[精品]2019学年高中数学第一章1.7.1定积分在几何中的应用优化练习新人教A版选修28
2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学案新人教A
1．7.1 定积分在几何中的应用1．7.2 定积分在物理中的应用1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功．2．将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解．1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S＝⎠⎛ab f(x)d xf(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)<0 S＝－⎠⎛ab f(x)d x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x．2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝⎠⎛ba v(t)d t．(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功，W等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝⎠⎛ba F(x)d x．1．由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0(b>a)所围图形的面积(1)如图①所示，f (x )>0，⎠⎛a b f (x )d x >0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)如图②所示，f (x )<0，⎠⎛ab f (x )d x <0，所以所求面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)如图③所示，当a ≤x ≤c 时，f (x )≥0，⎠⎛a c f (x )d x ≥0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≤0，⎠⎛cbf (x )d x ≤0.所以所求面积S ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋|⎠⎛cb f (x )d x |＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .2．由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积 (1)如图④所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(2)如图⑤所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋|⎠⎛a b g (x )d x |＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(3)如图⑥所示，所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a c [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b [g (x )－f (x )]d x ＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当f (x )＜0时，f (x )与x ＝a ，x ＝b (a <b )及x 轴所围图形的面积为⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf （x ）d x .( ) (2)在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( ) (3)在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积为( )A. 154B. 174C. 12ln 2 D ．2ln 2答案：D已知一质点做自由落体运动，其速度v ＝gt ，则质点从t ＝0到t ＝2所经过的路程为( )A ．gB ．2gC ．3gD ．4g答案：B一物体在F (x )＝5x ＋3(单位：N)的作用下，沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝5(单位：m)处，则F (x )做的功等于________J.答案：77.5探究点1 不需分割型图形面积的求法由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6 【解析】 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2可得x ＝4，所以由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163.【答案】 C图形面积不需分割求解的解题技巧对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标，再确定被积函数，一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分问题了．[注意] 注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零，而平面图形的面积总是非负的．求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．解：画出图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2，故阴影部分的面积S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x ＝⎠⎛02(6x －3x 2)d x ＝(3x 2－x 3)|20＝4.探究点2 需分割型图形面积的求法求由曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3，x 轴，y 轴所围成的平面图形的面积． 【解】 作出曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝x 2＋1得第一象限中交点的横坐标为1，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2|31＝103.图形面积需分割求解的解题技巧由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同．求解时，根据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是“上减下”．求由曲线y ＝1x及直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积．解：作出曲线y ＝1x(在第一象限)，直线y ＝x ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1(舍去)，故B (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3，故C (3，3)．故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝(3x －ln x ) ⎪⎪⎪⎪113＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2|31＝4－ln 3.探究点3 利用定积分求变速直线运动的路程、位移一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程． 【解】 (1)在t ＝4 s 时该点的位置为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0，1]及[3，4]上，v (t )≥0，在区间[1，3]上，v (t )≤0，所以在t ＝4 s 时运动的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)．求变速直线运动物体的路程(位移)的方法(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛ab|v (t )|d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .(2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．(3)注意路程与位移的区别．1.一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则它在t ∈[1，2]内的位移为________．解析：由定积分的意义知，质点在t ∈[1，2]内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t |21＝176. 答案：1762.一物体做变速直线运动，其v t 曲线如图所示，求该物体在12～6 s 间的运动路程．解：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t （0≤t ≤1），2（1<t <3），13t ＋1（3≤t ≤6），由变速直线运动的路程公式，得s ＝⎠⎜⎛126v (t )d t ＝⎠⎜⎛1212t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪112＋2t |31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 探究点4 利用定积分求变力做功问题一物体在变力F (x )＝36x2(N )作用下沿坐标平面内x 轴正方向由x ＝8(m )处运动到x ＝18(m )处，求力F (x )所做的功．【解】 如图，阴影部分的面积即F (x )所做的功．因为W ＝⎠⎛81836x2d x＝－36x －1⎪⎪⎪188＝(－36×18－1)－(－36×8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52.所以F (x )所做的功为52J.求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．1.一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选D.由变力做功公式，得到W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )|31＝14(J)．故应选D.2．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意，得F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05k ＝100，所以k ＝2 000.所以F (x )＝2 000x . 所以使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪0.150＝22.5(J)．1．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－2 3 C.323D.353解析：选C.S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2|1－3＝53＋9＝323， 故应选C.2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J解析：选C.依题意F (x )做的功是W ＝⎠⎛510F (x )d x ＝⎠⎛510(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )⎪⎪⎪105＝825(J)．3．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________．解析：由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为⎠⎛0103t d t ＋⎠⎛1060⎝ ⎛⎭⎪⎫－35t ＋36d t ＝32t 2⎪⎪⎪100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－310t 2＋36t ⎪⎪⎪6010 ＝150＋750＝900 m. 答案：900 m4．如图所示，曲线y ＝x 与直线y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积为________．解析：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点坐标分别为(1，1)，(0，0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x＋⎠⎛13⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋16＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－3）－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13＝136. 答案：136[注意] 一般地，若以x 为积分变量，需要把图形分割求解时，则可考虑以y 为积分变量时，计算是否简便.[A 基础达标]1．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A.⎠⎛－11(x －x 3)d xB.⎠⎛－11(x 3－x )d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10(x －x 3)d x解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝x3求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1，1)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .2．已知自由落体运动的速度v ＝gt (g 是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( )A.gt 23 B ．gt 20 C.gt 202D.gt 206解析：选C.由定积分的物理意义，得所走的路程为s ＝⎠⎛0t0gt d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20.3．如图所示，阴影区域是由函数y ＝cos x 的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是()A ．1B ．2 C.π2D ．π解析：选B.这个阴影区域的面积是S ＝－⎠⎜⎜⎛π23π2 cos x d x ＝2.4.如图中阴影部分的面积是( ) A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：选C.阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋1e －2.5．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712解析：选A.作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.6．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，所以F (x )＝50x ， 所以W ＝⎠⎛00.1250x d x ＝25x 2|0.120＝0.36(J)．答案：0.36 J7．如图，在边长为2的正方形ABC D 中，M 是AB 的中点，则过C ，M ，D 三点的抛物线与C D 围成的阴影部分的面积是________．解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， D (2，1)，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则p ＝14，所以y ＝±x2，所以S ＝2⎠⎛2x2d x ＝2×23×x 32|20＝83.答案：838．如图，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x 0＝________．解析：由题意得⎠⎛0x 0x 2d x ＝12×14×x 0，即13x 30＝18x 0，解得x 0＝64. 答案：649．