高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理创新应用教学案新人教A版选修4_1

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高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理互动课堂学案新人教A版选修4-1

一圆周角定理互动课堂重难突破一、圆周角定理圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是,圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧上的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧上的圆心角之间的关系,在角的一边不经过圆心时,又有两种情况,一是圆心在圆周角内,二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论,最后得到不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行,后面还会遇到这种分情况证明的定理.另外,通过这个定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为特殊情况下问题往往容易解决,如图2-1-1中,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB =2∠C很容易证明.特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图2-1-1左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间那样的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.图2-1-1二、圆周角定理的两个推论推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.如图2-1-2,∠ABE =∠ACE =∠ADE,∠A =∠B =∠C.图2-1-2推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-3,∠ACB =∠ADB =∠AEB =90°,AB是直径.图2-1-3圆周角定理及其推论是进一步推导圆其他重要性质的理论根据,而且对于角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等,判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法,学习中要注意体会.三、刨根问底问题1在一个圆中,圆周角与它所对的弧的对应关系,在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？探究:在圆中,只要有弧,就存在着弧所对的圆周角.同弧对的圆周角相等,而相等的角为几何命题的推论提供了条件.但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时,往往缺少用这个知识点的意识或困难,应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角,如图2-1-4中,已知,那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角∠C =∠D =∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如图2-1-5中,AD平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1对,∠2对,∠3也对CD,故∠1=∠2=∠3,如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.图2-1-4 图2-1-5问题2在圆中,直径所对的圆周角等于90°,解决问题时,应怎样利用这一条件？探究:只要在已知中给出了直径这一条件,一是要想到它和半径的关系,还要想到封闭了它所对的圆周角,便得到了直角三角形,这样有关直角三角形的性质便可应用了.如图2-1-6,以CD为直径的⊙O交△ACD的两边于B、E,连结BE.求证:AD cosA=AB.图2-1-6此题必须先证AD、AB所在△ABD为直角三角形,此时连结BD,可由直径所对的圆周角为90°,创设了所需的条件.又如图2-1-7,在⊙O中,直径AB⊥CD,弦AE⊥CF.要证△ABE≌△CDF,在知∠A =∠C,AB =CD时,缺少一个条件,由AB、CD为直径,想到连结BE、CF,便可知∠E =∠F =90°,这就为证三角形全等提供了条件.