南方新课堂广东高考数学理科一轮总复习配套82平面
南方新课堂广东高考数学理科一轮总复习配套课件12.2双曲线
图形
（续表）
标准方程 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 实虚轴 a，b，c 的 关系
x2 y2 a2－b2＝1(a>0，b>0)
－a，y∈R a 或 x≤____ x≥____
y2 x2 a2－b2＝1(a>0，b>0)
x∈R，y≤－a 或 y≥a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) a b y ＝ ± x y＝± x b a c ，＋∞) ，其中 c＝ a2＋b2 e＝a，e∈(1 ________ 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线 的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
x2 y2 解析：设双曲线 C：a2－b2＝1 的半焦距为 c，则 2c＝10， b c＝5.又∵C 的渐近线为 y＝± ax，点 P(2,1)在 C 的渐近线上， b ∴ 1 ＝a· 2，即 a＝2b.又 c2＝a2＋b2，∴a＝2 x2 y2 的方程为20－ 5 ＝1.
答案：A
5，b＝ 5，∴C
a2＋b2 c2＝__________( c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程
y＝±x ，离心率为______. e＝ 2 为________
x 2 y2 1.(2013 年江苏)双曲线16－ 9 ＝1 的两条渐近线的方程为 3 y＝± x 4 _______________.
考点 1 求双曲线的标准方程
x2 y2 例 1：(1)(2012 年湖南)已知双曲线 C：a2－b2＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为( x2 y2 A.20－ 5 ＝1 x2 y2 C.80－20＝1 x2 y2 B. 5 －20＝1 x2 y2 D.20－80＝1 )
南方新课堂广东高考数学理科一轮总复习配套课件3.5函数的图象
1．函数图象的作图方法 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法 和图象变换法．
2．三种图象变换 (1)平移变换： ①把 y＝f(x)的图象沿 y 轴方向平移|b|个单位长度后可得到
y＝f(x)＋b(b≠0)的图象，当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向
下平移．
②把 y＝f(x)的图象沿 x 轴方向平移|a|个单位长度后可得到
即得到 y＝f(|x|)的图象．
⑤将 y＝f(x)在 x 轴下边的图象翻上去(关于 x 轴对称)，即得 到 y＝|f(x)|的图象．
1．函数f(x)＝2x的反函数y＝f－1(x)的图象为(
A)
2．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函 数 y＝f(x)的图象是( B )
x－a＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取
a>1 ． 值范围是________ 图 D5
解析：如图 D5，在同一坐标系中分别作出 y＝f(x)与 y＝ －x＋a 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴上的截距，由图可知， 当 a>1 时，直线 y＝－x＋a 与 y＝log2x 只有一个交点．
4．将函数y＝2x＋1的图象按向量a平移得到函数y＝2x＋1
的图象；去掉 y＝f(x)在 y 轴左边的图象，作与右边对称的图象，
即得到 f(|x|)的图象；将y＝f(x)在x 轴下边的图象翻上去(关于x 轴对称)，即得到|f(x)|的图象． 答案：D
(2)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这
两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①f1(x)＝sinx＋
x
－x
π 轴右侧第一个零点为12，0，又函数
《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)一轮复习练习：第四章平面向量(含答案解析)
第四章 平面向量第1讲 平面向量及其线性运算1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014年新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →3．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1 4．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上5．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 6．(2013年广东珠海一模)如图X4-1-1所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图X4-1-1A.FO →B.OG →C.OH →D.EO →7．(2014年福建)设点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，点O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →8．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为________．9．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.10．如图X4-1-2，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝xa ＋yb ，求数对(x ，y)的值．图X4-1-2第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．(2015年辽宁沈阳质检)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( ) A ．(－1，－12) B ．(－1,12) C ．(1，－12) D ．(1,12)2．(2014年福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)4．如图X4-2-1，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA → ，则( )图X4-2-1A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝145．(2013年辽宁)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 6．(2013年陕西)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m,2)，若a ∥b, 则实数m ＝( ) A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．07．如图X4-2-2，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →＋BA →＋23OB →.其中终点落在阴影区域内的向量的序号是__________(写出满足条件的所有向量的序号)．图X4-2-28．(2015年北京)如图X4-2-3，在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.图X4-2-39．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．10．如图X4-2-4，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．图X4-2-4第3讲 平面向量的数量积1．(2014年新课标Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．52．(2014年山东)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m＝( )A ．2 3 B.3 C ．0 D ．－ 33．(2015年广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．54．(2013年湖北)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3152C ．－3 22D ．－31525．(2013年广东珠海二模)如图X4-3-1，已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝( )图X4-3-1A ．1 B. 3 C. 5 D.76．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________． 7．(2014年重庆)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________.8．(2013年新课标Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t)b ，若b·c ＝0，则t ＝________.9．