利用复数的性质求无理函数的最值
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
无理函数最值探求的几种策略
无理函数最值探求的几种策略无理函数的最值是中学数学教学的一个难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题中感到很困惑，本文就一类形如的无理函数最值的解法作一次探求，寻求解决问题求解的多种策略，以便熟练和灵活地运用一些方法去解决问题，以达到举一反三的效果。
例题：求函数的最值一、巧用三角代换求函数最值根据三角函数的特征和性质，在无理函数中巧妙的进行三角换元，使无理问题三角化，从而达到快速求解无理函数最值的目的，显然设元的技巧很关键。
1、解：的定义域，，故可设则。
二、熟用平方判别式求函数最值无理函数的最大特征是含有根号，而平方是去根号的重要手段之一，将无理函数转化为关于的二次方程的函数，利用判别式求函数的最值是常见的方法，但要注意函数定义域对函数最值的制约作用。
解：函数的定义域，显然两边平方得移项再平方整理可得由得又，另外由及，。
三、善用导数求函数最值导数是高中数学新教材中增加的内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题上成为高中数学解题一道靓丽的风景线，要重视导数在解决一些比较复杂函数最值上的作用，善于运用它，体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁、完美的解决。
解：对原函数求导可得：令得又由此可得，四、妙用构造向量求函数最值向量具有代数和几何的双重特性，用向量方法解决代数问题的关键是善于观察问题的外貌结构，挖掘代数结构的向量模型，巧妙构造向量，把原有的问题转化为向量问题求解。
它是一种重要的数学思维方法，是数形结合思想的一个有效载体。
解：原函数变形为可设则得令与的夹角为，，则，如图1，向量的终点在以原点为圆心，为半径的的圆周上，则两向量夹角，当，即，即时，当，即即时，，本文对一类形如的无理函数的最值作了一次多角度，多层次的分析和探求，如果对它加以深入探究当然有更多类型的无理函数的最值值得我们去思考和研究。
通过从特殊到一般的数学思维，寻求到解决问题的不同策略，对培养学生的创造性思维能力，完善学生的认知结构，提高学生的数学素养定有积极的作用。
无理函数最值问题的求解策略
无理函数最值问题的求解策略首先，对于形如 $f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$ 的无理函数，其中$a,b,c$ 是已知常数，我们可以通过求导的方法来求解最值问题。
首先求导得到 $f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\cdot (2ax+b)$，然后令$f'(x)=0$，解得关于 $x$ 的方程为 $2ax+b=0$。
解得 $x=-\frac{b}{2a}$。
将这个解代入原方程 $f(x)$ 中，求得最值。
其次，对于形如 $f(x)=\sqrt[n]{a(x-b)^m}$ 的无理函数，其中$a,b,m,n$ 是已知常数，同样可以通过求导的方法求解最值问题。
首先求导得到 $f'(x)= \frac{m}{n\cdot (x-b)} \cdot \sqrt[n]{a(x-b)^{m-n}}$，然后令 $f'(x)=0$，解得关于 $x$ 的方程为 $(x-b)^{m-n}=0$。
解得 $x=b$。
将这个解代入原方程 $f(x)$ 中，求得最值。
此外，对于无理函数最大值问题，我们还可以通过等式的性质来解决。
对于 $f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$，易知当 $ax^2+bx+c$ 达到最小值时，$f(x)$ 达到最大值。
因此，我们可以通过对 $ax^2+bx+c$ 进行求二次函数顶点的方法来求解最大值。
对于 $f(x)=\sqrt[n]{a(x-b)^m}$，同样可以通过 $a(x-b)^m$ 达到最小值时，$f(x)$ 达到最大值的方法来求解。
另外，如果无理函数的解析解较复杂或无法找到合适的方法求解最大值或最小值，我们可以尝试使用数值方法进行求解。
常用的数值方法有二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法通过迭代逼近的方式来求解函数的最值。
我们可以将无理函数转化为有理函数的形式，然后再利用数值方法求解最大值或最小值。
最后，对于特殊的无理函数，我们还可以采用其他方法来求解最值问题。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
无理函数的图像和性质
无理函数的图像和性质无理函数是指在其函数表达式中含有根号的函数。
