数学归纳法在图论中的应用

数学归纳法有多种形式 ： 第一数学归纳法 、 第 二数学归纳法 、 反向归纳法 、 跳跃归纳法 、 双 重 归 纳法 ， 等等 。 图论中的许多命题的证明 ， 都广泛地
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Hamilton 路 。 假 设 对 k 阶 定 向 完 全 图 存 在 定 向 Hamilton 路 ， 要证对 k +1 阶完全图 G 也存在定向 Hamilton 路 ，由归纳法假设 G ' = G- νk+1 中存在定
G
GG
GG
G
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T 对 n = k -1 正确 。
则命题 T 对所有自然数均正确 。 例 3 若 n 阶图 G 是一棵完全二叉树 ， 则 G 是有 n-1 条边的连通图 。 证 对顶点 n 进行归纳 ， 当 n = 1 或 2 时 ， 命题 显然成立的 。 假设对顶点 n 命题也成立 ， 那么对 n-1 个顶 点的图 G 分两种情况讨论 ： （1） 如果在 n 阶图 G 中移去不是一个叶端点
4 跳跃归纳法
若一个命题 T 对自然数 1,2, … , l 都是正确的 ， 如果有假设命题 T 对自然数 k 正确 ， 就能推出命 题 T 对自然数 k + l 正确 ， 则命题 T 对一切自然数 都正确 。
k+ l-2 （ 其 定理 1 对整数 k , l叟1，r G k,l G 燮 1
中 rG 是 Ramsey 数 ）。 k,l G 证 对 k + l 进行归纳 。 因为 k G 1, l G =r G k,1 G
G 也正确， 那么命题 T 对一切自然数对 m, n +1 G G 都正确 。 m,n G
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定理 2
莆 田 学 院 学 报
= △ （其 G 是 △叟4 的 SP 图 ， 则 x ' G GG
同 σ *。
2009 年 4 月
中 ：△ 是图 G 的最大度 ，x ' G 是指 G 为 k 边可着 GG 色的那些 k 的最小值 ）。 证 对 G 的最大度 △ G 和边数 q G 进行双 GG GG 重归纳 。 当 △ G = 4 时 ， 由文 [5] 定理 1 知结论成 GG 立 。 假设 1： 假设对最大度 △ G ＜△ （△叟5）时 ，结 GG 论成立 。 考虑 △ G = △ 时的情况 ， 这时我们再 对 GG 边数 q G 进行 归 纳 。 当 q G = 2△-1 时 ， 由文 [5] GG GG 引 理 1 知 结 论 成 立 。 假 设 2： 假 设 q G ＜q （q 叟 GG 设
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k 时命题正确 ， 证明当 n = k +1 时命题也正确 。 从
而就可断定命题对于从 n = 0 （ 或 1，2 等 ） 开始的所 有自然数都成立 。 例 1
[3]
证明每一个竞赛图具有一个定向
Hamilton 路 。
证 对顶点 k 归纳证明 。 当 k = 3 时， 只有两种定向可能都存在定向
数学归 纳 法 是 数 学 证 明 的 一 种 重 要 工 具 ， 对 于与自然数有关的命题 ， 一般都可以用数学归纳 法加以证明 。 而对数学归纳法的理论基础 、 运用技 巧 ， 学生却考虑甚少 ， 也知之不多 ， 尤其 图 论 学 科 的命题证明中更是如此 。 因此正确掌握数学归纳 法的原理及运用技巧并在图论证明中予以恰当使 用是很必要的 。
G ， 则 ν1 , ν2 , … , νk , νk+1 是 G 中定向 νk+1 , νi G 埸E G G G
' '
Hamiltion 路 。
n2-1，因为 p1 + p2 +2 = n-1，所以 n1 + n2 = n-1， 要使
2 第二数学归纳法
第二数学归纳法的原理是设有一个与自然数
得 G1 和 G2 是连通的 ， 则 G1 和 G2 必须有一边相 连 。 当 G1 和 G2 相连时变成 G' 图 ，这时 G' 含有 n-1 个顶点 ， 其边为 p1 + p2 +1， 而 p1 = n1-1, p2 = n2-1， 所 以 p1 + p2 +1 = n1 + n2-1 = n-2。 即 G ' 图是 n-1 个顶 点 ， 它的边为 n-2。 （2） 如果在 n 阶图 G 移 去 是 一 个 叶 端点 （ 其 度为 1）， 那么 G 就变成 G1', G2' 两个分支的分离 图 。 设 G1' 为含有 n-1 个顶点的图 ， 其边数为 p， 那 么 G2' 就是只含有 1 个顶点的图 ， 所以 p = n-2。
蚺 存 在 三 个 不 相 邻 的 2 度 点 u, v, w ， 使 得 = N GG NG uG v 且 NG uG ∩N GG v ≠准 。
令 G * = G- 燮 ＜△， 情况同 蛎 ； 若 。 若△ G u燮 G* G
