新人教版必修一第一节函数及其表示
人教版高中数学必修一第一章函数的概念课件PPT
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
人教版数学必修一函数的含义及表达形式
二、函数及其表示（一）函数的概念1.函数的概念（1）函数的传统定义设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个函数值，相应的就有唯一确定的一个y值与之相对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量（2）函数的近代定义一般地，设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
其中x是自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域就不是函①A,B都是非空的数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，例如，y=x−1x+1数②集合A是函数的定义域，给定A中一个x值有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以没有x与之对应，即{f(x)|x∈A}⊆B③符号y=f(x)表示“x对应的函数值”，f表示对应关系，“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”④f(a)，a∈A与f(x)的区别⑤函数的实质是集合A,B的对应关系，可以一对一、多对一，但不能一对多，而且集合A中的元素必须要用完，而集合B中的元素可以不用完例1：设集合M={x|0≦x≦2}，N={y|0≦y≦2},给出的下列四个图形中，其能够表示集合M 到集合N的函数关系的是（）2.函数的构成要素与函数相等一个函数构成要素为定义域、对应关系、值域值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数就只需要确定定义域和对应关系，即定义域和对应关系使“y是x的函数”的而两个基本条件要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需检验（1）定义域和对应关系是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值和它对应如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等①函数的定义域和对应关系一旦确定，值域就确定了，所以判断两个函数是否相等只需要判断他们的定义域和解析式是否相等就可以了，不需要在判断值域②满足定义域和值域相同的两个函数，不一定是相等的函数，例如：函数f(x)=x²与函数f(x)=(x-3)²例2：判断下列各组中的函数是否表示同一个函数（1）f(x)=|x-1|与g(x)=x−1，x≧1 1−x，x<1（2）f(x)=x与f(t)=(33)在判断对应关系是否相同时，两个函数可能表现形式不同，但经过适当地变形，可以化为相同的形式，这是也可以说它们具有相同的对应关系3.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，有时可以省略，如果未加特殊说明，那么函数的定义域就是指能使函数式有意义的所有实数x构成的集合在实际问题中，喊必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围求函数的定义域：①如果f(x)是整式，那么其定义域是实数R②如果f(x)是分式，那么其定义域是使分母不为0的实数集合③如果f(x)是二次根式（偶次根式），那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合④如果f(x)是由以上几个部分式子构成的，那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}例3：求下列函数的定义域（1）f(x)=x+1+12−x（2）f(x)=x−2+233x+7（3）f(x)=4.函数的值域函数的值域是在对应法则f的作用下，自变量x在定义域内取值是相应的函数的集合求函数的某个函数值是，可以直接代入解析式，求的相应的函数值；求函数的值域时，可以采取不同的方法求解（1）观察法：对所求的函数解析式进行简单变形，通过观察，得出所求函数的值域如：函数y=11+x（2）配方法：若函数是二次函数，或可以化为二次函数形式，则可以通过配方法求出其值域，但是要注意自变量的取值范围如：求y=x-2x+3的值域（3）判别式法：将函数化为因变量y的二次方程，利用判别式∆≥0求函数的值域，常用于分母是二次函数的分式函数的值域如：求y=x+1x²+2x+2（4）换元法：对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而利用基本函数取值范围来求函数的值域如：求y=2x-3+13−4x的值域的函数的值域，舱采用分离常数法（5）分离常数法：用于求形如y=cx+dax+b的值域如：求y=3x−2x−1（6）图像法：做出函数的图像，有图像直观的得出函数值域5.区间设a，b是两个实数，且a＜b，区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：①区间的左端点必小于右端点②用数轴表示区间是，要特别注意包括在这个区间内的端点用实心圆点表示，不包括在这个区间内的端点用空心圆点表示③无穷大∞是一个符号，不是一个数，它不具备数的已瞎性质和运算法则④以“+∞”或“- ∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号⑤单元素集合不能用区间表示，如集合{0}不能表示为[0]或[0,0]的定义域可用区间表示为__________例4：函数y=1−1−x例5：已知集合A={x|5-x≥0}，集合B={x||x|-3≠0}，求A∩B，并用区间表示考点1：函数的求值问题1.已知函数f(x)=3x 3+2x,求f(f(1))的值2.已知f(x)=1-2x ，则f(12)=______3.已知f(x)=11+x （x ∈R ，且x ≠-1），g(x)=x ²+2（x ∈R ）（1）求f （2），g （2）的值（2）求f(g(2)) 的值考点2：求函数定义域1.求已知解析式的函数定义域1.求下列函数的定义域（1）y= −x 2x²−3x −2（2）y=4x+83 3x −2（3）y= x ²−3· 5−x ²（4）y= x +2+13−x。
人教版高一数学必修一至必修五教材目录
必修一、二、三、四、五章节内容必修一必修四第一章集合与函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1任意角和弧度制1.2 函数及其表示 1.2任意角的三角函数1.3 函数的基本性质 1.3三角函数的诱导公式第二章基本初等函数 1.4三角函数的图像与性质2.1 指数函数 1.5函数y=Asin(?x+?)2.2对数函数 1.6 三角函数模型的简单应用2.3 幂函数第二章平面向量第三章函数的应用 2.1平面向量的实际背景及基本概念3.1函数与方程 2.2平面向量的线性运算3.2 函数模型及其应用 2.3平面向量的基本定理及坐标表必修五 2.4 平面向量的数量积第一章解三角形 2.5 平面向量应用举例1.1 正弦定理和余弦定理第三章三角恒等变换1.2 应用举例 3.1 两角和与差的正弦、余弦第二章数列 3.2 简单的三角恒等变换2.1 数列的概念与简单表示方法必修二2.2 等差数列第一章空间几何体2.3等差数列的前n项和 1.1 空间几何体的结构2.4 等比数列 1.2 空间几何体的三视图和直观图2.5 等比数列前n项和 1.3 空间体的表面积与体积第三章不等式第二章点、直线、平面间的关系3.1 不等关系与不等式 2.1空间点、直线、平面之间的位3.2一元一次不等式及其解法 2.2 直线、平面平行的判定及其性质3.3 二元一次不等式(组)及其解法 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质3.4基本不等式第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体2.3 变量的相关性第三章概率3.1 随机现象3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.4 概率的应用。
