重复测量设计
重复测量设计
设计如图：
被试性别 女 材料类型 P1 P2 P3 P4
对每个问题 解决的因变 量的测量
图表示意 随机分配的10名被试 文字说明 随机分配的10名被试 图表示意 文字说明 随机分配的10名被试 随时间是因变量，那么时间越短则成 绩越优秀在分析数据时，我们可以比较一下完成图表材料与文字材料的 时间均值，因为有40名被试，每人解决4个问题，因此有160个因变量的 分，80个为图表材料分，另80个为文字的分，这样每组材料的均值就可以
研究问题和相关假设陈述如下：
一项关于材料类型和性别对解决概念获得问题的影响 的研究。 • H1：使用图表材料的被试的平均成绩比那些使用文字材 料的要好。 • H2：男女性别对平均成绩无差异。 • H3：被试的平均成绩随4的问题解决而增加。 • • 试验中有40名被试，男女各20名，设计如图，把他们随机 分在不同的材料组中，20名用图表示的，20名用文字的。 自变量——被试的性别和材料类型——与一个（2X2）因 素设计相似，另外，有4 种水平的实验变量问题，这样， 我们可以称之为一次重复测量在4中水平实验变量的上的 （2X2X4）因素设计。
重复测量设计
。
在一些实验中，被是要接受多次相同的测量。例如在 学习实验中，被试常常完成一系列任务，如解决一系列 问题，以了解学习是否已经发生了。
定义：重复实验设计，是一种对有 关因变量对同一被试进行一次以上 测量的设计
重复设计最简单的形式是对所有的 被试进行实验处理
•
如果有K个实验处理和N个被试，则设计 可如图表示如下： • S1 X1——O——X2——O…Xk——O • S2 X2——O——X2——O…Xk——O • Sn X3——O——X2——O…Xk——O
重复测量设计的缺点：多次测使人们熟悉这 一特定的特征，而影响测量结果的准确性！
三因素重复测量设计
九、分析步骤
一、在SPSS中输入数据 二、重复测量方差分析（三个因素各自的 主效应、三个因素的二次交互作用、三个 因素之间的三次交互作用） 三、简单简单效应检验
三重交互作用：当一个因素如何起作用受另外两个因素的影响时，称 三个因素之间存在交互作用，而这种交互作用称做三 重交互作用。 简单简单效应：一个因素的水平在另外两个因素的水平结合上的效应 简单简单效应检验：把两个因素都固定在各自的某一个特定的水平 上，考察第三个因素对因变量的影响。
八、三因素被试内实验设计举例
（2）A、B、C三因素各自水平上的处 理效应 （3）三因素之间的交互作用 （4）被试误差和交互作用的残差
μ：总体平均数或真值 兀i：被试误差： αj：A因素的水平j的处理效应。 (a兀) ij：水平αj和被试兀i的交互作用的残差 βk ：B因素的水平k的处理效应。 (β兀)ik：水平βk和被试兀i 的交互作用的残差 γl ：C因素水平l的处理效应 (γ兀)li水平γl和被试兀i的交互作用的残差 (αβ) jk：水平αj 和βk 的两次交互作用。 (αβ兀 )ijk：水平αj 、βk被试兀i的交互作用的残差 (αγ)jl：水平αj和γl的两次交互作用 (αγ兀)ijl：水平αj.γl和被试兀i的交互作用的残差 (β γ)kl水平βk和γl的两次交互作用 (βγ兀)ijkl：水平βk、γl和被试兀i的交互作用的残差 (αβγ)jkl：水平αj、βk和γl的三次交互作用 (αβγ兀)ijk：水平αj、βk、γl和被试兀i的交互作用的残差
六、被试内实验设计主效应和交互作用数目关系
实验设计 单因素 两因素 三因素
主效应 1 2 3
交互作用 0 1 4
误差项 1 3 7
七、三因素被试内实验设计平方和分解
重复测量设计与非重复测量设计中适用的样本类型探索
重复测量设计与非重复测量设计中适用的样本类型探索在实验设计中，样本的选择和使用是至关重要的一步。
不同的实验设计需要使用不同类型的样本，以确保实验结果的可靠性和可解释性。
本文将探索重复测量设计和非重复测量设计两种常见实验设计中适用的样本类型。
一、重复测量设计中适用的样本类型重复测量设计是指对同一组个体或物体在不同时间点或条件下进行反复测量的设计。
在重复测量设计中，研究者关注的是个体内部的变化和差异。
适用于这种设计的样本类型包括：1. 重叠样本：重叠样本是指在不同时间或条件下，由相同个体组成的样本。
通过使用重叠样本，研究者可以对同一个个体的变化进行观察和比较。
例如，对同一组学生在不同学年进行的成绩测量就可以使用重叠样本。
2. 随机分组样本：在某些情况下，研究者可能需要将个体随机分为不同的组别，然后对不同组别进行不同时间或条件下的测量。
通过使用随机分组样本，研究者可以控制个体间的差异，从而更准确地评估不同处理或条件对个体的影响。
