高考艺术类数学复数与三角函数试题
艺考参考答案专题六三角函数
1．(2015·福建，6，易)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α 的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－5121．D [考向1，2]∵α为第四象限角且sin α＝－513，∴cos α＝1213. ∴tan α＝sin αcos α＝－512.2．(2014·课标Ⅰ，2，易)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0 D ．cos 2α>0 2．C [考向2]∵tan α＝sin αcos α＞0， 即sin αcos α＞0，∴2sin αcos α＝sin 2α＞0，故选C.3．(2012·辽宁，6，易)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1 3．A [考向2]∵sin α－cos α＝2， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2， ∴2sin αcos α＝－1，∴sin 2α＝－1.故选A. 4．(2016·四川，11，易)sin 750°＝________．4．[考向3]【解析】 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12. 【答案】 125．(2011·江西，14，易)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－2 55，则y ＝________．5．[考向1]【解析】 P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y 2，又sin θ＝－2 55，∴y 16＋y 2＝－2 55，解得y ＝－8. 【答案】 －86．(2015·四川，13，中)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2 α的值是________． 6．[考向2]【解析】 由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan α－1tan 2 α＋1＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－55＝－1.【答案】 －17．(2014·陕西，13，中)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a·b ＝0，则tan θ＝________.7．[考向2]【解析】 ∵a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)且a·b ＝0， ∴sin 2θ－cos 2θ＝0， ∴2sin θcos θ＝cos 2θ. ∵0<θ<π2，∴cos θ≠0， ∴2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12. 【答案】 12三角函数的定义在高考中很少考查，考查重点在象限角及任意角的化简或判断角所在象限，根据三角函数的定义求三角函数值是高考的一个基本考点，主要涉及根据终边上点的坐标求三角函数值，或根据三角函数值求参数的值，利用三角函数的定义判断函数的图象等，一般以选择题、填空题出现，分值为5分，难度较小．1(1)(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45(2)(2012·山东，16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为________．【解析】 (1)∵角α的终边经过点(－4，3)，即x ＝－4，y ＝3， ∴r ＝（－4）2＋32＝5，∴cos α＝x r ＝－45，故选D. (2)如图，由题意知BP ︵＝OB ＝2，∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2，∴DA ＝AP cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，DP ＝AP sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2.∴OC ＝2－sin 2，PC ＝1－cos 2. ∴OP→＝(2－sin 2，1－cos 2)．【答案】 (1)D (2)(2－sin 2，1－cos 2)解题(1)的关键是正确理解三角函数的定义；解题(2)的关键是得出小球滑动的距离等于P 点移动的弧长．1.(2016·湖南长沙调研，2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 1．B 由题意得⎩⎨⎧cos α＜0，tan α＜0⇒⎩⎨⎧cos α＜0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限，故选B.2．(2016·河北衡水中学模拟，5)已知函数y ＝a x ＋1＋2(a ＞0且a ≠1)过定点A ，且角α以x 轴的正半轴为始边，以坐标原点为顶点，终边过点A ，则2sin(2 015π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋cos 2(α＋2016π)－sin 2(－α)的值是( ) A.25 B.13 C ．－15 D.3102．C 函数y ＝a x ＋1＋2过定点A (－1，3)，则tan α＝－3. 2sin(2 015π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋cos 2(α＋2 016π)－sin 2(－α)＝－2sin αcos α＋cos 2 α－sin 2 α ＝－2sin αcos α＋cos 2 α－sin 2 αsin 2 α＋cos 2 α＝－2tan α＋1－tan 2 α1＋tan 2 α＝－2×（－3）＋1－910＝－15.三角函数定义应用的类型及方法(1)根据三角函数的定义，判断函数的图象，首先建立平面直角坐标系，求出函数的解析式，根据函数的解析式判断函数的图象．(2)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：①角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ；②纵坐标y ；③该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．同角三角函数关系在高考中比较常见，往往结合诱导公式一起考查，一般以选择题、填空题形式出现，难度为中低档．2(1)(2013·大纲全国，2)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513 D.1213(2)(2013·课标Ⅱ理，15)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________．【解析】 (1)∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2 α＝－1213.(2)方法一：tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝12－11＋12＝－13， ∴sin θ＝－13cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得109cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝910，易知cos θ<0，∴cos θ＝－31010，sin θ＝1010，故sin θ＋cos θ＝－105. 方法二：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝12，∴tan θ＝－13.∵θ为第二象限角，∴sin θ＝1010，cos θ＝－31010，∴sin θ＋cos θ＝－105.【答案】 (1)A (2)－105解题(1)时易忽视α是第二象限角，而错选D ；解题(2)的关键是通过变角求出tan θ.1.(2016·湖南衡阳一模，7)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin 2θ＝( )A ．1 B.13 C.12 D.351．D ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴tan θ＋1tan θ－1＝2，解得tan θ＝3，∴sin 2θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝2tan θtan 2θ＋1，把tan θ＝3代入，原式＝35. 2．(2016·浙江温州十校联考，8)若sin α＋cos α＝713(0＜α＜π)，则tan α＝( )A ．－13 B.125 C ．－125 D.132．C ∵sin α＋cos α＝713(0＜α＜π)，①∴两边平方得1＋2sin αcos α＝49169，得sin αcos α＝－60169.又0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin α cos α＝289169， ∴sin α－cos α＝1713，②由①②解得，sin α＝1213，cos α＝－513， 故tan α＝－125.,同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦．利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．(2)知弦求切．常通过平方关系、对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α建立联系，注意tan α＝sin αcos α的灵活应用．(3)知切求弦．通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解． (4)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ cos θ的关系进行变形、转化． (5)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ.诱导公式与同角三角函数的基本关系式是每年必考的内容，主要考查三角函数的化简、求值与恒等变换，或解决三角形内的问题，一般以选择题、填空题形式出现，难度中低档．3(1)(2013·广东，4)已知sin⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.25(2)(2014·江苏，5)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．【解析】 (1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.(2)将x ＝π3分别代入两个函数，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝12， 解得2π3＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或2π3＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又0≤φ<π，所以φ＝π6.【答案】 (1)C (2)π6(2016·辽宁沈阳一模，4)已知锐角α且5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( ) A ．8° B ．44° C ．26° D ．40°B 点P (sin(－50°)，cos 130°)化简为P (cos 220°，sin 220°)， 因为0°＜α＜90°，所以5α＝220°，所以α＝44°.故选B.,利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数； ③整理得最简形式． (2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．1．(2016·广东肇庆一模，3)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－451．D [考向3]由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35得cos α＝35.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝45， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.2．(2015·山东潍坊二模，5)集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2．C [考向1]当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(2015·福建福州一模，5)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－433．D [考向1]因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α ＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43，故选D.4．(2016·湖北武汉质检，6)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6B.5π3C.11π6D.2π34．B [考向1，3]因为sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限．又因为tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3，所以α＝2k π－π3，k ∈Z ，所以角α的最小正值为5π3.故选B.5．(2016·山东淄博调研，5)已知tan α＝2，则sin 2 α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 5．A [考向2]sin 2α－sin α cos α ＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，把tan α＝2代入，原式＝25，故选A.6．(2015·河南郑州一模，6)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( ) A.1－32 B.1＋32 C.3 D ．－ 36．B [考向2]∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根， ∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m 2.可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即2－32＝1＋m ，∴m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0.∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θ·cos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32，∴sin θ－cos θ＝2＋32＝1＋32.思路点拨：利用根与系数的关系表示出sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m 的值，再利用完全平方公式求出sin θ－cos θ的值即可．7．(2015·河北石家庄一模，14)已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋ sin α1＋1tan 2α＝________.7．