立体几何专题复习(自己精心整理)
高三理科数学立体几何复习专题
立体几何复习专题一、要求：（1）熟练掌握课本中的基本概念、定理。
（2）积累各种常见题型的解题方法：① 基本概念型题（直接证明、画图形举反例）② 证明类题：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直。
③ 计算类题：异面直线所成角、线面角、面面角、点到面的距离、异面 直线间的距离、多面体的体积、球面距离。
（各自常用的方法是什么）（3）会用空间向量的方法去解决上述问题。
二、典型例题讲解例1. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求证： AB ⊥C 1CQ（2）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （3）求直线PQ 与面Q 1B C 所成角的正弦； （4）求二面角A 1-CQ-B 1的平面角的余弦。
例2．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)在棱AD 上有一点P ，当P DP A为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？ (2)在(1)的条件下，求直线A 1B 1与平面CD 1P 所成的角.ABC1A 1B 1C PQ例3．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：(1) 求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2) 求三棱锥A 1—APQ 的体积.例4．如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB=1，PA=h ，AD=y.(1)试求y 关于h 的函数解析式；(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径.三、巩固练习1、如图，已知面ABC ⊥面BCD ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD ，设AD 与面AB C 所成角为α，AB 与面ACD 所成角为β，则α与β的大小关系为（A ）α＜β （B ）α=β （C ）α＞β （D ）无法确定 2、下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是PP PPQ Q QQRRR R SSS SPPPPQQQQ RRRR SS SSPPPPQQQQ R RRR SSS S PPPPQQQQRRRR SSS S（A ） （B ） （C ） （D ）3、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ =2a，则三棱锥P －BDQ 的体积为（A ）3363a （B ）3183a （C ）3243a （D ）无法确定 4、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，则此球的体积为（A ）33312cm π （B ）33316cm π （C ）3316cm π （D ）3332cm π5、如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（A ） 61cm （B ）157cm （C ）1021cm （D ）1037cm6、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：① 若b a ⊥，α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；②若α//a , βα⊥，则β⊥a ； ③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥ 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．37、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等，如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为（ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确的是 （ ）A B C A BCAB CA BCP P P P A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④9．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A ．π23 B ．π32 C ．6π D ．34π 10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，则A 1C 与DE 所成的角的余弦为（ ）A ．1515 B ．1510 C ．630 D ．1010 11．有3个命题（1）底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的棱锥是三棱锥； （2）各个侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；（3）底面是正三角形，相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
高考数学立体几何专题复习(含答案)
的中点.
（Ⅰ）证明： PA / / 平面 EDB ； （Ⅱ）求三棱锥 A BDP 的体积.
试卷第 2 页，总 2 页
参考答案
1、【答案】(1)详见解析;(2) . 试题分析（：1）过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F，则
6、如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点． (1)求证：AC1∥平面 CDB1； (2)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值．
7、如图所示，在三棱锥 A BOC 中，OA 底面 BOC ，OAB OAC 300 ， AB AC 2 ， BC 2 ，
高考数学—立体几何专题复习
1、如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD= ，AA1=3，E 为 CD 上一点，DE=1，EC=3. （1）证明：BE⊥平面 BB1C1C; （2）求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.
2、已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形， BAD 60 ,又 PD 平面 ABCD ，点 E 是棱 AD 的中点， F 在棱 PC 上. （1）证明：平面 BEF 平面 PAD . （2）试探究 F 在棱 PC 何处时使得 PA / / 平面 BEF .