3. 串行样本：串行样本是指个体按照一定时间顺序或条件改变的顺序进行测量的样本。
使用串行样本可以对时间顺序或条件改变对个体的影响进行观察和分析。
例如，对某个疗法的疗效进行观察时，可以使用串行样本来评估疗效的持续性和变化趋势。
二、非重复测量设计中适用的样本类型非重复测量设计是指在不同时间或条件下，对不同个体或物体进行一次性测量的设计。
在非重复测量设计中，研究者关注的是个体间的差异和比较。
适用于这种设计的样本类型包括：1. 独立样本：独立样本是指在不同时间或条件下，由完全不同的个体组成的样本。
通过使用独立样本，研究者可以评估不同个体之间的差异，并对不同处理或条件之间的影响进行比较。
例如，对于不同性别、不同年龄组的人群特征或行为的研究，可以使用独立样本。
2. 配对样本：配对样本是指在不同时间或条件下，由某些共享特征或属性的个体组成的样本。
通过使用配对样本，研究者可以排除个体间的差异因素，更准确地评估不同处理或条件的影响。
探究重复测量设计在实验研究中的应用
探究重复测量设计在实验研究中的应用在实验研究中，重复测量设计是一种常见的实验设计方法。
它通过多次测量同一变量，以减少随机误差和提高实验结果的可靠性。
本文将探究重复测量设计在实验研究中的应用，并讨论其优势和限制。
重复测量设计的基本原理是通过重复测量同一变量，消除测量误差和个体差异对实验结果的影响。
在实验中，我们通常会面临许多随机误差的影响，例如测量仪器的精度、实验环境的变化等。
通过重复测量，我们可以减少这些随机误差的影响，从而提高实验结果的可靠性。
重复测量设计的一个重要应用领域是医学研究。
在医学研究中，我们经常需要测量患者的生理指标或疾病症状。
由于个体差异和环境变化等因素的存在，单次测量可能无法准确反映患者的真实情况。
通过重复测量，我们可以获得更加可靠和准确的数据，从而更好地了解疾病的发展过程和治疗效果。
除了医学研究，重复测量设计在心理学研究中也得到广泛应用。
心理学研究中的许多变量，如注意力、记忆力等，都是难以直接观察和测量的。
通过重复测量，研究者可以获得更多的数据，从而更好地理解这些变量的本质和特点。
同时，重复测量还可以帮助研究者检测和排除一些潜在的干扰因素，提高实验结果的可靠性和有效性。
重复测量设计的优势不仅仅体现在提高实验结果的可靠性上，还可以帮助研究者更好地控制实验过程中的变量。
在实验研究中，我们通常会面临许多潜在的干扰因素，如个体差异、环境变化等。
通过重复测量，我们可以获得更多的数据，从而更好地控制这些干扰因素的影响。
同时，重复测量还可以帮助研究者检测和排除一些异常值和离群点，提高实验结果的准确性和可信度。
然而，重复测量设计也存在一些限制。
首先，重复测量可能会增加实验的时间和成本。
每次测量都需要一定的时间和资源，特别是在需要测量大样本量或长期跟踪的研究中，这种成本可能会很高。
其次，重复测量设计可能会引入一些额外的变量，如学习效应和疲劳效应。
这些变量可能会干扰实验结果的解释和推断，需要研究者进行适当的控制和分析。
重复测量设计资料的方差分析【57页】
T2
T3
T4
A
1
120
108
112
120
117
A
2
118
109
115
126
123
A
3
119
112
119
124
118
A
4
121
112
119
126
120
A
5
127
121
127
133
126
B
6
121
120
118
131
137
B
7
122
121
119
129
133
B
8
128
129
126
135
142
B
9
117
115
Ty pe III Sum of Squares
1020.100 1020.100 1020.100 1020.100
348.100 348.100 348.100 348.100 333.800 333.800 333.800 333.800
df 1
1.000 1.000 1.000
1 1.000 1.000 1.000
Measure: MEASURE_1
Sourc e TIME
TIME * 分 组
Error(TIME)
Sphericity Assumed Greenhouse-Geis ser Huynh-Feldt Low er-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geis ser Huynh-Feldt Low er-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geis ser Huynh-Feldt Low er-bound
