高等工程数学模拟考试试卷1
高数模拟习题集含参考答案
高等数学模拟题A ．上册：上册期中（一）一、试解下列各题： 1．求。
2．求。
3．设处连续，在处不连续，试研究在处的连续性。
4．求在上的最大值与最小值。
二、试解下列各题： 1．判断的奇偶性。
2．[5分]设，其中，求。
3．[5分]设，求。
4．[5分]验证罗尔定理对在上的正确性。
三、试解下列各题：1．[6分]设函数由方程所确定，且，其中是可导函数，，求的值。
2．求极限。
3．求的极值。
四、设圆任意一点M （点M 在第一象限）处的切线与轴，轴分别交于A 点和B 点，试将该切线与两坐标轴所围成的三角形AOB 的面积S 表示为的函数。
1cos cos 21cos 2cos 8lim223-+--→x x x x x π242320)1()1(limx x x x --+→0)(x x x f =在)(x g 0x )()()(x g x f x F +=0x x x x f +=2)(]1,1[-)11(11ln 11)(<<-+-+-=x x x e e x f x x )]1ln 1ln(1ln[x x x y ++=10<<x y 'x xy +-=11)(n y 1074)(23--+=x x x x f ]2,1[-)(x y y =)()(22y x f y x f y +++=2)0(=y )(x f 1)4(,21)2(='='f f 0=x dxdy xx x 10)(cos lim +→22)13()(e x x e x f x +++=-222a y x =+),(y x ox oy x五、用函数连续性“”的定义，验证函数在任意点处连续。
六、求极限七、求与的公切线方程。
八、证明：当时，。
九、]一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员的视线的倾角增加率为多少？ 参考答案：一、1．2。
高考数学模拟考试题1
高考数学模拟考试题1时量120分钟 总分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填在第II 卷指定的位置上）1．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，B={0，1，3}，则（ ） （A ）A ∪C U B=U （B ）CUA ∩B=∅ （C ）C U A ∩C U B=U （D ）C U A ∩C U B=∅2．已知函数y=f(x)的反函数为f －1(x)=2x+1，则f(1)等于（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）43．在等比数列{a n }中，a 1+a 2=1，a 3+a 4=9，那么a 4+a 5等于（ ） （A ）27 （B ）－27 （C ）81或－36 （D ）27或－274．在△ABC 中，∠A=60°，b=1，那个三角形的面积为3，则ABC 外接圆的直径是（ ）（A ）3392 （B ）3326 （C ）33 （D ）2295．[x]表示不超过x 的最大整数，（例如[5.5]=5，[－5.5]=－6），则不等式[x]2－5[x]+6≤0的解集是（ ）（A ）（2，3） （B ）[)4,2 （C ）[2，3] （D ）[2，4]6．抛物线y 2=4x 按向量e 平移后的焦点坐标为（3，2），则平移后的抛物线的顶点坐标为（ ） （A ）（4，2） （B ）（2，2） （C ）（－2，－2） （D ）（2，3）7．线段AB 的端点A 、B 到面a 的距离分别是30cm 和50cm ，则线段AB 中点M 到平面a 的距离为（ ） （A ）40cm （B ）10cm （C ）80cm （D ）40cm 或10cm8．已知映射f ：A →B ，其中A=B=R ，对应法则f ：y=－22x +2x+1，关于实数K ∈B ，在集中A 中不存在原象，则k 的取值范畴是（ ）（A ）k>1 （B ）k ≥1 （C ）k<1 （D ）k ≤19．圆x 2+y 2－2x －6y+9=0关于直线x －y －1=0对称的曲线方程为（ ）（A ）x 2+y 2+2x+6y+9=0 （B ）x 2+y 2－8x+15=0（C ）x 2+y 2－6x －2y+9=0 （D ）x 2+y 2－8x －15=0 2x (x ≤1)10．已知函数f(x)= ，则函数y=f(1－x)的图象是（ ） 21log x (x>1)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
中南大学高等工程数学试卷超全整理
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式*x x k-≤L -1ε； 2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ；3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ； 4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
(整理)高三数学模拟考试试题
新人教版高三数学模拟考试试题数学（理工类）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)·P(B). 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ２. 已知集合{}|21|1M x x =-<,{}|31x N x =>，则MN =A.∅B. {}|0x x <C.{}|1x x <D.{}|01x x <<3. 若02log <a )1,0(≠>a a 且，则函数()log (1)af x x =+的图像大致是A. B. C. D.4. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且24754a a a =⋅，2a =1，则1a =A.21B. 22C.2 D.25.已知变量x 、y 满足约束条件11y x xy y ≤⎧⎪+≤⎨≥-⎪⎩，则32z x y =+的最大值为A ．3-B 25C.5-D.46. 过点（0,1）且与曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为A ．012=+-y xB ．012=-+y xC ．022=-+y xD ． 022=+-y x7.右图给出的是计算111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是A ．10>iB ．10<iC ．11>iD ．11<i 8．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，只需把函数 x x y 2cos 2sin -=的图像A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位9. 关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥.其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =,则(107.5)f = A.10 B.110 C.10- D.110- 11．设点P 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率 A 5B 5C 10D 10 12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x xx x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是A ．2-<b 且0>cB ．2->b 且0<cC ．2-<b 且0=cD ．2-≥b 且0=cFDC A高三数学（理工类）试题第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 第Ⅱ卷共2页, 必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，不能写在试题卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案.13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n = ． 14．二项式6)2(xx -的展开式中的常数项为 ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和 BC 上，且3,3DC DE BC BF ==，若AC mAE nAF =+， 其中,m n R ∈，则m n += _________.16.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直 线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷 一点，若落在阴影部分的概率为163，则a 的值是 ． 