高中数学必修一 第1讲函数及其表示
第4讲 函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范(1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯．(2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围．考向一 相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ）A y =( x )2B y=x x 2C 33x y =D y=2x 【例2】x x y 2=与⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意：（1）分式函数中分母不为0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；（4）0次幂的底数不为0。
（5）正切函数2ππ+≠k x【例1】►求函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域。
新人教版高一数学必修1第一章要点：函数的基本性质
新人教版高一数学必修1第一章要点：函数的基本性质一、函数的概念在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解。
函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解.考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;③了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、函数关系的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能使用函数实行描述和解决问题”，这是《课标》关于函数目标的一段描述。
所以，各地中考试卷都有“函数建模及其应用”类问题，而建模的首要是建立函数表达式。
三、函数的运算函数的运算是各阶段考试和高考命题的必考内容，数学函数的运算知识点是对大家夯实基础的重点内容，请大家务必认真掌握。
四、函数的基本性质在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象。
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
最新人教版高一数学必修1第一章《函数》1
2.1.1 函数处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a；(2)由函数的定义，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.(3)函数的三要素：由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应法则、值域，这三个要素又称为函数的三要素．个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可．(5)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，不能分开写．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应法则，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4.【例1－1】下列式子能确定y 是x 的函数的是( )①x 2＋y 2＝2；②32=1x y x +-；③y . A ．①② B ．②③ C ．② D ．①③ 解析：对某一范围内的任意一个x ，按照某种对应法则，都有唯一确定的y 值和它对应，则称y 是x 的函数．①由x 2＋y 2＝2，得=y y 是x 的函数．②由32=1x y x +-知，当x 在{x |x ≠1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数．③由20,10x x -≥⎧⎨-≥⎩得x 不存在，故由它不能确定y 是x 的函数．答案：C【例1－2】判断下列对应f 是否为集合A 到集合B 的函数？ (1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；(2)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1；n 为偶数时，f (n )＝1； (3)A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1.分析：判断一个对应f 是否为集合A 到集合B 的函数，首先要判断它是否满足A 中的任意一个元素在B 中都有唯一确定的值与之对应．若满足，且A ，B 又是两个非空数集，则该对应是函数；若不满足，则它一定不是函数．解：(1)集合A 中的元素没有剩余，即A 中的任何一个元素在B 中都有唯一确定的元素与之对应，同时集合A 和B 都是数集，故对应f 是集合A 到集合B 的函数．同理，(2)中的对应f 也是集合A 到集合B 的函数．(3)由于f (3)＝2×3－1＝5∉B ，即集合A 中的元素3在集合B 中没有元素与之对应，所以对应f 不是集合A 到集合B 的函数．点技巧 判断一个对应法则是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A ，B 必须都是非空数集；(2)A 中任一实数在B 中必须有实数和它对应；(3)A 中任一实数在B 中和它对应的实数是唯一的．注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．2．函数的定义域和值域 定义域(1)函数的定义域是函数y ＝f (x )的自变量x 的取值范围． (2)对于函数的定义域，要从以下两方面考虑：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同的函数，如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)；②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的取值集合，在实际问题中，还必须使x 所代表的具体量符合实际意义．(3)求函数定义域的原则：①求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化； ②求函数的定义域就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围． a ．当f (x )是整式时，其定义域为R ；b ．当f (x )是分式时，其定义域是使分母不为0的实数的集合；c ．当f (x )是偶次根式时，其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；d ．由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的制约．【例2－1】求函数y ＝(x －1)0 解：要使函数有意义，则要10,10,x x -≠⎧⎨+>⎩解得x ＞－1，且x ≠1.所以这个函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠1}．