15.1.115.1重复测量单因素实验设计
重复测量设计举例
• 给被试呈现如图所示的照片制成的幻灯片，要求被试利用7点量 表评价每一张幻灯片的情绪的强度。每次呈现一张幻灯片，每张 呈现10秒钟，然后给被试35秒钟进行评定。实验中的自变量为照 片的形式（左侧构成，原始照片，和右侧构成），每位被试评价 54张幻灯片：18张左侧构成照片，18张原始照片和18张右侧构 成照片。
被试在接受实验处 理时，可能由于所 有处理水平对被试 施测的顺序不同， 而产生不同的影响。
重复测量设计的要求（2）
• 在实验设计中的自变量，按照其是否能被研究者所操纵，可以分 为可操纵的变量，和不可操纵的变量。
• 在不可操纵的变量中，有的是能够进行重复测量实验的，如年龄。 • 但是有的不可操纵变量是不能成为重复测量实验中的自变量的，
重复的接受不同的处理水平，因此大大的 减少了实验的被试数量，只需要较少的被
1
试就能获取大量的实验数据。
2
这在被试为特殊群体，或者被试 取样较困难的情况下，具有极大 的优势。
它也有一定的前提要求。
3
重复测量设计的要求（1）
被试先后接受不同 的处理水平时，相 互之间无长期影响。
当被试接受前面的 如在一些学习，记 处理对接受后面的 忆的研究中，就不 处理有长期影响时， 能使用重复测量设 就会将这种影响带 计。 入到下一个处理水 平中，从而混淆实 验处理的效应。
L
31
R
40 O 49
O
5
O 14
L 23 R 32
L
41 R 50 R
6
L
15
R
24
O
33
O
42
L
51
L
7
R 16 R 25 R 34 O 43 R 52 R
第12章重复测量设计
重复测量设计资料的ANOV A重复测量的定义重复测量(repeated measure)是指对同一研究对象的某一观察指标在不同场合（occasion，如时间点）进行的多次测量，用于分析该观察指标在不同时间点上的变化规律。
例如，为研究某种药物对哮喘病病人的治疗效果,需要定时多次测定受试者的FEV1，以分析其的变动情况。
再如，药效研究中要观察给药后不同时间点上的血药浓度。
重复测量设计的优缺点•优点：每一个体作为自身的对照，克服了个体间的变异。
分析时可更好地集中于处理效应.因重复测量设计的每一个体作为自身的对照，所以研究所需的个体相对较少，因此更加经济。
•缺点：滞留效应(Carry-over effect)前面的处理效应有可能滞留到下一次的处理.潜隐效应(Latent effect)前面的处理效应有可能激活原本以前不活跃的效应.学习效应(Learning effect)由于逐步熟悉实验，研究对象的反应能力有可能逐步得到了提高。
第一节重复测量资料ANOV A对协方差阵的要求重复测量资料方差分析的条件：1. 正态性处理因素的各处理水平的样本个体之间是相（个体内不独立）互独立的随机样本，其总体均数服从正态分布；2. 方差齐性相互比较的各处理水平的总体方差相等；3. 各时间点组成的协方差阵(covariance matrix)具有球对称(sphericity)特征。
若球形性质得不到满足，用随机区组设计方差分析的F值是有偏的，这会造成I型错误增加。
一般ANOV A 的协方差矩阵22211121222212222221222111121212211212222()(1)()()(1)a aa a aa i i i i i i i ijij ii jjs s s s s s V s s s s y y n s y y y y n y y y y n sr s s⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=--=---=-=∑∑∑∑∑L L M M M M L 211222222114000000aa aa s s V s s s ⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭==LL M M M M L L对于第章，几个处理组间的协方差矩阵为：且假定重复测量资料的协方差矩阵时间点间的协方差矩阵实验前 5周后 10周后 实验前 0.081 0.090 0.065 5周后 0.386 0.411 10周后0.723时间点间的相关系数实验前 5周后 10周后 实验前 1 0.507 0.269 5周后 1 0.777 10周后122211121222212222221222111121212211212222()(1)()()(1)a aa a aa i i i i i i i ijij ii jjs s s s s s V s s s s y y n s y y y y n y y y y n sr s s⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=--=---=-=∑∑∑∑∑L L M M M M L球形对称的实际意义22211121222212222221222111121212211212222()(1)()()(1)a a a a aa i i i i i i i ijij ii jjs s s s s s V s s s s y y n s y y y y n y y y y n s r s s⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=--=---=-=∑∑∑∑∑L L M M M M L 所有两两时间点变量间差值对应的方差相等对于y i 与y j 两时间点变量间差值对应的方差可采用协方差矩阵计算为：122222222211221222i ji j i jy y y y y y y y ss s ss s s s--=+-=+-如：球形对称的实际意义举例122222222211221222i ji j i jy y y y y y y y ss s ss s s s--=+-=+-如：协方差阵A 1A 2A 3A 4A 11051015A 25201520A 310153025A 415202540s 1-22 = 10 + 20 -2(5) = 20s 1-32 = 10 + 30 -2(10) = 20s 1-42 = 10 + 40 -2(15) = 20s 2-32 = 20 + 30 -2(15) = 20s 2-42 = 20 + 40 -2(20) = 20s 3-42 = 30 + 40 -2(25) = 20本例差值对应的方差精确相等，说明球形对称。
重复测量设计资料方差分析
1
SSA21n(A12A22)－C
1
SSB21n(B12B22)－C
1
S S A B S S 处 理 S S A S S B
表中n为各组的例数，I为A因素的水平数，J为B因素的水平数， A为A因素不同水平的合计数，B为B因素不同水平的合计数， C为校正悉数。
重复测量设计资料方差分析
表12-9 总变异的分解
5.0
4.5
4.0
3.5 实验前
5周后
10周后
图1 两组家兔重复血测量清设胆计资固料醇方差的分析对数随时间的变化
第一节 重复测量资料的数据特征
（repeated measurement data）
重复测量设计资料方差分析
重复测量资料的常见形式
前后测量设计 (premeasure-postmeasure design)
Huynh-Feldt Lower-bound
Error(time) Sphericity Assumed
组内误差
Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt
Lower-bound
Type III Sum of Squares 1020.100 1020.100 1020.100 1020.100
变异来源
自由度
总变异
4n-1
组间（观察对象） 2n-1
组内（重复测量）
2n
离均差平方和(SS)
SS总= X2C
1
SS组间2
M2j C
SS组 内
X21 2
M2 j
表中n为每个处理组中观察对象的例数，X为 每个观察结果，M为每个观察对象前后两次 观察的合计，C为校正系数。
重复测量设计资料方差分析
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重复测量设计1.前面已经多处提到此设计. 现在对它作出正式定义: 重复测量设计指将一组或多组被试者先后重复地施加不同的实验处理, 或在不同场合和时间点被测量至少两次的情况.2.重复测量设计大体有两类. 一类是对每个人在同一时间不同因子组合间测量; 另外一类是对每个人在不同时间点上重复. 前者常见于裂区设计,而后者常见于经典试验设计即包括前测,处理,一次或几次后测的情况. 后者比前者要多见.3.不论沿裂区方向还是沿时间点重复,个体内因子无一例外的都是重复测量因子.重复测量设计的特点是一定有个体内因子但不一定有个体间因子.后者是不同处理组合或不同个体组.而且即使有不同组群(例如男性和女性)但人人都经历重复测量而不是一组接受重复测量另一组不接受.4.不含个体间因子的重复测量设计例子包括对一组顾客的购物偏好在三个月内重复测量; 或对其三周内的生鲜食品消费量追踪研究; 或对其家庭购买保健品药物数目一年内测量等.5.重复测量设计优点是A.每一个体作为自身的对照，克服了个体间的变异。
