第十二章轴向拉压详解
§2–1 轴向拉压的概念及实例§2–2 轴力及轴力图§2–3.
横截面
受载后
b´ d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
2. 拉伸应力： 由平截面假定，变形均匀，内力分布均匀。 轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布分布。 P
N(x)
N ( x) A
规定：N为拉力，则σ为拉应力；N为压力，则σ为压应力 ；拉应力为正，压应力为负 3. Saint-Venant（圣维南）原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作 用方式的影响。
12
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
5kN 5kN
8kN
3kN
+
8kN
–
3kN
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在
p
N
N N>0 p N N N<0 p
N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N与外法线反向,为负轴力(压力) p
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 义 ②确定出最大轴力的数值 N 及其所在横截面的位置， P + x
即确定危险截面位置，为
强度计算提供依据。
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA N1 A PA B PB B PB C PC C PC
D
PD D PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA P B P C P D 0
材料力学课件(哈工大)第12章杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算1）构件的失效模式若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能而不能正常工作，称为构件失效。
工程中，构件的失效模式主要有：•强度失效——构件的材料断裂或屈服。
•刚度失效——构件的弹性变形过大，超出规定范围。
•疲劳失效——构件在交变应力作用下的强度失效。
•稳定失效——构件丧失了原有的平衡形态。
本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。
12-1 强度计算与刚度计算首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。
[]()4 , 3 , 2 , 1 之一=≤i ri σσ根据强度条件，即上面不等式，强度计算可解决三类问题：•校核强度•设计截面•计算许可载荷1）构件的失效模式2）杆件的强度计算其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。
最后根据材料性能（脆性或塑性）和应力状态，判断危险点的强度失效形式（断裂或屈服），选择相应的强度理论，建立强度条件：12-1 强度计算与刚度计算3）杆件的刚度计算除了要求满足强度条件之外，对其刚度也要有一定要求。
即要求工作时杆件的变形或某一截面的位移（最大位移或指定截面处的位移）不能超过规定的数值，即∆为计算得到的变形或位移；[∆]为许用（即人为规定的）变形或位移。
对轴向拉压杆，∆是指轴向变形或位移u ；对受扭的杆件，∆是指两指定截面的相对扭转角φ或单位长度扭转角ϕ；对于梁，∆是指挠度v 或转角θ。
根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：•校核刚度•设计截面•计算许可载荷][ΔΔ≤刚度条件1）构件的失效模式2）杆件的强度计算12-2 轴向拉压杆件的强度计算轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于单向应力状态。
因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达式均演化为][m axσσ≤例1螺旋压力机的立柱如图所示。
04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式(供参考)
04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（****************），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。
........................... 2 3 1.1 轴向拉压杆的应力公式推导 ............................................................................................ 2 4 1.2 轴向拉压杆的变形公式推导 ............................................................................................ 4 5 1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导 ................................................................ 4 6 1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立 .................................................................... 