1.2一元二次方程的解法(2)
一元二次方程的解法第2课时
一元二次方程的解法第2课时1．一元二次方程的求根公式及推导 (1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是x ＝－b ±b 2－4ac2a.这个式子称为一元二次方程的求根公式．(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．具体推导过程如下：由于a ≠0，在方程两边同除以a ，得x 2＋b a x ＋ca＝0.移项，得x 2＋b a x ＝－ca.方程两边同加上(b 2a )2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2.由于4a 2＞0，所以当b 2－4ac ≥0时，可得x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a .所以x ＝－b ±b 2－4ac2a.(1)配方法是推导求根公式的基础．(2)由于4a 2＞0，所以只有当b 2－4ac ≥0时，式子b 2－4ac4a 2才是非负常数，方程才能开方．(3)由此可见，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．【例1】方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8.因为b 2－4ac ＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.答案：3x 2－7x －8＝0 3 －7 －8 7±14562．公式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，确定a ，b ，c 的值． ②计算b 2－4ac 的值，从而确定原方程是否有实数根．③若b 2－4ac ≥0，则把a ，b ，c 及b 2－4ac 的值代入求根公式，求出x 1，x 2；若b 2－4ac ＜0，则方程没有实数根．(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．(2)“b 2－4ac ≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值，并注意它们的符号．(4)当b 2－4ac ＝0时，应把方程的根写成x 1＝x 2＝－b2a ，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根．【例2】用公式法解下列方程： (1)2x (x ＋2)＋1＝0； (2)x 2＋4x －1＝10＋8x .分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式，然后判断b 2－4ac 的值是大于等于0，还是小于0.若b 2－4ac ≥0，把a ，b ，c 的值代入求根公式求解；若b 2－4ac ＜0，则原方程没有实数根．解：(1)原方程可化为2x 2＋22x ＋1＝0. 因为a ＝2，b ＝22，c ＝1， 所以b 2－4ac ＝(22)2－4×2×1＝0. 所以x ＝－22±02×2＝－22.所以x 1＝x 2＝－22.(2)将原方程化为一般形式，得x 2－4x －11＝0. 因为a ＝1，b ＝－4，c ＝－11，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60. 所以x ＝4±602×1＝4±2152.所以x 1＝2＋15，x 2＝2－15.点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足b 2－4ac ≥0，才能将a ，b 及b 2－4ac 的值代入求根公式求解．当b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．3．因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．(2)因式分解法的理论依据：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积．【例3】解下列方程： (1)x －3＝x (x －3)； (2)(x －2)2＝(2x ＋3)2； (3)x 2－23x ＝－3. 分析：⑴ 移项 右 边 左边能提取公因式(x －3)⑵ 移项 左边能用平方差公式进行分解⑶ 移项为 0左边正好是一个完全平方式解：(1)原方程可化为(x －3)－x (x －3)＝0. ∴(x －3)(1－x )＝0.∴x －3＝0，或1－x ＝0. ∴x 1＝3，x 2＝1.(2)原方程可化为(x －2)2－(2x ＋3)2＝0. ∴[(x －2)＋(2x ＋3)][(x －2)－(2x ＋3)]＝0， 即(3x ＋1)(－x －5)＝0. ∴3x ＋1＝0，或－x －5＝0.∴x 1＝－13，x 2＝－5.(3)原方程可化为x 2－23x ＋3＝0，即 x 2－23x ＋(3)2＝0. ∴(x －3)2＝0.∴x 1＝x 2＝ 3.4．因式分解法的两种类型一元二次方程右边化为0后，左边在因式分解时，可分为两种类型：(1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． 