三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-. （1）当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若36sin ,2,3===B b a ,求()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f (0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的取值范围.18.（本小题满分12分） BC已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面 互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，1=AB ,2=AD ，(1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小．19.（本小题满分12分）在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N *，都有121+=+n nn a a a ．（1）证明数列}1{na 为等差数列，并求}{n a 的通项公式； （2）设数列}{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求使得20111000>n T 的最小正整数n . 20.（本小题满分12分）济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率； （2）求A 中学分到两名教师的概率；（3）设随机变量X 为这五名教师分到A 中学的人数，求X 的分布列和期望． 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的短轴长为32，右焦点F 与抛物线x y 42=的焦点重合， O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点(4,0)D -，且满足DA DB λ=，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,83λ，求直线AB 的斜率的取值范围. 22.（本小题满分14分）已知函数()11ln )(2+-+=x p x p x f .（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当1=p 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：nn 131211)1ln(++++<+ )(*N n ∈.高三数学（理工类）参考答案一、选择题： 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8 .A 9.B 10.B 11.D 12.C 二、填空题：13. 81 14. 160- 15. 32 16. 23π三、解答题： 17．解：（1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-…………2分22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++ …………6分（2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=++32由正弦定理得sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以 …………………9分 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f --------------------12分 18、（1）证明：方法一：取EC 的中点F ，连接FM ，FN ，则BC FM //，BC FM 21=，BC AN //，BC AN 21= ………………………2分 所以BC FM //且BC FM =，所以四边形AMFN 为平行四边形，所以NF AM //， …………………………………4分 因为⊄AM 平面NEC ，⊂NF 平面NEC ，所以直线//AM 平面NEC ； …………………………………6分（2）解：由题设知面⊥ABCD 面ADE ，AD CD ⊥，ADE CD 面⊥∴又CDE CD 面⊂ ，∴面ADE CDE 面⊥，作DE NH ⊥于H ，则CDE NH 面⊥，作O EC HO 于⊥，连接NO ，由三垂线定理可知CE NO ⊥，∴HON ∠就是二面角D CE N --的平面角， …………………………………9分 在正ADE ∆中，可得23=NH ，在EDC Rt ∆中，可得1053=OH ，故在NHO Rt ∆中，315tan ==∠OH NH HON ， …………………………………11分所以二面角D CE N --的大小为315arctan…………………………………12分方法二：如图以N 为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,所以),0,1,0()1,1,0(),0,1,0(D B A -- ),21,21,23(),1,1,0(),0,0,3(),0,0,0(-M C E N …1（1）取EC 的中点F ，所以)21,21,23(F ， 设平面NEC 的一个法向量为)1,,(y x n =，因为)1,1,0(=NC ，)0,0,3(=NE 所以01=+=⋅y NC n ，03==⋅x NE n ；所以)1,1,0(-=n ， ……………3分因为)21,21,23(=AM ，0=⋅AM n ，所以AM n ⊥ ………………………5分 因为⊄AM 平面NEC ，所以直线//AM 平面NEC ………………………7分 （2）设平面DEC 的一个法向量为),,1(z y m =，因为)1,0,0(=DC ，)0,1,3(-=DE所以0==⋅z DC m ，03=-=⋅y DE m ；所以)0,3,1(=m ……………9分46223,cos -=⨯-=>=<m n ………………………………11分 因为二面角D CE N --的大小为锐角, 所以二面角D CE N --的大小为 46arccos ………………………………12分 19．解：(1)111=a ， 因为121+=+n n n a a a ，所以2111=-+nn a a ， ∴数列}1{na 是首项为1，公差为2的等差数列，………………………………………4分 ∴121-=n a n， B从而12-=n a n . …………………………………………………6分(2)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=+12112121)12)(12(11n n n n a a n n ………………… 8分所以13221++++=n n n a a a a a a T⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n 12+=n n……………………………………………10分 由2011100012>+=n n T n ，得111000>n ，最小正整数n 为91. …………………12分 20.解：（1）设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A ，基本事件总数N=223335335312C C A C A +. 所以P （A ）=23133333223335335312C A C A C C A C A ++=625. ----------4分 （2）设A 中学分到两名教师为事件B ，所以P （B ）=222532223335335312C C A C C A C A +=25. ------8分 （3）由题知X 取值1，2，3.P （X =1）=12232542422233353353(71152C C C C A C C A C A +=+， P （X =2）=25,P （X =3）=2252223335335321152C A C C A C A =+. 所以分布列为3=EX -------------------------12分21. 解:（1）由已知得2,1,3===a c b ，所以椭圆的方程为13422=+y x ………4分 （2）∵DA DB λ=,∴,,D A B 三点共线,而(4,0)D -,且直线AB 的斜率一定存在，所以设AB 的方程为(4)y k x =+，与椭圆的方程22143x y +=联立得 222(34)24360k y ky k +-+=由0)41(1442>-=∆k ，得412<k . …………………6分 设),(),,(2211y x B y x A ， 21212222436,3434k k y y y y k k+=⋅=++ ① 又由DA DB λ=得: 1122(4,)(4,)x y x y λ+=+ ∴ 21y y λ= ②.