小学奥数22约数问题

2.5约数与倍数
2.5.1约数、公约数、最大公约数
2.5.1.1相关概念
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（6，9，15）=3。

对于任一自然数N，将其分解质因数，记作N=a p·b q·…·c m(a、b、c为质数)，则N 的约数个数=（p+1）（q+1）……（m+1）。

所有约数的和为a p、b q、…c m所有约数的和的积。

例如24=2×2×2×3=23×3，则24所有约数的和=（1+2+4+8）×（1+3）=60。

2.5.1.2用对称关系找约数
找某一合数的约数，常有找不全情况发生，而利用约数的对称关系去找，就能解决这一问题。

方法是：
（1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数；再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。

例如，找出36的全部约数：因为36=62，6是所有约数的“中心数”。

比中心数6小的约数很容易找到，它们是1、2、3、4四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是36（与1对应）、18（与2对应）、12（与3对应）和9（与4对应）。

如图4.7：
（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。

例如，找出102的全部约数：因为102＜102＜112，所以可选10或11为“近似中心数”。

然后找出比这个近似中心数小的所有约数——1、2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数——102、51、34、17。

如下图（图4.8）：
（注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。

）
2.5.1.3最大公约数的性质
（1）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。

例（45，27）=9，45÷9=5，27÷9=3，（5，3）=1，所以，所得的两个商5和3是互质数。

（2）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。

例（48，60）=12，12的约数有1，2，3，4，6，12。

1，2，3，4，6，12也都是48和60的公约数。

（3）两个数的公约数，都是这两个数的最大公约数的约数。

例（32，48）=16；32和48的公约数有1，2，4，8，16；1，2，4，8，16也都是16的约数。

（4）两个数都乘以一个自然数m ，所得的两个积的最大公约数，等于这两个数的最大公约数乘以m 的积。

这就是如果（a ，b ）=c （m ≠0），那么（am ，bm ）=cm 。

例（24，32）=8，则（24×2，32×2）=8×2，即（48，64）=16
（5）若两个数都除以它们的一个公约数m ，则所得的两个商的最大公约数，等于这两个数的最大公约数除以m 的商。

这就是如果（a ，b ）=c ，且m|a ，m|b （即m 能整除a ，m 能整除b ， 也就是m 是a 和b 的公约数）；那么m c m b m a =),(。

例（24，32）=8，则2
8)232,224(=，即（12,16）=4。

2.5.1.4求最大公约数
（1）分解质因数法。

先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。

例如，求2940、756和168的最大公约数：
∵ 2940=22×3×5×72，756=22×33×7，168=23×3×7；∴（2940，756，168）=22×3×7=84。

（2）辗转相减法。

较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。

这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。

例如，求792和594的最大公约数。

∵（792，594）=（792-594，594）
=（198，594）=（594-198，198）
=（198，396）=（198，396-198）
=（198，198）=198，
∴（792，594）=198。

用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n 个数的最大公约数，具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。

这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。

这个相等的差，就是这些数的最大公约数。

例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。

∵（1260，1134，882，1008）
=（1260-1134，882，1008-882，1134-882）
=（126，126，882，252）
=（126，126，882-126×6，252-126）
=（126，126，126，126）=126，
∴（1260，1134，882，1008）=126。

（3）辗转相除法（欧几里得算法）。

用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：
光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；
再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；
又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；
这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。

求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。

例如，求437和551的最大公约数。

具体做法是：先将437和551并排写好，再用三条竖线把它们分开。

然后依下述步骤去做：
（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外， 并求得余数为114。

（2）用余数114去除437，把商数“3”写在比114大的数（437）的线外，并求得余数为95。

（3）用余数95去除114，把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余数为19。

（4）用余数19去除95，把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余数为0。

（5）当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19，就是437和551的最大公约数。

又如，求67和54的最大公约数，求法可以是
由余数可知，67和54的最大公约数是1。

也就是说，67和54是互质数。

辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。

早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。

一般认为，“辗转相除法”即源于此。

这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。

辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。

如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。

这样依次下去，直到最后一个数为止。

最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。

2.5.1.5分数最大公约数求法
自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。

一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。

求一组分数的最大公约数的方法是：
（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；
（2）再求出各个分数分母的最小公倍数a ；
（3）然后求出各个分数分子的最大公约数b ；
（4）a 作分母，b 作分子，a
b 即为所求。

例如，求9
26852655和、
的最大公约数。

先将各分数分别化成假分数，得；和、956821635 再求出三个分母的最小公倍数，得72；然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；
以72为分母，以7为分子，得727，727就是9
26852655和、三个分数的最大公约数。

即727926852655( ），，。