活学巧用【例1】如图2-1-8,已知⊙O中,∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC.图2-1-8思路解析:圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 对同一条弧,所以∠ACB =21∠AOB ,同理,∠BAC =21∠BOC ,再利用已知条件可得结论. 证明:∠ACB =21∠AOB ,∠AOB =2∠BOC ,∠ACB =∠BOC ,∠BAC =21∠BOC ∠ACB =2∠BAC .【例2】如图2-1-9,已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数为…( )图2-1-9A.80°B.100°C.120°D.130°思路解析:要求∠ACB ,只需求所对的圆心角,然后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解. 解:∵∠AOB =100°,∴所对的圆心角为260°,∠ACB =130°.故选D.【例3】如图2-1-10,以AB 为直径的半圆上任取两点M 和C ,过点M 作M N ⊥AB ,交AC 延长线于E ,交BC 于F .求证:M N 是NF 和NE 的比例中项.图2-1-10思路解析:题目即证MN 2=NF ·NE ,连结AM 、BM ,从而构造出Rt△AMB ,但MN 、NE 、NF 共线,无法由相似三角形直接证得,因此要考虑用等积式或等比式过渡.注意到MN ⊥AB ,∴MN 2=AN ·BN ,下面只需证AN ·BN =NE ·NF ,这可以由△AEN 与△BFN 相似证得. 证明:连结AM 、BM ,∵AB 为直径, ∴∠AMB =90°.又MN ⊥AB ,∴△AMN ∽△MBN .∴MN 2=AN ·BN .又FN ⊥AB ,∴∠E +∠EAB =90°. ∴∠E =∠ABC .又∠ENA =∠FNB =90°,∴△AEN ∽△FBN .∴NF AN =NBNE, 即AN ·BN =NE ·NF .∴MN 2=NE ·NF , 即MN 为NE 和NF 的比例中项.【例4】如图2-1-11,在Rt△ABC 中,∠BCA =90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:BE BC =EFCF.图2-1-11思路解析:要证BE BC =EFCF,虽然四条线段分别在△BEF 与△BCF 中,但这两个三角形一个是钝角三角形,另一个是直角三角形,不可能相似,故只能够借助中间比. 证明:连结CE,∵BC 为⊙O 的直径, ∴∠BFC =90°,∠BEC =90°. 又∵∠ACB =90°,∴∠BCE =∠A. 又∵∠BF =∠BCE ,∴∠BFE =∠A. ∴△BEF ∽△BAD .∴BD AD =BEEF. ∵∠BFC =∠BCA ,∠CBD=∠CBD,∴△CBF ∽△DBC .∴BD CD =BC CF. 又∵AD =CD ,∴BE BC =EFCF.【例5】AB 为⊙O 中的一条长为4的弦,P 为⊙O 上的一动点,cos∠APB =31.问是否存在以A 、P 、B 为顶点的面积最大的三角形,试说明理由.若存在,求出这个三角形的面积. 思路解析:因为AB 为定值,要使S △APB 最大,只要AB 边上的高最大,所以P 在弓形的最高点即可,又∠APB 为定值,根据圆周角定理的推论,想到构造直角三角形,使其一锐角等于∠APB .图2-1-7解法一:存在以A 、P 、B 为顶点的面积最大的三角形.图2-1-12∵cos∠APB=31,∴∠APB≠90°. ∴AB 不是直径.过O 作AB 的垂线并延长,分别交优弧和劣弧的中点于P 、Q ,且PD 、QD 为弓形的高, ∴P 为优弧中点时,△APB 面积最大,作⊙O 直径AC ,连结BC , 则∠ABC =90°,∠APB =∠C , ∴cos∠APB =cosC =AC BC =31. 设BC =x,则AC =3x, 在Rt△ABC 中,AB =4,由勾股定理AC 2 =AB 2+BC 2,∴(3x)2 =42+x 2,解得x =2. ∴BC=2,AC =32.∴21=PO 223=AC . ∵AO =OC ,AD =BD ,∴21=OD 22BC .∴PD = PO + OD =223 +22=22. ∴S △APB =21 AB ·PD =21×4×22=24. 解法二:同解法一,P 为优弧中点时,△APB 面积最大.作AC ⊥PB ,垂足为C ,图2-1-13在Rt△PCA 中,cos∠APC =31, ∴PA PC =31. 设PC =x,则PA =PB =3x,AC =22x,BC =2x, 在Rt△A CB 中,AB =4,由勾股定理得AC 2+BC 2=AB 2,∴2)22(x +(2x)2=16,解得332=x .∴AC =22x=634,PB =3x =32. ∴S △PAB = 21PB ·AC =246343221=⨯⨯.。