求由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＞0，x ＋y －6＝0，解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A ＝⎠⎛028xd x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝22×23x 32|20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －12x 2|62＝423×232＋(36－18)－(12－2)＝403.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＞0，x ＋y －6＝0，解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫6－y －18y 2d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6y －12y 2－124y 3|40＝24－8－124×43＝403.10．A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设A 到C 的时间为t 1s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20.则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|20＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m. (2)设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则B D ＝⎠⎛020(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.[B 能力提升]11．如图，求由曲线y ＝－x 2，4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积为( )A.23B.43C.38D.34解析：选B.由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．则所求图形的面积S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎠⎛01[－x 24－（－x 2）]d x ＋⎠⎛12[－x 24－（－1）]d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛013x 24d x －⎠⎛12x 24d x ＋⎠⎛121d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34|10－x 312|21＋x |21＝43. 法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2⎠⎛－10(2－y －－y )d y＝2⎠⎛－1－y d y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23×(－y )32|0－1＝43.12．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)，图形面积S ＝⎠⎛2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33|2a ＋k 0＝（k ＋2a ）32－（k ＋2a ）33＝（k ＋2a ）36＝92a 3， 所以k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax . 答案：y ＝ax13．求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 与直线x ＝－3π4，x ＝5π4围成的图形的面积．解：如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π4上的图象，它们共有三个交点，分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－22.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上，cos x >sin x ，在⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4上，sin x >cos x ， 所以所求的面积S ＝⎠⎜⎜⎛－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π45π4 (sin x －cos x )d x ＝2⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x －cos x )d x＝－2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪5π4π4＝42.14．(选做题)如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2，4)移动，记直线OP 与曲线y ＝x 2所围成的图形的面积为S 1，直线OP、直线x ＝2与曲线y ＝x 2所围成的图形的面积为S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解：(1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43.点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. (2)令S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0. 因为0<t <2， 所以t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0； 2<t <2时，S ′>0.所以当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．。
高中数学 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用学案
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：(2)xb[f(x)－g(x)]d x.即曲＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛a边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间b v(t)d t.[a，b]上的定积分，即s＝⎠⎛a思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝ab F(x)d x.移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝⎠⎛a[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]与x 轴围成的图形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .( )(2)若物体的运动速度v ＝5－2t ，则其在1≤t ≤3内的路程S ＝⎠⎛13(5－2t )d t .( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为(4－x 2)d x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )【导学号：31062099】C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )【导学号：31062100】A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难][探究问题]观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛08[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28[2x －(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？提示：能．