上海七年级-数学-因式分解专题讲解
上海初一因式分解的方法
上海初一因式分解的方法
因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是整式乘法的逆运算。
在上海初一的数学课程中，通常会学习以下几种基本的因式分解方法：
1.提公因式法：
这是最基本也是最常见的方法。
如果多项式的各项有公因式，那么可以先提取这个公因式，再进行因式分解。
例如：2x2+4x=2x(x+2)
2.公式法：
这里主要指的是平方差公式和完全平方公式。
平方差公式：a 2−b 2=(a+b)(a−b)
完全平方公式：a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2和a 2−2ab+b 2 =(a−b) 2
例如：x 2−4=(x+2)(x−2)
3.十字相乘法：
对于形如 ax2+bx+c 的二次多项式，如果 a 和 c 的因数能够交叉相乘得到 b，则可以使用十字相乘法进行因式分解。
例如：x 2−3x+2=(x−1)(x−2)
4.分组分解法：
当多项式项数较多，且部分项之间存在公因式或能利用公式分解时，可以先对多项式进行分组，然后分别进行因式分解，最后再进行合并。
例如：
x2+2xy+y2+x+y=(x2+2xy+y2)+(x+y)=(x+y)2 +(x+y)=(x+y)(x+y+1)
以上就是在上海初一通常会学习的因式分解方法。
通过不断练习和熟悉这些方法，学生将能够更好地理解和应用因式分解的概念。
12.1因式分解的意义(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
12.1因式分解的意义
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区
别和联系.（重点）
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式
法分解因式.（难点）
情景导入
我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式如：
+ + = + + ;
因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，
如在 4 − 1的因式分解的过程中，因式 2 + 1不能继续因式分解，
2 − 1还能继续因式分解为 + 1 − 1 .
课本例题
例1
1
分析
Hale Waihona Puke 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？
− 2 + 3 = 2 + − 6;
1 等式 − 2 + 3
b=_______；
9
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以
将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知
多项式比较解决问题.
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式
2x2+5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个
因式及k的值.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以
根据上述算式，完成下列因式分解：
5
2
（6）25
− 1 = (5x+1))(5x−1) 。
3² + 6 = 3x(x+2) 。
（7）a²−8a+16=
−4 ²
。
（8）2 − 5 − 6= − 6 + 1。
沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有 分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式 或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式： 整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？ （1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构 特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数 与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.
沪科版七年级数学下册8.4《因式分解-十字相乘法》 课件
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例5 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5x
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
练习二
分解下列因式：
(1)2x2-5x-3 =（2x+1)(x-3) (2)3x2+8x-3 =(3x-1)(x+3)
（3）x 2 14x 49
和差 积 分解因式 整式乘法
因式分解的实质是（“和差化积 ）”与（ 整式乘法） 是“积化和差”的过程正好（ 相反 ）。
观察和思考 X2-14x+49
（1）x2+3x+2 是几次几项式？二次项系数、
一次项系数、常数项分别是多少？
（2）它有公因式吗？能用平方差公式，完全 平方公式分解因式吗?
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ）
计算下列各题：
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x 2 x 12 (x 3)(x 4) x2 7x 12 问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
小结：
对于二次项系数不是1的二次三项 式分解的方法是“拆两头，凑中间”
12.2因式分解的方法(第1课时 提公因式法)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
＝4 a ( x － y )＋2 b ( x － y )
＝2( x － y )(2 a ＋ b ).
7.先分解因式，再计算求值：
(1)4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2，其中 x ＝1， m ＝3；
【解】4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2
＝(2 x ＋ y )(2 x －3 y ＋3 x )＝(2 x ＋ y )(5 x －3 y ).
＋ ＝ ，
＋ = ，
∵
∴
∴原式＝3×(－2)＝－6.
− ＝ − .
+ = ，
14. 试说明817－279－913能被45整除.
【解】因为817－279－913＝328－327－326
2)( a ＋4).将 a ＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋
4)＝－8.
分层练习-巩固
8. 计算320－318×6的值是( A
)
A. 319
B. 318
C. 3 2
D. 0
9. [新考法 数形结合法]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，
且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是(
提取公因式法.