值域求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指集合C ＝{y |y ＝f (x )，x ∈A }；二是函数的定义域、对应法则是确定函数的依据．【例2－2】求下列函数的值域：(1)1y (x ≥4)；(2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}．解：(1)∵x ≥4，2≥.11≥，即y ≥1.∴函数y 1(x ≥4)的值域为{y |y ≥1}．(2)∵y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，∴当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝7；当x ＝4时，y ＝9；当x ＝5时，y ＝11.∴函数的值域是{3,5,7,9,11}．辨误区 求函数值域易疏忽的问题(1)求值域时一定要注意定义域，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6(x ∈[1,5))的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝x ＋2x －1的值域时，令t ＝2x －1，将函数转化为关于自变量为t 的二次函数后，自变量t 的取值范围是t ≥0.3．函数相等当且仅当两个函数的三要素相同时，这两个函数是相等的． 由于函数的值域是由函数的定义域和对应法则决定的，因此两个函数的定义域和对应法则相同，那么这两个函数的值域就相同．即确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应法则．因此判断两个函数是否为同一个函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否相同即可．判断两个函数是否相等的步骤是： (1)求定义域；(2)判断定义域是否相同，若定义域不同，则这两个函数不相等，若定义域相同，再继续下一步；(3)化简函数的解析式，若解析式相同即对应法则相同，则这两个函数相等，否则这两个函数不相等．注意：上面的步骤(2)和(3)的顺序不能颠倒，否则就会出现错误．比如，函数y ＝x 3x的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数y ＝x 2的定义域是R ，由于这两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相等．但是若化简函数y ＝x 3x 的解析式为y ＝x 2，则会错得函数y ＝x 3x与函数y ＝x 2相等．【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( ) A ．f (m )＝2m －1(m ＞2) B ．f (x )＝2x －1(x ∈R ) C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2) D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：对于A ，y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应法则均相同，所以两个函数相等；对于B ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不相等；对于C ，两个函数的对应法则不同，所以两个函数不相等；对于D ，两个函数的定义域与对应法则都不相同，所以两个函数不相等．答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否相等，并说明理由： (1)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (2)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1；(3)f (x )＝x ，g (x )(4)f (x )＝|x |，g (x )分析：解：(1)定义域相同都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应法则不同，故两个函数不相等．(2)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，它们的定义域不同，故两个函数不相等．(3)定义域相同都是R.但是f(x)＝x，g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应法则不同，故两个函数不相等．(4)定义域相同都是R，解析式化简后都是y＝|x|，即对应法则相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故两个函数相等．释疑点满足什么条件的两个函数相等(1)只要两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，那么这两个函数就相等；(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应法则，例如：函数f(x)＝x和函数f(x)＝－x的定义域相同，均为R；值域也相同，均为R，但这两个函数不相等．4．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间．．．，记作[a，b]；(2)满足a＜x＜b的全体实数x的集合，叫做开区间．．．，记作(a，b)；(3)满足a≤x＜b或a＜x≤b的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间．．．．．．，分别记作[a，b)，(a，b]．这里的实数a与b叫做区间的端点．．．．实数集R可以用区间(－∞，＋∞)表示，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．(1)a与b叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，若端点属于这个区间，则端点用实心点表示；若端点不属于这个区间，则端点用空心点表示．(2)区间是数轴上某一条线段或射线或直线上的所有点所对应的实数构成的集合，这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号及圆括号等符号来表示数集．(3)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开．(4)“＋∞”和“－∞”是符号，不是数，它们表示数的变化趋势．(5)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大，如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，即区间[a，b]隐含着a＜b这一条件．(6)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，在应用时要注意区分，不要混淆．【例4－1】将下列集合用区间表示出来：(1){x|x≥－1}；(2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}；(4){x|0＜x＜1或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]．(4){x|0＜x＜1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]．【例4－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之，得a＞－1.所以a的取值范围是(－1，＋∞)．5．