1.2.2 函数的表示法(1)(上课用)
1.2.2函数的表示法课件人教新课标
的三种表示法表示函数 y f (x)
。
例2．（书P20）下表是某校高一（1）班三名 同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级 平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 张城 赵磊
班级 平均分
98 90 68 88.2
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系
优点：不需要计算就可以直接看出与自变 量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相 应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通 过图象来研究函数的某些性质.
二．例题讲授：
例1（书P19）.某种笔记本的单价是5元，买 x
四、作业
P24 A组7、8、9 B组3、4 补充：作出分段函数
y 2x 1 x 2 (3 x 3)
的图像并求值域。
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
练习：
x 2(x 1)
1．在函数
f
(x)
x
2
(1
x
2)
中，若 f (x) 3
2x(x 2)
则x的值为 。
3x2 2 (x 0)
1.2.2 函数的表示法(一)
一、讲授新课：
函数的表示方法 ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关 系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数 主要是用解析法表示的函数.
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (1)ppt课件
例5、下列映射是不是A到B的一一映射？
A
B
A
B
f
1
3
f
1
3
2
5
3
7
5 2
7
3
9
4
9
4
1
(1)
(2)
解：（1） 是
（2） 不是。由于B中元素1在集合A中没有原像
例6、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
5 , 1 5 < x 2 0 , 2 1
图公交车票价.gsp
05
10
15
20
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个 表示的函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它 分段函数.
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 线、离散的点等等。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用 法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
(1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数 (x,y)和它对应；
(教师参考)高中数学 1.2.2 函数的表示法(一)课件2 新人教A版必修2
课堂小结
1.函数的三种表示方法及各自的优点 列表法、图象法、解析法；
课堂小结
1.函数的三种表示方法及各自的优点 列表法、图象法、解析法；
2.三种函数表示方法的相互转换； 3.分段函数的定义及表示法； 4.分段函数的表达式虽然不止一个，
但它不是几个函数，而是一个函数．
如 :S6t02,Ar2,S2r,l
ya2 xbx c(a0)
函数的表示法
1. 解析法：
把两个变量的关系, 用一个等式 表示, 这个等式就叫做函数的解析式.
如 :S6t02,Ar2,S2r,l
ya2 xbx c(a0)
优点: 函数关系清楚, 便于研究 函数性质.
2. 列表法： 列出表格来表示两个变量的关系.
)个笔记本的钱数记为y(元)， 试写出以x为自变量的函数y的解析式， 并画出这个函数的图象．
例1．某种笔记本每个5元，买 x (x∈ {1, 2, 3, 4})个笔记本的钱数记为y(元)， 试写出以x为自变量的函数y的解析式， 并画出这个函数的图象．
第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法（一）
讲授新课 函数的表示法：
讲授新课 函数的表示法： 解析法 列表法 图象法
函数的表示法
1. 解析法：
把两个变量的关系, 用一个等式 表示, 这个等式就叫做函数的解析式.
函数的表示法
1. 解析法：
把两个变量的关系, 用一个等式 表示, 这个等式就叫做函数的解析式.