新知探究
如何将6 2 + 9因式分解？
先找出6 2 + 9各项的公因式，再用提取公因式法因式分解. 这个整式有两项
6 2 与9, 这两项的系数6与9有最大公因数3，这两项的字母部分 2 与都含
有字母和, 且和的最低次数都是1，因此可提取公因式3，得
− = ，
= ，
所以
解得
沪教版(上海)初中数学七年级第一学期4因式分解—公式法-完全平方公式课件
特征 结构
2、有两个“项”的平方
3、有这两“项”的2倍或-2 倍
完全平方式：a2±2 a b ＋b2
直观模式：▲2±2 ▲ ●+ ●2 首2±2×首×末+末2
练习1:判断下列是不是完全平方式， 为什么？
（1) x2＋xy＋y2
否
（2) x2+6x＋9
是
（3) 16a2+1
否
（4)－2xy＋x2+y2
1、计算 1002－2×100×99+992 的结果是_______
2、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的 值
为为完全平方式：
X4+4x2+______
六、学后感想、畅所欲言
本节课你学会了什么？
1.完全平方式 a2±2ab＋b2
2.用完全平方公式因式分解 a2±2ab＋b2＝（a±b）2
是
（5) a2-6ab＋b2
否
（6) 25x4-10x2+1
是
（7) x2＋x＋1/4
是
（8) 1-m＋m2/4
是
练习2:请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 __2_x_y___ y2
2 4a2 9b2 __1_2_a_b__
3 x2 __4_x_y__ 4 y2
ab 4 a2 _______ 1 b2 4
用公式法分解因式要注意些什么？
七、分层作业
1、基础训练：教材P48 练习8.14(2)。
2、拓展训练：
多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2
能用完全平方公式分解吗?
请各位老师指正
沪科版七年级下第8章 8.4.2 因式分解 公式法课件(15张PPT)
小试牛刀
判断下列各多项式是否可以用平方差公式进 行因式分解，如果可以，指出对应公式中的 a，b分别是什么，如果不能请说明理由。
(1)、a²-2ab+b² (2)、a²+b² (3)、-a²-b² (4)、a²-b (5)、a²-1 (6)、4a²-25b²(7)-16m²+1
）
3、分解因式：
（1）、4x²+4x+1 （2）、(x-2y)²+8xy
（3）、 1 x2 1 y2 （4）、(x+1)(x-1)-35
16 25
布置作业 课堂小册子
魅力数学
1、用简便方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 ...1 1 4 9 16 25 10000
因式分解
引出概念
像这样运用公式进行因式分解的方法叫做公式 法
掌握运用
那么，我们如何运用公式法进行因式分解呢？ 观察刚才的等式
a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 等式左边的多项式具有什么特点？
特征： 项数 三项式 特点 两项能够写成完全平方数，另外 一项是它们底数积的2倍。 符号 完全平方数的两项符号相同
满足刚才三点要求就可以运用完全平方公式法来 因式分解了。
判断下列各多项式可以运用完全平方法进行分解 因式吗？
（1）x²-2x+1 （2）m²+2mn+n²（3）4a²+6ab+9b² （4）(a-b)²-2(a-b)+1（5）-a²+2ab-b²（6）2a²-b （7）x²-2xy-y ² （8）a²-ab+b²（9）m²+mn+n²
上海市七年级数学教案08因式分解-提公式法、公式法-学生版
学科教师辅导讲义学员姓名：年级：初一授课时间：课时数：2 辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题因式分解——提公因式法、公式法教学目标1、理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系；2、理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式；3、掌握公式法分解因式.重难点1、熟悉乘法公式的特征，掌握乘法公式及其简单运用.考点【知识梳理】1．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2．一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.3．如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.【提取公因式的步骤】“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.【注意】（1）如果多项式的首相是负数时，一般应先提出“﹣”号，使括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式；（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”.也就是说当一个多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该已经也没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取，否则因式分解就不彻底，没有完成；（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式的项数应与原多项式的项数一致.（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式.当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意统一字母的排列顺序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现符号上的错误.4．提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.5．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.【典型例题讲解】题型一：【例1】下列变形是因式分解的是 ( )A ．()()2111x x x +-=-B ．221139342a a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭C ．()25656x x x x -+=-+D ．()()ax ay bx by a x y b x y +++=+++【借题发挥】1．判断下列各式哪些是多项式的因式分解？哪些不是？为什么？（1）2(3)(3)9x x x +-=- （2）42225(5)(5)m m m -=+-（3）232(3)2x x x x +-=+- （4）42242222()a a b b a b -+=- 题型二：提公因式法【例2】如果用提公因式把下列多项式因式分解，应该分别提出怎样的公因式？