[考向3]【解析】 原式＝cos α·sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0， 所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝cos α－cos α＋sin αsin α＝－1＋1＝0.【答案】 08．(2016·江西八所重点中学联考，17，12分)在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝2 2x (x ≥0)．(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)若点P ，Q 分别是角α的始边、终边上的动点，且PQ ＝6，求△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标．8．[考向1，2]解：(1)由射线l 的方程为y ＝2 2x (x ≥0)，知tan α＝2 2，又由sin 2 α＋cos 2 α＝1，得sin α＝2 23，cos α＝13，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π6＝13×32－2 23×12＝3－2 26.(2)设P (a ，0)，Q (b ，22b )(a ＞0，b ＞0)．在△POQ 中，因为PQ 2＝(a －b )2＋8b 2＝36， 所以36＝a 2＋9b 2－2ab ≥6ab －2ab ＝4ab ，所以ab ≤9. 当且仅当a ＝3b ，即a ＝3 3，b ＝3时取等号．所以S △POQ ＝2ab ≤9 2，所以△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标分别为P (33，0)，Q (3，26)．1．(2016·四川，4，易)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度1．A [考向2]y ＝2．(2016·课标Ⅱ，3，易)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π32．A [考向1]由图知A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2.将⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2坐标代入，得2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π6，k ∈Z .取k ＝0，得φ＝－π6. 3．(2016·课标Ⅰ，6，中)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π33．D [考向1]由T ＝2π2＝π，故向右平移14个周期得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.4．(2015·山东，4，易)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．B [考向2]因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，根据平移法则，所以要得到该函数的图象，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．故选B.5．(2014·福建，7，易)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称5．D [考向2]将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图象与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.6．(2013·四川，5，易)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π36．A [考向1]由图知最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2，将图象最高点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，将φ＝－π3，φ＝－π6分别代入，知φ＝－π3，选A.7．(2014·安徽，7，中)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π47．C [考向2]由f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4知，f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，因此在y 轴左侧且离y 轴最近的对称轴方程为x ＝－3π8.依题意结合图象知，φ的最小正值为3π8，故选C.8．(2012·浙江，6，中)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )8．A [考向1，2]把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y 1＝cos x ＋1；向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1；再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)．令x ＝0，得y 3＞0.令x ＝π2－1，得y 3＝0.观察图象知，A 项正确．9．(2016·课标Ⅲ，14，易)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．9．[考向2]【解析】 y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴至少将y ＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度． 【答案】 π310．(2015·陕西，14，易)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．10．[考向2]【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝－1时，y min ＝k －3＝2，∴k ＝5.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝1时，y max ＝k ＋3＝8.【答案】 811．(2016·山东，17，12分，易)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位．得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．11．[考向2]解：(1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) 3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． ⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ） (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.12．(2015·湖北，18，12分，易)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．12．[考向1，2]解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知，f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6 ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12， k ∈Z .即y ＝g (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.给出三角函数图象，结合“五点法”的特点和三角函数的有关性质求解三角函数的解析式是高考的一种考查形式，近年来单独考查的频率有所下降，一般是结合性质、恒等变换、解三角形综合考查，此类题目综合考查学生对有关知识的掌握和灵活应用．1(1)(2015·课标Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 (1)由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4. 由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.(2)把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 【答案】 (1)D (2)22解题(1)由图写解析式先看振幅、周期，再代点找初相，得到解析式再求单调区间．解题(2)的关键在于利用逆向思维，从已知函数y ＝sin x 的图象进行逆向变换，逐步得到函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象和解析式．如果按照题目中的变换顺序，则很难解答本题．1.(2016·四川成都质检，6)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π4C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π61．C 设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)， 由题图知，T 4＝14·2πω＝π， ∴ω＝12，可排除B 、D ；对于A ，f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1，与题意f (0)＝1不符，可排除A ；对于C ，f (0)＝1，满足题意.2.(2016·湖南益阳三校联考，7)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛ω＞0，－π2⎭⎪⎫＜φ＜π2的部分图象如图所示，则( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )的图象可由函数g (x )＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )上是增函数2．C 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π，A 错；ω＝2，再代点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2得φ＝－π3，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.g (x )＝2sin 2x 向右平移π6个单位长度得到f (x )，B 错；对称轴2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π12，C 正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2求得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )，D 错．,已知图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的步骤首先确定A ，k ，再确定ω，最后确定φ的值，具体方法如下：(1)在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点，即半个周期内)，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2.特别地，当k ＝0时，A ＝M ＝－m .(2)ω由周期T 确定，即由2π|ω|＝T 求出．常用的确定T 值的方法：①曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为T 2；②最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标之间的距离为T2；③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T ；④有时还可以从图中读出T 4或3T4的长度来确定ω. (3)φ值的确定有三种途径：①代入法：将图象中一个已知点代入或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(要注意交点在增区间还是减区间)．②五点法：由特殊点确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零点．利用零点时，通常把“五点法”中的第一个点(x 0，0)(初始点)作为突破口，由“第一个点”(图象上升时与x 轴的交点)可得等式ωx 0＋φ＝2k π(k ∈Z )；再由“第三个点”(图象下降时与x 轴的交点)可得等式ωx 0＋φ＝π＋2k π(k ∈Z ))．再由已知条件中φ的具体范围确定相应的φ值．③运用逆向思维，由图象变换来确定：由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω知，“五点法”中的第一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0就是由原点平移而来的，可从图中读出此点横坐标等于－φω，即可得到φ值．注意φ的取值范围，求出函数的解析式后可以验证是否正确．高考对本考点内容的考查仍将侧重于图象变换和函数性质(周期性，单调性等)的综合应用，单纯的变换有时也会考查，选择题、填空题、解答题都有可能出现．2(1)(2014·辽宁，11)将函数y ＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增(2)(2015·重庆，18，13分)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2 x . ①求f (x )的最小正周期和最小值；②将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．【解析】 (1)将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，当π12≤x ≤7π12时，－π2≤2x －2π3≤π2，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B.(2)①f (x )＝12sin 2x －3cos 2 x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32. ②由条件可知，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.解题(1)先通过变换得到对应的函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，再把2x －2π3看作整体运用三角函数性质求解．题(2)重在三角恒等变换及三角函数的性质应用．(2013·安徽，16，12分)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝－π2＋2k π，即x ＝－2π3＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－ 3.此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－2π3＋2k π，k ∈Z .(2)先将y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得 y ＝3sin x 的图象；再将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图象．