如： 一次函数的图象是一条直线； 如函数 y＝kx＋b (k＜0、b＞0)
y
优点：直观形象．
O
x
想一想
想一想 1)所有的函数都能用解析法表示吗？
想一想
高中数学复习提升-1.2.2函数的表示法
1.2.2函数的表示法（一）【学习目标】（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；【学习重难点】重点：(1)会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
(2)求函数的解析式。
难点：对函数解析式方法的掌握。
【预习自测】1、已知(3)f x x -=，则(1)f = （ ）A.4B.3C.2D.12、已知2()2f x x x =+，则(21)f x +的解析式为 。
3、已知21(),()2f x g x x x ==+，求()()f g x 的解析式。
4、已知2(1)f x x -=，求函数()f x 的解析式。
【新课讲授】引例：1.某种笔记本的单价是5元,买x(x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元,试用三种表示法表示函数y=f(x).解：①解析法：{}5,1,2,3,4,5y x x =∈②列表法③图象法知识点归纳：1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
2.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
3.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
辨析：优点缺点联系解析法①简明、全面地概括了变量间的关系②通过解析式可以求出在定义域内的任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情景时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系图象法能形象、直观地反映出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大求函数的解析式例1、求下列函数的解析式：已知f(x)为一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求函数()f x的解析式。
【练习】1.1、若一次函数()y f x=满足(())94f f x x=+，求函数()f x的解析式。
高中数学课件-1.2.2 函数的表示法(一) - 课时1
合作探究（对学、群学）
例 1. (1)已知 f(x)＝ x2 ，求 f(1),
f(2) , f(a),f(x－1)；
解：（代入法）
f (x 1) (x 1)2 x2 2x 1
练习：(2)已知 f(x+2)＝ 2x2 x ，求
f(x)；
(2)已知 f(x－1)＝x2 x ，求 f(x)；
1 (4)已知 f(x)＋2f(－x)＝ ，求f(x)， 解：（解方程组法） x
练习：已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)，
解：（解方程组法）(或叫消元法) 由题意得:
2 f (x) f (x) 3x 2
2 f (x) f (x) 3(x) 2
把 f(x)和f(－x)看成未知数，×2-
（1） f (x 1) x2 1 ;
x
x2
解：配凑法
f
(x
1) x2 2 x 1
x
(x
1
)2
x
2
1 x2
2
x
∴ f (x) x2 2
（2） f (x) 2 f (1) 3x;
x
（解方程组法）由题意得
f
(x)
2
f
(1) x
3x
f
(
1 x
)
2
f
(x)
3(
1 x
)
把 f(x)和f(－x)看成未知数，×2-
(2)已知 f(x－1)＝x2 x ，求 f(x)；
法二:(换元法)
设 x－1＝t ，则 x＝t＋1，
f t t 12 t 1
∴ f (x) x2 2x 1
法二:(换元法)已知 f ( x 1) x 2 x
解：设t x 1,t 1,则 x t 1, x (t 1)2,
【创新设计】高中数学（人教版必修一）配套练习：1.2.2函数的表示法第1课时（含答案解析）
1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x(x>0)B ．y ＝100x(x>0)C ．y ＝50x (x>0)D ．y ＝100x(x>0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f(1x )＝x1－x ，则当x≠0时，f(x)等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 4．已知f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7 5．若g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝1－x 2x 2，则f(12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4D ．306．在函数y ＝|x|(x ∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________．8．已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f(1x )＋x ，则f(x)的解析式为____________．9．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x ＋8，则f(x)的解析式为__________________． 三、解答题三、解答题10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式．的解析式．11．画出函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f(x 1)与f(x 2)的大小；的大小； (3)求函数f(x)的值域．的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C．y＝[x＋410]10] D．y＝[x＋513．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．的解析式．1．如何作函数的图象．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理知识梳理(1)数学表达式数学表达式 (2)图象图象 (3)表格表格 作业设计作业设计1．C [由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x(x>0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．] 3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x， 则有f(t)＝1t1－1t＝1t －1，故选B.]4．B [由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.] 5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f(12)＝1－(14)2(14)2＝15.]6．B [当t<0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是顶点坐标是(0，12)；当t>0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x (x≠0) 解析解析 ∵f(x)＝2f(1x )＋x ，①，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x (x≠0)．9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8解析解析 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴îïíïìa 2＝4ab ＋b ＝8，解得îïíïìa ＝2b ＝83或îïíïìa ＝－2b ＝－8. 10．解．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知îïíïìf(0)＝c ，f(4)＝16a ＋4b ＋c ，f(0)＝f(4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点，点， 所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y… －5343－5…连线，描点，得函数图象如图：连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f(x 1)<f(x 2)．(3)根据图象，根据图象，可以看出函数的图象是以可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，为顶点，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，因此，因此，因此，函数的函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一方法一 特殊取值法，特殊取值法，若若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x 10]＋1，所以选B.]13．解．解 因为对任意实数x ，y ，有，有 f(x －y)＝f(x)－y(2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f(0)＝f(x)－x(2x －x ＋1)， 即f(0)＝f(x)－x(x ＋1)．又f(0)＝1， ∴f(x)＝x(x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
1.2.2函数的表示法(第一课)PPT课件
跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
解答
(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)； 解 列表：
x2
3
4
5
…
y1
2 ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数 y＝2x的一部分， 观察图象可知其值域为(0,1].