分析时可更好地集中于处理效应, 同时被试者间自身差异的问题不再存在. 也就是减少了一个差异来源B.重复测量设计的每一个体作为自身的对照，研究所需的个体相对较少，因此更加经济.6.重复测量设计缺点是滞留效应(Carry-over effect) 前面的处理效应有可能滞留到下一次的处理潜隐效应(Latent effect) 前面的处理效应有可能激活原本以前不活跃的效应学习效应(Learning effect) 由于逐步熟悉实验，研究对象的反应能力有可能逐步得到了提高.7.思考题: 我设计了两个劳工服务方案. 一个经由劳务公司，每人每周一次服务在上海收费５０，另一个经由私人，每人每次３０元．前者可以报怨，可以随时辞退，可以有安全性理赔(例如劳工偷窃等可以找公司赔钱)．后者一切自己负担．我的目的是看有多少人会选后者, 多少人会选前者.此时应该如何设计?8.面对这些问题也有办法.主要的是反向平衡(Counterbalancing)即变动不同因子水平出现次序使得它们以同等机会以不同次序出现.9.反向平衡法则决定第一次排序的公式是 1, 2, n, 3, n-1, 4, n-2,…, 其中每个数字对应一个处理水平. 例如有四个水平,则上式化为1, 2, 4, 3. 有了第一次排序则第二次排序只要在第一次基础上加1. 故第二次出现次序为2,3,1,4; 第三次是10.每个被试须作多少次测试取决于试验需要和课题性质.一旦决定下来则会决定组内变量水平数。
如果实验中没有组内变量，则每个被试只需作一次测试;如果实验中有一个组内变量，则测试的次数就是该组内变量的水平数;如果实验中的组内变量不只一个，则测试次数就是实验中几个组内变量水平数的乘积.8. 重复测量设计方差分析的统计前提1） 每个处理条件内的观察都是独立的;2） 每个处理条件内的总体分布是正态分布或多元正态分布;3） 每个处理条件内方差同质;4） 每个被试者的多元观测值之间有相关.9. 本质上只有1个指标,为何要把测自不同时间点上的数据看成是多元的呢? 因为同1 个体的数据重复测自同1个受试对象,它们之间往往有较高的相关性。
这种相关性通常会减少误差项变异, 从而使得F 测验的分母变小, 其后果是F 测验更易于到达显著即使无效假设是正确的. 换句话说, 犯一类错误的概率加大了.10. 重复测量方差分析要满足几个假设条件. Fisher 指出了这些条件但是直到Box(1954)才证明了这些条件的必要性并指出，若这些假设不能满足，则方差分析的F 值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真的无效假设（即增加了I 型错误的概率)1. 第一条件是所谓复合对称性(Compound Symmetry). 后者意思是各对测量值之间的协2. 类似上述方差-协方差矩阵具有复合对称性, 也被称为S 型矩阵. 该矩阵只能当加性条件满足时才能成立. 如果个体和处理有互作则不太可能出现各个处理间协方差相等的情况.3. Box 在1954年证明在重复测量情况下F 检验不具有理论自由度而是有分子分母自由度各为)1(-J ε和)1)(1(--j n J ε.其中的ε上限=1. 其具体值取决于相关矩阵的性质是否有复合对称性. 如果没有复合对称性则(J-1)> )1(-J ε且(J-1)(n-1)>)1)(1(--j n J ε. 这时如果用通常F 检验临界值势必偏小,导致I 类错误增加.a. 为什么重复测量时F 检验自由度是J-1和(J-1)(n-1)呢? 这里分子自由度好理解即组数减1. 分母乃因为重复测量时是用测量次数和个体内因子的互作为误差项的.4. Geisser 和Greenhouse 在1958年发展了Box 的发现,在裂区设计中证明ε下限是1/(J-1), 故当ε不等于1时有分子自由度为1/(J-1)*(J-1)=1, 分母自由度为1/(J-1)*(J-1)(n-1)=n-1.5. 后来证明复合对称性是充分条件但不是必要条件. 在1970年Huynh 和Feldt 证明重复测量分析的一个必要和充分条件是所有成对测量值的差数方差相等. 这个就是所谓的球形假设或循环假设(Circularity). 如该假设成立则无必要再对自由度进行调整.6. 注意复合对称性是指各个测量值各自围绕本身平均数的方差, 而球形假设则是对成对测量值的差数方差而言的. 球形假设下的方差-协方差矩阵称为H 矩阵. S 矩阵可以视为H 矩阵的特例. 凡是有复合对称性的方差-协方差必定也是球形的.7. 为了有效地处理重复测量数据间的相关性, GLM 程序既可以用多元分析法又可以用一元分析法, 后者资料必须满足特定类型的协方差矩阵, 称为H 型协方差(Huynh and Feldt 1970)。
