高中数学探究导学课型第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二课件新人教版必修4
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高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)课件2 新人教A版必修4.ppt
9
【变式练习】
tan(-10 )=（ C ） 3
A. 3 B. 3 C. 3
3
3
D. 3
10
探究点2 三角函数线
思考：由任意角三角函数的定义，三角函数可以借助 单位圆用坐标表示，你能借助单位圆找到表示三角函 数的线段吗？ 提示：可以用单位圆中带方向的线段表示
1、有向线段： 带有方向（规定了起点和终点）的线段叫做有向
3
探究点1 终边相同的角的三角函数值 思考：如果角α与β的终边相同，那么sinα与 sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？ tanα与tanβ有什么关系？
提示: 终边相同的角的同一三角函数的值相等.
4
公式一： sin( k 2) sin ,
cos( k 2) cos , tan( k 2) tan , k Z.
可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0到 2π（或0°～360°）范围内的三角函数值的问题.
5
例1.确定下列三角函数值的符号.
（1）cos 250°； （2）sin( )； 4
（3）tan(-672°)；（4）tan 3π.
解：（1）因为250°是第三象限角，所以
cos 250°<0；
（2）因为 是第四象限角，所以sin( )<0;
④不相等的角，同名三角函数也不相同．
A．0
B．1
C．2
D．3
20
2、若角 α 的终边与单位圆相交于点( 22，－ 22)，则 sinα
的值为( B )
2 A. 2
B．－
2 2
1 C.2
D．－1
21
3、已知 α 是第三象限角，设 sinαcosα＝m，则有( A )
2018_2019高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1第2课时三角函数线课件新人教A版必修4ppt版本
4．设 a＝sin27π，b＝cos27π，c＝tan27π，则
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<c<a
D．b<a<c
[解析] ∵π4<27π<π2，作出角27π的三角函数线如 图可知，cos27π<sin27π<tan27π，故选 D．
( D)
互动探究学案
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命题方向1 ⇨利用三角函数线比较大小
谢谢
[证明] 如图所示，设角 α 的终边交单位圆于 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，垂足为 M.过点 A(1,0)作单位圆的切 线交 OP 于点 T，连接 PA，则 sinα＝MP，tanα＝AT，
∵S△OAP<S 扇形 OAP<S△OAT， ∴12|OA|·|MP|<12α|OA|2<12|OA|·|AT|． 又|OA|＝1，∴|MP|<α<|AT|，即 MP<α<AT． ∴sinα<α<tanα．
[点评](1)求两个不等式的交集时，因周期均为 2kπ，故可先求
－23π≤x≤23π， －π3<x<43π
的交集，最后加上 2kπ．
(2)对角的范围求交集时容易出错，求解时一定要注意等号能否取到．
〔跟踪练习 4〕求函数 y＝lg(1－ 2cosx)＋ 1＋ 2cosx的定义域．
[解析] 如图所示，
故函数 f(α)的定义域为{α|2kπ＋π6≤α≤2kπ＋56π，k∈Z}．
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『 规 律 总结 』 利用 三 角 函数 线 解 sinα≥a ， sinα ≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：
高中数学1.2.1任意角的三角函数2优秀课件
M
(Ⅱ)
M
P α的终边
三角函数线
y
α
x
O A(1,0)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
y
tanAT
α
M A(1,0)
O
x
(Ⅲ)
(Ⅳ)
PT α的终边
例1 作出以下各角的正弦线，余弦线，正切线
(1) (2)2
3
3
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
例2、设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明 sinα＋cosα>1吗？
y
P
OM x
MP＋OM>OP=1
例3. 比 较 大 小 ：
(1) sin 2 与 sin 4
3
5
(1) sin 2 sin 4
3
5
(2 ) co s 2 与 co s 4
3
5
(2) cos 2 cos 4
限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式 tan0成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来易证明.
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角的
同一三角函数值有何关系？
诱导公式一
sin k • 2 sin cos k • 2 cos
角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值
tan k • 2 tan 将重复出现
其中k Z.
可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°到360°)角的三角函数值.