答案第 1 页，总 6 页
试题解析：
（1）证明：
PD EB
平面ABCD 平面ABCD
PD
EB
,
又底面 ABCD 是 A 60 的菱形，且点 E 是棱 AD 的中点，所以 EB AD ，
立体几何复习知识点
立体几何复习知识点在数学的学习中，立体几何是一个重要且富有挑战性的部分。
它要求我们具备空间想象能力、逻辑推理能力以及对各种几何概念和定理的熟练掌握。
接下来，让我们一起系统地复习一下立体几何的相关知识点。
一、空间几何体（一）棱柱棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及侧面都是平行四边形的多面体。
棱柱根据侧棱与底面的关系可分为直棱柱和斜棱柱。
直棱柱的侧棱垂直于底面，斜棱柱的侧棱不垂直于底面。
（二）棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个有公共顶点的三角形侧面所组成的多面体。
如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥。
（三）棱台棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
（四）圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
（五）圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴为圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线。
（六）圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台。
（七）球以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
二、空间几何体的表面积和体积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。
（二）圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积圆柱的侧面积公式为＼（S_{侧}＝2\pi rh\），表面积公式为＼（S ＝ 2\pi r(r ＋ h)＼）；圆锥的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi rl\），表面积公式为＼（S ＝＼pi r(r ＋ l)＼）；圆台的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi （r ＋ R)l\），表面积公式为＼（S ＝＼pi （r^2 ＋R^2 ＋ rl ＋ Rl)＼）。
高中立体几何基础知识点全集（图文并茂）.
高中立体几何基础知识点全集（图文并茂）.第一篇：高中立体几何基础知识点全集(图文并茂).立体几何知识点整理姓名:一.直线和平面的三种位置关系: 1.线面平行 l 符号表示: 2.线面相交符号表示:3.线在面内符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。
m l m l l // // ⇒⎪⎪⎪⎪⎪ = ⋂⊂βαβα方法二:用面面平行实现。
m l m l // // ⇒⎪⎪⎪⎪⎪ = ⋂ = ⋂βγα γ β α方法三:用线面垂直实现。
若α α⊥ ⊥m l , ,则 m l //。
方法四:用向量方法: 若向量和向量共线且 l、l //。
2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。
α α α// //不重合, 则 m ml l m m l ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⊄⊂方法二:用面面平行实现。
α β β α //// l l ⇒⎪⎪⎪⊂方法三:用平面法向量实现。
若 n 为平面α的一个法向量, l n ⊥且α⊄ l , 则α // l。
3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。
βαα β // ' , ' , ' // ' // ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⊂⊂且相交且相交 m lm l m m l l 方法二:用线面平行实现。
βαβ α α // , // // ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⊂且相交m l m l 三.垂直关系: 1.线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。
αα ⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⊂ = ⋂⊥ ⊥ l AB AC A AB AC AB l AC l , m l方法二:用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎪⎪⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2.面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎪⎪⊂⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。
3.线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎪⎪⊂⊥αα方法二:三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎪⎪⊥⇒⊥⎪⎪⊂⎭方法三:用向量方法: 若向量和向量的数量积为 0,则m l ⊥。
立体几何综合复习——空间角(完整版)
立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。
高考数学(文)《立体几何》专题复习
(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
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✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
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600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
(完整版)立体几何复习专题
(完整版)立体几何复习专题立体几何复专题
立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是物体的形状、大小、位置及其相关性质。
本文档将为您提供立体几何的复专题，帮助您系统地回顾和巩固相关的知识。
1. 点、线、面与空间几何
首先我们从最基本的几何概念开始复，包括点、线、面以及空间几何的基本性质。
例如，点的定义、线的分类、平行线与垂直线的判定等。
2. 立体图形的表示方法
接下来，我们将研究立体图形的几种常用表示方法。
这些表示方法包括视图图、投影图、轴测图等，通过它们我们可以更直观地理解和描述立体图形的形状。
3. 立体图形的重要性质与公式
在本部分，我们将回顾立体图形的重要性质和相关公式。
例如，体积的计算公式、表面积的计算方法等。
同时，我们还将深入研究
不同立体图形的特点和相互之间的关系。
4. 空间几何的应用
最后，我们将介绍空间几何在实际生活中的应用。
例如，如何
测量不规则物体的体积、如何计算房屋的准确面积等。
这些应用案
例将帮助您更好地理解和应用空间几何的知识。
总结
本文档为您提供了立体几何的复专题，通过回顾和巩固相关知识，帮助您更好地掌握立体几何的基本概念、表示方法、重要性质
和应用。
希望这份文档能对您的研究有所帮助！。
立体几何复习专题及答案-高中数学
