不费时间的时候，这是一种控制得最好的设计。
二、三因素被试内实难设计与计算举例（一）问题的提出与实验设计如果把本章中前两节所介绍的阅读理解研究中的三个因素都作为被试内因素。
则实验中只需4名被试，每个被试阅读8篇文章。
因为一个被试阅读8篇文章所带来疲劳和顺序效应会变得十分严重，所以在这个实验中，被试内设计也许并不是一个很好的选择，我们在这里主要是将它作为一个三因素被试同实验设计的例子。
（二）实验数据及其计算 1．计算表表6—3—1 三；因素被试内实验的计算表AC 表 BC 表111136202.00p q n rijkli j k l Y=====++=∑∑∑∑221111(202)[](4)(2)(2)(2)p q n r ijkl i j k l Y Y npqr ====⎛⎫⎪⎝⎭==∑∑∑∑=1275.1252221111[](3)(6)p q n rijkli j k l YABCS ======++∑∑∑∑=1544.0002221111(66)(136)[]1428.250(4)(2)(2)(4)(2)(2)q n r ijkl p i k l j Y A nqr ====⎛⎫⎪⎝⎭==+=∑∑∑∑ 2221111(91)(111)[]1287.625(4)(2)(2)(4)(2)(2)p n r ijkl p i j l k Y B npr ====⎛⎫⎪⎝⎭==+=∑∑∑∑ ACS 表 BCS 表2221111(96)(106)[]1278.250(4)(2)(2)(4)(2)(2)p q n ijkl ri j k l Y C nqr ====⎛⎫ ⎪⎝⎭==+=∑∑∑∑ 2221111(35)(56)[]1465.250(4)(2)(4)(2)n r ijkl p q i l j k Y AB nr ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(32)(34)[]1432.500(4)(2)(4)(2)q n ijkl p r i l j l Y AC nq ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(48)(48)[]1303.250(4)(2)(4)(2)p n ijkl q ri j k l Y BC np ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(16)(32)[]1506.50044n ijkl p q r i j k l Y ABC n ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(50)(60)[]1297.750(2)(2)(2)(2)(2)(2)p q r ijkl nj k l i Y S pqr ====⎛⎫ ⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(8)(13)[]1496.00022r ijkl p q nl i j k Y ABS r ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(7)(12)[]1463.00022q ijkl p n r k i j l Y ACS q ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(11)(15)[]1329.00022p ijkl q n rj i k l Y BCS p ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(16)(24)[]1456.500(2)(2)(2)(2)q r ijkl n r k l i j Y AS qr ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(21)(28)[]1312.000(2)(2)(2)(2)p r ijkl q nj l i k Y BS pr ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑2221111(24)(29)[]1301.000(2)(2)(2)(2)p q ijkl n rj k i l Y CS pq ====⎛⎫⎪⎝⎭==++=∑∑∑∑3．