1.2排列第二课时ppt.ppt
1.2 第二课时 排列的应用 课件(北师大选修2-3)
(2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有 A4 4种排法， 第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有
2 2 A5 种排法，共有 A4 A 4 5＝480 种排法．
(8 分)
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[一点通]
(1)相邻问题用捆绑法解决，即把相邻元素
看成一个整体作为一个元素与其他元素排列．但不要忘记 再对这些元素“松绑”，即对这些元素内部全排列．
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点击 下图
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4 N＝A4 A 4 4＝576(种).
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[例2]
7名同学站成一排．
(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
[思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题，每一
问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排 的原则．
第 1 部 分
把握热点 考向 第 一 章 §2 第 二 课 时 应用创新 演练
考点一 考点二 考点三
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[例1]
由数字1,2,3,4可组成多少个无重复数字的正整数？
[思路点拨]
可分别求出一位数、二位数、三位数、四位
数的个数，再求和． [精解详析] 第一类：组成一位数有A 2 4 ＝4个；
解析：组成 3 位数，相当于将 3 个元素排在三个位置， 但 0 不能在首位，首位的排法有 A1 2，而其余两位排法
1 2 有 A2 ，由分步乘法原理知，共有 A 2 2A2＝4 种排法．
答案：D
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5．老师与课外活动小组的四位成员站成一排照相，
(1)要求老师站在中间有多少排法？ (2)要求老师不站在两端有多少排法？
1.2排列第二课时ppt
解三：个将女三孩个之女间孩有看A作33种一排人法与，四所个以男共孩有排：队A，55有 AA3355种7排2法0(，种而).
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三 个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念. (2)若三个女孩要站在一起,四个男孩也要站在一起, 则有多 少种不同的排法?
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的书都有5种不同的方 法，因此送给3名同学每人1本书的不同方法的种数是
5×5×5＝125
例3 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数?
分析：这道题不能完全用排列数 A130来解,因为数字0不能在首位.
从不同的角度来考虑问题,就能设计出不同的解决方案．
解法一:
A91 A92 9 9 8 648
解法二:
A3 9
A2 9
A2 9
648
解法三:
A3 10
A92
648
答：一共可以组成648个没有重复数字的三位数.
一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的 计算方法：
（l）直接计算法 排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个
1．4辆不同公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上配一位 司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？
A44A44 576
2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的 正整数？
A61 A62 A63 A64 A65 A66 1956
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念. (1)若三个女孩要站在一起,则有多少种不同的排法?
五年级上册语文语文园地一第二课时PPT部编版优秀ppt课件
虞世南 （558-638）
交流平台 词句段运用 日积月累
知人论世
相传虞世南任弘文馆学士， 但从不傲慢，踏实勤奋，使得 李世民对其称赞有加，深为赏 识，于是常邀他参加一些典礼 活动。一天，李世民起了雅兴， 邀请弘文馆学士们共赏海池景 色，谈诗论画，李世民询问大 家是否有新的诗歌作品，虞世 南便诵读出该诗。
再见
态度；气度。
结合语境理解：这里将 桂花树与梅树作对比，说明 桂花树外表朴素，样子不张 扬。那么梅树就是有“姿 态”，有“样儿”了。
结合语境理解：新年新 气象，每个人都要用最好的 心态、最精神的面貌去迎接 新的一年。所以这里是“态 度；气度”的意思。
交流平台 词句段运用 日积月累
一词多义
3.练习第三组试题，根据要求用“温和”写句子。
交流平台 词句段运用 日积月累
一词多义
有的词语有两个或两个以上的意思，称为多义词。 使用时，需要结合其所在的语境判断意思。
2.自学第二组例句，说一说两个句子里“姿态”的含义有什么不 同，你是根据什么理解的。
姿势；样儿。
姿态
• 桂花树的样子笨笨的，不像梅树那样有姿态。 • 大家以全新的姿态迎接新年的到来。
《竹石》 2.背诵日积月累。
体面：①体统、身份；②光荣、光彩；③(相貌或样子)好看、美丽。
（3）结合全文，分析鸥小姐的性格特点。 （2）女娲炼石补天处，石破天惊逗秋雨。
——（《1李）凭箜他篌引在》外拼搏多年，现在穿着西装，开着好车，很体面地回到了家
要背课文：《为人民服务》2、4自然段
② 注辛释苦日： 遭逢积起一月经累，干戈寥落四周星。山河破碎风飘絮乡，。身世（浮沉雨打萍）。
我的作品有《李义山诗集》。
排列的综合应用(习题课) 课件(30张)第二课时
法三(间接法)：在排列时，我们对 6 个人不考虑甲站的位置全排列，有 A66种站法； 但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数 2A55，于是共有 A66－2A55＝480(种)站法．
解决不相邻问题用“插空法” 将 n 个不同的元素排成一排，其中 k 个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的 种数，具体求解步骤如下： (1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有 Ann－－kk种； (2)将要求两两不相邻的 k 个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空 隙中选出 k 个分别分配给两两不相邻的 k 个元素，其排列方法有 Akn－k＋1种； (3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有 Ann－－kk·Akn－k＋1种．
[跟踪训练]
某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与
化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是
()
A．24
B．16
C．8
D．12
解析：根据题意，分 3 步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个
整体，考虑其顺序，有 A22＝2 种情况；②将这个整体与英语全排列，有 A22＝2 种情况， 排好后，有 3 个空位；③数学与物理不相邻，有 3 个空位可选，有 A23＝6 种情况，则 不同排课法的种数是 2×2×6＝24(种)． 答案：A
(2)法一(元素分析法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 A22种站法；再 让其他 4 个人在中间 4 个位置全排列，有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22 A44＝48 种站法．
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(第2课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.2 组合第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断以下问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列那么需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成以下两个练习： 练习1：求证：C m n ＝n m C m －1n －1.(本式也可变形为：mC m n ＝nC m －1n －1)练习2：计算：①C 310和C 710；②C 37－C 26与C 36；③C 411＋C 511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120 ②20,20 ③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示．2．组合数的公式：C m n＝A mn A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C mn ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m∈N ，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充． 