立体几何复习专题姓名： 班级：考点一、空间中的平行关系1．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证：DE //平面PBC ； (2)求证：AB PE ⊥；(3)求三棱锥B PEC -的体积．2． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；3．如图，七面体ABCDEF 的底面是凸四边形ABCD ，其中2AB AD ==，120BAD ∠=︒，AC ，BD 垂直相交于点O ，2OC OA =，棱AE ，CF 均垂直于底面ABCD .（1）证明：直线DE 与平面BCF 不．平行；4.（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1，AD =3，求三棱锥E ACD -的体积．考点二、空间中的垂直关系5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN ⊥平面11C B N ；（2）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求CBPP 的值．7．（2016全国I ）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．（I ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值．考点三、折叠问题和探究性问题中的位置关系8．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ；（2）求证： BC ⊥平面BDE ； .9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF的位置关系，并给出证明；()2求二面角M EF D --的余弦值.10．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． (1)求证：DF //平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．11．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现-.将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P ABCFE（1）求证：AC//平面PEF；（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.12．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，122CC AC ==.（Ⅰ）求三棱锥11C CB A -的体积；（Ⅱ）在线段1BB 上寻找一点F ，使得1CF AC ⊥，请说明作法和理由.考点四、知空间角求空间角问题14．（2014天津）如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==2AD =,5PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点．（Ⅰ）证明: EF ∥平面PAB ； （Ⅱ）若二面角P AD B --为60°， （ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值． PCDBF15．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点．(1)证明：//E PB A C 平面；(2)设13AP AD ==，，三棱锥P ABD -的体积34V =，求二面角D -AE -C 的大小16．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒， //AD BC ， AB AC ⊥， 2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角--A PB E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒？立体几何专题参考答案1． (1)证明：∵在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面PBC 且BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC . (2)证明：连接PD .∵PA ＝PB ，D 为AB 的中点，∴PD ⊥AB .∵DE ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB .又∵PD 、DE 是平面PDE 内的相交直线， ∴AB ⊥平面PDE .∵PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE .(3)解：∵PD ⊥AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴PD ⊥平面ABC ，可得PD 是三棱锥P －BEC 的高． 又∵33,2BECPD S==，1332B PEC P BEC BEC V V S PD --∆∴==⨯=. 2．（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）33. （I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GHPD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD . 3．（1）见解析；（2）23535本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B 1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.(2)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.思考题1 (1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.(2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.题型二证明垂直关系(微专题)微专题1：证明线线垂直(1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.(2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，求证：DF⊥AE.微专题2：证明线面垂直(3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.(4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD.微专题3：证明面面垂直(5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面DEA⊥平面A1FD1.(6)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ，求证：平面PQC⊥平面DCQ.思考题2 (1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF⊥B P 交BP 于点F ，求证：PB⊥平面EFD.(2)(2019·济南质检)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.①证明：AP⊥BC；②若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.题型三 探究性问题在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF⊥平面PCB.若存在，确定G 点的位置；若不存在，试说明理由．思考题3 (2019·山西长治二模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED.(1)求证：PA⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．专题二 求解异面直线所成角和线面角问题题型一 异面直线所成的角(1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，则异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．(2)(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为思考题1 (2019·湖南雅礼中学期末)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC 的中点；如图2，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为________．题型二定义法求线面角(1)(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为( )A.32B.22C.64D.62(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是( )A．[33，1] B．[63，1] C．[63，223] D．[223，1]思考题2 (1)(2019·河北石家庄一模)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1 C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为________．(2)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A．90° B．60° C．45° D．30°题型三向量法求线面角(1)(2019·河南郑州月考)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝5，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．(2)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则AE＝________．思考题3 (1)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．