将②式代入①式得:22222224(1)343634k y k k y k λλ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去2y 得:2216(1)1234k λλλλ+==+++ …………………9分 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,83λ时, 21)(++=λλλh 是减函数, 24121)(29≤≤∴λh , ∴241214316292≤+≤k ,解得365484212≤≤k , 又因为412<k ，所以365484212≤≤k ,即222165-≤≤-k 或652221≤≤k ∴直线AB 的斜率的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2221,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,2221 …………12分 22解：（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()()()xpx p x p x p x f +-=-+=2'1212…2分当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增；当0≤p 时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调递减；……………4分当-1＜p ＜0时，令'()f x =0，解得()12--=p px .则当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p px 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--,12p p单调递减. …………6分 （2）因为0>x ，所以 当1=p 时，kx x f ≤)(恒成立xxk kx x ln 1ln 1+≥⇔≤+⇔令x xx h ln 1)(+=，则max )(x h k ≥, ……………8分 因为2ln )('x xx h -=，由0)('=x h 得1=x ，且当)1,0(∈x 时，0)('>x h ；当),1(+∞∈x 时，0)('<x h .所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减.所以1)1()(max ==h x h ，故1≥k ……………………10分（3）由（2）知当1=k 时，有x x f ≤)(，当1>x 时，x x f <)(即1ln -<x x ，令n n x 1+=，则n n n 11ln <+，即n n n 1ln )1ln(<-+ …………12分 所以1112ln <，2123ln <，…，n n n 11ln <+，相加得nn n 12111ln 23ln 12ln ++<+++而)1ln(12312ln 1ln 23ln 12ln+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅=+++n n n n n 所以nn 131211)1ln(++++<+ ，)(*N n ∈.……………………14分高三模拟考试高三数学（文史类）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数3()2f x x =的图像Ａ．关于y 轴对称 Ｂ．关于x 轴对称 Ｃ．关于直线y=x 对称 Ｄ．关于原点对称2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A ． 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ． 若l α⊥，l m //，则m α⊥C ． 若l α//，m α⊂，则l m //D ． 若l α//，m α//，则l m // 3．若()()()()b m a b a b a -+-==//2,0,3,2,1，则=m A ．12-B ．12C ．2D ．2- 4．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用 茎叶图表示（如图）1s ，2s 分别表示甲、乙选手分数的标 准差，则1s 与2s 的关系是（填“>”、“<”或“＝”） A ．12s s >B ．12s s =C ．12s s <D ．不确定5．若集合22{|1},{|log (2)}A y y x B x y x ==+==+，则C B A =Ａ．(2,1)- Ｂ． (2,1]- Ｃ．[2,1)- Ｄ．以上都不对高三数学（文史类）试题 第1页（共4页）6．要得到函数sin(2)3y x π=+的图像可将x y 2sin =的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度7．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为4π. 则该几何体的俯视图可以是第4题图第7题图8．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示 该函数在区间(]1,2-上的图像,则(2011)(2012)f f += A ．3 B ．2 C ．1 D ．09．数列{}n a 的前n 项和为S n ，若2217n S n n =-，则当S n 取得最小值时n 的值为Ａ．4或5 Ｂ．5或6 Ｃ．4 Ｄ．510．“3a =”是“直线4y x =+与圆()()2238x a x -+-=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11．已知变量x 、y 满足约束条件y x x y 1y 1≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32z x y =+的最大值为Ａ．3- Ｂ．52Ｃ．5- Ｄ．4 12．在命题p 的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为()f p ，已知命题p ：“若两条直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=”．那么()f p = Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个高三数学（文史类）试题 第2页（共4页）高三数学（文史类）试题第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 第Ⅱ卷共2页, 必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先.划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案.13．已知复数z 满足(34)5i z i -=，则||z = ； 第8题图14．执行右边的程序框图，输出的y = ；15．若2(1)()1()(1)2xx x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩， 则((2))f f = ； 16．若函数2()log (1)1f x x =+-的零点是抛物线2x ay =焦点的横坐标，则=a ．三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知向量(3sin cos ,1)m x x =-，1(cos ,)2n x =，若()f x m n =⋅． (1) 求函数)(x f 的最小正周期；(2) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且33,()2122C c f =+=π （C 为锐角），2sin sin A B =，求C 、a b 、的值． 18.(本小题满分12分)设数列{}n a 是一等差数列，数列{}n b 的前n 项和为2(1)3n n S b =-，若2152,a b a b ==． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n b 的前n 项和n S ．高三数学（文史类）试题 第3页（共4页）19.（本小题满分12分）某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 . （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知96,96≥≥z y ，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率. 20.（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，⊥AD 平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC , 2====DG DE AD AB ．（1）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ；第一批次 第二批次第三批次女教职工 196 x y 男教职工204156 z（2）求证：BF ∥平面ACGD ； （3）求三棱锥A BCF -的体积． 21.（本小题满分12分）设椭圆M ：22221y x a b +=(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线122=-y x 的离心率互为倒数，且内切于圆422=+y x ．