2017_2018学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质创新应用教学案新人教A版选修4_

因此∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
因此△BDC∽△ECB.
故＝，
即BC2＝BE·CD.
利用弦切角定理进行计算、证明，要专门注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意依照题目的需要可添加辅助线组成所需要的弦切角．
1．如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，假设∠BAC＝56°，那么∠ECA＝________.
弦切角定理
[例1] (2020·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.
[思路点拨] 利用弦切角定理．
[证明] (1)因为＝，
因此∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACBiblioteka ＝∠ABC，四弦切角的性质
[对应学生用书P28]
弦切角定理
(1)文字语言表达：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(2)图形语言表达：
如图，AB与⊙O切于A点，那么∠BAC＝∠D.
[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．
[对应学生用书P29]
4．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求证：AC2＝AE·AB.
证明：连接BC.
⇒△ACE∽△ABC
⇒ ＝ ⇒AC2＝AB·AE.
5．如图，AD是△ABC的角平分线，通过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF，EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)求证：DF2＝AF·BE.

人教课标实验A版-选修4—1-第二讲直线和圆的位置关系-一圆周角定理

圆周角—教学设计示例(二)
教学目标：
知识：
掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；
能力：
进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；
情感：
培养添加辅助线的能力和思维的广阔性。

教学重点：
圆周角定理的三个推论的应用。

教学难点：
三个推论的灵活应用以及辅助线的添加。

教学用具：
计算机、投影。

教学过程：
画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？
在⊙O中，若 = ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否得到 = 呢？
让学生分析、研究，并充分交流，老师组织学生归纳：
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
通过解决以上两个问题的解决可以得到：
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．
进而有：
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形．
推论3是下面定理的逆定理：
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
课时小结：
主要学习了圆周角定理的三个推论，这三个推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握。

在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握。

教学设计思路：
板书设计：。

高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段课件新人教a版选修4-1

连接AC、AD, 同样可以证明 PAC ~ PDA ( 请同学们自己证明),因而1 式仍然成立. 在这种情况下, A、B两点重合, PA PB PC PD, 变形为: 2 PA2 PC PD.
D C
P
A
O
B
图2 24
D C
P
AB
O
图2 25
由上述探究和论证, 我们有
例1 如图2 28 ,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA PB
A
C P
O
B
1 D 4, PC PD.求CD的长 . 4 图2 28 4 1 解设CD x, 则PD x, PC x. 5 5
由相交弦定理 , 得 PA PB PC PD.
1 4 所以 4 4 x x, x 10. 故CD 10 . 5 5
D
C,PA
O
B
图2 23
D C
P
A
O
根据上述探究和论证, 我们有
B
割线定理从圆外一点引圆图2 24 的两条割线 , 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
下面继续用运动变化思想探究.
探究在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置图 2 25, 是否还有PA PB PC PD ?
单击图标, 用几何画板作一系列探究实验.
D A A C P
O
D B P
O
D B A P B
O
图2 20
图2 21
C
C
图2 22
连接AD、BC, 则由圆周角定理的推论可得: A C. PA PC 故Rt APD ~ Rt CPB.则 .即PA PB PC PD. PD PB

2019_2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理课件新人教A版选修4_1

A.20° B.40° C.80° D.70° 解析因为∠AMB=40°,所以∠AOB=80°,从而劣弧答案C
的��度�� 数为80°.
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答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
123
3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
探究二
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探究三
思维辨析
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
解析(1)∵∠D=60°,∴∠B=∠D=60°,∴��的度数为 120°.
∵AD∥BC,∴∠EAF=∠B=60°,
∴��的度数为 60°,故��的度数为 60°.
探究二
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思维辨析
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D当堂检测 ANGTANGJIANCE
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答疑解惑
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D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于( )
应用
【例 3】如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,以 BC 为直径的☉O 交 AB 于点 E,D 为 AC 的中点,连接 BD 交☉O 于点 F.求证:�� = ��.

高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理目标导引素材新人教A版选修41

一圆周角定理
一览众山小
学习目标
1.理解圆周角的概念，分清圆周角与圆心角的区别与联系;掌握圆周角定理，能运用它解决简单的计算和证明问题.
2.从定理的发现过程中，进一步体验观察、猜想的思维方法;从定理的证明过程中，理解化归和分类讨论的数学思想以及完全归纳的方法.
3.通过圆周角定理的证明，了解几何证明的思想和方法.
学法指导
学习本节要先复习圆心角、圆周角的定义及周角的度数等相关知识；对于圆周角定理的推导，可从特殊情况入手进行理解，再研究一般情况下的结论，这当中着重要理解为什么将圆周角分成三种情况进行说明.
诱学导入
材料：2006年第18届世界杯在德国举行，整个世界为之疯狂.在足球射门游戏中(如图2-1-1),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
问题：当球员在B、D、E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC、∠ADC、∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
导入：三个角∠ABC、∠ADC、∠AEC都对着圆中的同一条弧.
图2-1-1。