关于三角函数的图象变换的方法处理三角函数图象变换问题时，首先要弄清哪一个是原始函数(图象)，哪一个是最终函数(图象)，解决问题主要有以下几种方法： (1)常规方法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向． (2)方程思想可以把判断的两函数变为同名的函数，且x 的系数变为一致，通过列方程求解，如y ＝sin 2x 变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，可设平移φ个单位长度，即2(x ＋φ)＝2x ＋π3⇒φ＝π6，向左平移π6，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度． (3)快速方法平移变换实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移变换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移．一般可选定变换前后两函数f (x )，g (x )的图象与x 轴的第一个交点(即图象上升时与x 轴的交点)分别为(x 1，0)，(x 2，0)(f (x 1)＝0，g (x 2)＝0)，则由x 2－x 1的值可判断出左右平移的情况，由g (x )max －f (x )max 的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化判断伸缩变换．1．(2016·湖南长沙质检，4)将函数y ＝cos 2x 的图象先向左平移π2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( ) A ．y ＝－sin 2x B ．y ＝－cos 2x C ．y ＝2sin 2 x D ．y ＝－2cos 2 x 1．C [考向2]y ＝cos 2xy ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2―――――――→向上平移1个单位y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋1，y ＝cos(2x ＋π)＋1＝1－cos 2x ＝1－(1－2sin 2x )＝2sin 2x .2．(2015·山东师大附中一模，3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．A [考向1]y ＝sin x 向左平移π3个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A.3．(2016·湖南常德质检，10)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图，为了得到f (x )的图象，则只需将g (x )＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．C [考向1，2]由图象知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π＝2πω，ω＝2，此时函数f (x )＝sin(2x ＋φ)代入⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .解得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴g (x )＝sin 2x 向左平移π6个单位长度．4．(2015·河南洛阳二模，8)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g (x )的图象 D ．向右平移π2个单位，得到g (x )的图象4．D [考向2]因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以f (x )向右平移π2个单位，可得到g (x )的图象，选D.5．(2015·北京丰台一模，9)函数y ＝2sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π8D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π165．B [考向1]由图象可知T 2＝5π8－π8＝π2，所以函数的周期T ＝π.又T ＝2πω＝π，所以ω＝2， 所以y ＝2sin(2x ＋φ)．又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝2，所以sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1， 即π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋2k π，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选B. 6．(2016·豫东、豫北十校联考，11)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位后，得到函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π126．D[考向2]由题图知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎨⎧A ＝3，B ＝32，又由题图知T 2＝πω＝2π3－π6＝π2，故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.将函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位后得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图象，又函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m 的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z )，令k ＝2，则m ＝7π12，故选D.7．(2016·鄂豫晋陕冀五省联考，9)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则下列判断错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2B ．函数f (x )的值域为[－4，4]C ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫103，0对称D ．函数f (x )的图象向左平移π3个单位后得到y ＝A sin ωx 的图象7．D [考向1]由图可知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫43－13＝2，∴ω＝π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝0.又－π＜φ＜0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3，又f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－2 3，∴A ＝4.易得A ，B ，C 选项均正确，而函数f (x )的图象向左平移π3个单位后不能得到y ＝A sin ωx 的图象，故选D.8．(2016·河北衡水联考，14)定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为________． 8．[考向2]【解析】 由题意可知f (x )＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将函数f (x )的图象向左平移n (n >0)个单位后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n ＋π6为偶函数， ∴n ＋π6＝k π，k ∈Z ，∴n ＝k π－π6，令k ＝1，得n ＝5π6.【答案】 5π6思路点拨：先根据题意确定函数f (x )的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质确定n 的值．9．(2015·福建漳州二模，17，12分)设函数f (x )＝A cos ωx (A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，其中△PQR 为等腰直角三角形，∠PQR ＝π2，PR ＝1.求： (1)函数f (x )的解析式；(2)函数y ＝f (x )－14在x ∈[0，10]时的所有零点之和．9．[考向1]解：(1)由已知PR ＝1， ∴T ＝2＝2πω，∴ω＝π. ∵△PQR 为等腰直角三角形， ∴Q 到x 轴的距离为12，∴A ＝12. ∴f (x )＝12cos πx .(2)由f (x )－14＝0，得cos πx ＝12， ∴x ＝2k ＋13或x ＝2k ＋53(k ∈Z )， ∴当x ∈[0，10]时的所有零点之和为 S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋53＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫253＋293＝50.1．(2016·课标Ⅱ，11，中)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．71．B [考向2]f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，∴当sin x ＝1时，f (x )max ＝5.2．(2015·四川，5，易)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x2．B [考向3]A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B项，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．3．(2014·天津，8，中)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．π D ．2π3．C [考向3]因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，所以由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得ωx ＋π6＝π6＋2k π或ωx＋π6＝5π6＋2m π(m ，k ∈Z )，所以由相邻交点距离的最小值为π3，得ω·π3＝5π6－π6，ω＝2，T ＝2πω＝π.故选C.4．(2014·大纲全国，14，易)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． 4．[考向2]【解析】 y ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，∵－1≤sin x ≤1， ∴当sin x ＝12时，y max ＝32. 【答案】 325．(2015·浙江，11，易)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．5．[考向2，3]【解析】 f (x )＝sin 2x ＋sin x ·cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，f (x )min ＝3－22. 【答案】 π3－226．(2015·湖南，15，难)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 3，则 ω＝________. 6．[考向3]【解析】 由⎩⎨⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z )． ∵ω＞0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω， 则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23，∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2. 【答案】 π27．(2016·北京，16，13分，中)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．7．[考向1]解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡k π－3π8，⎦⎥⎤k π＋π8(k ∈Z )．8．(2015· 北京，15，13分，易)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．8．[考向2，3]解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.9．(2013·安徽，16，12分，中)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．9．[考向1，3]解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx 2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 所以有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时， f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 10．(2014·湖北，18，12分，中)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．10．[考向2]解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛32cos π12t ＋⎭⎪⎫12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 11．(2015·福建，21，12分，难)已知函数f (x )＝10 3sin x 2cos x 2＋10cos 2 x 2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0. 11．[考向3]解：(1)因为f (x )＝103sin x 2·cos x 2＋10cos 2 x2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象． 又已知函数g (x )的最大值为2， 所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45. 由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45. 因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1.所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45. 即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.三角函数的单调性是高考对三角函数性质考查的一个重要方面，几乎每年必考，考查角度是：(1)已知函数解析式，求其单调区间；(2)已知函数解析式，讨论其在给定区间上的单调性；(3)由函数的单调性求参数的值或范围．三角函数单调性的考题选择题、填空题、解答题的形式都可能出现，多为中档题．