（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线m x y +=2交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点(1,P ，求△P AB 面积的最大值． 22.(本小题满分14分)已知函数32()212f x mx nx x =+-的减区间是(2,2)-． ⑴试求m 、n 的值；⑵求过点(1,11)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；⑶过点A （1，t ）是否存在与曲线()y f x =相切的3条切线，若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．高三数学（文史类）试题 第4页（共4页）高三数学（文史类）参考答案一、选择题：1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ａ 6．Ｂ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｃ 10．Ａ 11．Ｄ 12．Ｂ 二、填空题：13．１ 14．7 15．11616．14三、解答题17．.解 ：(1)21()3sin cos cos 2f x m n x x x =⋅=-+…………………２分1cos 212222x x +=-+12cos 222x x =-sin(2)6x π=- …………………４分 ∴ ()f x 的最小正周期为π. …………………６分（2）∵ ()sin 0,21223C f C C C πππ+==<<∴=……………………８分∵ 2sin sin A B =．由正弦定理得2,b a =① ……………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-， ② ……………………10分解①②组成的方程组，得a b ⎧=⎨=⎩……………………12分18．解：⑴11112(1),23S b b b =-=∴=-，又 2212222(1)2,43S b b b b b =-=+=-+∴=，∴ 252,4a a =-=， ……………2分 ∵{}n a 为一等差数列，∴公差526233a a d -===， ……………4分 即2(2)226n a n n =-+-⋅=-． ……………6分⑵ ∵112(1)3n n S b ++=- ①，2(1)3n n S b =- ②, ①—②得 1112()3n n n n n S S b b b +++-=-=， 12n n b b +∴=-， ……………9分∴数列{}n b 是一等比数列，公比12,2q b =-=-，即(2)n n b =-.∴()[]1232--=n n S ． ……………………………………12分 19．解: (1)由16.0900=x,解得144=x . ……………3分(2)第三批次的人数为200)156144204196(900=+++-=+z y ,设应在第三批次中抽取m 名，则90054200=m ，解得12m =. ∴应在第三批次中抽取12名. ……………6分 （3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ，由（2）知200,(,,96,96)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：),99,101(),100,100(),101,99(),102,98(),103,97(),104,96()96,104(),97,103(),98,102(，共9个，而事件A 包含的基本事件有：(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共4个，∴4()9P A =. ……………………………………12分 20．解:（1）∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC 平面AB ADEB =,平面DEFG 平面DE ADEB =DE AB //∴.AB DE =DE AB = ,∴ADEB 为平行四边形，AD BE //. …………2分⊥AD 平面DEFG ,⊥∴BE 平面DEFG ， ⊂BE 平面BEF ,∴平面⊥BEF 平面DEFG . …………4分（2）取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ， 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴FM DE //，又∵DE AB //， ∴FM AB // …………………………6分 ∴四边形ABFM 是平行四边形，即AM BF //， 又BF ⊄平面ACGD 故 BF ∥平面ACGD . …………………………8分 （3） 平面ABC ∥平面DEFG ，则F 到面ABC 的距离为AD .13A BCF F ABC ABCV V SAD --==⋅⋅＝112(12)2323⋅⋅⋅⋅=.…………………………12分 21．解：（12，则椭圆的离心率为2c e a == ……………2分 ,424422==+a y x ，则的直径为圆得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===2222242c a b a ca ⇒⎪⎩⎪⎨⎧===222bc a所求椭圆M 的方程为22142y x +=． ………………………………………6分 (2 ) 直线AB 的直线方程：2y x m =+.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x mx y ，得2242240x mx m ++-=，由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m∵122x x +=，21244m x x -= . ∴2121212||12|3()4AB x x x x x x =+-=+-2221343422m m m =-+=-………………………………………9分 又P 到AB 的距离为3||m d =.则1||2ABCS AB d ∆==== 22(8)2m m +-≤=当且仅当2(m =±∈-取等号∴max ()ABC S ∆= ………………………………………………12分22．解：⑴ 由题意知：2()34120f x mx nx '=+-<的解集为(2,2)-，所以，-2和2为方程234120mx nx +-=的根， ………………2分 由韦达定理知 4120433n ,m m-=--=，即m=1，n=0． ………………4分 ⑵ ∵3()12f x x x =-，∴2()312f x x '=-，∵3(1)112111f =-⋅=-当A 为切点时，切线的斜率 (1)3129k f '==-=-，∴切线为119(1)y x +=--，即920x y ++=； ………………6分当A 不为切点时，设切点为00(,())P x f x ，这时切线的斜率是200()312k f x x '==-，切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =--因为过点A （1，-11）， 2300113(4)2x x -=--，∴32002310,x x -+=200(1)(21)0x x -+=，∴ 01x =或012x =-，而01x =为A 点，即另一个切点为147(,)28P -， ∴ 1145()312244k f '=-=⨯-=-，切线方程为 4511(1)4y x +=--，即 45410x y +-=………………8分所以，过点(1,11)A -的切线为920x y ++=或45410x y +-=． …………9分 ⑶ 存在满足条件的三条切线． …………10分设点00(,())P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为 000()()()y f x f x x x '-=-即23003(4)2y x x x =--因为其过点A （1，t ），所以，233200003(4)22312t x x x x =--=-+-，由于有三条切线，所以方程应有3个实根， …………………………11分设32()2312g x x x t =-++，只要使曲线有3个零点即可． 设 2()66g x x x '=-=0， ∴ 01x x ==或分别为()g x 的极值点， 当(,0)(1,)和x ∈-∞+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和 (1,)+∞上单增， 当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单减， 所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩即120110t t +>⎧⎨+<⎩，解得 1211t -<<-. …………14分高三数学（文史类）参考答案 第1页（共页）。
2020学年高考模拟考试吉林省长春市高数第一次模考理科试卷 含解析