2017_2018学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理课件新人教A版选修4_1

【做一做1】如图,点A,B,P在圆O上,若∠APB=65°,则 ∠AOB= .
解析:由圆周角定理,得∠AOB=2∠APB=130°. 答案:130°
2.圆心角定理 (1)圆心角定义:顶点在圆心的角叫做圆心角. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 名师点拨1.在圆心角定理中,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但不能说“圆心角等于它所对的弧”. 2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数,它与圆的半径无关.也就是说,在大小不等的两个圆中,相同度数的圆心角,它们所对的弧的度数相等;反过来,弧的度数相等,它们所对的圆心角的度数也相等.
∵D 为 AC 的中点,∴AD=CD,∴�� = ��,∴�� = ��.
��
��
��
��
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟应用圆周角定理和圆心角定理解题的基本步骤 1.观察图形,寻找相应弦及所对应的弧; 2.利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角; 3.进行数学变形; 4.得出结论.
分析:通过圆周角定理与圆心角定理证明△ACE与△DCB相似,得到比例式,再转化为等积式. 证明:连接BD,在△ACE与△DCB中, ∵∠EAC与∠BDC是同弧所对的圆周角, ∴∠EAC=∠BDC.又CE为∠ACB的平分线, �� ∴∠ACE=∠DCB,∴△ACE∽△DCB,∴ , = �� 故AC· CB=DC· CE.
答案:(1)60° (2)2.5 cm