(Ⅱ)
M
P α的终边
三角函数线
y
α
x
O A(1,0)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
y
tanAT
α
M A(1,0)
O
x
(Ⅲ)
(Ⅳ)
PT α的终边
例1 作出以下各角的正弦线，余弦线，正切线
(1) (2)2
3
3
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
例2、设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明 sinα＋cosα>1吗？
y
P
OM x
MP＋OM>OP=1
例3. 比 较 大 小 ：
(1) sin 2 与 sin 4
3
5
(1) sin 2 sin 4
3
5
(2 ) co s 2 与 co s 4
3
5
(2) cos 2 cos 4
限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式 tan0成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来易证明.
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角的
同一三角函数值有何关系？
诱导公式一
sin k • 2 sin cos k • 2 cos
角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值
tan k • 2 tan 将重复出现
其中k Z.
可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°到360°)角的三角函数值.
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二课件新人教版必修4
2019/7/17
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1.角π5 和角6π5 有相同的(
)
A.正弦线
B.余弦线
C.正切线
D.不能确定
解析 ∵65π＝π＋π5 ，故它们有相同的正切线，故选 C.
答案 C
2.如果 MP 和 OM 分别是角 α＝78π 的正弦线和余弦线，那么下
列结论中正确的是( )
A.MP<OM<0
B.OM>0>MP
C.OM<MP<0
D.MP>0>OM
【训练 3】 求函数 f(x)＝
1－2cos
x＋lnsin
x－
22的定义域.
解
由题意，自变量
x
应满足不等式组
1sin2xcos2x200, .即scionsxx
12,
2 2
.
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴函数定义域为x|2kπ
M′P′，cos4π5 ＝OM′，tan4π5 ＝AT′.
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，
∴sin2π3
4π >sin 5
；|OM|<|OM′|，符号皆负，
∴cos2π3
4π >cos 5
；|AT|>|AT′|，符号皆负，
∴tan2π3
4π <tan 5
.
规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般 分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长 度；③确定有向线段的正负.
三、课后“静思2分钟”大有学问
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)课件
12/7/2021
第十八页，共二十八页。
(2)由题意，要使 f(x)有意义，则s9i－n xx>2≥0，0.
由 sin x>0 得 2kπ<x<2kπ＋π(k∈Z)，
①
由 9－x2≥0 得－3≤x≤3，
②
由①②得：f(x)的定义域为{x|0＜x≤3}．
12/7/2021
第十九页，共二十八页。
规律方法 求三角函数定义域的方法 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值 范围，一般(yībān)通过解不等式或不等式组求得，对于三角函 数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的 交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集 合再求交集．
12/7/2021
第二页，共二十八页。
知识点 1 三角函数的定义域 正弦函数 y＝sin x 的定义域是_____R_____；余弦函数 y＝ cos x 的定义域是_____R_____；正切函数 y＝tan x 的定义域是 {_x_|_x_∈__R_且___x_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_}__________．
规律方法 1.利用三角函数线比较大小的两个注意点 (1)角的终边的位置要找准； (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其 方向(fāngxiàng)． 2．利用三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角 函数线画出角α满足条件的终边范围． (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位 圆交点的纵坐标是该角的正弦值． (3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法 要求．
1.2.1 任意(rènyì)角的三角函数学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解 三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦 和正切(重点).3.能利用(lìyòng)三角函数线解决一些简单的三角函数 问题(难点)．
1.2.1 任意角的三角函数 课件(共36张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
做一做
2.下列函数值为正的是________． ①sin 171°；②cos 45π；③tan(－91°)． 解析：∵171°是第二象限角，所以 sin 171°>0； ∵45π 是第二象限角，所以 cos 45π<0； ∵－91°是第三象限角，所以 tan(－91°)>0.
答案：①③
栏目 导引
第一章 三角函数
3．诱导公式 终边相同的角的同一三角函数的值___相__等___，即 sin(α＋k·2π)＝___s_i_n_α____； cos(α＋k·2π)＝__c_o_s__α_____； tan(α＋k·2π)＝___t_a_n_α_____，其中k∈Z.
栏目 导引
第一章 三角函数
3．三角函数线四注意 (1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外； (2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由 原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的 交点； (3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴 反向的为负值； (4)书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)原式＝sin(2π＋π3 )cos(－4π＋π6 )＋tan(－4π＋π4)·cos(4π＋π3 ) ＝sinπ3cosπ6＋tanπ4cosπ3 ＝ 23× 23＋1×12＝54.