1(1)(2015·天津，14)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． (2)(2014·福建，18，12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． ①求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；②求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，令ωx ＋π4＝π2，得x ＝π4ω.又因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增， 因此π4ω≥ω， 即ω2≤π4.又y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 有ω2＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )， 即ω2＝π4＋k π， 即k ＝0时满足题意，从而ω＝π2.(2)f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.②T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .题(1)先将f (x )化简成A sin(ωx ＋φ)形式，再把ωx ＋φ当成一个整体利用三角函数的性质分别求出单调性及对称轴相关的性质，待定求值．题(2)首先利用三角恒等变换公式化简函数式，然后①将x ＝5π4代入求值；②利用三角函数的性质求解．(2012·课标全国理，9)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2) A 由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.,三角函数单调区间的求法(1)用辅助角将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的形式，根据y ＝sin x 与y ＝cos x 的单调区间列不等式的方法去解答．列不等式的原则是：①一般当ω为负值时，应用诱导公式化为正值； ②把“ωx ＋φ(ω＞0)”视为一个“整体”；③A ＞0(A ＜0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．(2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，解出x 的取值范围，即为其单调区间．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．利用单调性确定ω的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．三角函数的值域与最值问题也是高考的重点内容，多与三角恒等变换融合在一起考查，常见的考查形式有：(1)求已知函数的最值或值域；(2)根据值域或最值确定参数的值． 三角函数值域与最值的考题多以填空题或解答题的形式出现，难度中等．2(1)(2014·课标Ⅱ，14)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．(2)(2014·北京，16，13分)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．①写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； ②求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．【解析】 (1)f (x )＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－sin φcos x ＝sin(x －φ)，所以f (x )的最大值为1.。
【艺术生专项】双基训练—三角函数(教师版)
第1讲 任意角1.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角答案逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转2．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}.答案α＋k·360°，k∈Z1.下列说法正确的是()A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90°的角都是锐角答案 B2.与600°角终边相同的角可表示为()A.k·360°＋220°(k∈Z)B.k·360°＋240°(k∈Z)C.k·360°＋60°(k∈Z)D.k·360°＋260°(k∈Z)答案 B解析 ∵600°＝360°＋240°，∴与600°终边相同的角可表示为k·360°＋240°(k∈Z).3．与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z答案 C4.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A.A ＝BB.B ＝CC.A ＝CD.A ＝D答案 D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案. 5．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限答案 A6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 答案 D [由k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k2·360°＋135°，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．答案 {α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }第2讲 弧度制1．角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad ＝________ 180°＝______ rad π rad ＝________ 1°≈0.017 45 rad1 rad ≈57°18′答案 2π 360° π 180° 2.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则答案 απR 180 αR απR 360 12αR 2 121.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12 radD.－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6 rad ，故选B.2.若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限D.第一象限答案 D解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.2或4答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.4.将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________. 答案 －10π＋74π解析 因为－1 485°＝－4×360°－45° ＝－4×360°＋(－360°＋315°) ＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°＝－10π＋74π.第3讲 任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 答案 y r x r y x2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号1.sin 1 860°等于( ) A.12 B.－12 C.32 D.－32 答案 C解析 sin 1 860°＝sin(60°＋5×360°)＝sin 60°＝32. 2．sin 780°等于( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12答案 A3．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．]4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5答案 A [r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.]5.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 6.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______. 答案 －7138．求下列各式的值． (1)cos ⎝⎛⎭⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°. (3)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.答案 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝121＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.(3)原式＝tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.第4讲 同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________(α≠k π＋π2，k ∈Z )．答案 (1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式： sin 2α＝________；cos 2α＝________； (sin α＋cos α)2＝____________________； (sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；答案 1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 21.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A.－43B.34C.±34D.±43答案 A解析 α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－432．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 答案 C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.]3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.答案 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.4．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____.答案 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 5.已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A ＝23( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析 ∵sin A ＋cos A ＝23，∴1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518＜0，又∵A ∈(0，π)，sin A ＞0，∴cos A ＜0，A 为钝角.故选B.6.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值.(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ. 解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15.第5讲 三角函数诱导公式1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于________对称 －α与α 关于________对称 π－α与α关于________对称答案 原点 x 轴 y 轴 2.诱导公式一～四记忆口诀：函数名不变，符号看象限(1)公式一：sin(α＋2k π)＝__________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________. (4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.答案 (1)sin α cos α tan α (2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α3.诱导公式五～六记忆口诀：函数名改变，符号看象限(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. (2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 答案 (1)cos α sin α (2)cos α －sin α1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.32答案 A2.sin ⎝⎛⎭⎫－236π的值是( ) A.12 B.－12 C.32 D.－32 答案 A3．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32答案 D [由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角)．] 4．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32答案 A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12.] 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.223答案 A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.] 6．三角函数式cos (α＋π)sin 2(α＋3π)tan (α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______.答案 tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α.7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.答案 －338．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 答案 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 9．已知tan α＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.答案 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10.已知cos(α－75°)＝－13α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值.解 ∵cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角.∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.11．化简sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π).