2020届高考数学第一次模拟考试理科试卷一、选择题1．已知集合A＝{x||x|≥2}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＞3，或x≤﹣2}C．{x|x＞3，或x＜0} D．{x|x＞3，或x≤2}2．复数z＝2i2+i5的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．已知直线x+y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，则b＝（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．5．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0 B．1 C．2 D．36．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．7．已知a，b，c为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是（）①a⊥α，b⊥α，则a∥b②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β③a∥α，b∥α，则a∥b④α∥γ，β∥γ，则α∥βA．①②③B．②③④C．①③D．①④8．已知数列{a n}为等比数列，S n为等差数列{b n}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6，则S11＝（）A．44 B．﹣44 C．88 D．﹣889．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin（ωx+φ）的图象（部分图象如图所示），则y＝f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2+x）+f（x）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[4，6]时，y＝f（x）的最小值为（）A．﹣8 B．﹣1 C．0 D．111．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（）A．B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜﹣1 C．m＞﹣1 D．m≥1二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（2x3﹣）8的展开式中常数项是．（用数字表示）14．边长为2正三角形ABC中，点P满足，则＝．15．平行四边形ABCD中，△ABD是腰长为2的等腰直角三角形，∠ABD＝90°，现将△ABD 沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为．16．已知数列{a n}的前项n和为S n，满足，且，则S2n＝，a n＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A（a＞b）．（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若c＝10，求△ABC的周长的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2DC＝2，E 为PB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小．19．某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．20．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，点P（1，2），求|PA|•|PB|的值．23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥x+1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为M，设a＞0，b＞0，且（a+1）（b+1）＝M，求a+b的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x||x|≥2}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＞3，或x≤﹣2}C．{x|x＞3，或x＜0} D．{x|x＞3，或x≤2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤﹣2，或x≥2}，B＝{x|x＜0，或x＞3}，∴A∩B＝{x|x≤﹣2，或x＞3}．故选：B．2．复数z＝2i2+i5的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：∵z＝2i2+i5＝﹣2+i，∴，其对应点为（﹣2，﹣1），在第三象限．故选：C．3．已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．解：∵，，，∴c＜a＜b．故选：C．4．已知直线x+y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，则b＝（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．【分析】由圆心到切线的距离等于圆的半径列式求解b．解：圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2的圆心坐标为（1，b），半径为．由圆心到切线的距离等于半径，得，∴|1+b|＝2，解得b＝1或b＝﹣3．故选：C．5．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由散点图中各点分布情况和R2的值，判断①正确；由回归直线方程判断②正确；由回归直线方程计算x＝7时的值，判断③正确．解：由散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又R2＝0.9817趋近于1，所以相关性较强，所以①正确；由回归直线方程，知②正确；由回归直线方程知，当x＝7时，计算得＝13.743×7+3095.7＝3191.9，其估计值为3191.9≈3192，所以③正确；综上知，正确的命题个数为3．故选：D．6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．【分析】由题意知S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设S1与S2所在扇形圆心角分别为α、β，列出方程组求出即可．解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则，又α+β＝2π，解得．故选：A．7．已知a，b，c为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是（）①a⊥α，b⊥α，则a∥b②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β③a∥α，b∥α，则a∥b④α∥γ，β∥γ，则α∥βA．①②③B．②③④C．①③D．①④【分析】由线面垂直的性质定理可判断①；由面面的位置关系可判断②；由线面平行的定义和线线的位置关系可判断③；由面面平行的传递性可判断④．解：对于①，a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理可得a∥b，故①正确；对于②，α⊥γ，β⊥γ，可能α∥β或α，β相交，故②错误；对于③，a∥α，b∥α，可能a∥b或a，b相交或a，b异面，故③错误；对于④，α∥γ，β∥γ，由面面平行的性质可得α∥β，故④正确．故选：D．8．已知数列{a n}为等比数列，S n为等差数列{b n}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6，则S11＝（）A．44 B．﹣44 C．88 D．﹣88【分析】由已知结合等比数列的性质求得a6＝4，进一步得到b6＝a6＝4，再由等差数列的前n项和求S11．解：在等比数列{a n}中，由a2＝1，a10＝16，得，得a6＝4，∴b6＝a6＝4，在等差数列{b n}中，有S11＝11b6＝44．故选：A．9．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin（ωx+φ）的图象（部分图象如图所示），则y＝f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得函数的解析式，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：根据y＝2sin（ωx+φ）的图象可得2sin（ω•0+φ）＝1，故φ＝．再根据五点法作图，ω•+＝2π，求得ω＝2，可得．∵把的图象上点的横坐标变为原来的，可得函数y＝f（x）＝2sin（4x+）图象，故选：C．10．