解答
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2].
第一章 1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
知识点一 解析法 思考 一次函数如何表示？ 答案 y＝kx＋b(k≠0).
梳理 一般地，解析法是指：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
知识点二 图象法
一般地，图象法是指：用 图象 表示两个变量之间的对应关系；这样可 以直观形象地表示两变量间的变化趋势.
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式.
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
待定系数法
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得aa2b＝＋2b，＝－1，
∴ba＝＝1－2，2
或ba＝＝1－＋
解方程法
反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法.
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然
后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式，用换元法 (3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进 行赋值.如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x) 的方程，然后利用消元法消去f(－x).
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
【高中数学必修一】1.2.2 函数的表示法-高一数学人教版(必修1)(解析版)
第一章 集合与函数概念1.2.2 函数的表示法一、选择题1．若()()20(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，，，则f [f （–2）]=A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】∵–2<0，∴f （–2）=–（–2）=2．又∵2>0，∴f [f （–2）]=f （2）=22=4，故选C ．2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点．用S 1和S 2分别表示乌龟和兔子经过时间t 所行的路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是A ．B ．C ．D ．【答案】D3．已知函数f （x +1）=3x +2，则f （x ）的解析式是A．f（x）=3x+2 B．f（x）=3x+1C．f（x）=3x–1 D．f（x）=3x+4【答案】C【解析】设t=x+1，∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）–1，∴函数f（t）=3t–1，即函数f（x）=3x–1，故选C．4．已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为A．1，2中的一个B．1，2 C．2 D．无法确定【答案】A【解析】映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，可得b的象为1或2，故选A．5．若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为A．1 B．–1 C．–32D．32【答案】B【解析】∵f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，分别令x=2，和x=12，得()()12262132222f ff f⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩①②，①–②×2得–3f（2）=3，∴f（2）=–1，故选B．6．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点【答案】D7．已知f（x–2）=x2–4x，那么f（x）=A ．x 2–8x –4B ．x 2–x –4C ．x 2+8xD ．x 2–4【答案】D【解析】由于f （x –2）=x 2–4x =（x 2–4x +4）–4=（x –2）2–4，从而f （x ）=x 2–4．故选D ． 8．国内某快递公司规定：重量在1000 g 以内的包裹快递邮资标准如下表：运送距离x （km ） 0<x ≤500 500<x ≤10001000<x ≤15001500<x ≤2000… 邮资y （元）5.006.007.008.00如果某人从北京快递900 g 的包裹到距北京1300 km 的某地，他应付的邮资是 A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元【答案】C【解析】邮资y 与运送距离x 的函数关系式为 5.00(0500)6.00(5001000)7.00(10001500)8.00(15002000)x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩，∵1300∈（1000，1500]，∴y =7.00，故选C ．9．已知函数()()()32121x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩．若()54f a =-，则a 的值为A ．12-或52B ．12或52C ．12-D ．12【答案】C【解析】当a >1时，f （a ）=3514a >≠-，此时a 不存在，当a ≤1，f （a ）=–a 2+2a =–54，即4a 2–8a –5=0，解可得a =–12或a =52（舍），综上可得a =12-，故选C ．10．已知函数f （x ）=()20(0)x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，则f （f （–2））的值是A ．2B ．–2C ．4D ．–4【答案】C【解析】∵已知函数()()20(0)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，∴f （–2）=（–2）2，∴f （f （–2））=f （4）=4，故选C ．二、填空题11．已知f+1）=x，则f （x ）=__________．【答案】x 2–1，（x ≥1）【解析】∵()12fx x x +=+=x +2x +1–1=（x +1）2–1，∴则f （x ）=x 2–1，（x ≥1）．故答案为：x 2–1，（x ≥1）．