1.2.2同角三角函数的基本关系_(修改2)
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。
1.2.2同角三角函数的基本关系说课稿
同角三角函数的基本关系麻城市第五中学数学组曾令洋各位专家、评委：大家下午好！我今天说课的题目是《同角三角函数的基本关系》，内容选自于高中教材新课程人教A版必修4第一章第1.2.2节，本节课内容为一课时。
下面我将从教材分析、学情分析、教法与学法分析、教学过程设计四个方面来阐述我对本节课的分析和设计。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课选自内容选自于高中教材新课程人教A版必修4第一章第1.2.2同角三角函数的基本关系，是在学生学习了任意角和弧度，并且理解了任意角三角函数的定义和三角函数线等知识的基础上，与圆的几何性质建立联系，来研究同角三角函数的基本关系，从而找到了同一个角的不同三角函数间的联系，渗透了数形结合等重要数学思想，培养学生的数学应用能力，为后续的三角函数的图像与性质的学习打下基础。
2、学情分析根据学生已有的知识，在教材“探究”的引导下，利用几何关系中的勾股定理及三角函数的定义，学生容易得出同角三角函数的基本关系，但灵活应用关系解题是学生感到困难的地方，特别是求三角函数值时符号的确定。
3、教学目标分析知识与技能目标：推导并理解同角三角函数的基本关系；已知某角的一个三角函数值，会求它其余的三角函数值；能初步应用同角三角函数的基本关系化简三角函数，证明三角函数恒等式。
过程与方法目标：牢固掌握同角三角函数的基本关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角问题的思维能力；灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。
情感态度价值观目标：通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位，训练三角恒等变形的能力，培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。
重点：同角三角函数的基本关系推导及应用.难点：是同角三角函数基本关系式的几何推导，三角函数值符号的确定。
二、教法与学法分析.结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—合作探究—应用”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。
同角三角函数的基本关系式
证法二：因为
(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos
2 2
由原题可知 1 - sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以 1 sin cos
证法三：
cos 0,1 sin 0 cos cos (1 sin ) 原式左边 2 1 sin cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 2 2 1 sin cos 1 sin 右边 cos
同角三角函数基本关系式的应用
1.求值题型
已知某个角的一个三角函数 值,求这个角的其余三角函数值.
3 例6 已知 sin ， 求 cos ，tan 的值． 5
注意开方运算时根号前正、负号的选取， 即根据角所在的象限讨论正负号。
课本P23 练习 1，2，3
2.化简三角函数式. 函数种类要最少，项数要最少，函数 次数尽量低，能求出值的要求出数值，尽 量使分母不含三角形式和根式。
主客呀."能给咱壹千斤吗?"根汉问道."壹千斤..."在场の十几人都张大了嘴巴,这还是人吗,这小子也太能吃了,买壹千斤腌牛肉吃?（正文贰叁贰7壹千斤）贰叁贰捌赚钱"有!"中年老板立即拍板道："小老弟呀,给你算便宜壹些吧,你给二十二壹斤就好了,壹共是二万二...""好, 谢谢了..."根汉立即就掏出了二万五千星海币,厚厚の壹大叠放在桌上,又说道："再给咱准备十几缸红米酒吧,这里剩下の钱能装多少装多少吧...""好の..."中年老板笑得合不拢嘴,赶紧将这壹大叠钱给收好了,开什么玩笑,这壹天の功夫,就做了两个月の生意.今天真得烧香 拜拜财神了,壹斤少说也得赚个八到十块星海币
1.2.2同角的三角函数基本关系式
能力训练(化简)
例3.化简 : 1 2 sin 2 10 cot 10 sin 10 1 sin 2 10
分析 :" 脱" 根号,因此设法把根号内式子 配成完全平方式 , 可以从1入手.
2 ) 01 soc 01 ni s( ) 01 soc 01 ni s( 01 soc 01 ni s 2 1 .1 式原 01 soc 01 ni s 01 soc 01 ni s 01 2 ni s 1 01 ni s
分析 : 找与题设条件最接近关 系式 : sin 2 cos 2 1, 故 cos 的值最容易求得在求 cos 时需要开方运算因此 , , 应根据角的所在象限确定cos 的符号. 4 对于tan 的负号,是根据商数关系直接运 算后的结果 ,
3 不需要根据的 是第二象限角来事先确 . 定 思路 : 找最接近题设的基本关 ;只有应用平方关系才根 系 据 角的象限来确定开方时 符号;应用商数关系 倒数关系时不 、 需要确定符号由运算自然得到符号 , . 本题由于角所在的象限 已指定,则求得的只有一组结果 .
