新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1-230°45°60°角的三角函数值同步练习新版北师大版

新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1-230°45°60°角的三角函数值同步练习新版北师大版(三)[第一章 2 30°，45 °，60°角的三角函数值]一、选择题1．2018·大庆2cos60°＝( ) A ．1 B. 3 C. 2 D.122．计算sin 240°＋cos 240°的值为( ) A ．0 B.12C ．1D ．23．在△ABC 中，若∠C ＝90°，tan A ＝3，则sin B 的值为( )A .32 B .22 C .12 D .334．如图K －3－1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA 交于点B ，再以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ，则cos ∠AOC 的值为( )图K －3－1A .12B .33 C .22 D .325．如果在△ABC 中，∠A ，∠B 为锐角，且sin A ＝cos B ＝22，那么下列对△ABC 最确切的描述是( )A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形6．在△ABC中，∠A，∠B是锐角，且有|tan B－3|＋(2sin A－3)2＝0，则△ABC的形状是( )链接听课例2归纳总结A．等腰(非等边)三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．如图K－3－2，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长3 3 m，则鱼竿转过的角度是( )图K－3－2A．60°B．45°C．15°D．90°二、填空题8．点 M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是________．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 2，AC＝5 6，则∠A＝________°.10．如图K－3－3，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.图K－3－311．已知∠AOB＝60°，P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM＝4，则点P到点M与到边OB的距离之和的最小值是________．12．如图K－3－4，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则AB的长为________．图K－3－4三、解答题13．计算：(1)2017·期末sin30°－2cos230°＋(－tan45°)2018；(2)2017·一模cos245°＋cos30°2sin60°＋1－3×tan30°.链接听课例1归纳总结14．已知α为锐角，sin(α＋15°)＝32，求8－4cosα＋tanα＋(13)－1的值．15．如图K－3－5，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°.求树高．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)链接听课例3归纳总结图K－3－516．如图K－3－6，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2 m，CD ＝5.4 m，∠DCF＝30°，请你计算车位所占的宽度EF为多少米．(3≈1.73，结果精确到0.1 m)图K－3－6新定义题对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] A 2cos60°＝2×12＝1.故选A.2．[答案] C 3．[答案] C4．[解析] A 连接BC ，由题意可得：OB ＝OC ＝BC ，则△OBC 是等边三角形，故cos ∠AOC ＝cos60°＝12.故选A.5．[解析] C 根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A ，∠B 的度数．∵sin A ＝cos B ＝22，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形． 6．[解析] C 根据题意，得tan B －3＝0，2sin A －3＝0，∴tan B ＝3，sin A ＝32，∴∠B ＝60°，∠A ＝60°，故∠C ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．故选C.7．[解析] C ∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝3 26＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝3 36＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.故选C.8．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 [解析] ∵sin60°＝32，cos60°＝12，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.∵点M 关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标为其相反数，∴点M 关于x 轴对称的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12. 9．[答案] 30[解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 2，AC ＝5 6，∴tan A ＝5 25 6＝33，∴∠A ＝30°.故答案为30.10．[答案] 3011．[答案] 2 3[解析] 过点M 作MN ⊥OB ，MN 的长即为所求． ∵∠AOB ＝60°，OM ＝4，∴MN ＝4×sin60°＝2 3. 12．[答案] 3＋ 3[解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则△ACD 和△BCD 都是直角三角形． 在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴AD ＝AC ·cos A ＝2 3×32＝3，CD ＝AC ·sin A ＝2 3×12＝ 3.在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°，∴BD ＝CD ＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.13．[解析] 根据特殊角的三角函数值，可得答案． 解：(1)原式＝12－2×(32)2＋(－1)2018＝12－32＋1＝0.(2)原式＝(22)2＋322×32＋1－3×33＝12＋3－34－1＝1－34. 14．解：∵sin(α＋15°)＝32，α为锐角， ∴α＝45°，∴8－4cos α＋tan α＋(13)－1＝2 2－2 2＋1＋3＝4.15．解：由题意，得∠B ＝90°，∠D ＝30°，∠ACB ＝45°，DC ＝10米， 设AB ＝x 米，则CB ＝x 米，DB ＝3x 米， 所以3x ＝x ＋10，所以(3－1)x ＝10，所以x ＝103－1＝5 3＋5≈5×1.732＋5＝8.66＋5＝13.66≈13.7.答：树高约为13.7米． 16．解：在Rt △DCF 中，∵CD ＝5.4 m ，∠DCF ＝30°，sin ∠DCF ＝DF CD ＝DF 5.4＝12，∴DF ＝2.7 m.∵∠CDF ＋∠DCF ＝90°， ∠ADE ＋∠CDF ＝90°， ∴∠ADE ＝∠DCF ＝30°. ∵AD ＝BC ＝2 m ，cos ∠ADE ＝DE AD ＝DE 2＝32，∴DE ＝ 3 m ， ∴EF ＝DF ＋DE ≈2.7＋1.73≈4.4(m)．答：车位所占的宽度EF 约为4.4 m. [素养提升][解析] (1)按照题目所给的信息求解即可； (2)分三种情况进行分析：①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时；②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时；③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，根据题意分别求出m 的值即可．解：(1)由题意得sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝32， cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－12，sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝12.(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三角形的三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时，方程的两根为12，－12.将12代入方程，得4×(12)2－m ×12－1＝0，解得m ＝0，即方程为4x 2－1＝0.经检验，－12是方程4x 2－1＝0的根，∴∠A ＝30°，∠B ＝120°符合题意；②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时，方程的两根为32，32，不符合题意； ③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，方程的两根为12，32，将12代入方程，得4×(12)2－m ×12－1＝0，解得m ＝0，即方程为4x 2－1＝0.经检验，32不是方程4x 2－1＝0的根， ∴∠A ＝30°，∠B ＝30°不符合题意．综上所述，m ＝0，∠A ＝30°，∠B ＝120°.。