平方和的分解与计算（1）平方和的分解模式SS总变异=SS被试间SS被试内=SS被试间+（SSA+SS A×被试+SSB+SS B×被试+SSC+SS C×被试+SSAB+SS A×B×被试+SSAC+SS A×C×被试+SSBC+SS B×C×被试+SSABC+SS A×B×C×被试）（2）平方和的计算SS总变异=[ABCS]－[Y]=268.875SS被试间=[S]－[Y]=22.625SS被试内=SS总变异－SS被试间=246.250SSA=[A]－[Y]=153.125SS A×被试=[AS]－[Y]－SS补试间－SSA=5.625SSB=[B]－[Y]=12.500SS B×被试=[BS]－[Y]－SS被试间－SSB=1.750SSC=[C]－[Y]=3.125SS C×被试=[CS]－[Y]－SS被试间－SSC=0.125SSAB=[AB]－[Y]－SSA－SSB=24.500SS A×B×被试=[ABS]－[Y]－SS被试间－SSA－SSB－SSAB－SS A×被试－SS B×被试=0.750SSAC=[AC]－[Y]－SSA－SSC=1.125SS A×C×被试=[ACS]－[Y]－SS被试间－SSA－SSC－SSAC－SS A×被试－SS C×被试=2.125SSBC=[BC]－[Y]－SSB－SSC=12.500SS B×C×被试=[BCS]－[Y]－SS被试间－SSB－SSC－SSBC－SS B×被试－SS C×被试=1.250SSABC=[ABC]－[Y]－SSA－SSB－SSC－SSAB－SSAC－SSBC=24.500SS A×B×C×被试=SS被试内－SSA－SS A×被试－SSB－SS B×被试－SSC－SS C×被试－SSAB－SS A×B×被试－SSAC－SS A×C×被试－SSBC－SS B×C×被试－SSABC=3.250在表6-3-2中的方差分析结果表明，三个被试内因素——生字密度（A因素）F p=<、文章类型（B因素）((1,3)21.43,.05)=<、平均句长（C因素）F p((1,3)81.67,.01)=<的主效应都是显著的，AC的交互作用是不是显著的F p((1,3)75.00,.01)=<，其余交互作用((1,3)98.00,.01)=<、AB F pF p((1,3) 1.59,.05)ABC F p=<、((1,3)22.62,.05)=<都是显著的。
三因素实验设计
适用条件
研究中有三个自变量，A（P>=2）和B（Q>=2）和C （R>=2）；研究者不仅关心各个自变量的单独效应，而且更 关心变量之间的交互作用。
设计方案
一．从总体中随机挑选出一部分被试，如果每种自变量 水平结合下安排n个被试，那么总共需要N*P*Q*R 个被试。
研究共有P×Q×R个处理水平的结合
研究者不仅关心各个自变量的单独效应，而且更关心变 量之间的交互作用
a1c1
a1c2
重复测量一个因素（混 合设计）被试分配方案
a2c1
a2c2
b1
b2
b3
S1
S1
S1
S2
S2
S2
S3
S3
S3
S4
S4
S4
S5
S5
S5
S6
S6
S6
S7
S7
S7
S8
S8
S8
S9
S9
S9
四．数据收集和分析
主效应 三因素交互效应 两因素交互效应 简单效应 简单简单效应 多重比较
#2022
总变异的分解：
AB
A×B×被试
01
AC
A×C×被试
02
BC
B×C×被试
03
ABC
A×B×C×被试
04
○ 关于简单交互作用和简单简单效应
轻工业耗能 重工业耗能
45 40 35 30 25 20 15 10
5 0
第一季度
第二季度
东部 西部
45 40 35 30 25 20 15 10
重复两因素的三因素混合设计
重复测量两上因素的三因素实验设计：三因素混合设计一、重复测量两个因素的三因素实验设计的基本特点在有些研究中，需使用另外一种混合因素设计——重复测量两个因素的三因素的设计，它适合用于这样的研究条件：1.研究中有三个自变量，每个自变量有两个或多个水平，其中有一个自变量是被试间变量，两上自变量是被试内变量。
2.如果实验的三个自变量分别有p 、q 、r 个水平，则研究中共有p ×q ×r 个处理水平的结合。
重复测量两个因素的三因素设计的基本方法是，在一个被试间因素上，随机分配的被试，每个被试接受一个处理水平。
在两上被试内因素上，每个被试接受所有的处理水平的结合。
与上一节中介绍的实验设计的相比，重复测量两个因素的三因素设计同样具有重复测量一个因素的三因素设计的特点，不同的是它所需要的被试量时一步减少，例如，在同样的2×3×2实验中，需要的被试是N=np=8，每个被试接受6个实验处理。
重复测量两个因素的三因素设计可检验的假说与重复测量一个因素的三因素设主可检验的假说完全一致，我们就不在这里重述。
二、重复测量两个因素的三因素实验设计与计算举例(一)问题的提出实验设计当研究者希望更好地控制被试变异，或希望减少被试数量时，可将前一节研究中的两上因素，例如文章类型和平均句长，都作为被试内因素，仍保留生字密度做被试间因素。
这时，实验设计中只需8名被度，研究者首先将8名被试随机分为两组，分别在a 1、a 2两种情境中。
然后，每组中的每个被试阅读4篇文章，即一组中每个被试阅读4篇生字密度小的文章(a 1b 1c 1、a 1b1c 2、a 1b 2c 1和a 1b 2c 2)，另一组中每个被试阅读4篇生字密度在的文章(a 2b 1c 1、a 2b 1c 2、a 2b 2c 1、和a 2b 1c 2)。
由于该研究中实验任务比较复杂，应采取有效措施克服疲劳和顺序效应。
例如，实验分四次实施，每个被试每次阅读一篇文章，阅读文章的先后顺序按拉丁方格平衡。
混合实验设计
b2 S1 S2 S3 S4 S5 S6
b3 S1 S2 S3 S4 S5 S6
a1
a2
S1 S2 S3 S4 S5 S6