答案 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.12.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2；(2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 13．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．第6讲 正弦函数、余弦函数的图象1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________．答案 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)1.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C.(π，0) D.(2π，0) 答案 A解析 易知⎝⎛⎭⎫π6，12不是关键点.2.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )答案 D解析 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 3．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．直线x ＝π2答案 D4．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x答案 B5．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )答案 D6.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个.答案 两解析 作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝－12图略)，知两函数图象有两个交点.7.作出下列函数的草图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)； (3)y ＝|sin x |(x ∈R ). 答案 (1)(2)(3)第7讲 正弦函数、余弦函数的性质1.正弦函数、余弦函数的性质：函数 y ＝sin xy ＝cos x图象定义域 ______ ______ 值域 ______ ______ 奇偶性 ______ ______ 周期性最小正周期：______最小正周期：______单调性在__________________________________上单调递增；在__________________________________________________上单调递减 在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减最值在________________________时，y max＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min＝－1答案 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z )x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )1.下列函数中，周期为π2的是( )A.y ＝sin x2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x4D.y ＝cos(－4x )答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2.2.函数f (x )＝3sin(x 2－π4)，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 答案 D3.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 答案 B4.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.5．函数f (x )＝sin(2πx ＋π4)的最小正周期是________．答案 16．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，其中ω>0，则ω＝______. 解析2π|ω|＝2π3，∴ω＝3. 7.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2B.[－π，0]C.⎣⎡⎦⎤－23π，23πD.⎣⎡⎦⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.8.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6， ∴－12≤y ≤ 32.故选B.9.函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]10.求函数y ＝2sin(π6－2x )，x ∈(0，π)的单调递增区间.解 ∵函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的增区间为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的减区间，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z . 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∵x ∈(0，π)，∴k ＝0得：π3≤x ≤5π6.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.第8讲 正切函数的性质与图象1.函数y ＝tan x 的性质与图象见下表：y ＝tan x图象定义域 __________________________值域______周期 最小正周期为______奇偶性 __________单调性在开区间______________________内递增答案 {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )1.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2，k ∈Z答案 C2.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B.()k π，(k ＋1)π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案 C3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x答案 C4．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，其中ω>0，则ω＝____.答案 2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝2.5．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z ) 解析 由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．6．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． 答案 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋53π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z .②T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋53，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋23π，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z .第9讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______． 答案 A2πω ω2πωx ＋φ φ 2.用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 (1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到． (2)ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到． (3)A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________． 答案 (1)向左 向右 |φ| (2)缩短 伸长1ω不变 (3)伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A1.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6(x ∈(0，＋∞))的周期、振幅、初相分别是( ) A.π4，2，π6B.4π，2，π6C.4π，2，－π6D.2π，2，－π6答案 C2.函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( ) A.2 B.12 C.4 D.14答案 B3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A [T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.]4．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 B5．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 C6．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数 答案 D7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －1答案 B [将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .]8．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 C [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．] 9．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位答案 B [y ＝sin(2x ＋π6)4−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．] 10.把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式( ) A.f (x )＝3cos x B.f (x )＝3sin x C.f (x )＝3cos x ＋3D.f (x )＝sin 3x答案 A解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3―――――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3―――――――――――→向左平移π6个单位 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .11．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π12时，y ＝1.] 12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6答案 D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]13．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1＋φ＝π2ω×3＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝π4φ＝π4.]14.如图所示为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π2)的图象的一部分，则y 的一个解析式为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x ＋π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x －π6 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 C解析 由图象可知A ＝2，T ＝2⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2.∴2×π6＋φ＝π2，可得φ＝π6.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 15.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A.关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B.关于直线x ＝π4对称C.关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D.关于直线x ＝π3对称答案 A解析 ω＝2ππ＝2，将x ＝π3代入f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 得f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，故选A.16．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________. 答案 sin x17．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 答案 y ＝cos 2x18.由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位. 答案 π3 2π319.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为________. 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2―→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4―→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4. 20．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.21．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.答案9π10解析 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为 2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.22．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________． 答案5π12解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝56，∴φ＝512π或作出y ＝sin 2x 的图象观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝512π. 23.最大值为12，周期为2π3，初相为π6的函数解析式为 .答案 y ＝12sin(3x ＋π6)24．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试口述这一过程． 答案 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ————→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3——————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ——————→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 25.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间.解 (1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16. ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，代入(－2,0)得：sin(－π4＋φ)＝0，令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4).(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得：16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴f (x )的递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .。