1 2
3 2
2 2 2 2
3 2
1
0 1 0
不 存在
0
cos
tan
1
0
不 存在
1 2
0 1 0
不 存在
1
0
不 存在
cot
3 3
1 1
不 3 存在
3
3 3
0
0
问题探究(一)
计算下列各式的值: 1. sin 2 90 cos 2 90 ; 2. sin 2 30 cos 2 30 ; 5 5 3. tan 45 cot 45 ; 4. tan cot . 6 6 问题 : 如果把上面具体的数据 改为一般角会 有同样的结果吗 ?
人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。
1.2.2同角的三角函数的基本关系(2课时)
1.2.2同角的三角函数的基本关系(二课时)学习目标：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 学习重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 学习难点：根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 一、知识链接： 复习 ：1.已知角α终边上一点p （x 、y ），r=22y x +，则角α的六个三角函数分别是什么？2.当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tan α、cot α的符号分别是怎样的？二、新课导学自学教材P18-P20，并对相关概念进行勾画。
（思考1）三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?新知1：如图:以正弦线MP ,余弦线构成直角三角形,而且1OP =.221MP OM +=,因此221x y +=,根据三角函数的定义,当(2a k ππ≠+这就是说,同一个角α例题：学习课本19页—20页 例6 例7练习1：课本20页 练习1、4、5练习2：课本21-22 习题1.2A 组 第10、13题小结1：（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．思考1：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？新知2：同角三角函数的基本关系式：1、由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（请把关系式的推导过程写在后面）（1）倒数关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα（2）商数关系：⎪⎩⎪⎨⎧==ααααααsin cos cot cos sin tan （3）平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin2.给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？ （1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系。
第一章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系
2sin α（1＋sin α） 1＋sin α
＝
＝右边．
2sin αcos α
cos α
∴原式成立． 法二：左边—右边＝
所以，左边＝右边，原式成立．
[巧妙解法] 由 cos2α＝1－sin2α得 －cos2α＝(sin α＋1)(sin α－1),
sin α＋1 －cos α
2．三角函数式化简技巧： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数， 从而减少函数名称，达到化繁为简的目的； (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全 平方式，然后去根号达到化简的目的．
[变式训练]
化简： sin
sin2x x－cos
x－sitnanx2＋x－cos1
x .
解：原式＝ sin
所以 sin α－cos α>0，
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝197，
所以 sin
α－cos
α＝
17 3.
归纳升华
三角函数求值的常用方法
1．若已知 tan α＝m，求其他三角函数值，其方法
tan α＝m， 是解方程组
求出 sin α和 cos α的
sin2α＋cos2α＝1，
[变式训练] 已知 tan α ＝43且角 α 在第三象限，求
sin α ，cos α 的值.
解：由
tan
α
＝csions
α α
＝43，
得 sin α ＝43cos α .
又 sin2α ＋cos2α ＝1，
所以196cos2α＋cos2α ＝1.即 cos2α ＝295.
又角 α 在第三象限， 所以 cos α ＝－35， 所以 sin α ＝43cos α ＝－45.
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及时巩固：判断正误
(1).sin 33 cos 47 1
2 2
×
(2).sin 2 cos 2 1 √
2 2
sin (3).若是第二象限角，则 tan .× cos
(4).sin cos 1 ×
2 2
注：对上述两个关系式的理解： “同角”二层含义: 一是”角相同”, 二是”任意”角，只要角相同且函数有意义即可．
同角三角函数的基本关系式的推导
一、创境设问：填一填
sin
30 45 60
1 2
2 2
3 2
cos tan
3 2
2 2
sin cos
2 2
3 3
1 1 1 1
sin cos 3 3
1
3
3 3
1
3
3 3
1 2
150
1 2
3 2
根据以上结果，你想到了什么？
证明：左边 sin cos 2 2 2 2 (sin cos )(sin cos )
4 4
sin cos 右边
2 2
sin cos 1
2 2
原式成立
(2)
cos 1 sin 1 sin cos
三、数学应用（一）:求值
4 例1 已知 sin , 且 是第二象限角，求 cos , tan 的值. 5
解： sin 2 cos2 1
2 2
先定象限,后定值
4 2 9 cos 1 sin 1 ( ) 5 25 又 是第二象限角， cos 0 3 cos , 5
4 sin 5 4 tan cos 3 3 5
4 变题：已知 sin , 求 cos , tan 的值. 5
解： sin 2 cos 2 1 4 9 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 2 5 25
sin 4 0 5 为第一或第二象限角
沾化一中
高一数学组ຫໍສະໝຸດ 课程目标
教学目标：
1. 掌握同角三角函数的两个基本关系式； 2. 掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他 三角函数值. 3. 能够利用三角函数的基本关系式化简三角函数式，并证 明有关的三角恒等式.
