信号与系统第四章
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信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)
1
2j
F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)
0
estd t
即 u(t ) 1
est
s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t
F1( )
f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2
2 s3
L tn
n! s n1
4、冲激函数 (t)
信号与系统第四章-傅里叶变换的性质
② X(ω)是ω的奇函数，因为sinωt是ω的奇函数。
如果f(t)是t的实奇函数，即偶分量fe(t)＝0，则
F( jω)＝R(ω)＋j X(ω)＝j X(ω)＝ 是ω的虚奇函数。
j f (t) sintdt 2 j f (t) sintdt
0
反之，如果F( jω)＝j X(ω)是ω的虚奇函数，则F( jω)对应的原函数f(t)一定是t实奇函 数。
② 尺度变换特性的特例——翻转特性
如果a＝－1，由尺度变换特性， 有：f(－t) ↔F(－jω) ——翻转特性
天津大学电子信息工程学
刘安
第四 连续系统的频域分析
例7 试求单位直流信号f(t)＝1，－∞< t <＋∞的频谱
解：不满足绝对可积
f(t)＝1＝ε(t)＋ε(－t)
ε(t)
↔
F1(
jω)＝πδ(ω)＋
证明：设a>0，
F f (at) f (at) e jtdt
f
j
( ) e a
d
1
a j f ( ) e a d
a
1 a
F
j
a
令at ，则 t ,dt d
a
a
t:-∞~+ ∞, :-∞~+ ∞
天津大学电子信息工程学
Байду номын сангаас
刘安
第四 连续系统的频域分析
类似地，若a<0，
第四 连续系统的频域分析
4、对称性
如果f(t) ↔F( jω)，则F( jt) ↔2π f(－ω) （注意变量代换，证明参见p144）
特殊情况：
如果f(t)是t的实偶函数，且f(t) ↔F(ω)（ω的实偶函数）， 则F(t) ↔2π f(－ω)＝2π f(ω)，或者 F1(t) ↔ f(ω)。
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
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第四章 连续系统的复频域分析
内容及要求
（1）双边拉氏变换的定义及收敛域， 要求一般掌握。（第4.1节）； （2）单边拉氏变换的定义，单边拉氏变换的 性质，常用典型信号的单边拉氏变换。 要求熟练掌握。（第4.2节）； （3）单边拉氏逆变换的定义及计算方法。 要求熟练掌握。（第4.3节）；
（4）连续信号复频域分解的概念， 要求一般掌握。（第4.4节）； （5）连续系统的复频域分析，包括用系统函数 求零状态反应，系统微分方程的S域解， RLC系统的S域解， 要求熟练掌握。 （第4.5，4.6节）； （6）连续系统的表示和模拟。 要求熟练掌握。（第4.7节）； （7）系统函数H(s)与系统特性。 要求一般掌握。（第4.8节）；ℱ
(2) 终值定理
若f(t)←→F(s), 且f(∞)存在 则 f () lim sF ( s ) s 0 判断f(∞)存在方法： sF(s)的收敛域包含s=0 即:sF(s)的所有极点均在[s]的左半平面 证:
【例
(1)
s 2 2s 】F (s) s 2 1
求f(0+)和f(∞)。
n 0
【例】已知 F(s)=F1(s)e-2s
求f(t)
f1(t)=(2-e-2t)(t) f(t)=ℒ-1[F1(s)e-2s]=[2-e-2(t-2)](t-2)
4.4 连续系统的复频域分析
基本方法：系统的输入信号分解为基本信号
est 之和，而系统对输入信号的响应则等于对 基本信号的响应之和。 4.4.1 连续系统的复频域分解
4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
在复平面上，使f(t)的双边拉普拉斯变换存在 的s值的范围称为F(s)的收敛域。 由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号f(t)e-ζt的 傅里叶变换，因此，若 f(t)e-ζt绝对可积，即
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。
【例】因果信号f2(t)=e-αtε(t)(α>0) 当ζ=Re[s]>-α时，有
f(t)=ℒ-1[F(s)]=(te-t+e-t-e-3t)ε(t)
【例】已知
求f(t)
f (t ) (1 j)e( 22 j )t (1 j)e( 22 j )t
e [(1 j)(cos2t j sin 2t ) (1 j)(cos2t j sin 2t )]
Yf(t)= ℒ-1[Yf(s)]=
【例4.4-1】
f1(t) f2(t)
H H
y1f(t)
H ( s)
Y1 f ( s) F1 ( s)
y2f(t) ?