(2)(2019·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为( )A.34B.134C.3913D.393(1)(2019·太原模拟一)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥BD.①求证：PB＝PD；②若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．(2)(2019·湖南长郡中学选拔考试)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝5，AC＝8，D为线段AC的中点．①求证：BD⊥A1D；②若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为45，求AA1的长．思考题 4 (2019·石家庄质检二)如图，三棱柱ABC－A 1B1C1中，侧面BB1C1C为∠CBB1＝60°的菱形，AB＝AC1.(1)证明：平面AB1C⊥平面BB1C1C；(2)若AB⊥B1C，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值．专题三求解二面角问题题型一定义法求二面角(1)(2019·台州一模)在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B－AD－C，若此时BC＝12a，则二面角B－AD－C的大小为________．(2)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是(3)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径．当三棱锥P－ABC的体积最大时，设二面角P－AB－C的大小为θ，则sinθ＝( )A.23B.53C.63D.73思考题1 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E－BC－F的余弦值为( )A.721B.74C.32D.34(2)如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P－AC－B的正切值是________．题型二向量法求二面角(1)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为________．(2)(2019·河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( ) A．150°B．45° C．60° D．120°思考题2 (1)设平面α的一个法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α和β所成的锐二面角的余弦值为23，则k＝________．(2)(2019·辽宁丹东模拟)如图，正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值是________．(3)(2019·广东中山模拟)在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝22，M，N分别为AD和BC的中点，沿MN把平面ABNM折起，若折起后|AC|＝6，则二面角A－MN－C的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90°(2019·惠州二次调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA＝PB，求二面角A－PC－D的余弦值．思考题3 (2019·河北五一名校联考)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值．题型三空间角的综合问题(2019·唐山五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．思考题 4 (2019·江南十校素质检测)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC＝FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD＝45°.(1)求证：CD⊥BF；(2)若AB＝2EF＝2，BC＝2，直线BF与平面ABCD所成角为45°，求平面ADE与平面BCF 所成锐二面角的余弦值．专题四综合问题题型一空间的距离(1)(2019·江西九江期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F为PA的中点，且PA＝AB＝2.则点P到平面BEF的距离为( )A.55B.255C.214D.42121(2)已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离．思考题1 (1)(2019·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC－A1B1C1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为( )A.34B.32C.334D.32.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．(2)(2019·湖南长沙一模)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．题型二探究性问题(2019·湖南重点校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD,且AD＝CD＝22,BC＝42，PA＝2.(1)求证：AB⊥PC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．思考题2 (2019·西安八校联考)已知几何体ABCC1B1N的直观图如图所示，CB⊥底面ABB1N，且ABB1N为直角梯形，侧面BB1C1C为矩形，AN＝AB＝BC＝4，BB1＝8，∠NAB＝∠ABB1＝90°.(1)连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．(2)求二面角C－NB1－C1的余弦值．题型三翻折问题(2019·安徽合肥调研性检测)平面四边形ABCD中，∠DAB＝π2，AD＝AB，△BCD为等边三角形．现将△ABD沿BD翻折得到四面体P－BCD，点E，F，G，H分别为PB，PD，CD，CB的中点．(1)求证：四边形EFGH为矩形；(2)当平面PBD⊥平面CBD时，求直线BG与平面PBC所成角的正弦值．思考题3 如图，在直角梯形ABCP中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝3，AP＝6，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P－CD－A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(2)若M为线段CD上的动点，求直线MF与平面EFG所成角的最大角，并确定成最大角时点M在什么位置？高考题呈现1．(2014·全国Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P－ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．2．(2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝ 5.(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．3.(2018·浙江)如图，已知多面体ABC－A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．4.(2016·课标全国Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．5．(2018·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．6．(2016·课标全国Ⅰ，理)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．7.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．8．(2018·课标全国Ⅱ，理)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．9．(2018·北京，理)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为AA 1，AC ，A 1C 1，BB 1的中点，AB ＝BC ＝5，AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF ； (2)求二面角B －CD －C 1的余弦值； (3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．10．(2017·北京，理)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．。