12．已知f （x +1）=2x 2+1，则f （x –1）=__________．【答案】2x 2–8x +9【解析】设x +1=t ，则x =t –1，f （t ）=2（t –1）2+1=2t 2–4t +3，f （x –1）=2（x –1）2–4（x –1）+3=2x 2–4x +2–4x +4+3=2x 2–8x +9．故答案为：2x 2–8x +9． 13．已知f （x +1）=x 2，则f （x ）=__________．【答案】（x –1）2【解析】由f （x +1）=x 2，得到f （x +1）=（x +1–1）2，故f （x ）=（x –1）2．故答案为：（x –1）2． 14．已知函数f （x ）=ax –b （a >0），f （f （x ））=4x –3，则f （2）=__________．【答案】3三、解答题15．()()()11032f x kx b f f =+==-，，，求f （4）的值． 【解析】∵()()()11032f x kx b f f =+==-，，，∴0132k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得k =–14，b =14， ∴f （x ）=–14x +14，∴f （4）=–14×4+14=–34．16．二次函数f （x ）满足f （x +1）–f （x ）=2x 且f （0）=1．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[–1，1]时，不等式f （x ）>2x +m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）由题意，设f （x ）=ax 2+bx +c ， 则f （x +1）=a （x +1）2+b （x +1）+c ．从而f （x +1）–f （x ）=[a （x +1）2+b （x +1）+c ]–（ax 2+bx +c ）=2ax +a +b ， 又f （x +1）–f （x ）=2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩即11a b =⎧⎨=-⎩，又f （0）=c =1， ∴f （x ）=x 2–x +1．17．已知函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩（1）在坐标系中作出函数的图象； （2）若f （a ）=12，求a 的取值集合． 【解析】（1）函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩的图象如下图所示：（2）当a ≤–1时，f （a ）=a +2=12，可得：a =32-；当–1<a <2时，f （a ）=a 2=12，可得：a =22±；当a ≥2时，f（a ）=2a =12，可得：a =14（舍去）； 综上所述，a 的取值构成集合为{32-，22-，22}．18．（1）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求f （x ）． （2）已知21f lgx x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f （x ）． （3）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）–2f （x –1）=2x +17，求f （x ）． （4）已知f （x ）满足()123f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f （x ）． 【解析】（1）∵3331111()3f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴f （x ）=x 3–3x （x ≥2或x ≤–2）．（2）令21t x +=（t >1）， 则21x t =-，∴()21f t lg t =-，∴()()211f x lg x x =-＞．19．已知函数f （x ）=1+2x x -（–2<x ≤2），用分段函数的形式表示该函数．【解析】f （x ）=1+1021202x x x x x ≤≤-⎧=⎨--<<⎩，，．。
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y
25 20 • • • 1 2 3 4 5 • •
图像法表示y=f(x)为右图
15 10
5 O
x
[注]（1）用解析法表示函数是否一定要 写出自变量的取值范围？ 写函数解析式的时候，要写出函数 的定义域。 （2）用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本 题中的图象为什么不是一条直线？ 列表、描点、连线（视其定义域决定是否连线）
2
练习：已知函数 f ( x ) 对于一切实数 x , y 都有
f ( x y) f ( y) ( x 2 y 1) x 成立，且
f (1) 0
1.求 f ( 0) 的值
2.求f ( x)的解析式 .
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 折线、离散的点等。
例4 对下列三位同学在高一学年数学学习情况做分析
第1次
王伟 张城 赵磊 平均分 98 90 68 88.2
第2次
87 76 65 78.3
第3次
91 88 73 85.4
第4次
92 75 72 80.3
第5次
88 86 75 75.7
例1 已知f(x)是二次函数，且
f ( x 1) f ( x 1) 2x 4x 4 求 f ( x ).
2
解： 设f ( x) ax2 bx c (a 0)
f ( x 1) f ( x 1) 2ax 2bx 2a 2c 2 2x 4x 4
二、函数的表示方法的运用
例3 某种笔记本每个5元，买x (x∈{1, 2, 3, 4,5})个笔 记本的钱数记为y元，试用函数三种方法表示函数y=f(x). 解：这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4,5}， 函数解析式为 y = 5x, (x∈{1, 2, 3, 4,5}).
列表法表示y=f(x)为
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离
时间
时间
时间
Hale Waihona Puke 时间(A)(B)
(C)
(D)
例.作出下列函数的图象,并求其值域. (1) y ( 1) x ,
x
x {0,1, 2, 3} (0 x 3)
(2) y 2 x 2 4 x 3,
三、求函数解析式的方法
1、待定系数法（已知函数类型）
5、赋值法 例4 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 2 实数x,y满足：f ( x y) f ( x) 2 xy y y
且f (0) 1， 求 f
( x ).