Y2 f (s) F2 (s) H (s)
y2 f (t ) ℒ 1[Y2 f (s)]
4.5 系统微分方程的复频域解
4.5.1 系统微分方程的复频域解
2t
e (2 cos2t 2 sin 2t )
2t
t0
F(s)有复极点 为了避免复数运算,可用配方法将F(s)写成 sa 和 2 2 2 2 ( s a) ( s a) 上例
2s 8 2( s 2) 2 2 F ( s) 2 2 2 s 4s 8 ( s 2) 2
双边信号的拉氏变换的收敛域为平行于jω 轴的两条直线间的带状区域 • 即任一信号和它的双边拉普拉斯变换连同 收敛域是一一对应的。
因果信号的双边拉普拉斯变换或积分下限 为“0”时的拉普拉斯变换称为单边拉普拉 斯变换 • 本章主要讨论单边拉普拉斯变换
•
4.1.3 单边拉普拉斯变换
单边拉氏变换 Re[s]>ζ0 单边拉氏逆变换
sin t (t ) ，求f(t)的单边拉氏变换 t
解： 由于 sin t (t )
1 ， 根据复频域积分性质 2 s 1 1 1 F ( s) 2 d arctan s arctan s 1 s
10. 初值和终值定理
(1) 初值定理 若 f(t)←→F(s) 若F(s)为有理真分式
物理意义：分解f(t)为ζ-j∞到ζ+j∞区间上不同s 的基本信号est之和（积分）
4.4.2 基本信号激励下的零状态响应
若f(t)=est，则
若h(t)为因果函数，则有
H(s) 称为线性连续系统的系统函数.
4.4.3 一般信号激励下的零状态响应
Yf(s)= ℒ [yf(t)]=H(s)F(s)
4.1.1 从傅里叶变换变换到拉普拉斯变换 若f(t)不满足绝对可积条件， 则傅里叶变换不一定存在，如 eαtε(t)(α>0)。 若引入一个衰减因子 e-ζt，则
双边拉普拉斯变换
双边拉普拉斯逆变换
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ-1[F(s)] F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数
f(t)与F(s)必一一对应，收敛域不再强调。
4.1.4常用信号的拉普拉斯变换
1.δ(t)
2. δ(n)(t)
3.பைடு நூலகம்ε(t)
4. e-αtε(t)
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
f1(t)←→F1(s) f2(t)←→F2(s) 则 a1f1(t)+a2f2(t) ←→a1F1(s)+a2F2(s) 若
微分方程 ℒ 代数方程
时域解
ℒ -1
s域解
以二阶系统为例
设
F (s)
零输入响应
零状态响应
y(t)= ℒ-1[Yf(s)]= ℒ-1[Yx(s)] + ℒ-1[Yf(s)]= yx(t)+yf(t)
几个概念 特征多项式：上式中的分母A(s) 特征方程：A(s)=0 特征根：A(s)=0的根 响应的初始值：上式中的y(0-)和y'(0-)
F(s)=
=
8. 复频域微分性质
若 则 f(t)←→F(s)
例
1 (t ) s 1 t (t ) 2 s
n! t (t ) n 1 s
n
9. 复频域积分性质
若 则
f 例： (t )
f(t)←→F(s)
f (t ) F ( )d s t
f (t ) lim (条件：0 存在) t t
f (0 ) lim sF ( s)
s
若F(s)为假分式，化成 F(s)=多项式+F0(s)(真分式)
f (0 ) lim sF0 ( s)
s
s↔(t) 1↔(t)
证明:
ℒ[f (t)]=sF(s)-f(0-) ℒ[f (t)]= =f(0+)-f(0-)+