【名师点评】 由三角函数的定义可知，三角函数值的大小 是由角的终边位置确定的．终边相同的角的同一三角函数值 相等，而与角α终边相同的角总可以表示为α＋2kπ(α为弧度， k∈Z)或α＋k·360°(α为角度，k∈Z)的形式．
边的角 α 的正弦值为－ 22，求 cos α 和 tan α 的值． 【解】 设点 M 的坐标为(x1，y1)．
第一章 三角函数
做一做
2.下列函数值为正的是________． ①sin 171°；②cos 45π；③tan(－91°)． 解析：∵171°是第二象限角，所以 sin 171°>0； ∵45π 是第二象限角，所以 cos 45π<0； ∵－91°是第三象限角，所以 tan(－91°)>0.
答案：①③
栏目 导引
第一章 三角函数
3．诱导公式 终边相同的角的同一三角函数的值___相__等___，即 sin(α＋k·2π)＝___s_i_n_α____； cos(α＋k·2π)＝__c_o_s__α_____； tan(α＋k·2π)＝___t_a_n_α_____，其中k∈Z.
栏目 导引
第一章 三角函数
3．三角函数线四注意 (1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外； (2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由 原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的 交点； (3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴 反向的为负值； (4)书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)原式＝sin(2π＋π3 )cos(－4π＋π6 )＋tan(－4π＋π4)·cos(4π＋π3 ) ＝sinπ3cosπ6＋tanπ4cosπ3 ＝ 23× 23＋1×12＝54.
【名师点评】 由三角函数的定义可知，三角函数值的大小 是由角的终边位置确定的．终边相同的角的同一三角函数值 相等，而与角α终边相同的角总可以表示为α＋2kπ(α为弧度， k∈Z)或α＋k·360°(α为角度，k∈Z)的形式．
边的角 α 的正弦值为－ 22，求 cos α 和 tan α 的值． 【解】 设点 M 的坐标为(x1，y1)．
高中数学 1.2.1 任意角的三角函数配套课件 新人教版必
(3)yx叫做 α 的 正切 ，记作 tanα ，即 tan α＝xy(x≠0)． 对于确定的角 α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、 余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 3．正弦函数 sin α 的定义域是 R ；余弦函数 cos α 的定 义域是 R ；正切函数 tan α 的定义域是{x|x∈R，且 x≠kπ ＋π2，k∈Z}．
射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值 sin α＝
a2b＋b2，余弦值 cos终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，求 sin α， cos α，tan α 的值；
【问题导思】 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 P，PM⊥x 轴于 M，设 P(x，y)，|OP|＝r.
1．角 α 的正弦、余弦、正切分别等 于什么？
【提示】 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝xy.
2．对于确定的锐角 α，sin α、cos α、tan α 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变而改变？
【问题导思】 三角函数在各象限的符号由什么来确定？
【提示】 由三角函数的定义知三角函数在各象限的符 号由角 α 终边上任意一点的坐标来确定．
图 1－2－2 口诀：“一全正，二 正弦 ，三 正切 ，四 余弦 ”．
【问题导思】 当角 α 分别为 30°，390°，－330°时，它们的三角函数值 有什么关系？为什么？
1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角 α 终边上一点，会求角 α 的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一．
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注意事项:(1)当角的终边在x轴上时,点P与点M重合,点 T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,值为 零,而余弦线OM=1或-1. (2)当角的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变 成了一点,值为零,正切线不存在.
【题型探究】
类型一:任意角的三角函数线 【典例1】在单位圆中作出满足cosα = 1 的角α 的终边,
2.设α 为锐角,你能根据正弦线和余弦线说明 sinα +cosα >1吗? 提示:设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴, 垂足为M,则sinα=MP,cosα=OM,OP=1. 在Rt△OMP中,由两边之和大于第三边得: MP+OM>OP,即sinα+cosα>1.
【探究总结】 知识归纳:
2
并作出其正弦线、余弦线和正切线.
【解题指南】由cosα= 1 ,可作直线x= 1 ,与单位圆的
2
2
交点即为角α的终边与单位圆的交点,然后根据三角函
数线的定义得出正弦线、余弦线和正切线.
【解析】如图①,作直线x= 1 交单位圆于点P,Q,则
2
OP,OQ为角α的终边.