可表示为S ＝⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为43，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2| 31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝64. 2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－4x ＋4)d x ＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋4x | 21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2.∴阴影部分的面积S ＝ (2－y －y 2)d y＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －y 22－y 33| 1－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－2＋83＝92.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：x 轴正方向一致)．求：(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值.【导学号：31062101】[解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 60＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝ba ＜b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：若v t ，则s ＝⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝s若v t ，则s ＝－⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝－s ′.若在区间[a ，c ]上，vt ，在区间[c ，b ]上vt ＜0，则s ＝⎠⎛ac v tt－⎠⎛cb vtt ，s ′＝⎠⎛ab v tt所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2) | 50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)．因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2| 150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．[规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [跟踪训练]2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x ≤2，2x －2，x ＞2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A ．10 JB ．12 JC ．14 JD ．16 JB [W ＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛24(2x －2)d x ＝2x | 20＋(x 2－2x ) | 42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当 堂 达 标·固 双 基]1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f xx －⎠⎛47f x xS ＝⎠⎛0a [g x －f xx ＋⎠⎛ab[f x －g xx③ ④图175A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④D [①错误，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；②错误，S ＝⎠⎛0422x d x ＋⎠⎛48(22x －2x ＋8)d x ；③④正确．]2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32π与坐标轴所围图形的面积是( ) 【导学号：31062102】A ．2B ．3C ．52 D ．4B [S ＝＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A ．405B ．540C ．810D ．945 A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) | 300＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49.[答案] 495．一物体在变力F (x )＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1| 188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52J.。
2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用课后精练
1.7.1 定积分在几何中的应用A 级：基础巩固练答案 B解析 如图，x 轴下方与上方的面积相等．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋－2≤x ，2cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C.12 D ．4 答案 D答案 D4．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17答案 C5．由曲线y ＝1x，直线y ＝x ，x ＝4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A.3132 B.2316 C ．ln 4＋12D ．ln 4＋1答案 C解析 作出曲线y ＝1x，直线y ＝x ，x ＝4的草图，所求封闭图形的面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x，得曲线y ＝1x与直线y ＝x 的交点坐标分别为(1,1)和(－1，－1)(舍去)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1x，得直线x ＝4与曲线y ＝1x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14.故阴影部分的面积(记为S)由两部分组成：一部分是直线x ＝1左边图形的面积(记为S 1)，另一部分是直线x ＝1右边图形的面积(记为S 2)．则S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛141xd x ＝12x 2|10＋ln x|41＝ln 4＋12.6．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如右图所示阴影部分)的面积S 的最小值为( )A.14 B.13 C.12 D.23答案 A解析 阴影部分的面积S ＝t 3－⎠⎛0t x 2d x ＋⎠⎛t1x 2d x －(1－t)t 2＝43t 3－t 2＋13，可得S ′＝4t2－2t .令S ′＝0，得t ＝12或t ＝0(舍去)，可判定当t ＝12时S 最小，S min ＝14，故选A .二、填空题7．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围成图形的面积是________． 答案 188．曲线C ：y ＝e x在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则曲线C ，直线l ，y 轴围成的图形面积为________．答案 e 2－19．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．答案 43解析 解法一：如图，y ＝1与y ＝x 2交点A(1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B(2,1)．由对称性可知面积三、解答题10．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．B 级：能力提升练11．