无理函数的图像和性质在数学中起着重要的作用，本文将对无理函数的图像和性质进行探讨。
一、无理函数的图像无理函数的图像是函数在坐标系中的表示，可以通过绘制函数图像以了解函数的特点和行为。
以一般的无理函数f(x)为例，其中包含根号表达式。
对于无理函数的图像，需要注意以下几点：1. 定义域和值域：无理函数的定义域是指函数的自变量能取的值的范围，而值域是函数的因变量能够取到的值的范围。
根据无理函数的特点，在定义域内根号表达式的值必须是非负实数，因此需要对定义域进行限制。
通过分析函数的定义域和根号表达式的取值范围，可以确定无理函数的图像的范围。
2. 对称性：某些无理函数具有一定的对称性。
例如，f(x) = √x在坐标系中的图像关于y轴对称，而f(x) = √(x+1)的图像关于y轴平移1个单位。
3. 渐近线：无理函数的图像在某些情况下会趋向于一条直线，这条直线称为函数的渐近线。
例如，f(x) = √x在x轴上有一条水平渐近线。
4. 凹凸性：通过对函数的导数进行分析，可以了解无理函数的凹凸性。
凹凸性决定了函数图像的弯曲方向。
例如，f(x) = √x是凹函数，图像向上弯曲。
基于以上考虑，可以通过数学方法，如分析函数的定义域、值域、对称性等，或利用绘图软件来绘制无理函数的图像，以更好地了解函数的特性。
二、无理函数的性质无理函数除了图像特点外，还有一些重要的性质值得探究。
1. 有界性：无理函数是否有界是指函数在定义域范围内是否存在上、下界。
以无理函数f(x) = √x为例，当x趋近无穷大时，函数值也趋近于无穷大，因此无理函数√x无上界。
2. 单调性：无理函数的单调性描述的是函数的递增或递减性质。
通过对无理函数的导数进行分析，可以判断无理函数在定义域内的单调性。
3. 零点：无理函数的零点是使函数取得零值的自变量取值。
零点在图像上表示为函数与x轴的交点。
4. 最值：无理函数的最大值和最小值表示了函数在定义域内的取值范围的极限。
SXA224高考数学必修_例谈无理函数的值域求法
无理函数的值域求法求无理函数值域的方法较多，涉及化归转化、函数与方程、数形结合等数学思想方法,对培养学生思维的灵活性、创造性大有裨益. 主要方法有:配方法、换元法、利用函数的单调性、均值不等式、转化为方程有解、数形结合法、构造模型法等．一、应用配方法求值域例1.4y =求函数.解：240(1)44022442,4].y x =≤--+≤∴≤∴≤-≤∴原函数的值域为[评注:配方法适用于解析式中含有二次函数的求值域问题.二、应用换元法将无理函数转化为二次函数或三角函数例2.求函数x x y 21-+=的值域.分析:, 则x 相当于二次项.只需对 x 21-换元，即可将问题转化为二次函数的值域问题. 解：令t x =-21,则212t x -=（0≥t ） ,1)1(212122+--=+-=t t t y ,0≥t 1≤∴y ,即值域为(]1,∞-.评注:形如d cx b ax y +±+= 的函数均可用此法求值域.例3.求函数x x y -+=1的值域.解:函数的定义域为[]1,0，令θ2sin =x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ， 则θθcos cos 12==-x,sin cos )4y πθθθ∴=+=+ 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+43,44πππθsin()4πθ⎤∴+∈⎥⎣⎦,即函数的值域为.⎡⎣ 评注:三角换元时常需选择角的范围. 选择角的范围时不仅要确保换元前后的等价性,还要有利于后续的化简.例4.求y =[4,2]-在上的值域.解:令u =,v =则 226u v += （0u ≥,0v ≥）设u θ,v θ=02πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则()))3f πθϑθθθθ==+由02πθ≤≤,得5336πππθ≤+≤ 知1sin()123πθ≤+≤故所求值域为三、利用函数的单调性例5.[0,1],x y ∈=已知求函数.解:122y x y ==,调递减min max [0,1]1(0)202(1)1,2].y x y x y x ∴=∈∴===-==∴内单调递增,当时当时原函数的值域为 例6.求函数x x x f -=1)(（14x <≤）的值域. 解：函数x y xy -==和1都在区间(]4,1 上单调递减， ∴函数x xx f -=1)(在区间(]4,1上是减函数. 于是)1()()4(f x f f ≤<,即值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-,47. 四、应用均值不等式例7.|y x =求函数.解:22222max 11(12211.2x x y x x x x y +-==∴=-==当且仅当,即∵y ≥0 ]1,0[函数的值域是∴ 例8.求函数y =. 解:令t =则0,t ≥2.1t y t =+ 当t=0时,y=0;当t>0时,2110.112t y t t t<==≤++ ∴原函数的值域为10,.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦五、转化为方程有解例9.求函数y=x-122+x 的值域.解法一:原函数可化为x-y=122+x ,即x>y 且(x-y)2=2x 2+1,亦即x>y 且x 2+2xy+1-y 2=0,原题即求关于x 的方程x 2+2xy+1-y 2=0在(y,+∝)有解的条件.记f(x)=x 2+2xy+1-y 2=0，显然有f(y)=2y 2+1>0。
