常用统计分布

t分布的概率密度曲线如 图
显然图形是关于 t 0对称的. 当n充分大时, 其图 形类似于标准正态 变量概率密度的图 形.
1 因为lim h( t ) e n 2π
t2 2
,
演示
所以当n足够大时t分布近似于N (0,1)分布,
但对于较小的n, t分布与N (0,1)分布相差很大 .
t 分布具有下列性质：
2
又
Y

~ ( n),且X , Y独 立, 则
2
X
独 立,
3. F分布
定 义5.8 设 X ~ 2 ( n1 ), Y ~ 2 ( n2 ), 且X , Y 独 立, X / n1 则称随机变量 F 服从自由度为 ( n1 , n2 ) 的 F Y / n2 分 布, 记 为 F ~ F ( n1 , n2 ). n 其概率密度为: 1 n1 2 1 n n n 1 2 1 2 y 2 n2 , y0 n1 n2 ( y) n1 n2 n1 y 2 1 2 2 n2 其它 0,
2 当 n 充分大时, ( n)
费歇资料
n 2nu .
其中 u 是标准正态分布的上 分位数.
利用上公式,
可以求得 n 45 时, 上 分位点的近似值 .
2 例如 0.05 (120 ) 120 2 120 u0.05
120 240 1.64 145 .5.
2
n
2
2n
近似服从N (0,1).进而 ~ N (n,2n).
2
近似
例1 设X 1 , X 2 , , X 6为 来 自 正 态 总 体 N (0,1)的 一 组 样 本, 求C1 , C 2 使 得 Y C1 ( X 1 X 2 ) 2 C 2 ( X 3 X 4 X 5 X 6 ) 2 服 从 2 分 布.
F0.05 (30,14) 2.31 .
附表5-2
F分布的上分位点具有如下性质 : 1 F1 ( n1 , n2 ) . F ( n2 , n1 ) 证明 因为F ~ F ( n1 , n2 ), 所以 1 P{F F1 ( n1 , n2 )} 1 1 1 P 1 1 P F F1 ( n1 , n2 ) F F1 ( n1 , n2 ) 1 1 1 P , F F1 ( n1 , n2 ) 1 1 故 P , F F1 ( n1 , n2 )
当n 45时, t (n) u .
t0.05 (10) 1.8125, t0.025 (15) 2.1315.
附表3-1
附表3-2
3.
2
2 分布的上侧分位数 (n)
对于给定的正数 , 0 1, 称 满 足 条 件
2 P { 2 ( n)} 2 的 点 ( n) 为 2 ( n) 分 布 的 上 分 位 数 （ 分 位 点 .）
例2 设X ~ N ( , ),
2
Y
X 试求 T ,的概率分布 . Y n
2
~ 2 (n),且X , Y相互独立,
解 因 为X ~ N ( , ), 所 以
2
X

~ N (0,1) 与 Y
2
X ( X ) / 由定理 5.7得 T ~ t ( n) Y n (Y / 2 ) / n
对于不同的 , n, 可以通过查表求 得上 分位点的值.
2 0 .025 ( 8) 17.535, 2 0 .975 (10) 3.247,
2 0 .1 ( 25 ) 34.382.
附表4-1 附表4-2 附表4-3
附表4只详列到 n=45 为止.
在Matlab中求解
来自百度文库
费歇(R.A.Fisher)证明:
1 1 因为 ~ F ( n2 , n1 ), 所以 P F ( n2 , n1 ) , F F 1 比较后得 F ( n2 , n1 ), F1- ( n1 , n2 )
2
二、概率分布的分位数
定 义5.9 对 于 总 体 X和 给 定 的 (0 1), 若 存 在 x , 使 P{ X x } 则 称x为X的 分 布 的 上 侧 分 位 数 .
1.正态分布的上侧分位数 u
设 X 服从标准正态分布 N (0,1), N (0,1) 的上 1 分位点 u 满足 P{ X u } 2π
i 1 m
性质2
( 2分布的数学期望和方差)
若 2 ~ 2 ( n), 则 E ( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
证明
因为 X i ~ N (0, 1), 所以 E ( X i 2 ) D( X i ) 1,
2 4 2
D( X i ) E ( X i ) [ E ( X i )]2
2 2
自由度 : 指
2 2 2 X 12 X 2 X n 中右端包含独立
变量的个数 .
定理5.4 2 (n)分布的概率密度为
n x 1 1 x2 e 2 x0 n 2 n p( x ) 2 ( ) 2 其它 0 2 ( n)分布的概率密度曲线如图.
性质5.6 设 T ~ t ( n) , 则当n 2 时有
E(T ) 0
n D(T ) n2
p(t ) 是T的分布密度， 性质5.7 设 T ~ t (n) ， t2 1 2 则 lim p(t ) e n 2 此性质说明，当 n 时，T分布的极限 分布是标准正态分布。
且
E( X i2 ) 1,
D( X i2 ) 2
(i 1,2,, n)
由中心极限定理得 lim P{
n
n
2
2n
x} lim P{
n
2 X i n i 1
n
n
x}
x