例如，解方程x －3－x (x －3)＝0，可通过提公因式(x －3)，原方程变形为(x －3)(1－x )＝0.(2)能运用公式①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； ②完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程x 2－4＝0，利用平方差公式变形为(x ＋2)(x －2)＝0； 解方程x 2－4x ＋4＝0，利用完全平方公式变形为(x －2)2＝0.在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此，要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理．【例4】解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0； (2)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0； (3)(x ＋3)(x －1)＝4x －4.分析：解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．(1) 右边为0 左边可整体利用平方差公式分解因式(2) 右边为0将2x ＋1作为一个整体，左边可利用完全平方公式进行因式分解(3) 移项后把右边化为0 变形后能提公因式(x －1)解：(1)原方程可变形为[2(x －3)]22即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴7x －16＝0，或－3x ＋4＝0.∴x 1＝167，x 2＝43.(2)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2＝0， 即(2x ＋3)2＝0.∴2x ＋3＝0.∴x 1＝x 2＝－32.(3)原方程可变形为 (x ＋3)(x －1)－4(x －1)＝0. ∴(x －1)2＝0.∴x 1＝x 2＝1.5．利用因式分解法解一元二次方程的误区 应用因式分解法解方程时，常有以下误区：(1)对因式分解法的基本思想不理解，没有将方程化为a ·b ＝0的形式就急于求解．对此要认真审题，看方程的一边是否是0，若不是0，应先化为0.(2)产生丢根现象．对于丢根现象，往往是因为在解方程过程中，出现方程两边不属于同解变形的步骤．避免这一错误的方法主要是注意方程两边不能同除以含有未知数的项．【例5】解方程：(1)(x －2)(x －3)＝6. (2)2x (x ＋1)＝3(x ＋1)． 解答 顾问点评(1)错解 x －2＝0，或x －3＝0，得x 1＝2，x 2＝3.用因式分解法时，右边必须是0，而本题中右边不是0正解整理，得x 2－5x ＝0，∴x (x －5)＝0.∴x ＝0，或x －5＝0.∴x 1＝0，x 2＝5.先整理成一般形式，再选择适当的方法(2)错解 方程两边同时除以(x ＋1)，得2x ＝3，解得x ＝32.出现两边同除以(x ＋1)的错误正解 移项，得2x (x ＋1)－3(x ＋1)＝0，∴(x＋1)(2x －3)＝0.∴x ＋1＝0，或2x －3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝32.移项后可提公因式(x ＋1)6．选择适当的方法解一元二次方程解法 适合类型 注意事项 直接开平方法(x ±m )2＝n n ≥0时，有解；n ＜0时，无解配方法 x 2＋px ＋q ＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方公式法 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 先化为一般形式再用公式．b 2－4ac ≥0时，方程有解；b 2－4ac ＜0时，方程无解因式 分解法 方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最后考虑公式法．①因式分解法和直接开平方法虽然简便，但并非所有的方程都适用；②配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦； ③公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解．因此，在解一元二次方程时，为了提高解题速度和准确率，应先观察方程特点，灵活选择适当的方法进行解题．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例6－1】选择适当的方法解下列方程： (1)3x (x －1)＝1－x ；(2)x 2－2x －11＝0； (3)2x 2－5x －1＝0. 分析：(1) 将方程右边的“1－x ”移到方程左边，则变为“x －1”，此时有公因式“x －1”可提.因式分解法(2) 仔细观察不难发现二次项系数与一次项系数的特点，“x 2－2x ”易于配方，可选用配方法求解.配方法(3) 公式法适用于任何一元二次方程，此题是一元二次方程的一般形式，确定a ，b ，c 的值，就可以直接代入公式求解. 