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2+x）+f（x）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[4，6]时，y＝f（x）的最小值为（）A．﹣8 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据题意，分析可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，结合函数的解析式与奇偶性分析可得f（x）在区间[4，6]上的解析式，据此分析可得答案．解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（2+x）+f（x）＝0，即f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，且f（x）是定义在R上的奇函数，则x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣2x，又由f（x）是周期为4的周期函数，则当x∈[4，6]时，f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝x2﹣10x+24，此时f（x）的最小值为f（5）＝﹣1；故选：B．11．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（）A．B．2 C．3 D．4【分析】由椭圆方程求得抛物线焦点坐标，得到p，再由已知结合抛物线焦半径公式求得|AF|、|BF|的值，则答案可求．解：∵椭圆的右焦点为（1，0），∴，得p＝2，又过F的直线的倾斜角为60°，＝，＝，∴＝．故选：C．12．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜﹣1 C．m＞﹣1 D．m≥1【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，令y＝f（x），与y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在上递减，在上递增，当x＞2时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣1，，f（2）＝0，∵f'（1）＝﹣1，∴m＞﹣1，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（2x3﹣）8的展开式中常数项是112 ．（用数字表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．解：（2x3﹣）8的展开式的通项为：T r+1＝C8r（2x3）8﹣r（﹣）r＝28﹣r（﹣1）r C8r x24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3﹣）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112．14．边长为2正三角形ABC中，点P满足，则＝ 2 ．【分析】由平面向量基本定理及线性运算，将，作为平面向量的一组基底，再结合平面向量线性运算即可得解．解：因为点P满足，所以＝（）•＝[（）﹣]•（）＝（﹣）•（）＝2+2﹣＝×22+×22﹣2×＝2故答案为：2．15．平行四边形ABCD中，△ABD是腰长为2的等腰直角三角形，∠ABD＝90°，现将△ABD 沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为20π．【分析】由题意画出图形，找出多面体外接球的球心，求其半径，再由球的表面积公式求解．解：取AD，BC的中点分别为O1，O2，过O1作面ABD的垂线与过O2作面BCD的垂线，两垂线交点O即为所求外接球的球心，取BD中点E，连结O1E，O2E，则∠O1EO2即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，且O1E＝O2E＝1，连OE，在Rt△O1OE中，，在Rt△O1OA中，，得，即球半径为，∴球面积为＝20π．故答案为：20π．16．已知数列{a n}的前项n和为S n，满足，且，则S2n＝，a n＝．【分析】①直接利用数列的递推关系式的应用求出前n项和．②利用递推式求出结果．解：①由得＝．∴S2n＝++…+＝．②由递推得，，，归纳可得a n＝．理由：当n＝1时，a1＝﹣；设n＝k时a k＝（﹣1）k+，n＝k+1时，由a k+a k+1＝，可得a k+1＝﹣（﹣1）k﹣＝+（﹣1）k+1，即n＝k+1时，等式也成立．综上可得a n＝．故答案为：，．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A（a＞b）．（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若c＝10，求△ABC的周长的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得sin B＝cos A，结合a＞b，可得，即可得解△ABC是直角三角形；（Ⅱ）利用两角和的正弦函数公式可求△ABC的周长，由a＞b 可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可求其范围．解：（Ⅰ）证明：由a＝b tan A，可得，即sin B＝cos A，由a＞b，可得，即△ABC是直角三角形．（Ⅱ）△ABC的周长L＝10+10sin A+10cos A，所以，由a＞b可知，，因此，即．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2DC＝2，E 为PB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小．【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，EM，证明四边形EMDC是平行四边形，然后证明CE∥平面PAD；（Ⅱ）以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，取平面ABCD的法向量．求出平面CDE的法向量，然后求解二面角的大小即可．解：（Ⅰ）取PA中点M，连结EM、DM，．（Ⅱ）以A为原点，以AD方面为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立坐标系．可得D（2，0，0），C（2，1，0），P（0，0，4），B（0，2，0），E（0，1，2），，，设平面CDE的法向量为；，可得，令z＝1，则x＝1，∴平面CDE的法向量为；平面ABCD的法向量为；因此．即平面CDE与平面ABCD所成的锐二面角为．19．某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果．（Ⅱ）该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，分别求出P（X＝30），P（X＝35），P （X＝40），P（X＝45），P（X＝50），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，该考生选择题得50分的概率为：P（A）P（A）P（B）P（B）＝＝．（Ⅱ）该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P（X＝30）＝＝，P（X＝35）＝＝，P（X＝40）＝+＝，P（X＝45）＝＝，P（X＝50）＝＝，∴X的分布列为：EX＝＝．20．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【分析】（Ⅰ）判断P的轨迹是椭圆，然后求解求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，经验换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程．解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且2a＝4，c＝1．所以b＝，因此椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，可得，即，．△AOB面积可表示为＝令，则u≥1，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，点P（1，2），求|PA|•|PB|的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，根据一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线普通方程为x+y﹣3＝0，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．转换为圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣3＝0．（Ⅱ）联立直线l的参数方程（t为参数）代入圆C的直角坐标方程可得，化简可得．