sF(s)=f(0+)+ 因为当t>0，s→∞时 所以
f(0+)=2, f(∞)不存在 。
4.3 单边拉普拉斯逆变换
4.3.1 查表法 对简单的象函数F(s),可用拉氏变换表直接查到f(t) 4.3.2 部分分式展开法 若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解 为有理多项式与有理真分式之和
分别求解:
N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其 一阶到m-n阶导数之和。 D(s)/A(s)为有理真分式，可展开为部分分式后 求逆变换 A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn) 则s1,s2,…sn称为F(s)的极点
求f1(t)和f2(t)的象函数。
e-2tε(t)
←→
e-2(t-1)ε(t-1) ←→ e2e-2tε(t) ←→
3. 复频移性质
若 则 f(t)←→F(s) es0tf(t)←→F(s-s0)
e-αtcos(ω0t) ←→ e-αt sin(ω0t) ←→
4. 尺度变换性质
若 f(t)←→F(s)
7. 时域积分性质
若 则
f
f(t)←→F(s)
(t )
m 1 n
( n)
1 s n m1
f
( m)
(0 )
F ( s) sn
若f(t)为因果信号
f (-n)(0-)表示从-∞到0-对f(t)的n重定积分
【例 】求f(t)的拉氏变换
f(2)(t)=2δ(t)-2δ(t-1)-2δ(t-2)+2δ(t-3) F2(s)=ℒ[f(2)(t)]=2-2e-s-2e-2s+2e-3s
r i
【例】已知
s5 F ( s) 2 s 5s 6
求f(t)
f(t)=ℒ-1[F(s)]=(3e-2t-2e-3t)(t)
【例】已知
求f(t)
d 3s 5 K11 [ ] |s 1 1 ds s 3
3s 5 k3 ( s 1) 2
1
s 3
4.0 引言
频域 → 复频域 ej t之和 → est之和 s=+j 傅立叶变换 → 拉普拉斯变换 对于系统的输入信号f(t)，首先把它分解为 基本信号est之和，则系统的响应为基本信号 的响应之和。这种方法称为复频域分析法。 其中，s称为复频率。 扩展了适用范围，求解更为简便。
4.1 拉普拉斯变换
1 s 则 f(at)←→ F ( ) a a
5. 时域卷积性质 若 f1(t)←→F1(s) f2(t)←→F2(s) 则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)
【例 】f(t)=fτ(t)*fτ(t),求f(t)的拉氏变换。
fη(t)=ε(t)-ε(t-η)
ℒ [fη(t)] =
ℒ [f(t)]=ℒ [fη(t)]· [fη(t)]= ℒ
2. 时移性质
若 则 f(t)←→F(s) f(t-t0)ε(t-t0)←→e-st0F(s)
【例】求cos(ω0t)、sin(ω0t)的 象函数。 cos(ω0t) =1/2(ejω0t+e-jω0t)ε(t) ejω0tε(t)↔ e-jω0tε(t) ↔
内容及要求
（1）双边拉氏变换的定义及收敛域， 要求一般掌握。（第4.1节）； （2）单边拉氏变换的定义，单边拉氏变换的 性质，常用典型信号的单边拉氏变换。 要求熟练掌握。（第4.2节）； （3）单边拉氏逆变换的定义及计算方法。 要求熟练掌握。（第4.3节）；