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一、复数选择题1．设复数1iz i=+，则z 的虚部是（ ）A ．12B ．12iC ．12-D ．12i -2．212ii+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i3．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限4．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知复数21iz i=-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若复数1z i =-，则1zz=-（ ）A B ．2C ．D ．47．若复数z 满足()322iz i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i8．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D9．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2C ．10D11．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6πB ．3π C ．23πD ．43π 12．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --13．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i14．复数22(1)1i i-+=-（ ） A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i15．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1-B ．12-C ．13D ．1二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-19．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-20．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =21．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ）A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =22．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 23．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =24．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限25．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 26．已知复数122,2z i z i =-=则（ ） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =27．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=28．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A．若0m =，则共轭复数1z =- B ．若复数2z =，则m C ．若复数z 为纯虚数，则1m =± D ．若0m =，则2420z z ++=29．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．A 【分析】根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果. 【详解】 ，的虚部为. 故选：. 解析：A 【分析】根据复数除法运算整理得到z ，根据虚部定义可得到结果. 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12.故选：A .2．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】 ， 故选：D解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-， 故选：D3．C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】 ， ，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误； ，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.4．A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0 ∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限 故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．5．B 【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.解析：B 【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.6．A 【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由，得， 则， 故选：A.解析：A 【分析】 将1z i =-代入1zz-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】由1z i =-，得2111z i i ii z i i---===---，则11zi z=--==-，故选：A.7．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为，故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A.8．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.9．C 【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限， 故选：C ．解析：C 【分析】由已知得到2021(2)(2)i i iz -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i ii -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限， 故选：C ．10．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.11．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为，故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )3322Z i O OZ ππ=+=+2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.12．A 【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果. 【详解】 设，则， ，，解得：， . 故选：A.解析：A 【分析】采用待定系数法，设(),z a bi a b R =+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b ，从而得到结果. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，()()22313z z a bi a bi a bi i ∴-=+--=+=+，133a b =⎧∴⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩，1z i ∴=+. 故选：A. 13．B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求． 【详解】 由， 得， ，则的虚部是1． 故选：．解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求． 【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i iz i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+，则z 的虚部是1． 故选：B ．14．C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解： 故选：C解析：C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+ 12i i =+-1i =-故选：C15．B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =- 故选：B二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.18．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．19．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.20．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB 【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.21．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.22．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.23．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.24．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.25．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.26．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.27．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 28．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m=时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z=，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.29．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
专题05---2014-2024北京三角函数选题真题汇编解析版
专题05北京高考三角函数选填真题1.【2024年北京卷06】已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =−，()21f x =，12min π||2x x −=，则ω=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 2.【2024年北京卷12】已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=−，3.【2023年北京卷13】已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p 为假命题的一组α,β的值为α= ，β= ． 【答案】 9π4π3单位圆因为f (x )=tanx 在(0,π2)上单调递增，若0<α0<β0<π2，则tanα0<tanβ0， 取α=2k 1π+α0,β=2k 2π+β0,k 1,k 2∈Z ，则tanα=tan (2k 1π+α0)=tanα0,tanβ=tan (2k 2π+β0)=tanβ0，即tanα<tanβ， 令k 1>k 2，则α−β=(2k 1π+α0)−(2k 2π+β0)=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)， 因为2(k 1−k 2)π≥2π,−π2<α0−β0<0，则α−β=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)>3π2>0，即k 1>k 2，则α>β.不妨取k 1=1,k 2=0,α0=π4,β0=π3，即α=9π4,β=π3满足题意.故答案为：9π4;π3. 4.【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ）A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 5.【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】 ∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3) f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2 【三角函数性质灵活考查】（2022北京卷改编）若()sin f x A x x =关于3x π=对称，则A =________．【答案】3− 【解析】对称性运用 ∵f(2π3)=f(0)，∴A =−36. 【2021年北京07】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 7.【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）8. 