2x3的两因素混合设计
实验举例：工作记忆容量的差异对第二语言句法
歧义句加工的影响
采用眼动技术，以句子阅读过程中，句子不同区 段的首次注视时间作为句子即时性加工的指标， 回扫次数和总的注视时间作为句子非即时加工的 指标，考察了非熟练的汉-英双语者，工作记忆 容量的差异对第二语言(英语)暂时句法歧义句加 工的影响 句法歧义句:/The experienced soldiers /warned about
重复测量一个因素
三因素的混合实验设计
重复测量两个因素
优缺点
2混合设计考察的影响自变量的因素较多，因此得出的
结论与实际情况更为接近，结果的推论性也相应提高 3可以应用较多的因素统计分析方法
优点：1能够研究多个变量之间的交互作用（interaction）
缺点：1需要耗费更多的人力、时间、物力和财力
2选择的因素和因素水平过多时，主试和实验者对实验的 实施过程可能会失去良好的控制 3结果解释的复杂性：各种主效应及交互效应
两因素混合设计
适用条件：
1研究中有两个自变量，每个自变量有两个或多个水平 2研究中的一个自变量是被试内的，即每个被试要接受 它的所有水平的处理，另一个自变量是被试间的，即每个 被试只接受它的一个水平的处理，或者它本身是一个被试 变量，是每个被试独特具有、而不可能同时兼备的，如性 别、年龄、智力等 3研究者更感兴趣于研究中的被试内因素的处理效应， 以及两个因素的交互作用，希望对它们的估价更加精确。 相比之下，被试间因素的处理效应不是研究者最感兴趣的
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12
重复测量资料组内效应、组间效应、交互效应结果解读
重复测量资料组内效应、组间效应、交互效应结果解读在统计分析和实验设计中，重复测量资料经常遇到，特别是当同一组个体在多个时间点或条件下被测量时。
在这种情况下，我们可能会考虑三个主要的效应：组内效应、组间效应和交互效应。
以下是这三个效应的结果解读：组内效应（Within-Subjects Effect）：组内效应描述了同一个体在不同时间点或条件下的差异。
例如，在一个研究中，我们可能对一个样本组在不同时间点（如治疗前、治疗后1周、治疗后1个月）进行相同的测量。
组内效应将揭示这些时间点之间是否存在显著差异。
如果组内效应显著，那么我们可以认为该因素（例如治疗）在组内产生了显著的影响。
组间效应（Between-Subjects Effect）：组间效应描述了不同组之间的差异。
例如，在一个研究中，我们可能有两组人，一组接受了治疗，另一组没有。
组间效应将揭示这两组之间是否存在显著差异。
如果组间效应显著，那么我们可以认为该因素（例如治疗与否）在两组之间产生了显著的影响。
交互效应（Interaction Effect）：交互效应描述了一个因素如何影响另一个因素的效果。
例如，考虑一个关于锻炼和饮食的研究，其中有两个组：一组遵循健康的饮食和锻炼习惯，另一组不遵循。
交互效应将揭示饮食和锻炼之间的相互作用是否产生了额外的效果。
如果交互效应显著，那么我们可以认为一个因素（例如锻炼）对另一个因素（例如饮食）的效果产生了显著的影响，并且这种影响不是简单的相加关系。
解读这些效应时，重要的是要查看统计测试的p值和置信区间，以确定观察到的效应是否统计上显著，以及这些效应的大小和方向。
此外，还需要考虑样本大小、效应大小、统计模型的假设等因素。
最终，这些结果应该结合研究背景和目的进行解释。
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.
μ:总体平均数 αj：A因素水平j理效应 πi(j):嵌套在水平aj内的被试误差 βk：B因素水平k的处理效应 (αβ) jk：水平aj和βk的两次交互作用
（βπ）ki(j)：水平βk和嵌套在aj内的被试πi的交互作用的残差
np-1 P-1=1 p(n-1)=6 np(qr-1)=24 q-1=1 (p-1)(q-1)=1 p(n-1)(q-1)=6 r-1=1
153.125 4.708
12.500 24.500 0.417 3.125
32.52**
29.98** 58.75** 8.3
.
三因素重复测量两因素的方差分析表(接上)
.
重复测量两个因素的三因素实验设计的平方和分解
SS被试间 df=np-1
SS总变异 df=npqr-1=31
SS被试内 df=np-1
SSA df=p-1
SS被试（A） df=p(n-1)
SSB df=q-1
SSAB
SSB×被试内(A )
df=(p-1)(q-1) df=p(p-1)(q-1)
SSC df=r-1
3：在一个被试间因素上，随机分配被试，每个被试接受 一个处理水平，在两个被试内因素上，每个被试接受所 有处理水平的结合。
.
重复测量两个因素的三因素实验设计的图解
b1
b1
b2
b2
b3
b3
c1
c2
c1
c2
c1
c2
s1
s1
s1
s1
s1
s1
a1 s2
s2
s2
s2
s2
s2
s3
s3
s3
s3
s3
s3
s4
s4
s4
9
6
87
76 .