（4）连续信号复频域分解的概念， 要求一般掌握。（第4.4节）； （5）连续系统的复频域分析，包括用系统函数 求零状态反应，系统微分方程的S域解， RLC系统的S域解， 要求熟练掌握。 （第4.5，4.6节）； （6）连续系统的表示和模拟。 要求熟练掌握。（第4.7节）； （7）系统函数H(s)与系统特性。 要求一般掌握。（第4.8节）；ℱ
(2) 终值定理
若f(t)←→F(s), 且f(∞)存在 则 f () lim sF ( s ) s 0 判断f(∞)存在方法： sF(s)的收敛域包含s=0 即:sF(s)的所有极点均在[s]的左半平面 证:
【例
(1)
s 2 2s 】F (s) s 2 1
求f(0+)和f(∞)。
n 0
【例】已知 F(s)=F1(s)e-2s
求f(t)
f1(t)=(2-e-2t)(t) f(t)=ℒ-1[F1(s)e-2s]=[2-e-2(t-2)](t-2)
4.4 连续系统的复频域分析
基本方法：系统的输入信号分解为基本信号
est 之和，而系统对输入信号的响应则等于对 基本信号的响应之和。 4.4.1 连续系统的复频域分解
4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
在复平面上，使f(t)的双边拉普拉斯变换存在 的s值的范围称为F(s)的收敛域。 由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号f(t)e-ζt的 傅里叶变换，因此，若 f(t)e-ζt绝对可积，即
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。
【例】因果信号f2(t)=e-αtε(t)(α>0) 当ζ=Re[s]>-α时，有
f(t)=ℒ-1[F(s)]=(te-t+e-t-e-3t)ε(t)
【例】已知
求f(t)
f (t ) (1 j)e( 22 j )t (1 j)e( 22 j )t
e [(1 j)(cos2t j sin 2t ) (1 j)(cos2t j sin 2t )]
Yf(t)= ℒ-1[Yf(s)]=
【例4.4-1】
f1(t) f2(t)
H H
y1f(t)
H ( s)
Y1 f ( s) F1 ( s)
y2f(t) ?
Y2 f (s) F2 (s) H (s)
y2 f (t ) ℒ 1[Y2 f (s)]
4.5 系统微分方程的复频域解
4.5.1 系统微分方程的复频域解
2t
e (2 cos2t 2 sin 2t )
2t
t0
F(s)有复极点 为了避免复数运算,可用配方法将F(s)写成 sa 和 2 2 2 2 ( s a) ( s a) 上例
2s 8 2( s 2) 2 2 F ( s) 2 2 2 s 4s 8 ( s 2) 2
双边信号的拉氏变换的收敛域为平行于jω 轴的两条直线间的带状区域 • 即任一信号和它的双边拉普拉斯变换连同 收敛域是一一对应的。
因果信号的双边拉普拉斯变换或积分下限 为“0”时的拉普拉斯变换称为单边拉普拉 斯变换 • 本章主要讨论单边拉普拉斯变换
•
4.1.3 单边拉普拉斯变换
单边拉氏变换 Re[s]>ζ0 单边拉氏逆变换
sin t (t ) ，求f(t)的单边拉氏变换 t
解： 由于 sin t (t )
1 ， 根据复频域积分性质 2 s 1 1 1 F ( s) 2 d arctan s arctan s 1 s
10. 初值和终值定理
(1) 初值定理 若 f(t)←→F(s) 若F(s)为有理真分式
物理意义：分解f(t)为ζ-j∞到ζ+j∞区间上不同s 的基本信号est之和（积分）
4.4.2 基本信号激励下的零状态响应
若f(t)=est，则
若h(t)为因果函数，则有
H(s) 称为线性连续系统的系统函数.