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解 作出y ＝x 2－2x 的图象，如图所示．①当a <0时，S ＝⎠⎛a(x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1. ②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时， 若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a >0，∴a ＝2.若a >2，显然有S>43，故不符合题意．综上，a ＝－1或2.12．如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，记直线OP 与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 1，直线OP 、直线x ＝2与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2取最小值时，求点P 的坐标及其最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t(0<t<2)，则点P 的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝t x . S 1＝⎠⎛0t (t x －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－t x )d x ＝83－2t ＋16t 3，因为S 1＝S 2，所以16t 3＝83－2t ＋16t 3，解得t ＝43，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. (2)令S ＝S 1＋S 2，由(1)知，S ＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，则S ′＝t 2－2，令S ′＝0，得t 2－2＝0，因为0<t <2，所以t ＝2， 又当0<t<2时，S ′<0；当2<t <2时，S′>0；故当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值，最小值为83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用学案(含解析)新人教A版选修2-2(
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1。
7.1 定积分在几何中的应用［学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．[知识链接］1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积?答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f（x)〈0时，f（x）与x轴所围图形的面积怎样表示?答如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x),所以S＝错误!（0－f（x））d x＝－错误!f（x)d x。
［预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x∈[a，b］时，若f(x)>0,由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x）所围成的曲边梯形的面积S＝错误!f(x）d x.（2）当x∈［a,b］时，若f(x)〈0,由直线x＝a,x＝b(a≠b）,y＝0和曲线y＝f（x)围成的曲边梯形的面积S＝－错误!f(x)d x.(3)(如图)当x∈［a，b]时,若f(x）〉g（x)>0时，由直线x＝a，x＝b（a≠b)和曲线y＝f(x),y ＝g（x)围成的平面图形的面积S＝错误!［f(x）－g（x）]d x.要点一不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．解由错误!得错误!或错误!所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝错误!－3[(－x＋2）－（x2－4)］d x＝错误!－3（－x2－x＋6）d x＝错误!错误!＝错误!－错误!＝错误!。
2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用高效测评新人教A版选修
2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用高效测评新人教A 版选修1．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积为( )A ．154B ．174C ．12ln 2 D ．2ln 2解析： S ＝1x d x ＝ln 2－ln 12＝2ln 2，故选D.答案： D2．如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．3解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x 2y ＝x 2－2x －1解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S ＝⎠⎛－12[(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x ＝⎠⎛－12(－2x 2＋2x ＋4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2＋4x | 2－1 ＝9，故选B. 答案： B3．如图，阴影部分面积为( )A ．⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b[f (x )－g (x )]d x C ．⎠⎛a c[f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b[g (x )－f (x )]d xD ．⎠⎛a b[g (x )－f (x )]d x解析： ∵在区间(a ，c )上g (x )>f (x )，而在区间(c ，b )上g (x )<f (x )．∴S ＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b[f (x )－g (x )]d x ，故选B.答案： B4．由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A ．43B ．34C ．2D ．1解析： 因为曲线所围成的图形关于y 轴对称，如图所示，面积S 满足12S ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x －⎠⎛20x 24d x ＝x 33| 1＋x | 21－x 312| 20＝23， 所以S ＝43，故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示，由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4y ＝5x ，得交点坐标为(1,5)，(4,20)，∴所求面积S ＝⎠⎛01 (x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－52x 2＋4x | 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x | 41＝193.答案：1936．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围图形的面积为________．解析： 由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x | 31＝2－43＝23. 答案： 23三、解答题(每小题10分，共20分)7．曲线y ＝e x，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形的面积．解析： 作出图形，S ＝⎠⎛01(e x －e －x)d x＝(e x＋e －x)| 1＝e ＋e －1－e 0－e 0＝e ＋1e－2.8．求由曲线y ＝x 与直线y ＝2－x ，y ＝－13x 围成的图形的面积．