映射(1)映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B 中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作f(A)．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．析规律对映射定义的理解应掌握五点1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；2．映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的；3．映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；4．映射允许集合B中存在元素在集合A中没有元素与之对应；5．映射允许集合A中不同的元素在集合B中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．(2)映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．【例5－1】下列对应是A到B上的映射的是()A．A＝N＋，B＝N＋f：x→|x－3|B．A＝N＋，B＝{－1,1，－2}f：x→(－1)xC ．A ＝Z ，B ＝Q f ：x →3xD ．A ＝N ＋，B ＝R f ：x →x 的平方根【例5－2】设f ：A →B 是A 到B 的一个映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )．求：(1)A 中元素(－1,2)在B 中的象； (2)B 中元素(－1,2)的原象．解：(1)A 中元素(－1,2)在B 中的象为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．(2)设(x ，y )为B 中元素(－1,2)的原象，则=1,=2,x y x y --⎧⎨+⎩解得1=,23=.2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以B 中元素(－1,2)的原象为13,22⎛⎫⎪⎝⎭.6．具体函数的定义域的求法 已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范2．函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来． 【例6】求下列函数的定义域：(1)y (2)1=11y x +；(3)0y (4)y 解：(1)由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，，，得11.x x ≥-⎧⎨≥⎩，所以x ≥1.故函数的定义域为[1，＋∞)．(2)由0110x x≠⎧⎪⎨+≠⎪⎩，，得x ≠0，且x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠0，且x ≠－1}．(3)由10||0x x x +≠⎧⎨->⎩，，得1||.x x x ≠-⎧⎨>⎩，所以10.x x ≠-⎧⎨<⎩，故函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(4)由202320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，，得0,122x x x ≤⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩，且..所以x ≤0，且12x ≠-.故函数的定义域为102x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭，且.7．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域；②已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域．一般地，若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围．其实质是由g (x )的取值范围，求x 的取值范围．(2)已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域．函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，指的是自变量x ∈[a ，b ]．一般地，若f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域就是g (x )在区间[a ，b ]上的取值范围(即g (x )的值域)．其实质是由x 的取值范围，求g (x )的取值范围．【例7－1】若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．分析：由f (x )的定义域为[－2,1]，知对应法则f 作用的范围是[－2,1]，而f (x )＋f (－x )的定义域是指当x 在什么范围内取值时，才能使x ，－x 都在[－2,1]这个区间内，从而f (x )＋f (－x )有意义．解：∵由题意，得2121x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，∴－1≤x ≤1.∴g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．【例7－2】(1)已知f (x )的定义域为[0,1]，求函数f (x 2＋1)的定义域； (2)已知f (2x －1)的定义域为[0,1]，求f (x )的定义域．分析：准确理解定义域的概念，弄清f (x )与f (g (x ))中x 的区别是解题关键． 解：(1)∵f (x 2＋1)中的x 2＋1的范围与f (x )中的x 的取值范围相同， ∴0≤x 2＋1≤1.∴x ＝0，即f (x 2＋1)的定义域为{0}．(2)∵由题意知f (2x －1)中，x ∈[0,1]，∴－1≤2x －1≤1.又∵f (2x －1)中2x －1的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同， ∴f (x )的定义域为[－1,1]． 8．求函数的值域求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然在给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就应该完全确定了，但求值域要注意方法．常用的方法有：(1)分离常数法 (2)反解法从y ＝f (x )的解析式中求出x ，得x ＝g (y )，通过求g (y )的定义域而得到原函数f (x )的值域．形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数求值域可用此法．(3)换元法通过换元简化函数解析式，从而顺利地求出函数的值域． (4)判别式法利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法． 若一个函数式y ＝f (x )能化为关于x 的一元二次方程，则可利用Δ＝b 2－4ac ≥0求得函数的值域．点技巧 应用换元法和判别式法时应注意的问题1．对于一些含根式的函数的值域问题，可以通过换元法转化成易于求解的整式函数(如二次函数)来解决．特别值得注意的是，利用换元法求函数值域时，一定要注意辅助元的取值范围，否则可能会产生错误．2．形如y ＝ax 2＋bx ＋cdx 2＋ex ＋f(ad ≠0)的函数求值域都可用判别式法，将原式转化得到关于x的整式方程，当二次项系数含有字母时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论，只有当二次项系数不为零时，才能用判别式，但当原函数的定义域不为R 时，慎用判别式．