（t1和t2为A、B对应的参数）则|PA|•|PB|＝|t1t2|＝2．23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥x+1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为M，设a＞0，b＞0，且（a+1）（b+1）＝M，求a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≥x+1，分别解不等式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）的最大值M＝4，然后根据（a+1）（b+1）＝M＝4，可得，解不等式可得a+b的最小值．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|＝．∵f（x）≥x+1，∴当x＜﹣3时，﹣4≥x+1，∴x≤﹣5，因此x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，2x+2≥x+1，∴x≥﹣1，因此﹣1≤x≤1；当x＞1时，4≥x+1，∴x≤3，因此1＜x≤3，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，3]；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）max＝4，∴（a+1）（b+1）＝M＝4，∴ab+a+b＝3．又∵a＞0，b＞0，∴，∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0，∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍），当且仅当a＝b＝1时取等号，∴a+b的最小值为2．。
高等数学(工本)模拟试卷(12345)及答案
高等数学（工本）模拟试卷(一)及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1:参考答案：A2:参考答案：DA:充分而不必要的条件B:必要而不充分的条件C:充分且必要的条件D:既非充分条件又非必要条件3:参考答案：CA:发散B:绝对收敛C:条件收敛D:无法判断4:参考答案：C5:参考答案：B参考解析：本题考查三重积分的性质二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1:参考答案：2:参考答案：3:参考答案：4:参考答案：π(f(a)-f(0))5:参考答案：三、计算题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1:2:3:4:5:6:求内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高.7:8:9:10:11:12:四、综合题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分)1:2:3:高等数学（工本）模拟试卷(二)及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1:参考答案：D2:参考答案：C3:参考答案：A4:参考答案：A5:参考答案：A二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1:参考答案：1-sin12:参考答案：2x+y-4=03:参考答案：4:参考答案：5:参考答案：设α={2,-3,1},β={1,-1,3},则以α、β为邻边的平行四边形的面积S=_____.三、计算题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1:2:3:求与三个点A(3，7，-4)，B(-5，7，-4)，C(-5，1，-4)的距离都相等的点的轨迹. 4:5:6:设|α+β|=|α-β|,α={3,y,8},β={-1,1,1},求y.7:求经过点P(3，0，-1)，平行于平面π:3x-7y+5z-12=0的平面方程.8:9:10:11:12:四、综合题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分)1:验证4sinxsin3ycosxdx-3cos3ycos2xdy在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y).2:3:高等数学（工本）模拟试卷(三) 及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
武大高等工程数学试题（论文资料）
高等工程数学模拟题1． 求矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41130 1621A 的Jordan 标准型及相似变换矩阵。
2． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1 010 21103A ，求可逆阵P ，使AP P 1-为Jordan 阵。
3． 求I A A A A A g ++--=232)(345其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 000 21002A 4． 讨论级数kk kak∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1124 1（0>a ）的敛散性。
5．⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A ，求Ae ，A sin ，A cos 。
6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1711A ，求A ln 。
7．（1）证明向量微分方程)()(t X A t X dtd ⋅=的通解为be t X At⋅=)(，b 为任意常数向量。
（2）求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=212211232xx dtdx x x dtdx 的通解。
8．设线性变换T 在基[][]{}TT 1,1,1,121-==αα的矩阵表示是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101A 。
（1）求T 在基[][]{}TT1,1,0,121-==εε下的矩阵表示。
（2）求T 的核与值域。
（3）求T 的特征值与特征向量。
9．设12,,n X X X 是总体的一组样本，12,,n x x x 为相应的样本值。
求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的二阶矩估计量。
（1）(1),()0,c x x cf x others θθθ-+⎧>==⎨⎩其中0c >为已知，1θ>，θ为未知参数。
（2）1,01()0,x f x others≤≤=⎪⎩其中0θ>，θ为未知参数。
（3）()(1),0,1,2,,,01,x xm x m P X x C p p x m p p -==-=<< 为未知参数。
注：泊松定理：lim (1)()!k kk n knn e C p p np k λλλ--→∞-==10．设某种电子器件的寿命（以小时计）T 服从双参数的指数分布，其概率密度为：()1,()0,t c et c f t othersθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其中,(,0)c c θθ>为未知参数自一批这种器件随机地取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为12n x x x ≤≤≤ ，求θ与c 的极大似然估计。
《高等工程数学》试卷