4 7 2.1 扭转轴的应力公式推导 .................................................................................................... 5 8 2.2 扭转轴的变形公式推导 .................................................................................................... 7 9 2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导 ........................................................................ 7 10 2.4 扭转的强度条件、刚度条件的建立 ............................................................................ 8 11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N FAσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F Aσσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F Aσσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥3.确定许可荷载[],maxN F A σ≤七、线应变ll ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F ll EA∆=注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l llδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
机械设计基础——轴向拉伸与压缩
L1 L 伸长率: 伸长率: δ = × 100 % L A A1 断面收缩率 : ψ = × 100 A L —试件拉断后的标距
1
%
L —是原标距 A1 —试件断口处的最小横截面面积 A —原横截面面积。
ψ 、 值越大，其塑性越好。一般把 δ ≥5％的材 塑性材料，如钢材、铜、铝等；把 δ <5％的 料称为塑性材料 塑性材料 材料称为脆性材料 脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。 脆性材料
σs
O
ε
铸铁拉伸时的力学性能
σ
σb
铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没 有明显的直线部分和屈服阶段，无缩 颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很 小。断裂时曲线最高点对应的应力值 称为抗拉强度 σ b 。铸铁的抗拉强度 抗拉强度 较低。 曲线没有明显的直线部分，应力与应 变的关系不符合虎克定律。但由于铸 铁总是在较小的应力下工作，且变形 很小，故可近似地认为符合虎克定律。 通常以割线Oa的斜率作为弹性模量E。
σ max
FN max = ≤ [σ ] A
应用该条件式可以解决以下三类问题： 校核强度 、设计截面 、确定许可载荷 。
例1: 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ p 2MPa，油缸内径D＝75mm 2MPa D 75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活塞杆 σ 材料的许用应力[ ]＝50MPa [ ]＝50MPa，试校核活塞杆的强度。 d
σ
]= ]=
σs
σ
ns σb
nb
n s、n b是安全系 数: n s =1.2～2.5 =1.2～ n b ＝2.0～3.5 2.0～
5 拉(压)杆的强度计算
强度计算： 强度计算： 应用强度条件式进行的运算。 为了使构件不发生拉(压)破坏，保证构件安 全工作的条件是：最大工作应力不超过材料 的许用应力。这一条件称为强度条件。 强度条件。 强度条件
轴向拉压
D 2
4
p 8.84 kN
N 4F 6 2 34.7 10 Pa A d
强度足够
应用2：设计截面尺寸
N
A
P35例2-3 起重链条，承受的轴向最大拉力 F=15kN，许用应力 [ ] 40 MPa ，试 确定圆钢的直径d
应用3：确定许可载荷
(MPa)
400
低碳钢压缩 应力应变曲线
E(b)
C(s上) (e) B 200 D(s下) A(p)
f1(f)
低碳钢拉伸 应力应变曲线
g
Ey= E=tg tg O O1 O2 0.1 0.2
2 灰铸铁拉压时的力学性能
by
灰铸铁的 压缩曲线
bL
灰铸铁的 拉伸曲线
= 45o~55o
强度 刚度 稳定性 材料抵抗塑性变形和断裂的能力 材料抵抗弹性变形的能力 构件保持其原有平衡形态能力
3.
构件受力的情况 载荷：机构或者机械工作时，作用在构件上的力
集中载荷 通过极小的面积（构件本身相比）传递给构 件的压力称为集中载荷 均匀分布载荷 分布载荷 均匀分布作用于构件某段长度或者面积上的外力 线性载荷 不均匀分布载荷
一等截面直杆，受轴向内力P1、 P2、P3的作用，已知 P1=8kN,P2=10kN，P3=6kN ， 试求AB、BC、CD各段上轴力。 N1
解：N1=P1=8KN N2=P1-P2=-2KN N3=P1+P2-P3=4KN
N2 N3
应 力
内力的大小是否直接决定了构件被破坏？ 比较两材料相同而粗细不同拉杆， 在相同拉力作用下，当拉力增大时 的，试想那根杆先被拉断？ 单位面积上承受的内力称为应力 其单位是兆帕（MPa），N/mm2