公式法解：(1)原方程可化为3x (x －1)＋(x －1)＝0， ∴(x －1)(3x ＋1)＝0.∴x －1＝0，或3x ＋1＝0.∴x 1＝1，x 2＝－13.(2)移项，得x 2－2x ＝11，配方，得x 2－2x ＋1＝11＋1，即(x －1)2＝12. ∴x －1＝±23，即x ＝±23＋1. ∴x 1＝23＋1，x 2＝－23＋1. (3)∵a ＝2，b ＝－5，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×(－1)＝33＞0， ∴x ＝－(－5)±(－5)2－4×2×(－1)2×2＝5±334.∴x 1＝5＋334，x 2＝5－334.【例6－2】用适当的方法解下列方程：(1)9(x ＋2)2＝16；(2)(x －1)2－(x －1)－6＝0； (3)4x 2－42x ＋1＝0；(4)(3x －4)2＝9x －12.分析：(1)题利用直接开平方法解较好．(2)题利用因式分解法解较好．(3)题利用求根公式法解较好．(4)题利用因式分解法解较好．解：(1)原方程变形为(x ＋2)2＝169，所以x ＋2＝±43，即x ＝±43－2.所以x 1＝－23，x 2＝－103.(2)原方程变形为(x －1＋2)(x －1－3)＝0，即(x ＋1)(x －4)＝0， 所以x ＋1＝0或x －4＝0.所以x 1＝－1，x 2＝4. (3)因为a ＝4，b ＝－42，c ＝1， 所以b 2－4ac ＝(－42)2－4×4×1＝16. 所以x ＝42±162×4＝2±12.所以x 1＝2＋12，x 2＝2－12.(4)原方程变形为(3x －4)2＝3(3x －4)， 即(3x －4)2－3(3x －4)＝0，分解因式，得(3x －4)[(3x －4)－3]＝0， 即(3x －4)(3x －7)＝0， 所以3x －4＝0或3x －7＝0. 所以x 1＝43，x 2＝73.7．用十字相乘法解一元二次方程十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)因式分解．这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1·a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1·c 2，并使a 1c 2＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可以直接写出结果：ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)．当二次项系数为1时，上述公式变为x 2＋bx ＋c ＝(x ＋c 1)(x ＋c 2)．此时解决问题的关键是将常数项分解为两个数的积，且其和等于一次项系数．例如，分解因式2x 2－7x ＋3，利用上述方法将二次项系数与常数项分解为1×2与(－1)×(－3)，则交叉相乘再相加，得1×(－1)＋2×(－3)＝－7，结果正好等于一次项系数－7，于是二次三项式2x 2－7x ＋3可分解为(x －3)(2x －1)．【例7】用十字相乘法解下列方程： (1)x 2＋2x －8＝0； (2)6x 2＋5x －50＝0.分析：(1)此方程右边为0，二次项系数为1，常数项－8可分解为4×(－2)，而4＋(－2)＝2，于是原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0.(2)此方程右边为0，左边是一个二次三项式，由于6＝2×3，－50＝(－5)×10，则2×10＋3×(－5)＝5，于是原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0. 解：(1)原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0， ∴x ＋4＝0，或x －2＝0. ∴x 1＝－4，x 2＝2.(2)原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0， ∴2x －5＝0，或3x ＋10＝0.∴x 1＝52，x 2＝－103.。
21.2.2一元二次方程的解法——求根公式法(2)
例1. 解方程:
2
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
(1)x(2)
2 -7x+2x =4
2 (4) 2x -9x+8=0
用公式法解一元二次方程的步骤: (1)化：把一元二次方程化为一般形式; (2)定：确定a、b、c的值; 2 (3)判：求出b -4ac的值,判断根的情况; 2 (4)代：若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
(4)写：写出x1，x2
2. 用公式法解下列方程:
(1) 3x 1 2 3x
2
(2) 0.2 x 1.2x 0.55 0
2
2 2 1 (3) x x 1 0 3 2
(4) (x-1)(6-x)=6
３. 用公式法解下列方程:
x(x+1)+7(x-1)=2(x+2)
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的 值代入求根公式求解.
拓展与提高
2 1.x是什么值时,y=x -5x+4
的值分别是0,4?