高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段创新应用教学案新人教A版选修4-1-新

五与圆有关的比例线段[对应学生用书P31]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.[对应学生用书P32]相交弦定理[例1] OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[证明] 连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD 的长为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.答案：B2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，OM ＝ON ，P 是⊙O 上的点，PM 、PN 的延长线分别交⊙O 于Q 、R .求证：PM ·MQ ＝PN ·NR .证明：⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫OM ＝ON OA ＝OB ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ AM ＝BN BM ＝ANPM ·MQ ＝AM ·MB PN ·NR ＝BN ·AN⇒PM ·MQ ＝PN ·NR .割线定理、切割线定理[例2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC ＝AB .证明：(1)AD ·AE ＝AC 2； (2)FG ∥AC .[思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC ∽△ACE .[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线，ADE 是⊙O 的割线，∴由切割线定理得AD ·AE ＝AB 2. 又AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2. (2)由(1)得AD AC ＝ACAE，又∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE . ∴∠ADC ＝∠ACE .又∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE . ∴FG ∥AC .(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．3．如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：∵PD ∶DB ＝9∶16，不妨设PD ＝9a ，DB ＝16a (a >0)，∴PB ＝25a . 由切割线定理知PA 2＝PD ·PB ，即9＝9a ×25a ，∴a ＝15.∴PD ＝95.在直角三角形PAB 中，PA ＝3，PB ＝5，可知AB ＝4.答案：9544.如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2.求：(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .解：(1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x .根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )，解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝·CM ，由(1)可知，＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22，AC ＝14， ∴CD ＝·CM AC ＝2147，∴r ＝12(AC －CD )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2147＝51414.切线长定理[例3] 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A 、B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P .求证：∠EPC ＝∠EBF . [思路点拨]切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EP PB→CP ∥FB →结论[证明] ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB . ∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EP BP .∴EC FC ＝EPPB.∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．5．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB ＝( )A ．90°B ．60°C ．45° D．30°解析：如图，连接OO ′，O ′A . ∵OA 为⊙O ′的切线， ∴∠OAO ′＝90°.又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A .∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12. ∴∠AOO ′＝30°.又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 答案：B6.已知：如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 分别相切于L ，M ，N ，P .求证：AD ＋BC ＝AB ＋CD . 证明：由圆的切线长定理得CM ＝，BL ＝BM ，AP ＝AL ，DP ＝DN ，∵AB ＝AL ＋LB ，BC ＝BM ＋MC ，CD ＝＋ND ，AD ＝AP ＋PD ，∴AD ＋BC ＝(AP ＋PD )＋(BM ＋MC ) ＝(AL ＋ND )＋(BL ＋) ＝(AL ＋BL )＋(ND ＋) ＝AB ＋CD ，即AD ＋BC ＝AB ＋CD .[对应学生用书P33]一、选择题1．自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm ，圆的半径为4 cm ，则过此点所引的切线长为( )A ．16 cmB ．4 3 cmC ．4 2 cmD ．以上答案都不对解析：设切线长为x cm ，由切割线定理得x 2＝(12－2×4)×12，故x ＝4 3. 答案：B2．点C 在⊙O 的弦AB 上，P 为⊙O 上一点，且OC ⊥CP ，则( ) A ．OC 2＝CA ·CB B ．OC 2＝PA ·PB C ．PC 2＝PA ·PB D ．PC 2＝CA ·CB解析：根据OC ⊥CP ，可知C 为过PC 点弦的中点，再由相交弦定理即有PC 2＝CA ·CB .答案：D3．如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2D ．CE ·EB ＝CD 2解析：在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB .答案：A4.已知PT 切⊙O 于点T ，TC 是⊙O 的直径，割线PBA 交TC 于点D ，交⊙O 于B 、A (B 在PD 上)，DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，则PB 等于( )A ．20B ．10C ．5D ．8 5解析：∵DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2， ∴由相交弦定理得DB ·DA ＝DC ·DT ，即DT ＝DB ·DA DC ＝4×32＝6；因为TC 为⊙O 的直径，所以PT ⊥DT . 设PB ＝x ，则在Rt △PDT 中，PT 2＝PD 2－DT 2＝(4＋x )2－36.由切割线定理得PT 2＝PB ·PA ＝x (x ＋7)，所以(4＋x )2－36＝x (x ＋7)，解得x ＝20，即PB ＝20. 答案：A 二、填空题5．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，AM ＝4，BM ＝9，则弦CD 的长为________．解析：根据相交弦定理，AM ·BM ＝(CD2)2，所以CD2＝6，CD ＝12.答案：126.如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析：因为直线PB 是圆的切线，所以∠ABP ＝∠C ，又因为∠ABP ＝∠ABD ，所以∠ABD ＝∠C ，又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AD AB ＝ABAC，所以AB ＝AD ·AC ＝mn . 答案：mn7.如图，PA ，PB 分别为⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，PA ＝7，在劣弧AB 上任取一点C ，过C 作⊙O 的切线，分别交PA ，PB 于D ，E ，则△PDE 的周长是________．解析：由切线长定理知，PB ＝PA ＝7，且DA ＝DC ，EC ＝EB ，所以△PDE 的周长为PD ＋PE ＋DE ＝PD ＋DC ＋CE ＋PE ＝PA ＋PB ＝14. 答案：14 三、解答题8.如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足是G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，求EF 的长．解：因为CD ⊥AB 于G ，F 为CG 的中点，所以G 为CD 的中点，即CD ＝8，FD ＝6.又因为AF ·FE ＝CF ·FD ，即3×EF ＝2×6，所以EF ＝4.9.已知：如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，PO ＝13 cm ，⊙O 半径r ＝5 cm ，求△PDE 的周长．解：∵PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点， ∴DA ＝DC ，EB ＝EC .∴△PDE 的周长为PA ＋PB ＝2PA . 连接OA ，则OA ⊥PA .∴PA ＝PO 2－OA 2＝132－52＝12 cm. ∴△PDE 的周长为24 cm.10．如图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．解：(1)证明：连接AB . ∵AC 为⊙O 1的切线， ∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E . ∴AD ∥EC .(2)设PB ＝x ，PE ＝y ，由相交弦定理，得PB ·PE ＝PA ·PC ，则x ·y ＝6×2，∴xy ＝12.① ∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝APPC，即9＋x y ＝62.∴9＋x ＝3y .② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)．∴DE ＝9＋3＋4＝16. ∵AD 为⊙O 2的切线，∴由切割线定理，得AD 2＝DB ·DE ＝9×16. ∴AD ＝12.。