【例8－1】求函数1=25xy x -+的值域． 解：1(1)==2525x x y x x ---++＝17(25)2225x x -+++＝1722(25)x -++.∵2x ＋5≠0，∴12y ≠-.∴函数的值域为12y y y ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭R ，且.【例8－2】求函数221=1x y x -+的值域．解法一：222221122===1111x x y x x x -+--+++. ∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1.∴0＜221x +≤2.∴－1≤y ＜1.∴函数的值域为[－1,1)．解法二：由221=1x y x -+，得21=1y x y ---.∵x 2≥0，∴101y y --≥-，即101y y +≤-. ∴(1)(1)01y y y -+≤⎧⎨≠⎩，，解得－1≤y ＜1. ∴函数的值域为[－1,1)．【例8－3】求函数=2y x +分析：本题中含有根号，需要设法去掉根号，方法就是换元，t 代替，则t ≥0，x ＝1－t 2.解：∵t (t ≥0)，则x ＝1－t 2. ∴y ＝2(1－t )＋4t ＝－2(t －1)2＋4≤4. ∴所求函数的值域是(－∞，4]． 【例8－4】求函数23=4xy x +的值域． 分析：把函数转化为关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，由于函数的定义域是非空集合，则方程有实根，因此判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域．解：由23=4xy x +，得yx 2－3x ＋4y ＝0.由于函数定义域是非空的，因此关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0必有解．当y ＝0时，x ＝0，符合要求；当y ≠0时，由Δ＝(－3)2－4×4y 2≥0，得3344y -≤≤. 故函数的值域是3344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.9．函数与集合的综合应用定义域、对应法则和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示，因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交汇处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意： (1)能够正确求出函数的定义域 可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何？如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或维恩图找到解决问题的思路等等．【例9】已知函数(f x 的定义域是集合A ，函数。
人教版高一数学必修一第一章知识点解析函数及其表示
人教版高一数学必修一第一章知识点解析函数及其表示考点一、映射的概念1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：单对单多对一一对多多对多2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在的一个氧化物y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。
包括：一对一多对一考点二、函数的概念1.函数：设A和B是两个非空的数集，定出如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做并集函数的值域。
函数是特殊的态射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3.区间的概念：设a,bR,且a<b.我们规定：<p="".我们规定：①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]={x a<x≤b}⑤(a,+∞)={xx;a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=r<p=""}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=r考点三、函数的表示方法1.函数的三种表示方法列表法图象法导出法考点四、不求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集为R;②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
人教版高一数学第一章函数及其表示知识点总结
人教版高一数学第一章函数及其表告知识点总结高一数学第一章的内容是对于会合的，下边是查词典数学网整理的第一章函数及其表告知识点，请大家学习。
1.函数的观点：设 A 、B 是非空的数集，假如依照某个确立的对应关系 f ，使对于会合 A 中的随意一个数 x，在会合 B 中都有独一确立的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ： AB 为从集合 A 到会合 B 的一个函数 .记作： y=f(x) ， xA. 此中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的会合 {f(x)| xA } 叫做函数的值域 .注意：○2假如只给出分析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子存心义的实数的集合; ○3 函数的定义域、值域要写成会合或区间的形式.定义域增补能使函数式存心义的实数x 的会合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依照是：(1)分式的分母不等于零 ; (2) 偶次方根的被开方数不小于零; (3) 对数式的真数必须大于零 ;(4) 指数、对数式的底一定大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数经过四则运算联合而成的.那么，它的定义域是使各部分都存心义的x 的值构成的会合.(6)指数为零底不可以够等于零(6)实质问题中的函数的定义域还要保证明质问题存心义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)2.构成函数的三因素：定义域、对应关系和值域再注意： (1)构成函数三个因素是定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，因此，假如两个函数的定义域和对应关系完整一致，即称这两个函数相等(或为同一函数 )(2) 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完整一致，而与表示自变量和函数值的字母没关。
同样函数的判断方法：①表达式同样 ;②定义域一致(两点一定同时具备 )(见课本 21 页有关例 2)值域增补(1)、函数的值域取决于定义域和对应法例，无论采纳什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2). 应熟习掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
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x
考点一
【例 1】 1 0， 2 A. (1)函数 f(x)＝ 1
2
求函数的定义域
的定义域为( 1 2 ∪(2，＋∞) ) 0， 1 2 ∪[2，＋∞)
(log2x) －1 C.