【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)【答案】A单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12nsin 30°n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan 30°n，其周长为12ntan 30°n，∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n)，则π=3n (sin 30°n+tan30°n).9.【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）. 10. 【2019年北京文科06】设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数），则“b =0”是“f (x )为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C解：设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数）， 则“b ＝0”⇒“f (x )=cosx 为偶函数”，“f （x ）为偶函数”⇒()()f x f x =− ，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−sin sin b x b x ∴=−，2sin 0b x ∴=对任意x 成立；∴0b =11. 【2019年北京文科08】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+【答案】B解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO ⊥AB ，即有QO ＝2，Q 到线段AB 的距离为22cos β+，224AB sin sin ββ==，扇形AOB 的面积为12•2β•4=4β，△ABQ 的面积为12(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β． 12. 【2019年北京理科09】函数2()2f x sin x =的最小正周期是 ． 【答案】π213. 【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ.sinθ)到直线x −my −2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解：法一：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√12+m 2=|√m 2+1sin(θ+α)−2|√m 2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin (θ+α)=−1时，d max ＝1+2√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3．法二： P 点在单位圆221x y +=上动，圆心到直线距离的最大值（圆心到过定点的距离）+半径 14. 【2018年北京理科11】设函数π()cos()6f x x ω=−(0)ω>．若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23 15. 【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，AB ̂，CD ̂，EF ̂，GH ̂是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB ̂ B ．CD ̂C ．EF ̂D ．GH ̂ 【答案】C解：A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos α＜sin α不成立，故A 不满足条件． B ．在CD 段正切线最大，则cos α＜sin α＜tan α，故B 不满足条件． C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正， 满足tan α＜cos α＜sin α，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足cos α＜sin α＜tan α不满足tan α＜cos α＜sin α． 16. 【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos (α−β)= ．解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=13，cosβ=−cosα=−2√23， ∴cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7917. 【2016年北京理科07】将函数sin(2)3y x π=−图象上的点(,)4t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点'P .若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则A.12t =,s 的最小值为6πB.t =,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3π D.t =,s 的最小值为3π【答案】A将x =π4代入得：t =sin π6=12，将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P 向左平移s 个单位， 得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y =sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）=cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π618. 【2014年北京理科14】设函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==−,则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π．则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T 4⇒T ＝π．。
【艺术生高考专用】最新2019年高考数学艺术生冲刺专题训练测试题04三角函数Word版附答案及解析
【艺术生高考专用】2019年高考数学艺术生冲刺专题训练测试题04专题4三角函数测试题命题报告：高频考点：三角函数求值和化简、三角函数的图像和性质，三角函数恒等变换以及解三角形等。
考情分析：本单元再全国卷所占分值约15分左右，如果在客观题出现，一般三题左右，如果出现值解答题中，一般一题，难度不大重点推荐：第22题，是否存在问题，有一定难度。
21题数学文化题。
一．选择题1.若角600°的终边上有一点（﹣1，a），则a的值是（）A．B．C．2 D．﹣22.（2018•贵阳二模）已知sin（π﹣α）=﹣，且α∈（﹣），则tan（2π﹣α）=（）A．B．C．D．3.（2018•安徽二模）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．C．D．4.函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是（）A．B．C．D．5.（2018•桂林三模）关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈[0，π]），则f（x）的最大值与最小值之差为（）A．3 B．2 C．0 D．﹣217.欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？18.（2018秋•重庆期中）已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=f（B）且A≠B，a=1，c=，求b．19.函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x．（1）请把函数f（x）的表达式化成f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的形式，并求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在x∈[，]时的值域．20.（2018春•金华期末）已知函数的最大值为3．（1）求a的值及f（x）的单调递减区间；（2）若，，求cosα的值．21.已知函数，（ω＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若方程f（x）=﹣1在（0，π）上只有三个实数根，求实数ω的取值范围．22.已知函数f（x）=sinωx（sinωx+co sωx）﹣（ω＞0）的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）当x∈[﹣π，π]时，求f（x）最大值与最小值及相应的x的值；（Ⅲ）是否存在锐角α，β，使a+2β=，f（）•f（2）=同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．答案及解析专题4三角函数测试题选择题1.【答案】：B【解析】角600°的终边上有一点（﹣1，a），∴tan600°=tan（540°+60°）=tan60°= =，∴a=﹣．故选：B2.【答案】：B3.【答案】：B【解析】∵θ为第三象限角， =，∴tanθ==2，再根据sin2θ+cos2θ=1，sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθ=﹣，cosθ=﹣，∴sinθ﹣cosθ=﹣，故选：B．4.【答案】：B【解析】函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后，可得y=sin（2x﹣+φ）．∵图象关于原点对称，∴φ﹣=kπ，k∈Z可得：φ=．当k=0时，可得φ=．故选：B．5【答案】：A【解析】f（x）=2cos2+sinx=cosx+sinx+1=，∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[﹣，1]，∴函数f（x）∈[0，3]，则f（x）的最大值与最小值之差为3．故选：A．17.【分析】△PAB中，∠APB＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得＝⇒AP＝50.△QAB中，∠ABQ＝90°，∴AQ＝100，∠PAQ＝75°－45°＝30°，由余弦定理得PQ2＝(50)2＋(100)2－2×50×100cos30°＝5000，∴PQ＝＝50.因此，P，Q两棵树之间的距离为50 m，A，P两棵树之间的距离为50 m.18.【解析】：（Ⅰ） f （ x）=cos 2x+1+sin 2xcos﹣cos2xsin=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1∴当sin（2x+）=时，可得f （ x）的最大值为 2；（Ⅱ） f （ A）=f （B）⇒sin（2A+）=sin（2B+），且 A≠B，∴2A++2B=π，即 A+B=，那么：C=π﹣A﹣B=，余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，即13=1+b2+b，∴b=3．19.【解析】：（1）函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos（）cos2x=sin2x ﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴f（x）的最小正周期T=．（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x﹣）+1∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]∴≤sin（2x﹣）≤1，则2≤f（x）≤3故得函数f（x）在x∈[，]时的值域为[2，3]．20.【解析】：（1）====．当时，f（x）max=2﹣1+a=3，∴a=2．由，k∈Z．得到，k∈Z．∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z；（2）∵，，∴，又，∴，∴，∴==．21.【思路分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的值域求得函数f（x）的值域．（Ⅱ）求出方程f（x）=﹣1在（0，π）上从小到大的4个实数根，再根据只有三个实数根，求出实数ω的取值范围．【解析】：（Ⅰ）函数=sinωx+2cos （﹣）sin（﹣）=sinωx+2cos（﹣）sin（﹣）=sinωx+sin（ωx﹣）=sinωx ﹣cosωx=2sin（ωx﹣），故函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（Ⅱ）若方程f（x）=﹣1，即sin（ωx﹣）=﹣，∴ωx﹣=2kπ﹣，或ωx ﹣=2kπ﹣，k∈Z．即x=，或 x=，（0，π）上，由小到大的四个正解依次为：x=，或x=，或x=，或x=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上只有三个实数根，∴，解得＜ω≤．22.【思路分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可得函数解析式f（x）=sin（2ωx﹣），利用正弦函数的周期公式可求ω的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（x﹣），由﹣π≤x≤π，可求范围﹣≤﹣≤，根据正弦函数的图象和性质即可计算得解．（Ⅲ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求tan2β=，结合范围β为锐角，0＜2β＜π，可得β=，α=﹣2β=，即可得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（x﹣），由﹣π≤x≤π，得：﹣≤﹣≤，∴﹣1≤sin（x﹣）≤，∴f（x）min=﹣，此时x﹣=﹣，解得x=﹣；f（x）min=，此时x﹣=，解得x=π．………………………（7分）（Ⅲ）存在，理由如下：存在，理由如下：∵f（α+）=sin，f（2β+）=sin（β+）=cosβ，∴f（α+）•f（2β+）=sin cosβ=，∴sin cosβ=，………………………（9分）又a+2β=，a=﹣2β，∴sin cosβ=sin（﹣β）cosβ=，∴（cosβ﹣sinβ）cosβ=，∴cos2β﹣sinβcosβ=，∴×﹣sin2β=，即：cos2β﹣sin2β=0，∴tan2β=，又β为锐角，0＜2β＜π，∴2β=，β=，从而α=﹣2β=．………………………（12分）。
高考数学 艺体生文化课 第四章 三角函数测试课件.pptx
4
4
44
故选D.
9.将函数y=cos(xπ- )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍
(纵坐标不变),再向3 左平π移 个单位,所得函数图象的一条对称轴
是(
) A.x
π
4
6 B.x
π
6
C.x π
D.x π 2
【答案】 D
【解析】 y
cos( x
π 3
)
横坐标纵伸坐长标到不原变来的2倍
y
cos(
(k
Z),
又x0
[0,
π ],k 2
1,
x0
π 3
, 故选C.
8.(2015新课标Ⅰ卷)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所
示,则f(x)的单调递减区间为
()
A.(kπ 1 ,kπ 3 ),k Z 44
B.(2kπ 1 ,2kπ 3 ),k Z
4
4
C.(k 1 ,k 3 ),k Z 44
12
2
2
2
所以 π ,故选A.