已知|a|＝2，|b|＝3，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a·b ；(2)(2a －b)·(a ＋3b)； (3)|a ＋b|.10．已知平面上有三点A ，B ，C ，且向量BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．第4讲 平面向量的应用举例1．(2013年陕西)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m ＝( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．02．(2012年大纲)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 3．(2013年福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．104．在等腰三角形ABC 中，底边BC ＝4，则AB →·BC →＝( ) A ．6 B ．－6 C ．8 D ．－85．(2014年新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为__________．6．(2014年江苏)如图X4-4-1，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝______.图X4-4-17．(2015年安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b)⊥BC →.8．(2015年天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →， 则AE →·AF →的值为________．9．(2013年陕西)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cosx ，－12，b ＝(3sinx ，cos2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b.(1)求f (x)的最小正周期；(2)求f (x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．10．如图X4-4-2，已知点P(4,4)，圆C ：(x －m)2＋y 2＝5(m<3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．图X4-4-2专题二 三角函数、平面向量与解三角形1．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的最大值为________． 2．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝1.点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝__________. 3．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a×b 为a 与b 的“向量积”，且a×b 是一个向量，它的长度|a×b|＝|a||b|sinθ，若u ＝(2,0)，u －v ＝(1，－3)，则|u×(u ＋v)|＝( )A ．4 3 B. 3 C ．6 D ．2 34．如图Z2-1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．图Z2-15．(2015年新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．6．(2015年天津)已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f(x)最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值．7．(2014年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcosC ＋csinB.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．8．(2015年安徽)在△ABC 中，A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．第四章 平面向量第1讲 平面向量及其线性运算1．B 解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 为△ABC 的重心，故AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3. 2．A 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b)＝AD →.故选A. 3．A 解析：∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.4．B 解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →.所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.5．A 解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →.∴AD →＝23AC→＋13AB →＝23b ＋13c. 6．A 解析：如图D93，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，OP →＋OQ →＝OA →＝FO →.图D937．D 解析：如图D94，∵点M 为AC ，BD 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.图D948．④ 解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．9．证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m)OB →＝OB →＋m(OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m(OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－0＝0，∴m ＋n ＝1. 10．解：方法一，令BF →＝λBE →，由题意知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.∴⎩⎨⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ.解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AF →＝13AB →＋13AC →.故⎝⎛⎭⎫13，13为所求． 方法二，设CF →＝λCD →，∵E ，D 分别为AC ，AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a)＋λ⎝⎛⎭⎫12a －b ＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b. ∵BE →与BF →共线，a ，b 不共线，∴12λ－1－1＝1－λ12.∴λ＝23.∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b. 故x ＝13，y ＝13，故⎝⎛⎭⎫13，13即为所求． 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．B 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)． 2．B 解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C ，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件．故选B.3．A4．A 解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →.又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →.所以x ＝23，y ＝13.5．A 解析：AB →＝(3，－4)，与向量AB →同向只有A 项符合，且⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫－452＝1其模为1.故选A.6．C 解析：a ∥b ，有m 2＝2，m ＝±2.7．①③ 解析：作图OA →＋2OB →终点显然落在阴影区域内；12OA →＋12OB →终点落在AB 上，故12OA →＋13OB →终点落在△OAB 内；34OA →＋14OB →终点落在AB 上，故34OA →＋13OB →终点落在阴影区域内；34OA →＋14OB →终点落在AB 上，故34OA →＋15OB →终点落在△OAB 内；34OA →＋BA →＋23OB →＝74OA →－13OB →，终点显然落在阴影区域外． 8.12 －16 解析：特殊化，不妨设AC ⊥AB ，AB ＝4，AC ＝3，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，A(0,0)，M(0,2)，C(0,3)，B(4,0)，N ⎝⎛⎭⎫2，32，MN →＝⎝⎛⎭⎫2，－12，AB →＝(4,0)，AC →＝(0,3)，则⎝⎛⎭⎫2，－12＝x(4,0)＋y(0,3)．