2.解下列关于x的方程： 2 2 2x -mx-m =0
拓展与提高
求差
3.试比较代数式2x2-x-5与x-7 的值的大小。
2 解：2x -x-5-（x-7）
2 =2x -2x+2
2 =2(x -
2 2 x+0.5 -0.5 )+2
2 =2(x-0.5) -0.5+2
2 =2(x-0.5) +1.5
7 145 7 145 方程的根x1= , x2= . 6 6
1_2一元二次方程的解法(2)
1.2 一元二次方程的解法（2）学习目标：1. 经历探究将一般一元二次方程化成()2x h k +=（0k ≥）形式的过程，进一步理解配方法的意义3. 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想 学习难点：把一元二次方程转化为()2x h k +=（0k ≥）的形式知识准备：1. 因式分解：（1）=++222b ab a （2）=+-222b ab a2. 填空：（1）24x x ++ ＝(x ＋ )2 （2）26x x -+ ＝(x － )2 （3）27x x -+ ＝(x － )2 （4） 2x x ++ ＝(x ＋ )2（5） 2x px ++ ＝(x ＋ )23. 用直接开平方法解以下方程：（1）()235x += （2）()27925x -+=学习过程：一、预习·质疑：（自学课本P10至P11）1. 将方程2230x x +-=化为()2x h k +=（0k ≥）的形式为 2. 仿照课本P 11例题3，用配方法解一元二次方程：（1）2230x x --= （2）2650x x ++=二、展示·探究1. 探索活动：思考：（1）如何解方程()235x +=与2640x x ++=？ （2）能否将方程2640x x ++=转化为()2x h k +=的形式？ 解：()235x += 2640x x ++=思考：在解的过程中,为什么在方程264x x +=-两边加9?加其他数行吗?2. 配方法定义：把一个一元二次方程变形为（x ＋h ）2= k 的形式（其中h 、k 都是常数），假如k ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法注意：假如k ＜0，则方程无解。
3. 方法总结：用配方法解一元二次方程的步骤：①②③④4. 例题评析：例1.用配方法解一元二次方程：（1）2430x x -+= （2）2310x x +-=（3）264x x -= （4）2240x x -+=三、检测·反馈1. 填空：（1）22x x ++ ＝(x ＋ )2 （2）28x x -+ ＝(x － )2 （3）25y y ++ ＝(y ＋ )2 （4） 212y y -+ ＝(y － ) 2. 用配方法解一元二次方程：（1）2129x x +=- （2）240y ++=（3）2430x x -+= （4）2210x x --=四、体会·交流：1. 配方法的定义：2. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：① ② ③ ④五、拓展：1.（1）当_______=m 时，m x x ++82是完全平方式，（2）当_______=m 时，162++mx x 是完全平方式。
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
1.2.2一元二次方程的解法(配方法2)
助手:
a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
否
写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
x
2
b a
x
c a
0.
配方 解两个一元一次方程 用因式分解法或 直接开平方法
练习
解下列方程
(1) x 3 x 2 0;
2
(2)3 x 15 x 18 0;
2
(3) 2 x 3 x 1 .
2
小结
拓展
回味无穷
• 本节课复习了哪些旧知识呢？ • 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法” 的理解运用: 平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a . 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
随堂练习 1
你能行吗
5.3x2 +8x –3=0 ;
这个方程与前4个方程不 一样的是二次项系数不是 1,而是3. 基本思想是: 如果能转化为前4个方程 的形式,则问题即可解决.
用配方法解下列方程.
1.x2
– 2 = 0;
1 4
2.x2
-3x-
=0 ;
3.x2－6x＋1＝0 ；
你想到了什么办法?
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
1.2一元二次方程的解法公式法
（1）3x2+5x-1=0
解：a=3，b=5，c=-1，
b² -4ac=5² -4×3×（-1）=37>0
X= =
Х1=
Х2=
（2）4x² +1=-4x
解：移项，得4x² +4x+1=0
a=4，b=4，c=1，b² -4ac=4² -4×4×1=0
X=
X1=X2
==-
（3）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b² -4ac=2² -4×1×2=-4<0
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
即
b b2 4ac x 2a 4a 2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
即
b b 4ac x 2a 2a
2
一元二次方程的 求根公式
4、2x² -3x-1=0
解下列方程： 1、x2=4 3、8x2-10=0；
不含一次项
2、x2－3=0； 4、2x2 =80;
对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定
义,可解得 x1 a , x2 a 方法叫做直接开平方法.方程的
例1、用直接开平方法解下列方程:
(1 （ ) x 18 ） 25
(a≠0, b2-4ac≥0)
b b 4ac x 2a
2
b b 4ac x 2a
2
(a≠0, b2-4ac≥0)
解一元二次方程时，把各项系数的值 直接代入这个公式，若b2-4ac≥0，就可以 求得方程的根. 这种解一元二次方程的方
法叫做公式法.