（1）2abc abd a b +- （2）155ax xy -- （3）()()223x a b b a -+-（4）34256686a x a x ax -+ （5）32524491836a x a x a b -- （6）542563286a b a x ax -+（7）32524491836a x a x a x -- （8）543527321624a b a b a b -+ （9）()()x a b y b a -+-（10）1m m a a+- （11）()()a m n b n m --- （12）()()p x y q y x ---（13） 542646816a x a x ax -+【例3】因式分解：（1）155ax xy +； （2）155ax xy -； （3）155ax xy -+； （4）155ax xy --【例4】因式分解：（1）32a a a ++； （2）1m m a a+- （3）34256686a x a x ax -+【例5】()()22x a b a b -+-【例6】多项式()()322x x x ---分解因式正确的是 ( )A. ()()231x x -- B ．()()231x x --C. ()()231x x -+ D ．()()231x x -+【例7】因式分解：（1）23432243a b c a b c a b c +- （2）54352321624a b a b a b -+（3）876563273a a a a +-- （4）333324243234x y z x y z x y z x y z --+-（5）()()23a p q a q p --- （6）()()3226181p x p x ---（7）()()211a a a --- （8）()()()22a b a b a b -+--【借题发挥】1.判断下列各因式分解是否正确，若不正确，请予以改正：（1）()6764842a b a b a b ab -=-（2）()2332222816882xy x y x y xy x y x -+=-+（3）21551513m mn n mn n ⎛⎫+=+⎪⎝⎭（4）()222791892a b ab ab ab a b -+-=-+-（5）()()()()()()()x y x y z x y x y z x y z x y x y ++---+-=+++--⎡⎤⎣⎦（6）()2.3413.2 1.2113.20.8713.213.213.2 2.34 1.210.87⨯-⨯+⨯+=⨯-+题型三：提公因式法的应用【例8】利用因式分解方法计算：72.56553656530.56521⨯-⨯-⨯+⨯【借题发挥】1．当0.5a =时,求多项式()()()()()()22123123132a a a a a a +-++--+-的值题型四：公式法【例9】填空（1）因式分解：22182x y -=_____________________________________. （2）因式分解：32544514449n n -=_____________________________. 【例10】因式分解464x +，正确的是 ( )A.()()2288x x +-B. ()228x + C ．()()224848x x x x ++-+ D ．以上答案都不对【例11】下列代数式中不能用完全平方公式进行因式分解的是( )A ．214x x ++ B. 221934ab a b -+ C ．()()()222244a b a b a b +--+- D. 222m mn n --【例12】（1）因式分解：422222444a x a x y x y ++=__________________________.（2）因式分解：()()244x y x y ---+=____________________________.（3）因式分解：()()()()22816a b a b a b a b +-+-+-=__________________________.【借题发挥】1. 先提取公因式，再运用完全平方公式把下列各式分解因式：（1）22363ax axy ay ++； （2）532421218x x y xy -+；（3）32231212x x y xy -+； （4）232828x y x xy ---；（5）2232ax a x a ++； （6）2369a a a --.2.把下列各式分解因式：（1）()()21025x y x y +-++； （2）()()21236x y x y -+-+；（3）()()242025x y x y +-++ ； （4）()()2256036x y x y ---+；（5）()()2222a bab +-； （6）()()()22222x y x y x y +--+-题型五：公式法的应用【例13】已知：225,13x y x y +=+=.求代数式32232x y x y xy ++的值.【例14】22843842-【例15】试证明：181920555++能被31整除.【随堂练习】填空题：1．因式分解与____________________是两个互为相反的变形过程．2．分解因式必须分解到每一个因式都________________________为止．3. 22233224812x y a x a x y +-的公因式是_____________________.4．()2n x y -=___________()2n y x -；()21n x y +-=__________()21n y x +-.5. 32462x x x --+=_______________()2231x x +-.6．因式分解：()()2368a a b a b ---=_________________.7．因式分解：21364x -=_____________________. 8．因式分解：1193636n n n xx x +--+=_____________________. 选择题：1．分解因式()()()22a b a ab b ab b a --+--为 ( ) A.()()22a b a b -+ B.()()2a b a b -+C.()3a b -D. ()22a b a b -++2．多项式()()0.50.25x a b y b a ---中，可提取的公因式为 ( )A.0.5x -0.25yB.0.5x+0.25yC ．a-bD ．0.25(a -b)3.326169ab a b -+因式分解为 ( )A ．()()1313ab ab -+ B.()2331ab -C ．()2313ab + D. ()()331313ab ab -+4.448116a b -因式分解为 ( )A ．()()22229494a b a b -+ B.()()33232a b a b -+C ．()()()22323294a b a b a b -++ D. ()()223232a b a b -+5．下列各多项式的因式分解正确的是 ( )A ．()()()22222224a b a b a b a b +-=-+ B. ()221116136936a a a ++=+C. ()2432212366a a a a a +-=-D.()()()2422484162a a a a a -+-+=-简答题：1. 下列由左边的变形, 哪些是因式分解，哪些是整式乘法？（1）()3226332a a b a a b -=-；（2）()2321x x x x -+=--；（3）()()2233a b a ab b a b -++=-；（4）()()22356x x x x --=-+；（5）()222369a b a ab b -=-+； （6）()22222233a b c a b a b c -=-（7）()()()()222a b a b a b a b ---=---（8）()()22555x x x -=+-2.若下列等式成立,则指数n 的条件是什么?(1)(x+y)n =(y+x)n ； (2)(x-y)n =(y-x)n ； (3)(y-x)n =-(x-y)n3.利用因式分解计算。