函数绝对值
函数绝对值函数绝对值是数学中最常用的概念之一，它可以使任意一个数的绝对值即正负号均可以成为正数。
它用来取出任意一个数的绝对值。
它有着多种属性，并可以用来解决许多数学问题。
一、函数绝对值的定义函数绝对值是一个复数（有理数或无理数），它代表一个数的绝对值，即正负号无关，只与该数的大小有关。
一般来说，函数绝对值的定义为：函数绝对值=|f(x)|=max{f(x),-f(x)}，其中x为任意实数。
使用该定义，可以得出一个绝对值的函数f(x)的函数绝对值公式如下：f|x|=max{f(x),-f(x)}=begin{cases}f(x) & text{if } f(x)>0-f(x) & text{if } f(x)leq 0end{cases}二、函数绝对值的性质函数绝对值有着以下几种性质：（1）函数绝对值的取值范围：若f(x)满足非负定义，则有0≤f|x|≤∞；（2）函数绝对值的奇偶性：f|x|是一个偶函数；（3）函数绝对值的最值：函数f|x|在x=0处取得最大值f|0|；（4）函数绝对值的单调性：如果f(x)为单调递增函数，则f|x|也是单调递增的；（5）函数绝对值的反函数：如果f(x)有反函数，则f|x|也有反函数，反函数为f-1|x|=f-1(|x|)；（6）函数绝对值的可导性：f|x|是可导的函数，其导数为：f|x|/x=sgn(f(x))*f’(x)，其中sgn(f(x))表示f(x)的符号函数，取值为：sgn(f(x))=1 为 f(x)>0；sgn(f(x))=0 为 f(x)=0；sgn(f(x))=-1 为 f(x)<0。
三、函数绝对值的应用函数绝对值在数学中有着重要的作用，它可以用来解决许多数学问题。
例如：（1）求函数的极值问题。
对于任何一个复变量函数f(x)，若满足f(x)=0，则f(x)可能处于极值点；但由于存在正负号的问题，因此可以用函数绝对值来解决这一问题。
中学数学最值的常用求解方法
最值的常用求解方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用.最值问题长期是各类考试的热点，那么以下，就为大家简单介绍几种求函数最值、极值的常用方法：针对我们中学所拥有的知识而言，我们最基本的求解函数最值的方法是定义法、求导法。
具体的做法是，按照定义：极大值：一般地，设函数f （x ）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x ）＜f （x0），就说f （x0）是函数f （x ）的一个极大值，记作y 极大值=f （x0），x0是极大值点．极小值：一般地，设函数f （x ）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x ）＞f （x0）就说f （x0）是函数f （x ）的一个极小值，记作y 极小值=f （x0），x0是极小值点．那么我们判别f （x0）是极大、极小值的方法就是，若x0满足f ′（x ）=0，且在x0的两侧f ′（x ）=0的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f ′（x ）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f ′（x ）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。
因此，我们可以归结出求函数f （x ）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′（x ） （2）求方程f ′（x ）=0的根（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值 另外我们利用导数求函数的最值步骤： ⑴求f （x ）在(a,b)内的极值；⑵将f （x ）的各极值与f （a ）、f （b ）比较得出函数f （x ）在[a,b]上的最值．1、 配方法：主要是运用于二次函数或可转化为二次函数的函数．利用二次函数的性质求最值时，要注意到自变量的取值范围，还有对称轴与区间的相对位置关系.下面我们结合具体的例子来谈谈配方法的操作过程。