中考数学复习第五单元四边形滚动小专题(六)与四边形有关的计算与证明练习

滚动小专题(六) 与四边形有关的计算与证明
1．(2018·大庆)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，过E 作EF∥DC 交BC 的延长线于点F.
(1)证明：四边形CDEF 是平行四边形；
(2)若四边形CDEF 的周长是25 cm ，AC 的长为5 cm ，求线段AB 的长度．
解：(1)证明：∵D，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，
∴ED 是Rt △ABC 的中位线．
∴ED∥FC.BC＝2DE.
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF 是平行四边形．
(2)∵四边形CDEF 是平行四边形，
∴DC＝EF.
∵DC 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，
∴AB＝2DC.
∴四边形CDEF 的周长＝AB ＋BC.
∵四边形CDEF 的周长为25 cm ，AC 的长5 cm ，
∴BC＝25－AB.
∵在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，
∴AB 2＝BC 2＋AC 2，即AB 2＝(25－AB)2＋52.
解得AB ＝13.
∴线段AB 的长为13 cm .
2．如图，在▱ABCD 中，直线EF 绕对角线AC 的中点O 旋转，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，连接AE ，CF.
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若AC ＝2，∠CAF ＝30°，则当AF AECF 是矩形．
证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，
∴∠OAF ＝∠OCE.
∵点O 是▱ABCD 对角线的交点，
∴OA＝OC.
在△AOF 和△COE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠OAF＝∠OCE，
OA ＝OC ，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA )．
∴AF＝CE.
∵AF∥CE，
∴四边形AECF 是平行四边形.
3．(2018·扬州)如图，在▱ABCD 中，DB ＝DA ，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE.
(1)求证：四边形AEBD 是菱形；
(2)若DC ＝10，tan ∠DCB＝3，求菱形AEBD 的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF.
∵∠AFD＝∠BFE，AF ＝BF ，
∴△AFD≌△BFE(ASA )． ∴AD＝EB.∵AD ∥EB，
∴四边形AEBD 是平行四边形．
∵BD＝AD ，
∴四边形AEBD 是菱形．
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD＝AB ＝10，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠DCB.
∴tan ∠ABE＝tan ∠DCB＝3.
∵四边形AEBD 是菱形，
∴AB⊥DE，AF ＝FB ，EF ＝DF.
∴tan ∠ABE＝EF BF ＝3. ∵DC＝10，BF ＝102， ∴EF＝3102.
∴DE＝310. ∴S 菱形AEBD ＝12·AB·DE＝1
2×10×310＝15.
4．(2017·上海)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC.
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．
证明：(1)在△ADE 和△CDE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，
∴△ADE≌△CDE(SSS )．∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC .
∴∠BDC＝∠DBC.∴CD＝BC ＝AD.
又∵AD∥BC.∴四边形ABCD 是菱形．
(2)∵BE＝BC ，∴∠BEC＝∠BCE.
设∠CBE＝2x°，∠BCE＝∠BEC＝3x°，则
2x ＋3x ＋3x ＝180，解得x ＝22.5.
∴∠CBD＝∠CDB＝45°.
∴∠BCD＝90°.
∴四边形ABCD 是正方形．
5．(2018·荆州)如图，对折矩形ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落在MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于点E ；延长PF 交AB 于点G.求证：
(1)△AFG≌△AFP；
(2)△APG 为等边三角形．
证明：(1)由折叠可知M ，N 分别为AD ，BC 的中点．
∵DC∥MN∥AB，
∴F 为PG 的中点，即PF ＝FG.
又∵∠PFA＝∠D＝90°，
∴∠AFP＝∠AFG＝90°.
在△AFG 和△AFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ，∠AFG＝∠AFP，PF ＝GF ，
∴△AFG≌△AFP(SAS )． (2)由题意知，△APD≌△APF≌△AGF.
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，AP ＝AG.
∴∠PAG＝60°.
∴△APG 为等边三角形．
6．(2018·吉林)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，过AB 上一点D 作DE∥AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边作∠DEF＝∠A，另一边EF 交AC 于点F.
(1)求证：四边形ADEF 为平行四边形；
(2)当点D 为AB 中点时，▱ADEF 的形状为菱形；
(3)延长图1中的DE 到点G ，使EG ＝DE ，连接AE ，AG ，FG ，得到图2.若AD ＝AG ，试判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE＋∠DEF＝180°，∠A＋∠AFE＝180°.
又∵∠DEF＝∠A，
∴∠ADE＝∠AFE.
∴四边形ADEF 为平行四边形．
(3)四边形AEGF 为矩形．证明如下：
∵四边形ADEF 为平行四边形；
∴DE //= AF.
又∵DE＝EG ，
∴EG //= AF. ∴四边形AEGF 为平行四边形．
又∵AD＝AG ，DE ＝EG ，
∴∠AEG＝90°.
∴平行四边形AEGF 为矩形．
7．(2018·北京)如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH.
(1)求证：GF ＝GC ；
(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
解：(1)证明：连接DF.
∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，
∴AE＝FE ，DA ＝DF.
在△DAE 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝FE ，DA ＝DF ，DE ＝DE ，
∴△DAE≌△DFE(SSS )．
∴∠DFE＝∠A＝90°.
∵DA＝DC ，∴DC＝DF.
在Rt △DCG 和Rt △DFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝DF ，DG ＝DG ，
∴Rt △DCG≌Rt △DFG(HL )．
∴GF＝GC.
(2)BH ＝2AE.
证明：过点H 作HI⊥AB 于点I.
由(1)可知，∠EDF＋∠FDG＝45°.
∵EH⊥DE，
∴△DEH 为等腰直角三角形． ∴∠DEA ＋∠HEI＝90°.
又∵∠DEA＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠IEH.
在△DAE 和△EIH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE＝∠I，
∠ADE＝∠IEH，DE ＝EH ，
∴△DAE≌△EIH(AAS )．
∴AE＝IH ，AD ＝EI.
∴AE＋BE ＝BE ＋BI.∴BI＝AE.
∴AE＝IH ＝BI ，△BHI 是等腰直角三角形． ∴BH＝2BI ＝2AE.
8．(2018·临沂)将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.
(1)如图1，当点E 在BD 上时，求证：DF ＝CD ；
(2)当α为何值时，GC ＝GB ？画出图形，并说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：由旋转可得，AE ＝AB ，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF ＝BC ＝AD ， ∴∠AEB＝∠ABE.
又∵∠ABE＋∠EDA＝∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠EDA＝∠DEF.
又∵DE＝ED ，
∴△AED≌△FDE(SAS )．
∴DF＝EA.
又∵AE＝AB ＝CD ，
∴CD＝DF.
(2)当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G 在AD 的右侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于点M. ∵GC＝GB ，
∴GH⊥BC.
∴四边形ABHM 是矩形．
∴AM＝BH ＝12AD ＝12AG.
∴GM 垂直平分AD.
∴GD＝GA ＝DA.
∴△ADG 是等边三角形．
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°.
②当点G 在AD 的左侧时，同理可得，△ADG 是等边三角形． ∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°－60°＝300°.。