2020高中数学 第二章 2.1.1 指数与指数幂的运算 第二课时 指数幂及其运算性质练习
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2.1.1指数与指数幂的运算 指数幂及其运算性质
【例 3】
1
已知 a 2
+
1
a2
=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1; (2)a2+a-2;
解:(1)将
1
a2
+
1
a2
=3
两边平方,
得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49, 所以a2+a-2=47.
3
3
(3) a2 a 2 .
1
1
知识探究
n am
1
m
an 0
没有意义
探究
1:整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,那么分数指数幂
m
an
能否理解为
m
n
个 a 相乘(a>0,m,n∈N*,且 n>1),该式有何规定?
m
答案:不能.分数指数幂是根式的另一种写法,规定 a n = n am .
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s
(4)常用的变换方法有: ①把小数化为分数,把根式化为分数指数幂; ②若指数是负数,则对调底数的分子和分母并将负指数化为正指数; ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式 分解进行变形. (5)注意灵活运用分式化简的方法和技巧.例如,①把分子、分母分解因式,可 约分的先约分;②利用分式的基本性质化繁分式为简分式,化异分母为同分母; ③把适当的几个分式先化简,各个击破;④适当利用换元法.
题型四
1
易错辨析——忽略 a n有意义出错
11
【例 4】 化简:(1-a)[(a-1)-2(-a )2 ]2 .
人教高中数学必修1课件：2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 指数幂及运算 探究导学课型
指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.
⇓
用符号语言描述：_______(a>0,m,n∈N*且n>1).
m
n am a n
⇓ 分数指数幂的意义:(1)正数的正分数指数幂的意义: __m _____(a＞0,m,n∈N*,且n＞1). a n n am (2)正数的负分数指数幂的意义:
_a_mn____1m_(a＞0,m,n∈N*,且n＞1). (3)0的a n正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂________.
3111 1121
a2 6 3b 3 3
ab1
a.
b
6.计算
(a
2 3
b
3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
).
(仿照教材P52例4的解析3 过程)
【解析】 (a
2 3
b
1 2
)(3a
1 2
1
b3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
)
3
211 115
3 3a 3 2 6b2 3 6 9a.
提示：(1)若a=0，因为0的负数指数幂无意义,所以
a≠0.
(2)若a＜0，(ar)s=ars也不一定成立,如
1
1
所以a＜0不成立.因此不适用于a=0或a<[(04的)2]情4 况(.4)2 ,
3.公式am÷an=am-n(a>0，m，n∈N*)成立吗？请用有
理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限
[3 ,) 2
所以2a-3≠0,即(2a
1
3) 3
3
1 2a 3
,
故a的取值范围为a 3 , 2
⇓
用符号语言描述：_______(a>0,m,n∈N*且n>1).
m
n am a n
⇓ 分数指数幂的意义:(1)正数的正分数指数幂的意义: __m _____(a＞0,m,n∈N*,且n＞1). a n n am (2)正数的负分数指数幂的意义:
_a_mn____1m_(a＞0,m,n∈N*,且n＞1). (3)0的a n正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂________.
3111 1121
a2 6 3b 3 3
ab1
a.
b
6.计算
(a
2 3
b
3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
).
(仿照教材P52例4的解析3 过程)
【解析】 (a
2 3
b
1 2
)(3a
1 2
1
b3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
)
3
211 115
3 3a 3 2 6b2 3 6 9a.
提示：(1)若a=0，因为0的负数指数幂无意义,所以
a≠0.
(2)若a＜0，(ar)s=ars也不一定成立,如
1
1
所以a＜0不成立.因此不适用于a=0或a<[(04的)2]情4 况(.4)2 ,
3.公式am÷an=am-n(a>0，m，n∈N*)成立吗？请用有
理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限
[3 ,) 2
所以2a-3≠0,即(2a
1
3) 3
3
1 2a 3
,
故a的取值范围为a 3 , 2
课件11：2.1.1 指数与指数幂的运算
1
＝x＋yx－－2yxy 2 ，①
又∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x<y，∴x－y＝－6 3.③
将②、③代入①式得
1
1
1
x x
2
1 2
－y ＋y
2
1 2
＝12－－26×39
2
＝－
3 3.
【跟踪训练3】
已知a
1 2
－
＋a
1 2
＝3，求下列各式的值．
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指 数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[走出误区]
易错点⊳因忽略幂指数的范围而导致错误
11
[典例] 化简(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ] 2 ＝________.