解析： 由曲线y ＝x 与直线y ＝2－x ，y ＝－13x 围成的图形大致如下图所示，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，可得交点A (1,1)，O (0,0)，B (3，－1)． 所以所求面积为S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31 ＝56＋6－3－2＋13＝136.尖子生题库☆☆☆9．(10分)过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－4x 所围成图形的面积为36，求l 的方程． 解析： 由题意可知直线的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋4，y ＝k k ＋(1)当k ＋4>0，即k >－4时， 面积S ＝∫k ＋40(kx －x 2＋4x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3＋2x 2| k ＋4＝12k (k ＋4)2－13(k ＋4)3＋2(k ＋4)2＝16(k ＋4)3＝36， ∴k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x ； (2)当k ＋4<0，即k <－4时，S ＝⎠⎛0k ＋4(kx －x 2＋4x )d x⎝⎭23＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k ＋2·k －13k ＋3＋k ＋2＝－16(k ＋4)3＝36，∴k ＝－10，故直线l 的方程为y ＝－10x . 综上，直线l 的方程为y ＝2x 或y ＝－10x .2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用高效测评新人教A 版选修一、选择题(每小题5分，共20分)1．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( )A ．120 mB ．437.5 mC ．360 mD ．480 m解析： 从A 处到B 处所用时间为25(s)． 所以AB ＝∫2501.4t d t ＝0.7t 2| 250＝437.5(m)．答案： B2．一物体沿直线以速度v (t )＝2t －3(t 的单位为：s ，v 的单位为：m/s)做变速直线运动，该物体从时刻t ＝0至时刻t ＝5运动的路程是( )A ．292 mB ．15 mC ．10 mD ．294m解析： ∵当0≤t ≤32时，v (t )＝2t －3≤0；当32≤t ≤5时，v (t )＝2t －3≥0， ∴物体从t ＝0至t ＝5间运动的路程4⎝⎭42答案： A3．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 3x ＋4 x(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝4(单位：m)，则力F (x )做的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x | 42＝46(J)． 答案： B4．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A ．1603 mB ．803 mC ．403mD ．203m解析： 由v ＝40－10t 2＝0，得到物体达到最高时t ＝2，高度h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝1603(m)．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(xx·广东东莞模拟)一物体以v ＝9.8t ＋6.5(m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析： ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )| 84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2(m)． 答案： 261.2 m6．某一物体在某种介质中作直线运动，已知t 时刻，它的速度为v ，位移为s ，且它在该介质中所受到的阻力F 与速度v 的平方成正比，比例系数为k ，若已知s ＝12t 2，则该物体由位移s ＝0移动到位移s ＝a 时克服阻力所作的功为______________．(注：变力F 做功W ＝⎠⎛s 2s 2F (s )ds ，结果用k ，a 表示．解： ∵在该介质中所受到的阻力F 与速度v 的平方成正比，比例系数为k ， ∴F ＝kv 2，∵t 时刻，它的速度为v ，位移为s ， ∴s ＝12t 2，s ′(t )＝t ，即v ＝s ′(t )＝t ，∴s ＝12t 2＝12v 2，即v 2＝2s ， 即F ＝kv 2＝2ks ，则由W ＝⎠⎛s 1s 2F(s)ds 得W ＝⎠⎛0a2ksds ＝ks 2 |a 0＝ka 2，故答案为：ka 2. 答案： ka 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12 s ～6 s 间的运动路程．解析： 由图可得v (t )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2t t ，t，13t ＋t，由变速直线运动的路程公式，可得：所以该物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494m.8．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，求由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功．解析： W ＝⎠⎛21F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛2132(5－x 2)d x＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3| 21＝433(J)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车以减速度a ＝1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解析： 首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间．当t ＝0时，汽车速度v 0＝32千米/小时＝32×1 0003 600米/秒≈8.89米/秒，刹车后汽车减速行驶，其速度为v (t )＝v 0－at ＝8.89－1.8t ，当汽车停住时，速度v (t )＝0，故从v (t )＝8.89－1.8t ＝0解得t ＝8.891.8≈4.94秒 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是s ＝∫4.940 v (t )d t ＝∫4.940(8.89－1.8t )d t＝⎝⎛⎭⎪⎫8.89t －1.8×12t 2| 4.940≈21.95米， 即在刹车后，汽车需走过21.95米才能停住．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用讲义 新人