解： 令x y得
f (0) f ( x) 2 x 2 x 2 x 1
f ( x) x x 1
1 f ( x) 2 f ( ) x x f ( 1 ) 2 f ( x) 1 x x
2 x 解得f ( x ) ( x 0) 3x 3
练习: 若3f ( x ) f ( x ) 2 x, 求f ( x ).
1 1 f ( x) x 2 2
2
2
f t t 1 2 t 1 2 t 1
2 2
注意：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
练习1.已知f ( x x) 2 x 2 x 6, 求f ( x )的解析式
2
2.已知f (1 2 x) x 4 x 1, 求的f ( x)解析式
时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 城镇居民家庭 恩格尔系数(%) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
3.列表法 就是利用表格形式来表示两个变量的函数关系 的方法.
1.2.2
函数的表示法
一、复习回顾
函数的三种表示方法: 解析法、图象法、列表法. h h1 t 如炮弹距地面的高度为h, 随时间t变化规律是 h=130t–5t2 (0≤t≤26) o
t1
二、函数的表示方法
1.解析法： 就是用数学等式表示两个变量间的 函数关系的方法.
南极上空臭氧层 空洞的面积从 1979 ～2001年 的变化情况如右 图.
4、方程组法（表达式具备一定的对称性变量）
1 如f ( x )与f ( x ); f ( x )与f ( ) x 1 例3.已知f ( x ) 2 f ( ) x( x 0), 求f ( x ). x 1 1 1 解 : 令x , 则f ( ) 2 f ( x ) x x x
S/106km2
1.解析法 就是用数学等式表示两个变量间的函数关系 的方法. 30 如h=130t–5t2 . 25
20 15 10 5
O
1979 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 2001 t/年
南极臭氧层空洞的面积
2.图象法 就是用图象表示两个变量间的函数关系的方法 . 下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况
第6次
95 80 82 82.6
y 100 90
80
班 平 均 分
王伟 张城
4 x
70
60 O
赵磊 1 2 3 5 6
函数三种表示方法的优缺点
优 点 缺 点
解 析 法 图 象 法
一是简明、全面概括 变量的关系, 二是可以求出 任意自变量对应的函数值. 是可以直观形象地表 示出函数的变化情况 不须计算，可以直接 从表中读出函数值
2
a 1, b 2, c 1
f ( x) x 2 x 1
2
若f ( f ( x)) 4 x 1, 求一次函数 f ( x)的解析式 练习：1.
2.已知函数 f ( x )是一次函数，且经过 （1，2），（2，5）求函数 y f ( x ) 的解析式
2、配凑法 例2.已知 f ( x 1) x 2 2 x 2, 求f ( x ). 解：
f ( x 1) x 2 2 x 2 2 x 2x 1 1
( x 1) 1
2
f ( x) x 1
2
3、换元法
f ( x 1) x 2 x 2 ，求f(x) 解:令 t x 1, 则x t 1
2
f x x 1
2
(1) f ( x ) 2 x 6
1 2 5 5 (2) f ( x ) x x 4 2 4
自我检测 1. 若函数f(x)=2x+1 ，则 f(x+1)等于( B ) A. 2x+1 B.2x+3 C. 2(x+1) D. 2x–1 1 2. 若f( )=x+1 ，则 f(2)等于( D ) x y 3 1 A. 2 B. C. 3 D. 1 2 2 3. 已知函数f(x)的图象如图所示, –1 O 1 x 则f(–1)+f(0)+f(1)=( C ) –1 A. 2 B. –2 C. 0 D. 1 4. 已知函数f(x)的对应关系如下表所示，则 f(f(0))= 2 x f(x) 1 2 0 1 1 2 .
不是所有函数都 能用解析式表示
在读取函数值时不够精确
只能列出自变量的 有限个值
列 表 法
针对练习(课本23页 2)
下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下 的那个图象写出一件事． (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家 里找到了作业本再上学；D (2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽 搁了一些时间； A (3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加 速．B