3
5.(2013新课标Ⅱ卷)已知sin2α2= ,则cosπ2(α+ )= ( )
3
4
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
【答案】 A 【解析】
因为cos2 (
π)
1
cos
2(
π) 4
1
cos(2
π) 2
1
sin
2
,
4
2
2
2
所以cos2 (
π ) 1 sin 2
1 2 3
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高考艺术类数学复数与三角函数试题
作者:
--------------- 日期：
2010年高考艺术类数学复习单元训练
复数与三角函数
满分100分
11 .复数 z 满足(1+2i ) z=4+3i,那么 z= 12 .若 z € C ,且(3+z)i=1,贝U z= ______ .
•选择题 (本大题共 10小题，每小题5分，共50分,
每小题都有四个选项, 其中只有一个选项是正
确的) 1 .
A. 等于( )
B.
(a € R)是纯虚数，则实数a 的值为( B.4
C.-6
C. D.-
2 . A.-2
3 .在复平面内，复数+(1+i) 2对应的点位于 A.第一象限 4.方程 x 2+|x|=0
若复数 B.第二象限 在复数集内的解集是
A .①
B • {0}
( C. )
D.6
)
第三象限 C • {0 , i} D. 第四象限
D • {0 , i , -i}
5.函数 y=sin(2x+) A.向左平移
C.向左平移
的图象可由函数 y=s in2x B. 向右平移 D. 向右平移
的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是
A. 函数 f(x)=sin
B. 2
X +3COS 2x 的最小正周期是
C. n
D.2 n
函数 y= Asin(
3 x+ $ )(0®才0 | < )的部分图像如图，则函数的一个表达式为()
A. y=-4s in(x+)
B. y=4si n(x-)
C. y=-4si n(x-)
D. y=4si n(x+) 8 .已知 f(sinx)=sin3x,
则f(cosx)等于()
A.-cos3x
B.cos3x
C.si n3x
D.-s in3x
9 . sin a =( VaVn ),tan(=,则n (a -2 B)的值等于() A.-
B.-
C. D.
10 .计算的值等于( A.1
B.-1
) C.i
D.-i .填空题(共四题，每题
5分)
13.函数y=cos 4x-sin 4x的单调增区间是_______________ .
14 .对于函数f(x)=cosx+sinx ，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________________
0)的图象关于
①存在a € (0,),使f(a)=;②存在a € (0,),使f(x+a)=f(x+3a)恒成立；③存在$€R,使函数f(x+
轴对称；④函数f(x)的图象关于点(,0)对称.
三.解答题(共三题，每题10分)
15 .已知-v x v 0,sinx+cosx=.
求sinx —cosx 的值；
16 .已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin 2(x-)(x € R).
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
17 .化简:
sin(- a-5 n ) • cos-)-tan( a-) • tan(2 - a).
2010年高考艺术类数学复习小节训练卷（18 ）答题卡
、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
、填空题：（每小题5分，满分20分）
11、______________ 12
13 14
15
解答题: •解：
16 •
解: 17.解:
2010 年高考艺术类数学复习单元训练5 答案1. 解析：本题考查复数代数形式运算；
原式=
答案:B
2．解析: ==(a+6)+(3-2a)i.
•••是纯虚数，
--a=-6.
答案:C
3 •解析：+(1+i) 2=+2i-2=, •••位于第二象限
答案:B
4．解析：选D
5.A 由y=sin2xy=si n(2x+). 故选A.
6 •解析：本题考查函数的周期，注意降幕公式的使用，一般情况下要将给定三角关系式化简后再求解其
周期;f(x)==2+cos2x ，故其最小正周期为n .
答案:C
7 •解析：本题考查依据函数图像确定形如y=Asin( 3 x+ $ )类型的函数解析式，注意待定系数法的应用；根据正弦型函数y=Asin( 3 x+ $ )函数图像的性质可得=2|6-(-2)|=16 ，故3 =，又根据图像可知
f(6)=0Asin( x 6+ $ )=0，由于| $ | w,故只能y=Asin(x+)即又由f(2)=- 4Asin( x 2+)=4A=-
4，故f (x) =-4sin(x+).
答案:A
8 .解析:f(cosx)=f [sin(-x) ] =sin3(-x)=-cos3x, 选A.
答案:A
9 .解析：tan a,= tan 3-,tan2 B=,「. tan( a 3 )=
答案:D
10 .解析：=
答案:C
11 解析：z==2-i.
答案：2-i
12. 解析：设z=a+b i(a\, b € R),由3+z)i=1,
得(a+3+ b i)i=( a+3)i- b=1,
a =-3,
b =-1.
答案：-3-i
13. 解: y=cos 4x-sin 4x=(cos 2x-sin 2x)(cos 2x+sin 2x)=cos 2x-sin 2x=cos2x
当2x €[ 2k n- n, 2k n],即卩x €[ k n , k n] (k € Z)时y=cos 4x-sin 4x 递增，所以其增区间为]k n , k
n](k € Z).
答案：[k n , k n](k € Z)
14 .解析：f(x)=cosx+sinx=sin(x+), 易知③④正确；当a € (0,)时，f(a) € (1,)
,又€ (1,),故①正确；因T=2 n,而f(x+a)=f(x+3a)f(x+2a)=f(x), 故2a=2k n ,a=k n ;尼,故②为假命题.
答案：①③④
15 .解：解法1 :由sinx+cosx=, 平方得sin 2x+2sinxcosx+cos 2x=.
即2sinxcosx=-.
2
■/ (sinx-cosx) =1-2sinxcosx=.
又T - v x v 0, • sinx v 0 , cosx > 0,sinx-cosx v 0,
故sinx-cosx=-.
解法2 :联立方程
由①得sinx=-cosx, 将其代入②，整理得25cos 2x-5cosx-12=0, ••• cosx=- 或cosx=.
•/ - V x V 0, •
故sinx-cosx=-.
16 .解：(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)
=2 [ sin2(x-)-cos2(x-) ] +1
=2sin : 2(x-)- : +1
=2si n(2x-)+1.
•T== n
⑵当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2k n+,
即x=k n+(k € Z),
•所求x的集合为{x € R|x=k 时,k € Z}.
17 .解析:.
sin(- a-5 n ) • cos-)-tan( a-) • tan(2 - n)
=sin( n- a ) • sin+cot a・-tan a)
=sin a-1=-cos a .。