1.7.1 定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f (x )>0时，⎠⎛a bf (x )d x □01>0，所以S ＝□02⎠⎛ab f x d x ； (2)如图②，当f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x □03<0，所以S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝□04－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，⎠⎛a c f (x )d x □05<0；当c≤x ≤b 时，f (x )>0，⎠⎛cb f (x )d x □06>0，所以S ＝| ⎠⎛a c f (x )d x | ＋⎠⎛c b f (x )d x ＝□07－⎠⎛a c f (x )d x ＋□08⎠⎛cb f (x )d x ；(4)如图④，在公共积分区间[a ，b]上， 当f 1(x )>f 2(x )时，曲边梯形的面积为S ＝⎠⎛a b [f 1(x )－f 2(x )]d x ＝□09⎠⎛a b f 1(x )d x －⎠⎛ab f 2(x )d x .求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形X 围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限． 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置． 第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)由曲线y ＝e x，x ＝2，x ＝4，y ＝0所围成的图形的面积等于________． (2)曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为________． (3)抛物线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积是________． 答案 (1)e 4－e 2(2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)． 设所求图形的面积为S ，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．【跟踪训练1】 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S.解 作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[解] 解法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3 综合问题例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程．[解] 如右图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】 已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A ．ln 2B ．ln 2－1C ．1＋ln 2D ．2ln 2 答案 A解析 画出曲线y ＝1x(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积．所以S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712答案 A解析 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.3．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 答案 18解析 图形面积为S ＝⎠⎛032x 2d x ＝2⎠⎛03x 2d x ＝23x 3|30＝18.4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值是________．答案1－3 4 25．如图，求由曲线y＝e x，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积S.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用导学案(
湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用导学案（无答案）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用导学案（无答案）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
7。
1 定积分在几何中的应用【学习目标】1、体会定积分在解决几何问题中的作用.2、会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.重点:求由两条或多条曲线围成的图形的面积.【合作探究】探究一不分割型图形面积的求解求由抛物线24y x=-与直线2y x=-+所围成图形的面积.变式一：求曲线2,xy e y e-==及直线x=1所围成的图形的面积。
探究二分割型图形面积的求解计算由直线6y x=-,曲线8y x=以及x 轴所围图形的面积.变式二：求由曲线1xy=及直线,2y x y==所围成的平面图形的面积.探究三定积分的综合应用如图所示，直线y kx=将抛物线围成2y x x=-与x轴所的图形的面积分成相等的两部分,求k的值.变式三:求由曲线2y x=和直线20,1,,(0,1)x x y t t===∈所围成的图形（如图所示阴影部分）的面积S的最小值.【学习评价】●自我评价你完成本节导学案的情况为（）A. 很好 B。
较好C. 一般 D。
人教版高中数学第一章1.7-1.7.1定积分在几何中的应用
[变式训练] 如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 3 B．－2 3
32
35
C. 3
D. 3
解析：S＝∫1－3(3－x2－2x)dx＝
3x－13x3－x2|1－3＝332. 答案：C
类型 2 分割型图形面积的求解
[典例 2] 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围 成图形的面积．
得曲线与直线的交点坐标为
y＝x－2
A(1，－1)、B(4，2)，
选取
y
为积分变量，有
S
＝
∫
2 －1
[(y
＋
2)
－
y2]dy
＝
12y2＋2y－13y3|2－1＝2＋4－83－12－2＋13＝92. 答案：92
1．数形结合、化归与转化思想：定积分的几何应用 突出表现在求曲线与直线所围成的图形的面积，通过作 图可将问题转化为定积分问题解决．
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
一、听要点。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
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精 品 试 卷1.7.1 定积分在几何中的应用[课时作业] [A 组 基础巩固]1．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围封闭图形的面积S 等于( ) A. ⎠⎛-11(x －x 3)d xB. ⎠⎛-11 (x 3－x )d xC ．2⎠⎛01⎠⎛10(x －x 3)d xD ．2⎠⎛-10 (x －x 3)d x解析：如图，阴影部分的面积S ＝2⎠⎛01 (x －x 3)d x .故选C.答案：C2．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的封闭区域的面积为92，则k ＝( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则所求区域的面积为S ＝⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝k 36＝92，则k 3＝27，解得k ＝3.答案：A3．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积S 为( ) A.112B.14C.13D.712解析：作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．解方程组{ y ＝x 2，y ＝x 3，得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4| 10＝13－14＝112. 答案：A4．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A ．ln 2B ．ln 2－1C ．1＋ln 2D ．2ln 2解析：所求面积为S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x | 21＝ln 2.答案：A5．设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23 D.43解析：由{ y ＝x2y ＝1得x ＝±1.如图，由对称性可知，S＝2(1×1－⎠⎛01x 2d x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1－13x 3|10＝43. 答案：D6．