若资料具有这种类型的协方差矩阵, 则称此资料满足 Huynh-Feldt 条件(以下简称H-F 条件)。
资料是否满足此条件,可进行球性检验(Sphericity test). 8. 球性检验的基本原理用Excel 表格很容易理解. 见”球形检验原理” 一表.9. 如果只有两次测量值则球形假设自然满足, 因为两次测量只可能有一个差数, 一个差数方差.10. 一般而言当你有两个以上重复测量值时球形假设很难以满足. 首先要了解重复测量主要用于两个情况. 一个是长期调查(Longitudinal Studies)一个是包括前试到处理到后试的经典试验. 前者在两次相邻测试点之间的现实性会高于相隔较远测试点(例如第一个月和第二个月之间相关性会大于第一个月和第三个月之间), 后者则处理效应不大可能在不同个体间有相似效应.11. 如果球形假设不能满足, 用于调整复合不对称性的Box 的ε也可以用来对非球形进行调整. 这个即为εˆ, 它取值介于1和1/J-1之间. 越是接近1说明方差越同质. 12. F 检验的分子和分母自由度都要用εˆ进行调整. 因为εˆ值不可能大于1, 所以调整后的自由度不可能大于原来自由度, 相应的F 临界值也要升高才能到达显著.13. Huynh 和Feldt 发现如果εˆ>0.75则自由度调整导致显著性测验太过保守即II 类错误概率上升. 所以他们推荐一种比较不那么保守的εˆ, 记为ε~. 14. 有人建议下列三原则 a. 如果εˆ>0.75, 对自由度用ε~进行调整; b. 如果εˆ<0.75, 对自由度用εˆ进行调整; c. 如对εˆ毫不了解, 对自由度也用εˆ进行调整. 15. 上述自由度的调整属于单元方差分析法. 因为它还是把多个测量当成单一因变量处理. 仅仅是对相应自由度进行调整. 另一种分析方法是把多次测量当成多个因变量. 后者完全改变了分析思路. 不再需要测验球形假设是否满足. 而是通过独立正态变量转换使得多次测量之间从相关变成独立关系. 那时F 检验自由度无需调整.16. 首先从什么是独立标准(Orthonormal)转换开始. 如果I C C τ=∑'则说球形存在. 其中C 代表一个独立转换系数矩阵, 含有(J-1)*(J-1)个元素. 后者再经正态化处理. ∑ 是群体方差-协方差矩阵, C ’是C 的转置. τ代表一个常数, I 代表一个0, 1矩阵, 其中主对角线上是1, 非主对角线上全部是0. 如果τ代表方差, 则I C C τ=∑'意味着群体方差在主对角线上而协方差全部是0. 具体操作转换过程见”独立标准转换”一表.17. 当然并不是所有多元方差分析都需要用标准正态转换. 有时可以用各个测量值之间的差数进行模型分析. 后者有些象时间序列中的差分处理.18. 不论何种转换其基本精神都是要把原先相关的测量值变成独立或近似独立. 至少转换不会增加相关.19. 多元方差分析要假定多元正态分布, 而且被试者数目要大于处理水平. 但是后者不难满足. 否则N-1<J 则方差-协方差矩阵不会是正定的(Positive Definite), 后者使得无法求矩阵的倒数, 从而方程无解.20. 究竟用单元还是多元方差分析并无绝对标准. 两者之间也无绝对优势. 但有一点当方差是同质时单元方差分析比多元更有力量, 因为未经调整的自由度要大于多元方差分析的Hotelling ’s T 221. 如果变异大则有些小的效应可能会被单元方差分析所掩盖. 此时多元测验更有优势.22. 有两个调整系数，第一个是Greenhouse-Geisser 调整系数)ˆ(ˆεεG G -，计算公式为 ∑∑∑+---=k l k k kl kl s a s a s a s s a ])())()(2()()[1()(ˆ22222222222ε式中的2kl s 是协方差矩阵中的第k 行第l 列元素，2s ＝22/)(a s k lkl ∑∑是所有元素的总平均值，222/)(a s s l ll kk ∑=是主对角线元素的平均值，a s s lkl k /)(22∑=是第k 行的平均值。
εˆ的取值在1.0与1/(a -1)之间。
33. 第2个系数是Huynh-Feldt 调整系数)(εεF H -。
研究表明，当ε真值在0.7以上时，用εˆ进行自由度调整后的统计学结论偏于保守，故Huynh 和Feldt 提出用平均调整值ε值进行调整。
ε值的计算公式为]ˆ)1()1)[(1(2ˆ)1(εεε------=a g n a a ng 式中中的g 是对受试对象的某种特征（如年龄或性别）进行分组的组数，n 是每组23. 为了确定这个特殊总体，必须进行平均值之间的多重比较。
但此处不能采用一般的多重比较方法，因为那些方法都是建立在独立样本基础上的。