考研数学二(线性方程组)模拟试卷21

考研数学二（线性方程组）模拟试卷21(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A是n阶矩阵，α是n，则线性方程组( )（分数：2.00）A.Ax=α必有无穷多解。

B.Ax=α必有唯一解。

仅有零解。

必有非零解。

√解析：解析：齐次线性方程必有解(零解)，则选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、B。

又齐次线性方程组=0有n+1个变量，而由题设条件=r(A)≤n＜n+1。

所以该方程组必有非零解，故选D。

3.设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解。

B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解。

C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解。

D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解。

√解析：解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A b)，所以选项A、B均不正确。

而由Ax=b有无穷多个解可知，b)＜n。

根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解。

所以应选D。

4.设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3 )，α1 +3α2—4α3，可以作为导出组Ax=0的解向量有( )个。

（分数：2.00）A.4。

√B.3。

C.2。

D.1。

解析：解析：由于Aα1 =Aα2 =Aα3 =b，可知 A(α1一α2 )=Aα1—Aα2 =b—b=0， A(α1一2α2+α3)=Aα1—2Aα2+Aα3=b一2b+b=0，A[ (α1一α3)]= (Aα1一Aα3(b一b)=0， A(α1 +3α2—4α3 )=Aα1 +3Aα2—4Aα3 =b+3b一4b=0。

这四个向量都是Ax=0的解，故选A。

5.已知α1 =(1，1，一1) T，α2 =(1，2，0) T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，一1，3) T。

B.(2，1，一3) T。

√ C.(2，2，一5) T 。

D.(2，一2，6) T 。

解析：解析：如果A 选项是Ax=0的解，则D 选项必是Ax=0的解。

因此选项A 、D 均不是Ax=0的解。

由于α 1 ，α 2 是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的任何一个解η均可由α 1 ，α 2 线性表示，也即方程组x 1α 1 +x 2 α 2 =η必有解，而可见第二个方程组无解，即(2，2，一5) T不能由α 1 ，α 2 线性表示。

所以应选B 。

6.设α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 是四维非零列向量组，A=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )，A *为A 的伴随矩阵。

已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0) T，则A *x=0的基础解系为( ) （分数：2.00）A.α 1 ，α 2 ，α 3 。

B.α 1 +α 2 ，α 2 +α 3 ，α 1 +α 3 。

C.α 2 ，α 3 ，α 4 。

√D.α 1 +α 2 ，α 2 +α 3 ，α 3 +α 4 ，α 4 +α 1 。

解析：解析：方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A 的秩r(A)=4一1=3，则其伴随矩阵A *的秩r(A *)=1，于是方程组A *x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。

又A *(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )：A *A=｜A ｜E=0，所以向量α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 都是方程组A *x=0的解。

将(1，0，2，0) T代入方程组Ax=0可得α 1 +2α 3 =0，这说明α 1 可由向量组α 2 ，α 3 ，α 4 线性表出，而向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 的秩等于3，所以向量组α 2 ，α 3 ，α 4 必线性无关。

所以选C 。

事实上，由α 1 +2α 3 =0可知向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，选项A 不正确；显然，选项B 中的向量都能被α 1 ，α 2 ，α 3 线性表出，说明向量组α 1 +α 2 ，α 2 +α 3 ，α 1 +α 3 线性相关，选项B 不正确；而选项D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型D 也不正确。

7.设A 是m×n 矩阵，A T是A 的转置，若η 1 ，η 2 ，…，η t 为方程组A Tx=0的基础解系，则r(A)=( ) （分数：2.00） A.t 。

B.n —t 。

C.m —t 。

√ D.n —m 。

解析：解析：r(A T)+t 等于A T的列数，即r(A T)+t=m ，所以r(A T)=m 一t=r(A)。

8.已知β 1 ，β 2 是非齐次线性方程组Ax=b 的两个不同的解，α 1 ，α 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( ) （分数：2.00）A.k 1 α 1 +k 2 (α 1 +α 2B.k 1 α 1 +k 2 (α 1 一α 2 √C.k 1 α 1 +k 2 (β 1 +β 2D.k 1 α 1 +k 2 (β 1 一β 2解析：解析：对于A 、C 选项，因为(b 一b)=0， 所以选项A 、C 中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确。

对于选项D ，虽然β 1 一β 2 是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α 1 不一定线性无关，故D 也不正确，所以应选B 。

事实上，对于选项B ，由于α 1 ，α 1 一α 2 与α 1 ，α 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故α 1 ，α 1 一α 2也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由(Aβ1 +Aβ2 ) = (b+b)=b，可知Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确。

9.设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)A n x=0和(Ⅱ)A n＋1x=0，现有四个命题：①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。

以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.①②。

√B.①④。

C.③④。

D.②③。

解析：解析：若A nα=0，则A n＋1α=A(A nα)=A0=0，即若α是(1)的解，则α必是(2)的解，可见命题①正确。

如果A n＋1α=0，而A nα≠0，那么对于向量组α，Aα，A 2α，…，A nα，一方面有：若kα+k 1 Aα+k 2 A 2α+…+k n A nα=0，用A n左乘上式的两边得kA nα=0。

由A nα≠0可知必有k=0。

类似地可得k 1 =k 2=…=k n =0。

因此，α，Aα，A 2α，…，A nα线性无关。

但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。

故A n＋1α=0时，必有A 2α=0，即(2)的解必是(1)的解。

因此命题②正确。

所以应选A。

二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.k= 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）解析：解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，=12(k+1)=0，因此得k=一1。

11.a= 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：n元线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是r(A)=，而有无穷多解的充分必要条件是r(A)=＜n由于r(A)=2，所以6—2a=0，即a=3。

Ax=β无解，则a= 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1或3）解析：解析：已知方程组无解，所以r(A)≠r(A，β)。

又因为r(A，β)=3，所以r(A)≤2，故有｜A｜a=1或3。

13.设 A *是A的伴随矩阵，则A * x=0的通解是 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，一1) T +k 2 (1，0，1) T，k 1，k 2是任意常数）解析：解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A * )=1，则由n—r(A * )=2可知，A * x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为k 1η1 +k 2η2。

又因为A * A=｜A｜E=0，所以矩阵A的列向量是A * x=0的解，故通解是k 1 (1，2，一1) T +k 2 (1，0，1) T。

14.设(1，1，1) T，(2，2，3) T均为线性方程组 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k(1，1，2) T +(1，1，1) T，k∈R）解析：解析：该线性方程组的系数矩阵为A= 。

已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵A不满秩，也即r(A)＜3，又因为A的一个二阶子式=一2≠0，所以r(A)≥2。

故r(A)=2。

因此导出组Ax=0的基础解系中含有1个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3) T一(1，1，1) T =(1，1，2) T是Ax=0的解，即Ax=0的基础解系。

故原方程组的通解为k(1，1，2) T +(1，1，1) T，k∈R。

15.已知齐次线性方程组有通解k 1 (2，一1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T，则方程组通解是 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k(13，一3，1，5) T，k为任意常数）解析：解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解代入(2)的第三个方程，得 (2k 1 +3k 2 )一2(一k 1 +2k 2 )+0k 2 +k 1 =0，即5k 1 =k 2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为 5k 2 (2，一1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0)T =k2 (13，一3，1，5) T，k2为任意常数。