活动成果：1．性质：(1)C mn ＝C n －mn ；(2)C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .2．证明：(1)∵C n －mn ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！，又C mn ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －mn .(2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C mn ＋1，∴C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质 1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (2)求证：C nm ＋2＝C nm ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C nm ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C nm ＋1＋C n －1m ＋1＝C nm ＋2＝左边． [巩固练习]求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝n2n －1.证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C nn ，其中C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n 个同学，选出假设干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，那么选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n －1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．[变练演编]求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n(n ＋1)2n －2.证明：由于i 2C in ＝C 1i C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．假设组长和副组长是同一个人，那么有n2n －1种选法；假设组长和副组长不是同一个人，那么有n(n－1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n －2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少〞“至多〞的问题，通常用分类法或间接法求解． [巩固练习]1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C 34，C 24×C 16，C 14×C 26种方法，所以，一共有C 34＋C 24×C 16＋C 14×C 26＝100种方法． 解法二：(间接法)C 310－C 36＝100.2．按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选； (3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选； (5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C 33C 29＝36；(2)C 03C 59＝126；(3)C 11C 49＝126；(4)C 13C 49＝378； (5)方法一：(直接法)C 03C 59＋C 13C 49＋C 23C 39＝756， 方法二：(间接法)C 512－C 33C 29＝756；(6)方法一：(直接法)C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666， 方法二：(间接法)C 512－C 03C 59＝666. [变练演编]有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少X 不同的？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C 45C 44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝60种； 第三类：2名英、法语皆通的均选，有A 22C 35C 34＋C 25C 44＋C 45C 24＝120种． 根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的． [达标检测]1．计算：(1)C 399＋C 299；(2)2C 38－C 39＋C 28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求X 、王两人中至多有一个人参加，那么有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，那么甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种． 答案：课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题． 2．方法收获：化归的思想方法． 3．思维收获：化归的思想方法．补充练习[基础练习]1．求证：(1)C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn －1＋C m －1n －1；(2)C m ＋1n ＋C m －1n ＋2C mn ＝C m ＋1n ＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，那么一共有多少种不同的取法？38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．[拓展练习]现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，那么有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，那么每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，那么使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1〞所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有C m－1n＋m－1组．简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，那么方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1n＋m－1.。
2019-2020学年高中数学浙江专版选修2-3学案：第一章 1.2 1.2.1 第二课时 排列的综合应用 Word版含解析
第二课时排列的综合应用[典例]用(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．[解](1)第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有A14种排法；第三步，排其他位，有A44种排法．故共有A13A14A44＝288个六位奇数．(2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个；第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个．故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)．法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．(3)分三种情况，具体如下：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A12A13个；形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．[一题多变]1．[变设问]本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？解：个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A45个；若个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数．2．[变设问]本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项？解：由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A44个数，所以240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．3．[变条件，变设问]用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数．解：本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A44＝24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，有A13＝3(种)方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1，3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有A13＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有A33＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A13·A13·A33＝54.由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)．