= △ ， 则 情况同 蚰 。 下面将 σ * 延拓到 G 的 △G G* G
（ 莆田学院 数学与应用数学系，福建 莆田 351100 ）
摘
要 ： 通过探讨第一、 第二数学归纳法， 反归纳法， 跳跃归纳法和双重归纳法在图论证明中的应用， 说明数学
归纳法在图论中对相关命题的证明不失为一种行之有效的方法。
关键词 ： 数学归纳法； 图论； 反归纳法； 跳跃归纳法； 双重归纳法
Mathmatical Induction and Its Applications in Graph Theory
n 有关的命题 ，如果 ：
（1） 当 n = 1 时 ， 命题成立 ； （2） 假设当 n≤k 时命题成立 ，则当 n = k+1 时 ， 命题也成立 。 那么 ， 命题对于一切自然数 n 来说都成立 。 例 2 若 G 是树 ， 则 ε = ν-1（ 其中 ：ε 为图 G 的 边数 ，ν 为图 G 的顶点数 ）。 证 对 ν 用归纳法 。 当 ν = 1 时 ，G艿K1 且 ε = 0
= ν-1。
假设定 理 对 少 于 ν 个 顶 点 的 所 有 树 均 成 立 ， 并设 G 是有 ν叟2 个顶点的树 。 设 uν∈E， 因为 uν 是 G 中唯一的 G 路 ， 所以 G-uν 不包含 G u,ν G u,ν G 路 。 从而 G-uν 不连通且 s G = 2。 G-uν 的分 G-uν G 支 G1 和 G2 是无圈且连通的 ， 因此是树 。 并且 G1 和 G2 的顶点数均小于 ν。 所以由归纳假设 ，ε G =ν G Gi G Gi G -1 ， 对 i = 1 , 2 成立 ；从而[4]
2 等 ） 时 ， 命题正确 ； 然后 ， 假设当 n 取某一自然数
收稿日期 ： 2009-01-06 作者简介 ： 方冬云 （1971- ）， 女， 福建莆田人， 讲师。
第2期
方冬云 ： 数学归纳法在图论中的应用
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而G ∈E G ，则 ν1 , ν2 , … , νi , νk+1 , νi+1 , … , νk νk+1 , νi+1 G G' G 是 G 中定向 Hamiltion 路 。 若对 1 … k 中 所 有 i ，
一个 △- 边着色
∈C \ 燮 | k∈NG * GG σ:σ G ux G σ* G xk G x 燮 | k∈NG* GG 坠∈C \ 燮 σ* G yk G y 燮
若 坠 ≠σ G = 坠， 否 则 令 σ G = ，则 令 σ G ux G ux G uy G
2△） 时 ， 结论成立 。 对于 q G = q 的情况 ， 由文 [5] GG
第 16 卷 第 2 期
莆 田 学 院 学 报
Journal of Put ian University
中图分类号 ：O157.5
Vol.16 No.2 Apr. 2009
文献标识码 ：A
2009 年 4 月
文章编号 ：1672-4143 （2009 ）02-0040-03
数学归纳法在图论中的应用
方冬云
G k- G
=ε G +1 εG GG G1 G +ε G G2 G =ν G G1 G +ν G G2 G -1 = ν G GG -1
=1 和 r G 2, l G ,rG = k ， 所以当 k + l 燮5 时定 理 k,2 G
成立 。 设 m 和 n 是正整数 ，并且假设定理对于所有 适合 5燮k + l＜m + n 的正整数 k 和 l 都成立 。 则由 定理 ： 对于任意两个整数 k 叟2 和 l 叟2， 有 r G k, l G 和归纳法假设 ， 有 +r G 燮r G k , l-1 G k-1, l G
引理 2 ， 我们可以分 4 种情况讨论 ：
= 坠。 其余边的着色同 ， 然后重新令 σ G σ* G vy G vy G σ *。
结合定理 2 和文 [5] 中的定理 1， 可得到 ： 对于
+ d GG 蚵 边 e = uv， 使得 d G uG v 燮5， 同文 [5] 定
理 1 中 （1）、（2） 的证明类似 。
于是 ， 定理对所有的正整数 k 和 l 都成立 。
5 双重归纳法
若命题 T 与两个独立的自然数 m 与 n 有关 ， （1） 若命题 T 对 m = 1 与 n = 1 是正确的 ； 就能推出 （2） 若从命题 T 对自然数对 G m,n G 命题 T 对自然数对 G 正确与自然数对 m +1, n G
FANG Dong-yun
( Mathematics & Applied Mathematics Department, Putian University, Putian Fujian 351100, China )
Abstract： After discussing applications of the first and second mathematical induction, inverse induction,