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——教学资料参考参考范本——高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理创新应用教学案新人教A版选修4_1______年______月______日____________________部门[对应学生用书P18]1．圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在⊙O中，BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝12∠BOC作用确定圆中两个角的大小关系2．圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言符号语言A，B是⊙O上两点，则弧AB的度数等于∠AOB的度数作用确定圆弧或圆心角的度数3．圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．[说明] (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．[对应学生用书P18]与圆周角定理相关的证明[例1] 如图，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC 边上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC.[思路点拨]证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．[证明] 如图，延长AD、AE分别交⊙O于F、G，连接BF、CG，∵∠1＝∠2，∴＝，BF CG∴BF＝CG，＝，BG CF∴∠FBD＝∠GCE.又∵BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，∴＝，∴AB＝AC.AB AC(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．1.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.求证：D是AB的中点．证明：连接OD、BE.因为∠ADO＝∠ABE＝90°，所以OD和BE平行．又因为O是AE的中点，所以D是AB的中点．2．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．求证：∠BAE＝∠DAC.证明：连接BE，因为AE为直径，所以∠ABE＝90°.因为AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90°.所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E，∠DAC＝90°－∠C.所以∠BAE＝∠DAC.3．已知⊙O中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，AD交⊙O于E.求证：AB2＝AD·AE.证明：如图，∵AB＝AC，∴＝.AB AC∴∠ABD＝∠AEB.在△ABE与△ADB中，∠BAE＝∠DAB，∠AEB＝∠ABD，∴△ABE∽△ADB.∴＝，即AB2＝AD·AE.利用圆周角进行计算[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE.(1)求证：＝；AB AF(2)如果sin ∠FBC＝35，AB＝45，求AD的长．[思路点拨] BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ABC.[解] (1)证明：如图，连接AC.∵BC是半⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又AD⊥BC，垂足为D，∴∠1＝∠3.在△AEB中，AE＝BE，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3，即A＝A.(2)设DE＝3x，∵AD⊥BC，sin∠FBC＝，∴BE＝5x，BD＝4x.∵AE＝BE，∴AE＝5x，AD＝8x.在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝4，∴(8x)2＋(4x)2＝(4)2，解得x＝1，∴AD＝8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．4．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD 的度数是( )A．40°B．25°C．50° D．60°解析：连接OB.因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°.答案：A5.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·AC·sin ∠BAC，且S＝AD·AE，所以AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE.则sin ∠BAC＝1.又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.[对应学生用书P20]一、选择题1．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为( )A．25°B．50°C．75° D．100°解析：由圆周角定理得∠A＝∠BOC＝25°.答案：A2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对解析：由推论1知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.答案：B3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为( )A. B．2C．2 D．4解析：由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.答案：B4.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，则tan ∠BPD等于( )A. B.43C. D.73解析：连接BD，则∠BDP＝90°.∵△CPD∽△APB，∴＝＝.在Rt△BPD中，cos ∠BPD＝＝，∴tan ∠BPD＝.答案：D二、填空题5．在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________．解析：由圆周角定理，得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°.∴AB＝BC.∴△ABC为等边三角形．∴周长等于9.答案：96．如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是________．解析：因为OD平分∠BOC，且∠BOC＝90°，所以∠BOD＝∠BOC＝45°，所以∠OAD＝∠BOD＝22.5°.在Rt△AEO中，∠AOE＝90°，则∠AEO＝90°－∠OAE＝67.5°.答案：67.5°7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝________.解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC，又△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AEC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACE，∴＝，∴AE＝＝9.答案：9三、解答题8.(20xx·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.解：连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.9．如图，已知△ABC内接于圆，D为中点，连接AD 交BC于E.BC求证：(1)＝；(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.证明：(1)连接CD.∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，∴△ABE∽△CDE.∴＝.(2)连接BD.∵＝，∴AE·DE＝BE·EC.∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①在△ABD与△AEC中，∵D为的中点，BC∴∠1＝∠2.又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，∴△ABD∽△AEC.∴＝，即AB·AC＝AD·AE②由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.10．如图，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径．(1)求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的值；(2)若⊙O的半径为，AD与EC交于点M，且E，D为弧AC的三等分点，求MD的长．解：(1)连接OB，OD，OE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝(∠COD＋∠DOE＋∠EOA＋∠AOB＋∠BOC)＝×360°＝180°.(2)连接OM和CD，因为AC为⊙O的直径，所以∠ADC＝90°，又E，D为的三等分点，AC所以∠A＝∠ECA＝∠EOA＝××180°＝30°，所以OM⊥AC.因为⊙O的半径为，即OA＝，所以AM＝＝＝1.在Rt△ADC中，AD＝AC·cos∠A＝2××＝.则MD＝AD－AM＝.。