教学重点：
同角三角函数的基本关系式的推导与应用
教学难点：
2
cos sin 1 2 2 cos sin
2 2
化简的目标是：三 角函数种数尽量少， 尽量由分式化整式， 化简结果要尽量简 洁。
三、数学应用（三）:证明
例4 求证(1) sin
4
cos sin cos
4 2 2
恒等式证明常用方法?
分析：由左往右证
二、探求新知得结论
根据以上结果讨论, 我们可以得到如下关系：
sin cos 1
2 2
sin tan cos
对任意的角α这种关系也成立吗？ 如何证明？
y 如图，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点P，
r 1
α
α的终边
P ( x, y )
sin y MP
例3. 化简(1) cos tan
=
sin
2 2
2 cos 1 (2) 1 2 sin 2
2
"1"换为sin cos
2 2 2
2cos 1 2cos (sin cos ) 解： 2 2 2 2 1 2sin (sin cos ) 2sin
3 2
若 若
5 12 , sin 13 13 5 12 cos , sin 是第三象限角，则 13 13
是第一象限角，则 cos
小结：(1)注意方程思想的运用； (2)分类讨论的数学思想．
应用回顾
4 例1. 已知sin ，且 是第二象限角，求 cos , tan 的值. 5
cos x OM
x
O
M
A(1,0)
MP OM OP sin2 cos2 1
2 2 2
y sin tan tan cos x
任意角三角函数的定义
( k (k Z )) 2
上述关系反映了角α 的正弦和余弦之间 的内在联系，根据等式的特点，将它称为 平方关系. 那么当角α 的终边在坐标轴上时，该关 系式成立吗？ y
sin
sin2 cos2 1
cos
sin tan cos tan
用这两个关系式来解决一些简单的求值、
化简、证明问题。
五、当堂检测
1.化简 1 sin 2 40
A
A. cos40o B. si n40o C . cos40o D. si n40o
3 4 10 当 为第一象限角时， tan ; cos 5 3 3 4 20 当 为第二象限角时， tan cos 5 3
小结: 当角的象限不明确时,要注意根据已知角的三角函数 值分象限进行讨论.
12 例2 已知 tan , 求 sin , cos 的值. 5 sin 12 解：由 tan , 可得 sin 12 cos cos 5 5 12 2 2 2 故（ ）cos 2 cos 2 1 又 sin cos 1， 5 25 2 解得 cos 。 先定象限,后定值 169 又由tan 0, 知 是第一或第三象限角。
sin cos 1
2 2
P
P O x
平方关系和商数关系是反映同一个角的 三角函数之间的两个基本关系，它们都 是恒等式，如何用文字语言描述这两个 关系？
sin cos 1
2 2
同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于这个角的正切.
sin tan k (k Z ) 2 cos
4 2.若 cos , 且 是 第 三 象 限 角 ， 则 B tan 5 4 3 4 3 A. B . C . D . 3 4 3 4 3 3.若 t an 3，且 2，则sin 2 4.化简(1 t an2. ) cos2 1 1 5. 已知sin 2 cos , 则 2 t an
归纳：
证明三角恒等式的基本思路： 由繁到简 一般方法: (1) 左边 右边
（2）右边 左边 （3）左边中间式 右边
（4）转化①A=B – B = 0 A
A ② A B 1(B 0) B A C ③ AD BC B D
四、课堂小结
同角三角函数的两个基本关系式：
证 明 ： 由cos 0， 知si n 1， 所 以 si n 0， 1 1 于 是: cos (1 si n ) cos (1 si n ) 左边 (1 si n )(1 si n ) 1 si n2
cos (1 si n ) 1 si n 右边 2 cos cos 方法2： sin )(1 sin ) 1 sin2 (1 cos 2 cos cos 且1 sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以: . 1 sin cos
变题：已知 sin 4 , 求 cos , tan 的值. 5
例2. 已知 tan
12 , 求 sin , cos 的值. 5
公式的应用: 知一求二:由一个角的某一三角函数值求出其它 的两个三角函数值 数学思想方法: ①分类讨论 ②方程(组)的思想
三、数学应用（二）:化简