4.4.3 一般信号激励下的零状态响应
Yf(s)= ℒ [yf(t)]=H(s)F(s)
4.1.1 从傅里叶变换变换到拉普拉斯变换 若f(t)不满足绝对可积条件， 则傅里叶变换不一定存在，如 eαtε(t)(α>0)。 若引入一个衰减因子 e-ζt，则
双边拉普拉斯变换
双边拉普拉斯逆变换
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ-1[F(s)] F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数
f(t)与F(s)必一一对应，收敛域不再强调。
4.1.4常用信号的拉普拉斯变换
1.δ(t)
2. δ(n)(t)
3.பைடு நூலகம்ε(t)
4. e-αtε(t)
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
f1(t)←→F1(s) f2(t)←→F2(s) 则 a1f1(t)+a2f2(t) ←→a1F1(s)+a2F2(s) 若
微分方程 ℒ 代数方程
时域解
ℒ -1
s域解
以二阶系统为例
设
F (s)
零输入响应
零状态响应
y(t)= ℒ-1[Yf(s)]= ℒ-1[Yx(s)] + ℒ-1[Yf(s)]= yx(t)+yf(t)
几个概念 特征多项式：上式中的分母A(s) 特征方程：A(s)=0 特征根：A(s)=0的根 响应的初始值：上式中的y(0-)和y'(0-)
F(s)=
=
8. 复频域微分性质
若 则 f(t)←→F(s)
例
1 (t ) s 1 t (t ) 2 s
n! t (t ) n 1 s
n
9. 复频域积分性质
若 则
f 例： (t )
f(t)←→F(s)
f (t ) F ( )d s t
f (t ) lim (条件：0 存在) t t
f (0 ) lim sF ( s)
s
若F(s)为假分式，化成 F(s)=多项式+F0(s)(真分式)
f (0 ) lim sF0 ( s)
s
s↔(t) 1↔(t)
证明:
ℒ[f (t)]=sF(s)-f(0-) ℒ[f (t)]= =f(0+)-f(0-)+
sF(s)=f(0+)+ 因为当t>0，s→∞时 所以
f(0+)=2, f(∞)不存在 。
4.3 单边拉普拉斯逆变换
4.3.1 查表法 对简单的象函数F(s),可用拉氏变换表直接查到f(t) 4.3.2 部分分式展开法 若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解 为有理多项式与有理真分式之和
分别求解:
N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其 一阶到m-n阶导数之和。 D(s)/A(s)为有理真分式，可展开为部分分式后 求逆变换 A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn) 则s1,s2,…sn称为F(s)的极点
求f1(t)和f2(t)的象函数。
e-2tε(t)
←→
e-2(t-1)ε(t-1) ←→ e2e-2tε(t) ←→
3. 复频移性质
若 则 f(t)←→F(s) es0tf(t)←→F(s-s0)
e-αtcos(ω0t) ←→ e-αt sin(ω0t) ←→
4. 尺度变换性质
若 f(t)←→F(s)
7. 时域积分性质
若 则
f
f(t)←→F(s)
(t )
m 1 n
( n)
1 s n m1
f
( m)
(0 )
F ( s) sn
若f(t)为因果信号
f (-n)(0-)表示从-∞到0-对f(t)的n重定积分
【例 】求f(t)的拉氏变换
f(2)(t)=2δ(t)-2δ(t-1)-2δ(t-2)+2δ(t-3) F2(s)=ℒ[f(2)(t)]=2-2e-s-2e-2s+2e-3s
r i
【例】已知
s5 F ( s) 2 s 5s 6
求f(t)
f(t)=ℒ-1[F(s)]=(3e-2t-2e-3t)(t)
【例】已知
求f(t)
d 3s 5 K11 [ ] |s 1 1 ds s 3
3s 5 k3 ( s 1) 2
1
s 3
4.0 引言
频域 → 复频域 ej t之和 → est之和 s=+j 傅立叶变换 → 拉普拉斯变换 对于系统的输入信号f(t)，首先把它分解为 基本信号est之和，则系统的响应为基本信号 的响应之和。这种方法称为复频域分析法。 其中，s称为复频率。 扩展了适用范围，求解更为简便。
4.1 拉普拉斯变换
1 s 则 f(at)←→ F ( ) a a
5. 时域卷积性质 若 f1(t)←→F1(s) f2(t)←→F2(s) 则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)
【例 】f(t)=fτ(t)*fτ(t),求f(t)的拉氏变换。
fη(t)=ε(t)-ε(t-η)
ℒ [fη(t)] =
ℒ [f(t)]=ℒ [fη(t)]· [fη(t)]= ℒ
2. 时移性质
若 则 f(t)←→F(s) f(t-t0)ε(t-t0)←→e-st0F(s)
【例】求cos(ω0t)、sin(ω0t)的 象函数。 cos(ω0t) =1/2(ejω0t+e-jω0t)ε(t) ejω0tε(t)↔ e-jω0tε(t) ↔