《高等工程数学》试题注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记；3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u ===一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ⨯的基：1001000000001001⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，，B 及线性变换Tx Px =，其中220110P x R ⨯⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，.则T 在基B 下的矩阵为A =.2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示）． 3．设21111301021i 0A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞⋅=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116kk kc kc ∞=⎡⎤⎢⎥-⎣⎦∑收敛. 5．对称阵321220103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的Cholesky 分解为A =.6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，，，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4211025()()i i i i i i X Y c X Y ==-⋅-∑∑服从F 分布．7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为ˆ N=. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥.学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）……………………………………密………………………………………封………………………………………线……………………………………9．某城市在一项有关医疗保健的社会调查中，为了了解喜欢吃甜食的人群是否与性别有关， 随机访问了1179位人，调查结果如下表所示若检验假设0:H 喜欢吃甜食与性别无关， 1:H 喜欢吃甜食与性别有关则依据所给数据，算得皮尔逊2χ统计检验量观察值2ˆ χ=. 10.为了分析学生的学习情况，考察了某班级全部学生数学1x 与英语2x 两门课程的考试成 绩，算得样本相关矩阵为10.36.0.361R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则第一样本主成分1y 的贡献率为 .二、(10分) 利用Householder 变换求方阵212204031A ⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的QR 分解.解三、(10分) 设00ξη，是欧氏空间n V 的两个非零向量，12c c ，是两个常数. n V α∀∈定义变换T ：100200.T c c ααξξαηη=〈〉+〈〉，，(1) 证明T 是线性变换；(2) 设12{}n εεεε=，，，B 是n V 的标准正交基，且00ξη，在εB 下的坐标分别为00x y ，，即有0000 (x y εεηξ==，B B 其中010*********).n n n x y x y x y R x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试求T 在基εB 下的矩阵A ； (3) 证明T 是对称变换.解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）……………………………………密…………………………………封………………………………………线……………………………………四、(10分) 设矩阵2010201202A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(1)求A的最小多项式()Amλ和Jordan标准形；(2)计算方阵函数 ((,)).e At t∈-∞+∞解五、(10分) 设4111101234001231A b x R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，． (1) 求A 的极大线性无关列及A 的满秩分解；(2) 证明方程组Ax b =不相容，并求Ax b =的极小范数最小二乘解．解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………六、(10分) 设总体X 的密度函数为| |1()e ()2x f x x σσσ-=-∞<<∞;，其中0>σ为未知参数．12n X X X ，，，是来自总体X 的样本．(1) 试求σ的极大似然估计量σˆ； (2) 证明σˆ为σ的最小方差无偏估计量． 解七、(10分) )研究所从某厂定购了一批原料,已知该原料每瓶的杂质含量2~()X N μσ，(单位：毫克)，已知02σ=(毫克).若整批原料每瓶杂质的平均含量低于20(毫克)则视为合格，现从该批原料中随机抽取了25瓶进行检测，计算得18.8x =(毫克).(1) 问在显著性水平0.01α=下，能否认为该批原料是合格的？(2) 若厂方要求：当每瓶杂质平均含量低于19(毫克)时，II 类风险不超过0.1β=，试问至少要抽样多少瓶？ 解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………八、(10分) 设有线性线性回归模型20122123451(2)12345~(0).i i i iy x x i N βββεεεεεεεσ⎧=++-+⎪=⎨⎪⎩，，，，，，，，，独立同分布， 其中1234521012x x x x x =-=-===，，，，是已知的观测值． 1）求参数012βββ，，的最小二乘估计012ˆˆˆβββ，，； 2）并判别012ˆˆˆβββ，，是否独立，为什么？。
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中南大学专业硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）
考试日期：2014年 月 日 时间100分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
（1）如果71
12232
61,3531133
4
4Ax b A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
， A ∞= ，利用Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组是否收敛 ；
（2）利用迭代法求解非线性方程2()30x f x x e =+=的根，取初值00.5x =-。
给出一个根的存在
区间 ，在该区间上收敛的迭代函数为 ；
（3）在一元线性回归模型中，试写出三个影响预测精度的主要因素 ； （4）已知)(x f y =通过点(,),0,1,2,
,i i x y i n =，则)(x f 的三次样条插值函数)(x S 在每个小区间
],[1i i x x -上是次数不超过 次的多项式函数，在整个区间上二阶导函数连续且满足插值条件；
（5）已知)(x f y =通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其Lagrange 插值基函数=)(3x l ；
（6）总体1210~(3,4),(,,
,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X .，
（7）算法2
121212),(x x x x x f y +==，已知1x 和2x 的绝对误差分别为)(1x ε和)(2x ε，则
=)(y ε ；
（8）已知)(x f y =通过点3,2,1,0),,(=i y x i i ，则其Lagrange 插值基函数=)(1x l 。
二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下
选用适当的方法求三次插值多项式，以计算)5.0(-f 的近似值，给出相应的误差估计。
三、（本题16分）已知某工厂计划生产I ，II ，III 三种产品，各产品需要在A ，B ，C 设备上加工，有关数据见下表。
（1）如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大？建立数学模型； （2）利用单纯形法求解所建立的模型（要求计算过程和结果）； （3）写出所建立数学模型的对偶形式。
四、（本题12分）设方程组为 1234102030
101212431001034x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（1）利用雅可比（Jacibi ）迭代格式进行迭代计算求近似解， 取初始值0(0.00,0.00,0.00,0.00)T X = ,保留2位小数，迭代2次；
（2）利用矩阵LU 直接分解方法求准确解。
五、（本题14分）某种食品在处理前后含脂率样本数据如下： 处理前： 0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.27
处理后： 0.15 0.13 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12
假定处理前后的含脂率均服从正态分布,（1）试问处理前后的含脂率的方差没有显著变化)05.0(=α
（2）求处理前后的含脂率的均值差的95%的置信区间； 六、（本题10分）定积分
⎰
b
a
dx x f )(在将区间],[b a 逐次分半的过程中用复合梯形公式计算的近似值如下：
请根据表中数据计算
⎰
b
a
dx x f )(精度足够高的近似值。
七、（本题12分）为了比较3种松树在4个不同的地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选取5株，测量它们的胸径，得到了如下的数据
（2）树种和地区对树的胸径有无显著影响，取。