一元二次方程的解法(2)——配方法
课 题] §12.2 一元二次方程的解法（2）——配方法 [教学目标] 知识与技能使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。
过程与方法经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
情感、态度与价值观[教学重点]掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
[教学难点 ] 配方。
[教学用具] 多媒体[教学方法] 启发——探究式 [教学用时] 45′×1说课稿一、教学目标知识与技能使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。
过程与方法经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
情感、态度与价值观通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
二、教材分析配方法是一元二次方程的一种重要解法。
它在教材中起承上启下的作用，以直接开平方法为基础，配方法是公式法的推导的基础知识。
教材从实际情景中提出问题，激发学生探索方程的精确值，引出问题“你能解哪些方程？”回顾旧知识，展现新知识，通过学生的合作探究，寻找规律，将一元二次方程通过配方后，用直接开方平方法来解。
本节教学重点：掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
本节教学难点：配方。
三、学情分析：首先引导学生回顾能够解哪些一元二次方程，学生自然会想到一些形如x2=4，（x+6）2=4的简单的一元二次方程。
学生通过以往的经验知道通过开平方运算可以解决。
在此基础上给出几个既有联系又步递进的方程，要求学生说明解题思路，体会转化的思想。
四、教学构思：这是一节传统内容的教学课程，在此之前，学生已有了开平方运算的知识，所以很容易掌握用直接开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，把一元二次方程转化为两个一元一次方程解，从中也体会到解一元二次方程的基本思想。
而配方法是方程形式上的转化，它是把x2+px+q=0的形式转化为（x+m）2=n（n ≥0）的形式，它的依据是完全平方公式。
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1.2一元二次方程的解法（2）
班级______学号_____姓名___________
学习目标：
1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；
2、经历探究将一般一元二次方程化成（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义；
3、在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。
学习重点：掌握配方法，解一元二次方程；
学习难点：把一元二次方程转化为（x ＋m ）2= n （n ≥0）；
学习与交流：
1、请写出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a －b ）2 =
2、用直接开平方法解下例方程：
（1）5)3(2=+x （2）134)5(2
=+-x
3、试一试：把下列各式配方成完全平方式：
22_____)(_____8+=+x x x ； 2210_____(_____)x x x -=+
22_____)(______5-=+-x x x ； 2x +b x ＋_____＝（x ＋______）2
4、想一想:如何解方程x 2＋6x ＋4 = 0呢？
提示：能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢
由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过 求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做 。
典型例题
例1、解下例方程
（1）2
x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0
【知识梳理】
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、把________项移到方程________；
2、在方程的两边各加上____________，使左边成为完全平方；
3、利用___________________法解之。
例2、用配方法解方程：09)1(10)1(2=++-+x x
例3、（1）利用配方法证明：无论x 为何值，二次三项式222
---x x 恒为负；
（2）根据1中配方结果，二次三项式222---x x 有最大值还是最小值？最值是多少？
达标检测：
1、填空：（1）x 2+6x + =(x + )2；(2)x 2－2x + =(x － )2；
(3) x 2－5x + =(x － )2；(4)x 2+x + =(x + )2；(5)x 2+px + =(x + ) 2；
2、将方程x 2+2x －3=0化为(x +m )2=n 的形式为 ；
3、用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5时，此方程可变形为（ ）
A ．(x ＋2)2＝1
B ．(x －2)2＝1
C ．(x ＋2)2＝9
D ．(x －2)2＝9
4、用配方法解一元二次方程x 2+8x +7=0，则方程可变形为（ ）
A.(x －4)2=9
B.(x +4)2=9
C.(x －8)2=16
D.(x +8)2=57
5、已知方程x 2－5x +q=0可以配方成(x －25)2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46 B.425 C. 419 D. －4
19 6、已知方程x 2－6x +q=0可以配方成(x －p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）
A.9
B.7
C.2
D.－2
742++ax x _____=a
89、代数式有最________值，最值是________。
10、用配方法解下列方程： （1）x 2－4x =5； （2）x 2－100x －101=0； （3）y 2+22y －4=0；
11、已知直角三角形的三边a 、b 、c ，且两直角边a 、b 满足等式015)(2)(22222=-+-+b a b a ，
求斜边c 的值。
12、试用配方法证明：代数式x 2+3x －23的值不小于－4
15。