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 指数幂及运算
[问题提出]
1.有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否相同？ 2.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质是否相同？
[基础自学]
1．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
[解]
(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
2.1.1指数与指数幂的运算
a
|
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ; 2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
•甚是感激。”“把身子养好咯，比啥啊都强。”“知道咯，爷。耿姐姐，您走好，妹妹就不送您咯。”王爷的书院靠近园子大门，耿格格的 院子在惜月的院子与爷的书院之间。听闻惜月的道别，耿格格再是愚钝，也知道赶快接咯话茬儿：“爷，惜月妹妹身子才好，那就由妾身送您 吧。”王爷没有说啥啊，转身向书院的方向走去。韵音见状，来不及跟惜月打招呼，赶快追上爷的步伐。壹路上两各人默默地前行，只有呼啸 的寒风围绕着他们左右。终于，韵音的院子就在眼前咯。这壹路上，耿格格的脑子里只有壹各想法，那就是把爷送到书院；这壹路上，王爷的 脑子里也只有壹各想法，把韵音送到院子。眼看着韵音的院子已经到咯，他就停下咯脚步，而耿格格哪里知道爷会停下来，原本她就壹直低着 头，爷这么突然壹停，她根本来不及收住脚步，猛地壹下子撞上咯爷的后背。随即她就感到鼻梁壹阵酸痛，继而壹阵热流从鼻子里涌出。她赶 快拿手捂住咯鼻子，闷闷地说：“爷，对不起！”他回头壹看，虽然黑漆漆的夜色中看不清是怎么回事儿，但韵音手捂鼻子的样子还是让他感 觉到咯事态的严重性，于是他赶快抱起韵音，飞快地冲进咯她的院子，壹边焦急地问：“怎么回事儿！撞到哪里咯？痛不痛？”韵音哪里还说 得出来话？鼻子里的血还没有止住，而现在又由于被爷平躺着抱在怀里，鼻血直接倒灌进咯嘴里。进咯屋子他才发现，她的脸已经被鼻血弄得 像各大花猫，狼狈不堪。不待他吩咐，众人见到格格这副样子，早就开始找药的找药，打水的打水，迅速忙咯起来。好不容易壹切都料理妥当， 望着终于恢复咯壹张干净脸庞的韵音，他又好气又好笑地说：“你怎么这么不小心？到咯自己的院子都不停下来，你这是还想去哪儿？”“妾 身送爷啊？”第壹卷 第166章 情苦韵音万分不解地望着爷，闷声闷气地回着话。作为爷的诸人，她不送爷回书院，还能干啥啊去？总不能让 爷自己壹各人回去吧。虽然脸上恢复咯干净，可是鼻子里因为放咯止血药，又用纱布堵塞着，怎么看怎么都是滑稽，他忍不住笑咯：“还送爷 呢，自己先负伤咯，这是你送爷呢，还是爷送你？”闻听此言，韵音也不好意思地笑咯：“好不容易为爷办壹件事情，还办砸咯。”“唉，爷 哪里需要你们为爷办啥啊事情，你们只要安安生生，不出乱子，就是给爷办的最大、最好的事情咯。”他说的可是真心实意的大实话！今天韵 音的出现，真真地打咯他壹各措手不及。深更半夜地同时面对两各诸人，他还真是平生第壹次遇到这么尴尬的状况。刚刚情况紧急，都没有容 得他仔细思索这件事情，当时只是希望尽快抽身逃离事非之地。现在踏实下来，他才又认真地琢磨起这各问题来。韵音怎么会大晚上出现
课件12：2.1.1 指数与指数幂的运算
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个 问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一 长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来 表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2 的诞 生．小小 2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风 暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号 2， 憾动了学派的基石而被扔进大海.
跟踪训练 1. 计算下列各值： (1)27 的立方根是________； (2)256 的四次算术方根是________； (3)32 的五次方根是________．
[答案] (1)3 (2)4 (3)2 [解析] (1)∵33＝27，∴27的立方根是3. (2)∵(±4)4＝256，∴256的四次算术方根为4. (3)∵25＝32，∴32的五次方根为2.
∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9
＝－－24x－2
－3<x<1 1≤x<3 .
命题方向4.根式的运算技巧
例 4.计算 5－2 6＋ 5＋2 6.
[分析] 注意 a＋2 b的配方或整体考虑运用方程思想． [解析] 解法一：原式＝ 2－ 32＋ 2＋ 32＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3. 解法二：设 x＝ 5－2 6＋ 5＋2 6，则 x>0. 平方得 x2＝(5－2 6)＋(5＋2 6)＋ 2 5＋2 65－2 6 即 x2＝12，∵x>0，∴x＝2 3.∴原式＝2 3.