如图②所示,当α的终边是OP时,
【预习小测】
1.有三个说法:① 和 5 的正弦线相等;② 和 4
66
33
的正切线相等;③ 和 5 的余弦线相等.其中正确的
44
有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
【解析】选B. 和 5 的正弦线关于y轴对称,大小相等,
66
方向相同,因而相等; 和 4 的终边在同一条直线上,
1.2.1 任意角的三角函数(二)
【自主预习】 主题:三角函数线 1.如图,设角α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点 为P(x,y),则sinα =y,cosα =x都是正数,你能分别用一 条线段表交点P,向x轴作垂线,垂 足为M,则|MP|=y=sinα,|OM|=x=cosα.
2.若角α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点为 P(x,y),则sinα =y,cosα =x都是负数,此时角α 的正弦 值和余弦值分别用哪条线段表示?
提示:过角α的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线,垂 足为M,则-|MP|=y=sinα,-|OM|=x=cosα.
3.由上面1,2知|MP|=|y|=|sinα |;|OM|=|x|=|cosα |, 问怎样规定一个适当的方向使线段OM,MP的取值与点P 的坐标一致?
x
通过以上探究总结三角函数线的意义: (1)有向线段:_带__有__方__向__的__线__段__. (2)三角函数线:如图
则:sinα =_M_P_;cosα =_O_M_;tanα =_A_T_. 有向线段_M_P_,_O_M_,_A_T_分别叫做角α 的正弦线、余弦线、 正切线,统称为三角函数线.
【深度思考】 结合教材P17三角函数线的定义,你认为如何作任意角 (终边不在坐标轴上)的三角函数线? 第一步,_作__出__任__意__角__的__终__边__. 第二步,_作__单__位__圆__,_圆__与__角__的__终__边__交__点__为__P_,_与__x_轴__正__半__ _轴__交__点__为__A_.
提示:因为直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关, 所以可以以坐标轴的方向来规定线段OM,MP的方向,当 OM,MP的方向与坐标轴的方向相同时,规定为正值;当 OM,MP的方向与坐标轴的方向相反时,规定为负值.这样 不论P,M的位置在何处,都有其值与点P的坐标一致.
4.如何在单位圆中找像OM,MP这样的线段来表示角 α 的正切? 提示:如图,过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的 终边或反向延长线交于点T,根据相似三角形的知识 知:tanα = y =AT.
2
答案:- 1
2
5.比较sin1,cos1,tan1的大小关系是
.
【解析】作出sin1,cos1,tan1的三角函数线,如图,显
然cos1<sin1<tan1.
答案:cos1<sin1<tan1
【备选训练】已知sinα ≥ 1 ,求角α 的集合.
2
【解析】作直线y= 1 交单位圆于A,B两点,连接
A. 11 10
B. 9 2
C. 3 4
D. 8 7
【解析】选B.因为 9 的终边落在y轴的非负半轴上,故
2
正切线不存在.
4.若角α 的余弦线长度为 1 ,且方向与x轴负方向相同,
2
则cosα =
.
【解析】因为α的余弦线方向与x轴负方向相同,所以
cosα<0,所以cosα=- 1 .
第三步,_过__P_作__P_M_⊥__x_轴__,_过__A_作__x_轴__垂__线__与__角__的__终__边__或__其__ _反__向__延__长__线__交__于__点__T_. 第四步,_有__向__线__段__M_P_,_O_M_,_A_T_即__分__别__为__该__角__的__正__弦__线__、__ _余__弦__线__、__正__切__线__.
33
因而正切线相等; 和 5 的余弦线方向不同,因而不相
44
等.故选B.
2.若a=sin2,b=cos2,则a,b的大小关系为 ( )
A.a<b
B.b<a
C.a=b
D.不能确定
【解析】选B.因为 <2<π,作出2的正弦线,余弦线.
2
显然sin2>cos2.
3.下列角的正切线不存在的是 ( )
角α的正弦线为MP,余弦线为OM,
正切线为AT.
当α的终边为OQ时,角α的正弦线为MQ,余弦线为OM,正
切线为AT′.
【延伸探究】
1.将本题中条件“cosα = 1 ”改为“sinα = 2 ”,
2
2
其他条件不变,结论如何?
2
OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即角
α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为
{ | 2k 2k 5 , k Z}.
6
6
【互动探究】 1.若α 是任意角,根据正弦线、余弦线,则sinα , cosα 的取值范围是什么? 提示:由单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 -1≤sinα ≤1,-1≤cosα ≤1.