苏教版排列(第2课时)

1 1 3 78种 直接 A 4 4 A 3A 3A 3
5 4 3 间接A5 2 A4 A3 78
（3）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数 字且个位数字不是4的五位数？
A 2 A A (个）
5 6 4 5 3 4
（4）用间接法解—“6个同学和2个老师排成一排照 相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种不同的排法？”
解题技巧分类讲解：
（一）特殊元素的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考 虑特殊元素，再考虑其它元素. 例1 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有 重复数字的三位数，其中偶数共有____个 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必 须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的 “特殊”元素，应优先安排.按0排在末尾和不排在 末尾分为两类； 1) 0排在末尾时，有 A 2 4 个；
分析数字特征：6的倍数既是2的倍数又是3的倍数.其中3的 倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征. 把6分成4组，（3），（6），（1，5），（2，4），每组 的数字和都是3的倍数.因此可分成两类讨论；
第一类：由1，2，4， 5，6作数码；首先从2，4，6中任选 1 一个作个位数字有A 3 ，然后其余四个数在其他数位上全排 1 4 4 列有 A 4 ，所以 N 1 A 3A 4
2(6!2 5!4!) 1008(种）
（三）相邻问题——捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将 相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元 （组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组） 内部进行排列.
例3 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻， 分别有多少种站法？
分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素， 与其余4人共有5个元素做全排列，有A 5 5 种排法，然后 对甲，乙，丙三人进行全排列. 由分步计数原理可得： 5 3 A5A3 种不同排法.
1.阶乘：n! 1 2 3 (n 1) n
A n!
n n
m n
（2）排列数公式:
n！ A n (n 1) (n m 1) (m、n N*, m n) (n m)！
引例:甲,乙,丙等7人站一排,求以下情况的不同排法: (1)甲不站在排头也不站排尾; (2)甲站在排头或乙站在排尾; (3)甲不站在排头,乙不站在排尾; (4)甲乙站在一起; (5)甲乙不站在一起; (6)甲,乙,丙3人按甲乙丙的顺序(可以不相邻); (7)甲在乙的左边; (8)甲,乙之间恰隔一人; (9)甲,乙之间恰隔两人;
比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要
举行几场？
分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的 所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要
进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛.
（十）特征分析
研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所 提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解. 例10 由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少 个无重复且是6的倍数的五位数？
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可 重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看 作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原 5 理得 7 种. 7 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 5 呢？
用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数.
(九) 对应法 例9 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场
分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难， 可用实验法逐步解决. 第一方格内可填2或3或4.如填2，则第二方格中内可填1或3或4. 若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3. 若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1. 同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填 3.因而，第一格填2有3种方法.
练习4
〈1〉三个男生，四个女生排成一排，男生之间、 女生之间不相邻，有几种不同排法？ 插空法：
3 4 A3 A4
〈2〉如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男 生之间不相邻，有几种不同排法？
4 2 插空法： A4 A5
（五）顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先 将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总 的排列数除以这几个元素的全排列数. 例5 有4名男生，3名女生.3名女生高矮互不等， 将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高
知识要点：
评注 ：解答元素“在”与“不在”某一位置问题常常 使用“直接法”或“排除法”，思路是：优先安置受 限制的元素，然后再考虑一般对象的安置问题，常用 方法如下： 1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原 理． 2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数 原理． 3）从“对立事件”出发，用减法．
解排列问题，应按元素的性质进行分类， 事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明 确，分步层次清楚，不重不漏.
常见的排队的三种题型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置 ——优限法； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻） ——捆绑法；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻） ——插空法．
方法总结
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连 排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略 （２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些 不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题 插空处理的策略
不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种.
（八）住店法 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复 的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利 用乘法原理直接求解. 例8 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一 人获得，获得冠军的可能的种数有_______
1.2.1
排列(2)
复习巩固
1、排列的定义： 从n个不同元素中，任取m( m n )个元素（m个元素 不可重复取）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数的定义： 从n个不同元素中，任取m( m n )个元素的所有排 m A 列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数 n 3.有关公式：
排列，有多少种排法？ 7 分析：先在7个位置上作全排列，有 A7 种排法.其中
3 A 3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 3
只对应一种排法，
A A74 所以共有 A
7 7 3 3
种.
本题也可以这样考虑：对应于先将没有限制 4 条件的其他元素进行排列，有 A7 种方法；
再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排 列，只有一种方法；
7 A7
种.
练习6
（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、 后排四人，有几种不同排法？
A A A
3 7 4 4
7 7
或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他 条件， 所以
两排可看作一排来处理
7 不同的坐法有 A7 种
（2）八个人排成两排，有几种不同排法？
A
8 8
（七）实验法 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验 逐步寻求规律有时也是行之有效的方法. 例7 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4 的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标 号与所填的数字均不相同的填法种数有____种
分类：后两位数字为5或0： 个位数为0： A5 1 3 A A 个位数为5： 4 4
4 5 1 4 3 4
4
A A A 216
（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数？ 分类： A A A A A A 1 325
1 2 4 5 1 3 3 4 1 2 2 3
3 5
数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种.
分析：五个数组成三位数的全排列有 A 个，0排在首 2 2 位的有 A4 个 ，1排在末尾的有 A4 ，减掉这两种不合 1 条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数 A3 （为什么？）
3 2 1 A 2 A A 4 3 39 故共有 5
4 故，总的排列方法数为： A7 840(种)
练习5
（ 1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？
分析：若不考虑限制条件，则有 A 5 5 种排法，而甲，
乙之间排法有 A 2 2 种，故甲在乙前面的排法只有一种 符合条件，故
A5 符合条件的排法有 2 A2
5
3 即A5
种.
(2) 三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三 人的顺序不变，有几种不同排法？
2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位， 1 1 最后排十位有 A1 A 2 3A 3 个；
由分类计数原理，共有偶数 30 个.
练习1
（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字 的五位偶数？ 4 个位数为零： A5 个位数为2或4： A A A
1 2 1 4 3 4
4 1 1 3 所以 A5 A2 A4 A4 312 （2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且能被五整除的五位数？
A A74 A
7 7 3 3
（六）分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题，若没有其他
的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.