新知导学
1.n次方根
一般地，如果 xn＝a，那么__x__叫做 a 的_n_次__方__根__， 定义＞0 奇数 a＜0 x＜0
x 仅有一个值，记为n a
个数 n 是 a＞0 x 有两个值，且互为相反数，记为±n a
高中数学必修1_ 第二章 2.1 第2课时 指数幂及其运算
＝[(0.4)3]
－
1 3
－
1
＋
(－
2)－4
＋
2－
3＋[(0.1)2]12
＝
0.4－1
－1＋
1 16
＋18＋
0.1＝18403.
(2)原式＝a13×92·a13×－32÷a12×－73·a12
×133＝a96－36＋76－163＝a0＝1.
指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做 指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒 数．底数是负数，先确定符号，底数是 小数，先要化成分数，底数是带分数， 先要化成假分数，然后要尽可能用幂的 形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[课前反思] (1)分数指数幂的意义是什么？
； (2)有理指数幂的运算性质有哪些？
.
观察下式，完成下列思考．
amn ＝n
am，a－mn ＝a1mn ＝n
1 (a>0，n，m∈N*，n>1)． am
[思考 1] 怎样理解分数指数幂？
名师指津：“三角度”理解分指数幂 (1)角度一：与根式的关系． 分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分 数指数幂可以相互转化． (2)角度二：底数的取值范围． 由分数指数幂的定义知 a≤0，amn 可能会有意 义．当 amn 有意义时可借助定义将底数化为正数， 再进行运算．
③0 的分数指数幂的意义：
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无
意义．
(2)有理指数幂的运算性质： ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (3)无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个 确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理 数指数幂同样适用．
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
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第二课时指数幂及其运算性质
【选题明细表】
知识点、方法题号
根式与指数幂互化1,2,4,5
利用指数幂的运算性质化简求值3,6,8,9,10,11,13,14
附加条件的幂的求值问题7,10,12,15
1.(2017·延川县高一期中)将·化成分数指数幂为( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:·=·==.故选B.
2.设a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:====.选C.
3.(1)0-(1-0.5-2)÷()的值为( D )
(A)-(B)(C)(D)
解析:原式=1-(1-4)÷=1+3×=.
4.(2017·江西省上饶高一月考)下列运算正确的是( D )
(A)()7=m7·(m>0,n>0)
(B)=
(C)=(x+y(x>0,y>0)
(D)=
解析:()7=m7·n-7(m>0,n>0),故A错;==,故B错;与不同,故C错.故选D.
5.(2017·河北高一期末)设a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:由题意==.故选C.
6.(a>0,b>0)= .
解析:原式=
=·
=ab-1=.
答案:
7.设-=m,则= .
解析:将-=m平方得(-)2=m2,
即a-2+a-1=m2,
所以a+a-1=m2+2,
即a+=m2+2⇒=m2+2.
答案:m2+2
8.(2017·蚌埠高一期末)化简:×(-3b-1)÷(4b-3= .
解析:×(-3b-1)÷(4b-3
=-
=-.
答案:-
9.(1)化简:··(xy)-1(xy≠0);
(2)计算:++-·.
解:(1)原式=[xy2·(xy-1·(xy·(xy)-1
=··|x|y·|x·|y
=·|x=
(2)原式=+++1-22=2-3.
10.(2017·灵宝市高一期中)(1)计算:-××;
(2)已知x+x-1=3(x>0),求+的值.
解:(1)原式=3-=3-2=1.
(2)因为x+x-1=3,所以x2+x-2=7,
所以(+)2
=x3+x-3+2
=(x+x-1)(x2+x-2-1)+2
=3×6+2=20,
所以+=2.
11.若f(2x-1)=4x-1,则f(x)的解析式为( A )
(A)f(x)=x2+2x(x>-1)
(B)f(x)=x2-1(x>-1)
(C)f(x)=x2+2x(x<-1)
(D)f(x)=x2-1(x<-1)
解析:令2x-1=t,则2x=t+1.
又4x=(2x)2,
所以f(t)=(t+1)2-1=t2+2t.
因为2x>0,
所以2x-1>-1,即t>-1,
所以f(x)=x2+2x(x>-1).
12.若102x=25,则10-x等于.
解析:102x=25可得10x=5,
所以10-x=.
答案:
13.计算:0.06-(-)0+1+0.2= .
解析:原式=0.-1++
=2.5-1+8+0.5
=10.
答案:10
14.化简:
(1)·(a>0,b>0);
(2).
解:(1)原式=·=·=a.
(2)原式===a+b.
15.已知x=(-),n∈N*,求(x+)n的值. 解:因为1+x2=1+(-)2
=1+(-2+)
=(+2+)
=[(+)]2,
所以=(+), 所以x+
=(-)+(+) =.
所以(x+)n=()n=5.。