得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝2，3y ＝－12.⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－16.9．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为4 2，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t)． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0. 所以t ＝－115.10．解：如图D95，以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况：图D95①ABCD ；②ADBC ；③ABDC.设D 的坐标为(x ，y)， ①若是ABCD ，则由AB →＝DC →，得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y)， 即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x ＝－1，－2－y ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.∴D 点的坐标为(0，－4)(如图中所示的点D 1)． ②若是ADBC ，由CB →＝AD →，得(0,2)－(－1，－2)＝(x ，y)－(1,0)， 即(1,4)＝(x －1，y)，解得x ＝2，y ＝4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如图中所示的点D 2)． ③若是ABDC ，则由AB →＝CD →，得(0,2)－(1,0)＝(x ，y)－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)． 解得x ＝－2，y ＝0.∴D 点的坐标为(－2,0)(如图中所示的D 3)，∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．第3讲 平面向量的数量积1．A 解析：a 2＋2a·b ＋b 2＝10，a 2－2a·b ＋b 2＝6，两式相减，得4a·b ＝4，a·b ＝1. 2．B 解析：由题意，得cos π6＝a·b |a||b|＝3＋3m 232＋m 2＝32.解得m ＝ 3.故选B.3．D 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D.4．A 解析：AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝155 2＝3 22.5．A 解析：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →·AD →－12AB →2＝22－12×2×2×12－12×22＝1. 6．(－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32 解析：由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<32.由a ∥b ，得6＝－λ，即λ＝－6.因此λ的取值范围是λ<32，且λ≠－6.7．10 解析：a ＝(－2，－6)，|a|＝ －2 2＋ －6 2＝210， a·b ＝|a||b|cos60°＝210×10×12＝10.8．2 解析：|a|＝|b|＝1，〈a ，b 〉＝60°. ∵c ＝ta ＋(1－t)b ，∴b·c ＝ta·b ＋(1－t)b 2＝t×1×1×12＋(1－t)×1＝t 2＋1－t ＝1－t 2.∵b·c ＝0，∴1－t2＝0，∴t ＝2.9．解：(1)a·b ＝|a||b|cos120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3. (2)(2a －b)·(a ＋3b)＝2a 2＋5a·b －3b 2＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (3)|a ＋b|＝ a ＋b 2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝4－6＋9＝7.10．解：(1)由点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行．∵BC →∥AC →，∴4(2－k)－2×3＝0.解得k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →＝(k －2，－3)． ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形，则①当∠BAC 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0. ∴2k ＋4＝0.解得k ＝－2；②当∠ABC 是直角时，AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0. ∴k 2－2k －3＝0.解得k ＝3或k ＝－1； ③当∠ACB 是直角时，AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0. ∴16－2k ＝0.解得k ＝8. 综上所述，k ∈{－2，－1,3,8}．第4讲 平面向量的应用举例1．C 解析：a ∥b ，有m 2＝2，m ＝±2.2．D 解析：由a·b ＝0可得∠ACB ＝90°，故AB ＝5，用等面积法求得CD ＝2 55，所以AD ＝4 55，故AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b.故选D.3．C 解析：AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)．∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →.∴该四边形的面积为12|AC →|×|BD →|＝12×5×2 5＝5.故选C.4．D 解析：方法一，如图D96，取BC 的中点D ，连接AD ，有AD ⊥BC.AB →·BC →＝(AD →＋DB →)·BC →＝AD →·BC →＋DB →·BC →＝0＋2×4cos180°＝－8.图D96方法二，观察选项知，结果固定，不失一般性．设△ABC 为等腰直角三角形，AB →·BC →＝ 2 2×4cos135°＝－8.5．90° 解析：AO →＝12(AB →＋AC →)，则O 为BC 的中点，直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半，所以AB →与AC →垂直．6．22 解析：由题意，得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →， 所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2， 即2＝25－12AD →·AB →－316×64.解得AB →·AD →＝22. 7．①④⑤ 解析：∵△ABC 是边长为2的等边三角形，AB →＝2a ，|AB →|＝2|a|＝2，|a|＝1，故①正确；AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ，∵AB →＝2a ，∴BC →＝b ，∴|b|＝2，故②错误且④正确；由于AB →＝2a ，∴BC →＝b ，∴a 与b 的夹角为120°，故③错误；(4a ＋b)·BC →＝(4a ＋b)·b ＝4a·b＋b 2＝4×1×2×⎝⎛⎭⎫－12－22＝0，∴(4a ＋b)⊥BC →，故⑤正确． 8.2918解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，得AD →·BC →＝12，AB →·AD →＝1，DC →＝12AB → ，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋112AB →＝AB →·AD →＋23BC →·AD →＋112AB 2→＋118BC →·AB →＝1＋13＋13－118＝2918. 9．解：(1)f(x)＝a·b ＝cosx·3sinx －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 最小正周期T ＝2π2＝π. 所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sinx 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象知， f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以，f (x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. 10．解：(1)将点A(3,1)代入圆C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵m ＜3，∴m ＝1，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0.