数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.(2)常用方法：直接法、间接法．(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．排队问题[典例]3(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．[解](1)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余六人全排列，故N＝A13A66＝2 160(种)．(2)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排列，故N＝A22·A55＝240(种)．(3)[法一特殊元素优先法]按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端有N1＝A66(种)，第二类，甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排列A55，有N2＝A15A15A55，故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．[法二间接法]无限制条件的排列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．[法三特殊位置优先法]按最左端优先安排分步．对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在后4个位置，因此先排女生甲、乙有A23种方法，再排男生丙、丁有A24种方法，最后把剩余的3名同学全排列有A33种方法．故N＝A23·A24·A33＝432(种)．排队问题的解题策略(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果．[活学活用]排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A46＝43 200种方法．(2)先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A44·A55＝2 880种方法．层级一学业水平达标1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720 D．240解析：选C由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.2．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数共有()A．900个B．720个C．648个D．504个解析：选C由于百位数字不能是0，所以百位数字的取法有A19种，其余两位上的数字取法有A29种，所以三位数字有A19·A29＝648(个)．3．数列{a n}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有()A．30个B．31个C．60个D．61个解析：选A在数列的6项中，只要考虑两个非1的项的位置，即可得不同数列共有A26＝30个．4．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A．720种B．360种C．240种D．120种解析：选C(捆绑法)甲、乙看作一个整体，有A22种排法，再和其余4人，共5个元素全排列，有A55种排法，故共有排法A22·A55＝240种．5．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法种数为()A．36 B．42C．58 D．64解析：选A将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，故共有A22A44＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A，B 相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．6．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书均不相邻的摆法有________种(用数字作答)．解析：根据题意，分2步进行分析：①将5本书进行全排列，有A55＝120种情况．②其中语文书相邻的情况有A22A44＝48种，数学书相邻的情况有A22A44＝48种，语文书，数学书同时相邻的情况有A22A22A33＝24种，则同一科目的书均不相邻的摆法有120－48－48＋24＝48种．答案：487．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许空袋且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．解析：(排除法)红球放入红口袋中共有A44种放法，则满足条件的放法种数为A55－A44＝96(种)．答案：968．用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．解析：0夹在1,3之间有A22A33种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有A12A22A12A22种排法．所以一共有A22A33＋A12A22A12A22＝28种排法．答案：289．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)＝37 440种．10．从5名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果A不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？解：法一：当A被选上时，共有A13A34种方法，其中A13表示A从除去第一棒的其他三棒中任选一棒；A34表示再从剩下4人中任选3人安排在其他三棒．当A没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有A44种方法．故共有A13A34＋A44＝96(种)参赛方法．法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填A，有4种填法，其他三个框图共有A34种填法，故共有4×A34＝96(种)参赛方法．法三：先不考虑A是否跑第一棒，共有A45＝120(种)方法．其中A在第一棒时共有A34种方法，故共有A45－A34＝96(种)参赛方法．层级二应试能力达标1．(四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A．24B．48C．60 D．72解析：选D第一步，先排个位，有A13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有A13·A44＝72(个)．2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有()A．108种B．186种C．216种D．270种解析：选B可选用间接法解决：A37－A34＝186(种)，故选B．3．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有() A．288个B．240个C．144个D．126个解析：选B个位上是0时，有A14A34＝96(个)；个位上不是0时，有A12A13A34＝144(个)．∴由分类加法计数原理得，共有96＋144＝240(个)符合要求的五位偶数．4．(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有4A44种．故不同的排法共有A55＋4A44＝120＋4×24＝216种．5．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．解析：(插空法)8名学生的排列方法有A88种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A29，由分步乘法计数原理，总的排法总数为A88A29＝2 903 040.答案：2 903 0406．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答)．解析：甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，只有1种．然后再把分成的两组分到不同班级里，则共有(1＋2＋1)A22＝8(种)．答案：87．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880(种)排法．8．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种．。
高中数学— 排列与组合
Amn
= =
n(n-1)(n (n-nm! )!.
-
m
+
1)
(n (n
-
m)(n m)(n
-
m m
-1)3 -1)3
21 21
Amn
=
(n
n! - m)!
例(补充).
求证:
Akn+1
=
n
n+1 +1-
k
Akn
(k
n).
证明:
左边
Akn+1
=
(n + 1)! (n+1- k)!
(n+1)n! =
(n+1-k)(n-k)!
=
n
n+1 +1- k
Akn
= 右边.
练习: (课本20页) 第 3、4 题.
练习: (课本20页)
3. 用计算器计算下表中的阶乘数, 并填入表中:
n 234 5 6 7
8
n! 2 6 24 120 720 5040 40320
4. 求证:
(1) Amn = nAmn--11 ; (2) A88 - 8A77 + 7A66 = A77 .
元素相同, 顺序也相同, 则是同一个排列.
【课时小结】
2. 排列方法 从右到左依次替换元素. 如: 从元素 1, 2, 3, 4, 5, 6 中取 3 个元素
的排列.
1, 2 排头, 换第三位 123, 124, 125, 126;
1, 3 排头, 换第三位 132, 134, 135, 136; ……
abc 与 abd 不同. 元素相同, 顺序不同, 也是不同的排列.
