常微方程复习

常微分方程
1．变量分离方程、变量变换
)()(y g x f = 若0)(≠y g ，则有
dx x f y g dy )()(=，所以，c dx x f y g dy
+=⎰⎰)()
( 另外，0)(0=y g ，0y y =也是解。

)(x
y g = 令，
u x
y
=，则原方程化为x u u g dx du -=)(，是变量可分离方程，求其通解后，再将u 换为
x
y
，得到原方程的通解。

另外，若00)(u u g =，x u y 0=也是解。

)(2
221
11c y b x a c y b x a g ++++= （1） 若021==c c ，则
)()//(2211x
y h x y b a x y b a g dx dy =++=是齐次方程 （2） 若
k b b a a ==2121，则)())((222
221
22y b x a h c y b x a c y b x a k g dx dy +=++++=。

令，u y b x a =+22，则
)(2u h a dx
du
+=是变量分离方程 （3） 若
0221
1≠b a b a ，则，令，⎩⎨
⎧-=-=βα
y Y x X ，其中，),(βα满足 ⎩⎨
⎧=++=++00222
111c y b x a c y b x a ，原方程化为)()//(2211X Y
h X Y b a X Y b a g dX dY =++=
2．一阶线性微分方程
y x P )(=
通解（全部解）⎰
=dx
x P ce y )(
)()(x Q y x P += 通解（全部解）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰+⎰
=⎰-dx e x Q c e y dx x P dx
x P )()()(，常数变易法
n y x Q y x P )()(+= 令，n y z -=，原方程化为
)()1()()1(x Q n z x P n dx
dz
-+-=再用一阶非齐次线性方程的方法来解决。

（4） 可以用简单变量代换法求解的方程：
可化为齐次方程的方程：形如
的方程就是可化为齐次方程。

令βα+=+=Y y X x ,,所以dx=dX , dy=dY 有： 为了使前式为齐次方程；则令： ， 和 求出 如果 则可以求出这时 ; 如果
则:
则有： 令Z=ax+by, 则有
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=1c Z c Z bf a dx dZ
λ，最后用可分离变量的方程来做。

3，二阶线性微分方程
（1）可降阶的二阶微分方程
这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后
用前一节介绍的方法来求解． 1．()y f x ''=型
方程
()y f x ''= （1） 是最简单的二阶微分方程，它的特点是y ''仅是x 的函数，只要把y '当作新的未知函数，就得到一个一阶微分方程，即
()()y f x ''= 两边积分，得1
()y f x dx C
'=
+⎰ ，两边再积分，即连续积分两次就能得到方程（1）的通
解．
同理，对于方程
)()
(x f y n =， （2）
只要连续积分n 次，即可得到含有n 个任意常数的通解．
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=111
c y b x a c by ax f dx dy
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++++++=11111
c b a Y b X a c b a bY aX f dX dY
βαβα0=
++c b a βα0
1
1
1
=++c
b a βα01
1
≠-a b b a βα,β
α,0
11=-a b b a λ==b
b
a a 11⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛++++=
1)(c by ax c by ax f dx dy
λ
２．),(y x f y '=''型 方程
),(y x f y '='' (3)
的右边不显含未知函数y ．如果设)(x p y ='，
那么
,p dx
dp y '=='' 因而方程(3)就变为
),(p x f p ='．
这是一个关于变量p x ,的一阶微分方程，可以用前一节所介绍的方法求解．
３．),(y y f y '=''型 方程
),(y y f y '=''
(4) 中不显含自变量x ．为了求出它的解，我们令)(y p y ='，利用复合函数的求导法则，把y ''化为对y 的导数，
即 dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==
''． 于是方程(4)就变为 ),(p y f dy
dp
p =． 这是一个关于变量p y ,的一阶微分方程．设它的通解为 1(,)y p y C ϕ'==， 分离变量并积分，得方程(4)的通解为
⎰+=21),(C x C y dy
ϕ
（2）二阶常系数线性微分方程
定义１ 方程
)(x f qy y p y =+'+''．
(5)
叫做二阶常系数线性微分方程，其中p 、q 是常数．当0)(≡x f 时，方程（5）叫做二阶常系数线性齐次微分方程．当()f x ≠0时，方程叫做二阶常系数线性非齐次微分方程．
1求二阶常系数线性齐次微分方程 0=+'+''qy y p y 的通解的步骤如下：
(1) 写出方程对应的特征方程02=++q pr r ； (2) 求出特征方程的两个根1r 与2r ；
(3) 根据两个特征根21,r r 的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：
2．二阶常系数线性非齐次微分方程的通解
定理 设*y 是二阶常系数线性非齐次方程
)(x f qy y p y =+'+'' ·
···········（1） 的一个特解，Y 是与方程对应的齐次方程的通解，那么
*+=y Y y (2)
是二阶常系数线性非齐次微分方程的通解．
下面只讨论)(x f 以下两种常见的情形的特解：
（a ） ()()x
n f x P x e λ=，其中)(x P
n 是一个n 次多项式，λ为常数． 这时，方程(1)成为
()x n y py qy P x e
λ'''++=． (3)
因为方程(3)的右边是一个n 次多项式与一个指数函数x
e λ的乘积，我们可以证明方程(3)的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积，且特解具有形式
,)(*x n k e x Q x y λ= (k =0,１,2) 其中)(x Q n 是一个与)(x P n 有相同次数的多项式；k 是一个整数．
当λ不是特征根时，0=k ；
当λ是特征根，但不是重根时，1=k ； 当λ是特征根，且为重根时，2=k ．
(b) ]s i n )(c o s )([)(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，其中λ,ω都是常数．)(),(x P x P n l 分别是x 的l 次方，n 次方 这时，方程(1)成为 ]s i n )(c o s )([x x P x x P e qy y p y n l x ωωλ+=+'+''··········· （4） 可以证明方程(4)的特解的形式为
()]sin )(cos [*x x T x x R e x y m m x k ωωλ+=， 其中()()x T x R m m ,是m 次多项式，{}n l m ,max =，而k 按)(ωλωλi i -+或不是特征方程的根或是特征方程的的单根分别取0或1。