数学建模最短路问题共71页
最短路问题(数学建模资料)
Network Optimization
/netopt
清华大学课号：40420213（本），70420133（研）
第5章 最短路问题(Shortest Path Problem)
清华大学数学科学系 谢金星 办公室：理科楼1308# （电话：62787812） Email:jxie@ /faculty/~jxie
u s 0, u min{u w }. i ij j i j
一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.
(5.7) (5.8)
10
最短路树（树形图）
定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶 点 j 都存在最短路，它们构成以起点 s 为根的树形图（称为最短 路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.
1
最短路问题的例子和意义
S
T
许多实际问题都可以转化为最短路问题
其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算 法调用
2
最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题
例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing） 某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市 场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生 产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有 产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑 能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且 使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958） 假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备. T T 假设费用均非负，则在最优解中 I 0 I T 0 ，即 xt d t
终稿-数学建模与数学实验-最短路问题-行遍性问题
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 1
1 0
0 1
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
返回
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
v1
e1
v2
e4
e5 e2
v4
e3
e6 v3
v5
e7
e8
v7 e9
v6
情形２ G 有２n 个奇次顶点（n ２）
Edmonds 最小对集算法：
基本思想：
先将奇次顶点配对，要求最佳配对，即点对之间距离总和 最小．再沿点对之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G*，G*的 欧拉巡回便是原图的最佳巡回．
算法步骤：
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
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数学建模与数学实验 最短路问题
实验目的 实验内容
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路
中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图 （１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回． （２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回． （３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图． （４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。
数学建模——最短路问题
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邻接矩阵
对 无 向 图 Ｇ ， 其 邻 接 矩 阵 A ( a ij ) ， 其 中 ：
a ij
1 0
若 v i 与 v j 相邻 若 v i 与 v j 不相邻
v1 A= 0 1 0 1 v2 1 0 1 1 0 1 0 1
注：假设图为简单图
因 G 是无向图，故 W 是对称阵．
迭代 次数 １ 2 3 4 5 6 7 8 最v ) 标 记 : l( 后
l (u i )
u u u 1 2 3
０
u 4
u5
u 6
u 7
u8
0 ２ １ ８ 2 8 8 3
数学建模与数学实验 最短路问题
后勤工程学院数学教研室
实验目的
1、了解最短路的算法及其应用 2、会用Matlab软件求最短路
实验内容
1、图 论 的 基 本 概 念
2、最 短 路 问 题 及 其 算 法
3、最 短 路 的 应 用
4、建模案例：最优截断切割问题
5、实验作业
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1、图的定义 2、顶点的次数
(e )= (e ),则 称 G 1 是 G 的 子 图 ．
V ， E (1 ) 若 V 1 1
(2)
E ,且 当 e E 1 时 ， 1
特 别 的 ， 若 V 1= V ， 则 G 1 称 为 G 的 生 成 子 图 ．
设 V 1 V ， 且 V 1 ， 以 V 1 为 顶 点 集 、 两 个 端 点 都 在 V 1 中 的
w ( v 0 e 1 v 1 e 2 v k 1 e k v k ) 称 为 一 条 从v 0 到v k 的 通 路 ， 记 为W v 0 v k
第8讲-最短路问题
V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
(e1) v1v2 , (e2 ) v1v3, (e3 ) v1v4 , (e4 ) v1v4 , (e5 ) v3v3 .
G 的图解如图.
否则
即当vk被插入任何两点间旳最短 途径时，被统计在R(k)中，依次 求 D时( ) 求得 ，R() 可由 来R() 查找 任何点对之间最短路旳途径．
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算法原理—— 查找最短路途径旳措施
若 rij( ) p1 ，则点 p1 是点 i 到点 j 的最短路的中间点.
然后用同样的方法再分头查找．若：
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
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关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝(mij ) ，其中：
mij 10
若vi与e j相关联 若vi与e j不关联
注：假设图为简朴图
e1 e2 e3 e4 e5
1 0 0 0 1 v1
M= 1 1 0 1 0 v2
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１ d (v) 2 (G) vV (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人旳人数一定是偶数。
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子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1,1 )
(1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时，1 (e)= (e),则称 G1 是 G 的子图．
所以, 可采用树生长旳过程来求指定顶点到其他顶点 旳最短路．
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用： Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题 Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景 (1)第二章．理论基础 (2)2.1 定义 (2)2.2 单源最短路问题Dijkstra求解: (2)2.2.1 局限性 (2)2.2.2 Dijkstra算法求解步骤 (2)2.2.3 时间复杂度 (2)2.3 简单样例 (3)第三章．应用实例 (4)3.1 题目描述 (4)3.2 问题分析 (4)3.3符号说明 (5)3.4 模型假设 (5)3.5模型建立与求解 (5)3.5.1模型选用 (5)3.5.2模型应用及求解 (5)3.6模型评价 (5)第四章. 参考文献 (6)第五章．附录 (7)第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
数模最短路与最优问题
定义 若将图 G 的每一条边e 都对应一个实数 w (e )，则称 w (e )为边的 权，并称图 G 为赋权图. 规 定 用 记 号 和 分 别 表 示 图 的 顶 点 数 和 边 数 .
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常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边（或平行边）．
（３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
为顶点的数目．
( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
1.图论问题的起源
• 18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块,它 们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民热衷于 这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发， 经每座桥一次且仅一次回到出发点？”
N
A
B
S
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1
七桥问题的分析
• 七桥问题看起来不难，很多人都想试一试，但没有 人找到答案 .后来有人写信告诉了当时的著名数学家欧 拉.千百人的失败使欧拉猜想,也许那样的走法根本不可 能.1876年,他证明了自己的猜想.
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6
例如,在1978年,美国财政部的税务分析部门在对 卡特尔税制改革做评估的过程中,就有一个 100,000个约束以上,25,000,000个变量的问题,若 用普通的线性规划求解,预计要花7个月的时间.他 们利用网络分析的方法,将其分解成6个子问题,利 用特殊的网络计算机程序,花了大约7个小时问题 就得到了解决.
其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边.
数学建模最短路径问题模型
数学建模最短路径问题模型数学建模是利用数学方法和技巧解决实际问题的过程。
最短路径问题是指在图中找到一个节点到另一个节点的最短路径。
这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如导航系统、物流运输等。
最短路径问题可以使用多种方法来解决，其中最常见的方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带非负边权的单源最短路径问题。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化，将源节点到其他节点的距离都设为正无穷，将源节点到自身的距离设为0。
2. 选择一个当前节点，将其加入已确定最短路径的节点集合。
3. 对于当前节点的邻居节点，更新其到源节点的距离，如果通过当前节点的距离更短，则更新最短距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都加入已确定最短路径的节点集合。
5. 返回从源节点到其他节点的最短路径。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有节点对之间的最短路径问题。
它的基本思想是通过逐步迭代来更新节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化，将节点之间的距离设为正无穷，将每个节点到自身的距离设为0。
2. 对于每一对节点(i, j)，判断从节点i到节点j是否存在经过其他节点的更短路径，如果存在则更新最短距离。
3. 重复步骤2，直到所有节点之间的最短路径都被求出。
4. 返回任意两个节点之间的最短路径。
除了以上两种算法，还有其他的最短路径算法，比如Bellman-Ford算法和A*算法等。
这些算法都有各自的特点和适用范围，根据具体情况选择合适的算法。
此外，最短路径问题还可以使用线性规划、整数规划和动态规划等数学建模方法来解决。
这些方法可以将问题转化为数学模型，通过求解模型得到最优解。
对于复杂的最短路径问题，可以将其转化为有向图或无向图来进行建模。