课件7：1.2.2 第二课时 组合的综合应用
法二：(间接法)C46－C24＝9 种．
【答案】A
考点二 与几何有关的组合问题 例2.平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共 线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [思路点拨] 解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为 分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点 的取法种数．
1.2 排列与组合 1.2.2 组 合
第二课时 组合的综合应用
考点一 有限制条件的组合问题 例1.现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (2)至少有一件是次品的抽法有多少种？ [思路点拨] 分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步．
解:(1)从 2 件次品中任取 1 件，有 C12种抽法． 从 8 件正品中取 2 件，有 C28种抽法． 由分步乘法计数原理可知，不同的抽法共有 C12×C28＝56 种． (2)法一：含 1 件次品的抽法有 C12×C28种， 含 2 件次品的抽法有 C22×C18种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法共有 C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64 种．
解：分两类： 第一类，甲被选中，共有 C25C24C14A44种分派方案； 第二类，甲不被选中，共有 C35C24A55种分派方案． 根据分类加法计数原理，共有 C25C24C14A44＋C35C24A55＝5 760＋7 200＝12 960 种分派方案．
[一点通] 本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解 决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位 置优先安排的原则．
法二(间接法)：从 12 个点中任意取 3 个点，有 C312＝220 种取法， 而在共线的 4 个点中任意取 3 个均不能构成三角形，即不能构成三角 形的情况有 C34＝4 种．
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例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三 个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念. (2)若三个女孩要站在一起,四个男孩也要站在一起, 则有多 少种不同的排法?
2 3 4 A2 A3 A4 不同的排法有：
288 （种）
说一 说
捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理.
解：由于任何2队间进行一次主场比赛和一次客场比赛，所 以 一场比赛对应于从12个元素中任取2个元素的一个排列，因此 2 A 12 11 132 总共进行的比赛场数等于排列数 12
点评： 在解排列应用题时，先要认真审题，看这个问题能不能 归结为排列问题来解， （1）n个不同元素是指什么？ （2）m个元素是指什么？ （3）从n个不同元素中取出m个元素的每一种排列，对应着什么 事情？
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念. (1)若三个女孩要站在一起,则有多少种不同的排法?
捆 绑 法
5 解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 A5 种排法，而 5 3 3 A A A 三个女孩之间有 3 种排法，所以共有： 5 3 720 (种).
问题1:什么叫做排列? 问题2:什么叫做排列数?排列数的公式是怎样的?
A
m n
n(n - 1)(n - 2)
(n - m 1)
n! * * (n N ,m N ,m n ) (n - m )!
规定:0!=1
例1 某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、 客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
3 5
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的书都有5种不同的方 法，因此送给3名同学每人1本书的不同方法的种数是
5×5×5＝125
例3 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数?
分析：这道题不能完全用排列数 A 3来解,因为数字0不能在首位. 10 从不同的角度来考虑问题,就能设计出不同的解决方案．
例2（l）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学， 每人1本， 共有多少种不同送法? （2）有5种不同的书，每种有若干本.要买3本送给3名同学，每 人1本，共有多少种不同的送法？ 解:（l）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从 5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法种数是
A 5 4 3 60
插空法一般适用于 不相邻 问题的处理.
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个 Nhomakorabea庭是一个男孩,三个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念.
思考:若女孩甲不在排头,男孩乙不站排尾,则有多少种不同
的排法?
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
7 解：七个小孩总的排法是 A7 , 其中不符合要求的可分为: 6 6 A A (I)女孩甲站在排头,有 6 , (II)男孩乙站在排尾,有 6 , 5 但这两种排法,都包括女孩甲站排头且男孩乙站排尾, 图(III),有 A5 7 6 5 A 2 A A 所以符合要求的排法为: 7 6 5
1．4辆不同公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上配一位 司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？
A A
4 4
4 4
576
2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的 正整数？
A A A A A A 1956
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
1. 相邻问题一般用“捆绑法”解决;
2. 不相邻问题一般用“插空法”解决.
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三 个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念. (3)若三个女孩互不相邻, 则有多少种不同的排法?
插 空 法
解：先把四个男孩排成一排有 A 个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有 4 3 A A 1440 . 4 5 （种）排法 所以共有：
解法一:
1 2 A9 A9 9 9 8 648
解法二:
解法三:
A A A 648
3 9 2 9 2 9
A A 648
3 10 2 9
答：一共可以组成648个没有重复数字的三位数.
一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的 计算方法： （l）直接计算法 排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个 （或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此 进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理 特殊元素或先处理特殊位置的方法．这些统称为“特殊元素 （位置）优先考虑法”． （2）间接计算法 先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去 全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数. 这 种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复，不 遗漏.
4 4 种排法，在每一排列中有五 3
A 种方法， 5
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三个 家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念. (4)若三个女孩互不相邻,四个男孩也互不相邻, 则有多少种不同 的排法?
4 3 不同的排法共有： A4 （种） A3 144
说一 说