B．(2，＋∞)
0，
D.
f(2x) (2)若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ 的定义域是( x－1
考点二
求函数的解析式
1 x＋ 1 x ＝x2＋ 2，求 f(x)的解析式。 【例 2】 (1)已知 f x 2 ＋1 (2)已知 f x ＝lgx，求 f(x)的解析式。 (3)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求 f(x)的解析式。 ►方法总结 求函数解析式的常用方法 (1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以
A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个__________。
(2)由映射的定义可以看出，映射是__________概念的推广，函数是一种特殊的映射。 构成函数的两个集合 A，B 必须是__________；而构成映射的两个集合可以是数集、点集或 其他集合。 3．常见基本初等函数的定义域 (1)分式形式分母不为 0。 (2)偶次根式被开方式不小于 0。 (3)函数 f(x)＝x 的定义域为_ x x 0
第二章
函数、导数及其应用
函数及其表示
第一节
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的 概念。 考 纲 导 学 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、 解析式法)表示函数。 3．了解简单的分段函数，并能简单应用。 ►知识梳理 1．函数的有关概念及表示法 (1)函数的定义：设 A，B 是非空的________，如果按某种确定的对应关系 f，使对于集 合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有______确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 x 的取值范围 A 叫做函数的__________，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的________。 (2)函数的三要素：________、__________和__________。 (3)函数的表示法：表示函数的常用方法：______、__________、__________。 (4)相等函数：如果两个函数的____________相同，并且__________完全一致，我们就 称这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据。 (5)分段函数： 在函数的定义域内， 对于自变量 x 的不同取值区间， 有着不同的________， 这样的函数通常叫做分段函数。分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的并集， 值域是各段值域的并集。 2．映射的概念 (1)映射的定义：设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于 集合 A 中的任意一个元素 x， 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应 f：
0
(4)指数函数、对数函数的底数大于 0 且不等于 1 (5)对数函数的真数大于 0。
(6)正切函数
(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函 数自变量的制约。 4．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是__________。 (2)y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的值域是： 当 a＞0 时， 值域为________________； 当 a＜0 时， 值域为______________________。
x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式。
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法。 (3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范 围。 1 (4)解方程组法：已知关于 f(x)与 f x 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出 另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)。 1 x (1)如果 f x ＝ ，那么当 x≠0 且 x≠1 时，f(x)＝( 1－x B. 1 x－1 1 C. 1－x 1 D. －1 x
2
k (3)y＝ (k≠0)的值域是______________。 x
(4)y＝a (a＞0 且 a≠1)的值域是__________。 (5)y＝logax(a＞0 且 a≠1)的值域是________。 ►归纳总结 4 个准则——函数表达式有意义的准则 函数表达式有意义的准则一般有： ①分式中的分母不为零； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x 要求 x≠0；④对数式中的真数大于零，底数大于零且不等于 1。 4 种方法——函数解析式的求法 求函数解析式常用的方法有：①配凑法；②待定系数法；③换元法；④解方程组法。 4 个注意点——求函数定义域应注意的问题 (1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集合。 (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化。 (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使 得各式子都有意义的公共部分的集合。 (4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接， 而应该用并集符号“∪”连接。
A．[0,1] ►方法总结 B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) 函数定义域的求法
)
1．简单函数定义域的求法 求函数的定义域， 其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则， 列出不等式或不等 式组，然后求出它们的解集即可。 2．抽象函数的定义域
(1)若已知函数 f(x)的定义域为[a， b]， 则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x) ≤b 求出。 (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的 值域。 反馈训练 1 为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)已知 f(x)的定义域是[0,4]，则 f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是__________。 (1)如果函数 f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数 a 的值