∵直线PF 1与圆C 相切，C(1,0)， ∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴交点的横坐标为3611，不合题意；当k ＝12时，直线PF 1与x 轴交点的横坐标为－4.∴OF 1＝c ＝4，即F 1(－4,0)，F 2(4,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝5 2＋2＝6 2.∴a ＝3 2，a 2＝18，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1. (2)AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，则AQ →＝(x －3，y －1)，AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6.∵x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18， 而x 2＋(3y)2≥2|x||3y|，∴－18≤6xy≤18.则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy ∈[0,36]，即x ＋3y ∈[－6,6]．∴AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]．专题二 三角函数、平面向量与解三角形1.2＋1 解析：方法一，∵a ，b 是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又a·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b|＝ 2.∴|c －a －b|2＝c 2－2c·(a ＋b)＋2a·b ＋a 2＋b 2＝1.∴c 2－2c·(a ＋b)＋1＝0.∴2c·(a ＋b)＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c||a ＋b|cosθ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．∴c 2＋1＝2 2|c |cosθ≤2 2|c|.∴c 2－2 2|c|＋1≤0. ∴2－1≤|c|≤2＋1.∴|c|的最大值为2＋1.图D97方法二，建立如图D97所示的平面直角坐标系，由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量，∴可设OA →＝a ＝(1,0)，OB →＝b ＝(0,1)，OC →＝c ＝(x ，y)．∴c －a －b ＝(x －1，y －1)．∵|c －a －b|＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C(x ，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝x 2＋y 2，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max ＝2＋1.2．3 解析：如图D98，点M 满足BM →＝2AM →，则点M 在线段BA 的延长线上，且点A 为BM 的中点，数量关系如图，则CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos ∠MCA ＝2×5× 2 2＋ 5 2－122×2×5＝3.图D983．D 解析：由题意v ＝u －(u －v)＝(1，3)，则u ＋v ＝(3，3)，cos<u ，u ＋v>＝32.得sin<u ，u ＋v>＝12，由定义知|u×(u ＋v)|＝|u|·|u ＋v|sin<u ，u ＋v>＝2×23×12＝2 3.故选D. 4．1 1 解析：方法一，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t ∈[0,1]．则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)．所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t≤1.图D99故DE →·DC →的最大值为1.方法二，由图D99知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.5．(6－2，6＋2) 解析：如图D100，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BC sin ∠E ＝BE sin ∠C，即2sin30°＝BE sin75°，解得BE ＝6＋2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BF sin ∠FCB ＝BC sin ∠BFC，即BF sin30°＝2sin75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围为(6－2，6＋2)．图D1006．解：(1) 由已知，有f(x)＝1－cos2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f(x)在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 7．解：(1)因为a ＝bcosC ＋csinB ，所以由正弦定理得：sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB ， 所以sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB ，即cosBsinC ＝sinCsinB ，因为sinC≠0，所以tanB＝1，解得B ＝π4. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accos π4， 即4＝a 2＋c 2－2ac.由不等式，得a 2＋c 2≥2ac.当且仅当a ＝c 时，取等号，所以4≥(2－2)ac.解得ac≤4＋2 2.所以△ABC 的面积为12acsin π4≤24×(4＋22)＝2＋1， 所以△ABC 面积的最大值为2＋1.8．解：如图D101，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理，得图D101a 2＝b 2＋c 2－2bccos ∠BAC ＝(3 2)2＋62－2×3 2×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90. 所以a ＝310 .又由正弦定理，得sinB ＝bsin ∠BAC a ＝3310＝10 10. 由题设，知0<B<π4， 所以cosB ＝1－sin 2B ＝1－110＝310 10. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD.所以∠ADB ＝π－2B.故由正弦定理，得AD ＝AB·sinB sin π－2B ＝6sinB 2sinBcosB ＝3cosB＝10 .。
南方新课堂广东高考数学理科一轮总复习配套课件16.3回归分析与独立性检验
回归分析与独立性检验
考纲要求 1.会作两个有关联变量数据的散点图，会利用 散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性 回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解下列一些常见的统计方法，并能应用这 些方法解决一些实际问题. (1)了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基 本思想、方法及其简单应用. (2)了解假设检验的基本思想、方法及其简单 应用. (3)了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一种非确定性关系.
(2)将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i＝1,2，„，n)描在平面直 角坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图.
(3)正相关、负相关： 左下角 到__________ 右上角 的区 ①在散点图中，点散布在从__________ 域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. 左上角 到__________ 右下角 的区 ②在散点图中，点散布在从__________ 域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关.
3.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运
动，得到如下的列联表： 男 爱好
不爱好 总计 40 20 60
女
20 30 50
总计
60 50 110
2 n ad － bc 由 K2＝ 算得， a＋bc＋da＋cb＋d 2 110 × 40 × 30 － 20 × 20 K2＝ ≈7.8. 60×50×60×50
报变量变化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好.
3.独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别，像这类变量称为分类变量. 频数表 ，称为列联表. (2)列联表：列出两个分类变量的__________ 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)：