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上海七年级 数学 因式分解专题讲解
一、提取公因式
1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？
（1）1)32(1322+-=+-a a a a ； （2）)11(1xy xy xy -
=-； （3）1)1)(1(2-=-+a a a ； （5）22)2
1(412+=+
+x x x ；
例2、指出下列各式中的公因式：
（1）222343284b a b a a 、、- （2））（、、b a b a b a +++9-)(6)(332 （3）m m a a 1832、
-
2、提取公因式的注意事项
（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—”号，是括号内的第一
项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
例：)23(4)812(8122222b a ab ab b a ab b a +-=+-=--
（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。
也就是说当一个多项式
提出公因式后，剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现
还有公因式必须要再次提取，否则因式分解就不彻底，没有完成。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式
项数应与原多项式的项数一致。
例：)132(22642++=++y x x x xy x ，不能写成)32(22642y x x x xy x +=++
（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式，
当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相
关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号
上的错误。
例：)()()()()()(22323n mb ma b a b a n b a m a b n b a m ---=---=---
例3、分解因式：=-+-422231869y x y x y x
例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式：
（1）a a 463-、； （2）3239
4278xy y x -、； （3）322)(51)(3b a x b a x ++、
； （4）)(3)(2m a x a m --、；
例5、已知关于x 的二次三项式n mx x ++22因式分解的结果是)4
1)(12(+-x x ，求n m 、的值？
例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式321IR IR IR U ++=，当5.2,9.35,4.32,7.31321====I R R R 时，求电压U 的值？
3、整式乘法与因式分解有什么关系？
整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式。
而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。
虽然他们都是恒等变形，但它们是两个不同的互逆过程，既互为相反的恒等变形。
因式分解是否正确可以用正式的乘法来进行检验。
例7、简便运算
（1）1368
987525136898745613689872641368987123⨯+⨯+⨯+⨯； （2）4
38.0436.043532⨯+⨯+⨯；
二、公式法
1、公式法的定义：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。
2、方法归纳：
（1）平分差公式))((22b a b a b a -+=-
（2）完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±
例8、判断下列各式分解因式是否正确？
（1）222)14(4)116(4464--=--=+-a a a
（2）[])1)(1)((1)()()()(22--+--=---=---a b a b a b a b a b a b b a
例9、填写下列各式的空缺项，使他能用完全平反公式分解因式。
（1）-2x （ ）+
(361= 2) （2）
(16
92++xy x ）(= 2)
2、运用公式法分解因式应注意的问题：
（1）运用公式法分解因式时要注意观察，首先观察项数，如果是二项考虑用平方差公式；如果是三项考虑用完全平方公式。
其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中各项如何对应，什么是公式中的“a ”，什么事公式中的“b ”，然后采用此公式进行分解因式。
（2）分解因式一定要彻底，不能出现)9)(9(81224-+=-a a a 就不再分解下去的问题。
（3）公式中“a ”、“b ”可以表示多项式，使用公式是要注意符号的使用，但分解后的结果中不能含有中括号。
（4）合理变形，巧妙运用公式是本节的一大难点。
例：分解因式)1(4)(2----y x y x 时，将此多项式变形为4)(4)(2+---y x y x 后，就可以用完全平方公式进行分解了。
三、十字相乘法
例10、把下列各式分解因式：
（1）1522--x x ； （2）2265y xy x +-；
（3）x x x 4335-+；
（4）48)4)(3)(2)(1(-----x x x x ；
（5）142222---+xy y x y x ； （
6）26)(11)(222--+-x x x x ；
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