44 65 43 23 9 12 8 13 8 12 7 11
三因素重复测量两因素的方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F
1.被试间 2. A(生字密度) 3. 被试(A) 4. 被试内 5.B（文章类型） 6.AＢ 7Ｂ×被试（A） 8 C（句子长度）
181.375 153.125 28.250 87.500 12.500 24.500 2.500 3.125
文章的句子长度对学生阅读理解的影响。 • 生字密度5：1(a1)和20：1(a2)，文章类型：
说明文(b1)和记叙文(b2)，句子长度：平均 句长20个词(c1)和平均句长30个词(c2)。
.
实验数据
b1
b1
c1c2b2 b2 c1 2s1a1 s2
s3
s4
s5
a2
s6
s7
s8
35
67
45
32
85
13.B ×C ×被试（A） 4.500 p(n-1)(q-1)(r-1)=1 0.750
14. 合计
268.875
npqr-1=31
.
两次交互作用和简单效应检验
当生词密度比较大（a1）时，学生对说明文与记叙 文的阅读成绩都比较差，且差异不显著；当生词密 度比较小（a2）时，学生对于说明文与记叙文的阅 读成绩显著提高，且记叙文的成绩显著好于说明文。
变异来源
平方和 自由度
均方 F
9.AC 10.C ×被（A）
1.125 (p-1)(r-1)=1 2.250 p(n-1)(r-1)=6
1.125 3.00 0.375
11.BC
12.500 (q-1)(r-1)=1
12.500 16.667**
12.ABC
24.500 (p-1)(q-1)(r-1)=1 24.500 32.667**
多因素实验设计
——重复测量两个因素的三因素实验设计
.
（一）重复测量两个因素的三因素实验设 计的特点
1：研究中有三个自变量，每个自变量有两个或多个水平， 其中有一个自变量是被试间变量，两个自变量是被试内 变量。
2：如果实验中的三个自变量分别有p、q、r个水平，则研
究中共有p×q×r个处理水平的结合。
.
(二)重复测量两个因素的三因素实验设计的假设
（1） A因素的处理效应为零H0：αj=0 （2） B因素的处理效应为零H0：βk=0 （3） C因素的处理效应为零H0：γl=0 （4） A和B两因素的交互作用为零H0： (αβ) jk=0 （5） A和C两因素的交互作用为零H0：(αγ)jl=0 （6）B和C两因素的交互作用为零H0：(βγ)kl=0 （(7α）βγA)、jkl=B0、C三因素因素的交互作用为零H0：
SSAC SSC ×被试内(A) .SSBC df=(p-1)(q-1) df=p(r-1)(n-1) df=(q-1)(r-1)
SSSABC df=(p-1)(q-1)
(r-1)
SSB×C ×被试内(A) df=p(q-1)(r-1)
(n-1)
(四)三因素重复测量两因素实验设计与计算举例
• 研究的问题与实验设计 • 例：探讨文章的生字密度、文章的类型和
s4
s4
s4
s5
s5
s5
s5
s5
s5
a2 s6
s6
s6
s6
s6
s6
s7
s7
s7
s7
s7
s7
s8
s8
s8 . s8
s8
s8
（三）设计模式
Yijkl =μ+αj+πi(j)+βk+ (αβ) jk+(βπ)ki(j)+ γ l+(αγ )jl+ (γπ)li(j) +(βγ)kl+(αβγ)jkl
+(βγπ)kli(j) +∈ijkl
AB表
100
80
b1 b2 ∑
60
nr=8
b1
40
b2
a1 35 31 66
20
a2 56 80 136
.0
a1 a2
两次交互作用和简单效应检验
当句子比较短时（c1), 文章类型对于学生的阅读理 解成绩的影响没有差异；当句子比较长时（c2), 记叙文的阅读成绩显著高于说明文的成绩，且 达到显著性水平。
70
BC表
60
50
c1 c2 ∑
40
c1
30
c2
np=8
20
b1 48 43 91
10
b2 48 63 111
0 . b1 b2
三次交互作用和简单简单效应检验
一般来说，如果三因素的交互作用显著，可以 进一步做简单简单效应检验。
本文中三因素ABC的交互作用显著，因此做 简单简单效应检验。本文的目的是检验生词密度 A在文章类型(B)与句长(C)的各个水平上的简单简 单效应。
γl ：C因素水平l的处理效应 (αγ )jl：水平αj和γl的两次交互作用 (γπ)li(j)：γl水平和嵌套在aj内的被试的 交互作用的残差 (βγ)kl：水平βk和γl的两次交互作用 (αβγ)jkl:水平αj 、βk和γl的三次交互作用 (β的γπ残)kl差i(j): 水平βk 、γl水平和嵌套在aj内的被试πi的交互作用 ∈ijkl ：指单元内误差