1 t22 e dt 2
即 分布的极限分布是正态 分布, 也即, 当n很大时
F分布的概率密度曲线如 图
F分布有以下性质
(1) 若F ~ F ( n1 , n2 ),
1 则 ~ F ( n2 , n1 ). F n2 E(F ) , ( n2 2), n2 2
(2)
演示
2 2n2 ( n1 n2 2) D( F ) , (n2 4) 2 n1 (n2 2) ( n2 4)
EX

4 i


x
4
1 e 2
x2 2
x2 2
dx x
2

3
1 de 2
x2 2
x2 2

x
3
1 e 2
3 x

1 e 2
dx
1 3 x de 2 2
(3) 设F ~ F ( n1 , n2 ),则 当n2 4时, 对 任 意 x有
x F E(F ) 1 t22 lim P{ x} e dt n1 D( F ) 2
这说明F分布极限分布也是正态分布.
例3 已知T ~ t (n), 试证 T ~ F (1, n).
则C1 1 2 , C2 1 4 .
2. t 分布
定义5.7
设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 ( n), 且 X , Y X 独立, 则称随机变量 T 服从自由度为 n Y /n 的 t 分布, 记为 T ~ t ( n).
t ( n) 分布的概率密度函数为
n 1 n 1 2 2 t 2 h( t ) 1 , t n n πn 2
常用统计分布
一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结
一、常见分布
1. 2分布（卡方分布）
定义5.6、设 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立，同服从N (0, 1)
2 2 分布, 则称统计量 2＝X 12 X 2 X n 服从自由
度为 n 的 分布, 记为 ~ 2 (n).
对于给定的 , 0 1, 称 满 足 条 件 P{t t ( n)} 的 点 t ( n) 为 t ( n) 分 布 的 上 分 位 数 (或 分 位 点 ).
可以通过查表求 得 上分 位 数 的 值 .
由分布的对称性知 t1 ( n) t ( n).

x2 2
3xe

x 2
3



x2 1 2 e dx 3 2
D( X i ) 3 1 2, i 1, 2, , n.
n n 2 2 2 E ( X 故 E( ) E X i i ) n, i 1 i 1 n n 2 2 D ( 2 ) D X i D ( X i ) 2 n. i 1 i 1
2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
2 2 设 12 ~ 2 ( n1 ), 2 ~ 2 ( n2 ), 并且 12 , 2 独 2 立, 则 12 2 ~ 2 ( n1 n2 ).
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
设 i2 ~ 2 ( ni ), 并且 i2 ( i 1, 2,, m ) 相互 独立, 则 i2 ~ 2 ( n1 n2 nm ).
4 F分布的上侧分位数 F (n1 , n2 )
对于给定的 , 0 1, 称 满 足 条 件 P{ F F ( n1 , n2 )} 的 点 F ( n1 , n2 ) 为 F ( n1 , n2 ) 分 布 的 上 分 位 数 .
求F ( n1 , n2 )的值, 可通过查表完成 . F0.025 (8,7) 4.90, 附表5-1
x2 2


u
e
dx
即
1 P{ X u } 1 (u )
( u ) 1
给定 ,由附表 2可查得 u的值.
u0.05 1.645,
u0.025 1.96,
附表2-1
附表2-2
根据正态分布的对称性知
u1 u .
u
2.t分布的上侧分位数 t ( n)
2
2 2 性质3 设 ~ (n), 则对任意x, 有
lim P{
n
n
2 n
2n
x}
n i 1
x

1 t22 e dt 2
证明 由假设和定义 5.6, 2 X i2 , 其中X 1 , X 2 ,, X n
2 2 独立且每个X i ~ N (0,1),因而X 12 , X 2 , , X n 独立同分布 ,
证 明 因 为T ~ t ( n),由 定 义 5.7有 X T Y n 其 中X ~ N (0,1),Y ~ 2 ( n),且X , Y独 立, 那 么 X 2 ~ 2 (1),且X 2与Y独 立,
2 X 2 由定义 5.8有 T ~ F (1, n) Y n 1 由F分 布 的 性 质 知 2 ~ F ( n ,1) T
解
X3 X4 X5 X6 X 3 X 4 X 5 X 6 ~ N (0,4),则 ~ N (0,1) 4 X3 X4 X5 X6 X1 X 2 且 与 相互独立 4 2
同理
X1 X 2 X 1 X 2 ~ N (0,2), 则 ~ N (0,1) 2
X1 X 2 2 X 3 X 4 X 5 X 6 2 所 以( ) ( ) ~ 2 ( 2) 4 2