曲线y ＝－x 2与曲线y ＝x 2－2x 围成的图形面积为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2，得交点坐标为(0,0)，(1，－1)．如图所示，图形面积S ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2| 10＝－23＋1＝13.答案：137．直线x ＝π4，x ＝5π4与曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 围成平面图形的面积为________．解析：由图可知，图形面积S ＝544ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(－cos x －sin x ) 544ππ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos 5π4－sin 5π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4 ＝2－(－2)＝2 2. 答案：2 28．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：首先求第一象限内阴影部的分面积，1－⎠⎛01x 2d x ＝1－13x 3| 10＝23，根据对称性以及几何概型的相关内容可知，所求概率为P ＝231＝23.答案：23解析：作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－x ，y ＝8x ，得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．×23x 32| 20＋(6x －12因此，所求图形的面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛28x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝8x 2)| 62＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝163＋8＝403.10．已知f (x )为一次函数，且f (x )＝x ⎠⎛02f (x )d x ＋1，(1)求f (x )解析式；(2)求直线y ＝f (x )与曲线y ＝xf (x )围成平面图形的面积．解析：(1)设一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由f (x )＝x ⎠⎛02f (x )d x ＋1得kx ＋b ＝x ⎠⎛02(kx ＋b )d x ＋1＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 22＋bx | 20＋1＝(2k ＋2b )x ＋1， 所以b ＝1，k ＝2k ＋2b ，即k ＝－2b ＝－2， 所以f (x )＝－2x ＋1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋1，y ＝－2x 2＋x ，消去y ，得2x 2－3x ＋1＝0，解得x 1＝12，x 2＝1，大致图象如图，所求平面图形的面积为S ＝112⎰[(－2x 2＋x )－(－2x ＋1)]d x＝112⎰(－2x 2＋3x －1)d x＝124. [B 组 能力提升]1．已知a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，sin x )，f (x )＝a ·b ，则直线x ＝0，x ＝3π4，y ＝0以及曲线y ＝f (x )围成平面图形的面积为( )A.12B.34C.32D.32解析：由a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，sin x )，得f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin 2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin 2x ≥0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4时，sin 2x <0.由定积分的几何意义，直线x ＝0，x ＝3π4，y ＝0以及曲线y ＝f (x )围成平面图形的面积为20π⎰sin 2x d x －342ππ⎰sin 2x d x＝－12cos 2x20π＋12cos 2x 342ππ＝1＋12＝32.答案：C2.函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.13 B.43 C ．2D. 83解析：由导函数f ′(x )的图象可知函数f (x )为二次函数，且对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，由f (0)＝0，得c ＝0.f ′(x )＝2ax＋b ，因过点(－1,0)与(0,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛-20(－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 2| 0－2＝13×(－2)3＋(－2)2＝43. 答案：B3．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：两曲线的交点坐标为(0,0)，(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16. 答案：164．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为a ，拱高为b ，其面积为________．解析：建立如图所示的坐标系，所以得抛物线的方程为y ＝－4b a2x 2，所以曲线与x 轴围成的部分的面积为S ＝22224()aa b x dx a --⎰＝322243a b x a α-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ab 3，所以阴影部分的面积为ab －ab 3＝2ab 3.答案：23ab5．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－4x 所围成图形的面积为36，求l 的方程． 解析：由题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋4y ＝k k＋.(1)当k ＋4>0，即k >－4时， 面积S ＝⎠⎛0k -4 (kx －x 2＋4x )d x＝(12kx 2－13x 3＋2x 2)| k ＋40＝12k (k ＋4)2－13(k ＋4)3＋2(k ＋4)2＝16(k ＋4)3＝36， ∴k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x ； (2)当k ＋4<0，即k <－4时，S ＝⎠⎛k -40(kx －x 2＋4x )d x＝(12kx 2－13x 3＋2x 2)| 0k ＋4＝－[12(k ＋4)2·k －13(k ＋4)3＋2(k ＋4)2]＝－16(k ＋4)3＝36，∴k ＝－10，故直线l 的方程为y ＝－10x . 综上，直线l 的方程为y ＝2x 或y ＝－10x .6．已知y ＝ax 2＋bx 通过点(1,2)，与y ＝－x 2＋2x 有一个交点(x 1，y 1)，且a <0，如图所示．(1)求y ＝ax 2＋bx 与y ＝－x 2＋2x 所围的面积S 与a 的函数关系； (2)当a ，b 为何值时，S 取得最小值．解析：(1)由y ＝ax 2＋bx 通过点(1,2)可得a ＋b ＝2， 即b ＝2－a .由y ＝ax 2＋bx 与y ＝－x 2＋2x 联立方程组， 解得x 1＝a1＋a，x 2＝0，y ＝ax 2＋bx 与y ＝－x 2＋2x 所围的面积S 与a 的函数关系为 S (a )＝10x ⎰[(ax 2＋bx )－(－x 2＋2x )]d x＝10x ⎰[(ax 2＋2x －ax )－(－x 2＋2x )]d x＝[13(a ＋1)x 3－12ax 2]10x＝13(a ＋1)(a 1＋a )3－12a (a 1＋a )2 ＝－a 3＋a2.(2)求导可得 S ′＝－16·3a2＋a2－a 3＋a＋a4＝－16·a 2a ＋a ＋＋a4，由S ′>0，得－3<a <－1， 由S ′<0，得－1<a <0或a <－3，∴当a ＝－3时，S 取得极小值，即最小值， 此时b ＝2－a ＝5，最小值S (－3)＝98.。