轴向拉压解析PPT课件
p = F A
F (2)一点的总应力 p p = lim F = dF
3.应力分量
A0 A dA
(1)正应力σ (normal stress)：与截面垂直的法向 分量。规定其离开截面为正；指向截面为负。
(2)切应力τ(shear stress) ：与截面相切的切向分 量。规定其对截面内部的一点产生顺时针向力矩的
F F
①全应力：
F
p
=
F cos
A
=0
cos
p
②正应力：
FN
= p cos = cos2
p
③切应力：
=
p
sin
=
0
2
sin 2
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讨论:
①横截面上正应力最大,剪应力为零，即α=00时， σmax＝σ 。
②45°斜截面上剪应力最大，即α＝450时， τmax=σ/2 。
③90°纵向截面上剪应力,正应力都为零。
第一节 轴向拉伸和压缩的概念
1.受力特点：外力或其合力的作用线与杆轴线
重合。
F
2.变形特点： 轴向伸长或轴向缩短
轴向拉伸和压缩 F
F 拉杆
FF
F
压杆
工程实例-桁架
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第二节 内力、截面法、轴力及轴力图
1.轴力、截面法(method of (s1e)轴c力tiFoN：ns杆)件发生轴向拉压时横截面上的内力。
p 切应力为正，反之为负。
4.应力特征 ：
（1）必须明确截面及点的位置。
（2）是矢量。
（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕) 1MPa=106Pa
第9页/共79页
第三节 横截面及斜截面上的应力
轴向拉伸与压缩的概念
定义
在刚体内任取一直线，在运动过程中，这条 直线始终与它的最初位置平行。
平动刚体上各点的运动轨迹
z
A
rA
B
rB
o
vA
A1
aA
rA
2
vB
aB
rB B1
2
y
x
平动刚体上所有各点的运动轨迹、运动速度、 运动加速度皆相同
§7-2 刚体绕定轴的转动
7-3
vc
vB
O2 B 2
O2 B
z1 z2
1
O2 B
z2 z1
2n1
60
9.94
7-6
1
2n
60
20
2d 1r
2
1r
d
20 50
100 5t
1000
100 5t
2
5000
r2
2
2
d2
dt
1r(5)
d2
5000
b
杆作定轴转动,板做平动
O1 A E
O2
vA vC L
O
ac aA L
B
acn aAn L2
a
C
aC L2 2L 2
b
D
L 2 4
注意刚体运动与刚体上点的运动的区别
杆OA和O1B用十字形滑块D连接在一起，已知OO1＝ 6mm，杆OA作匀速转动，其角速度ω＝2rad/s。求杆
d2
d r
an r 2
a r
a r 4 2
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= 0.0024mm
4
BC: N2 = −P
Δl2
=
N2l2 EA
=
− Pl2 EA
(实际缩短)
Δl AC = Δl1 + Δl2 = 0
∑ 因此 Δl = Nili Ei Ai
例：求B点的位
移 δB
解：N (x) = qx = W x
l
N max = W
σ max
=W A
A
q=W
ll
B
NW
EA
N (x)+ qdx
dx x
N (x)
微段dx 的伸长Δdx = N (x)dx
EA
∫ ∫ ∫ Δl =
l
Δdx =
l N (x)dx =
l Wx dx =
Wl
0
0 EA
0 lEA
2EA
δ B = Δl(↓)
§12.2 材料的力学性能
由轴向拉压试件测得： P
P
P
l
Δl
由 σ = N = P ε = Δl
P
σ 45o
=σ
2
τ 45o
=τα max
=σ
2
σα
α
qα
τα
α
qα
三、圣维南原理
现考虑端面外 P
P
力不同作用方
式的影响问题
，如图
P
P
“不同分布的加载方式，只要静力等 效，则在载荷作用区域略远处，作 用效果相同”称为圣维南原理。
例：内有一小孔 的板，板小孔内 作用有均匀压力
四、拉压杆的变形
求：许可载荷[P]
C
解：⑴内力
∑ Fx = 0 N 2 + N1 cos 45o = 0
(1)
45o
B
(2)
P
∑ Fy = 0 N1 sin 45o − P = 0
N1 = 2P(拉) N2 = −P(压)
⑵求 [P]
AB杆：
N1 A1
极限应力与安全系数的比称为许用应
力 [σ ]=Δ σ u
u
塑性材料 [σ] = σs ns
脆性材料 [σ ] = σ b nb
强度条件工作应力不超过材料的 许用应力 σ = N ≤ [σ ]
A
例：已知 A1 = 100mm2
A
A2 = 50mm2 [σ ]T = 100MPa
[σ ]c = 200MPa
b
2ε
−b2
y dy
=
−ν
σ
E
b
=
ε
yb
或
εy
=
Δb b
例 P = 4KN d = 10mm
E = 210GPa
P
2P
P
l1 = l2 = 100mm
求 ΔlAC
解：轴力图
A
l1
B l2
C
d
P
N
AB: N1 = P
P
Δl1
=
N1l1 EA
=
Pl1 (伸长) = EA
4×103 ×102
210×103 × π ×102
3、强化阶段ce’
材料恢复抵抗变形的能力称为强化 强度极限 σ b
4、局部变形阶段ef 变形集中于某一局部范围颈缩断裂
(二)主要力学性能指标 1、强度指标: σ s 应力达到σ s 材料出现显著变形 σ b 应力达到 σ b 材料出现断裂
2、σ ≤ σ P σ = Eε E = tgα
3、塑性指标,拉断 l → l1塑性变 形为 Δl1 = l1 − l
伸长率
δ
=
Δl1 l
×100%
= ε1 ×100%
δ ≥ 5% 为塑性材料如低碳钢、铝、
铜
δ < 5% 为脆性材料如铸铁、高碳
钢、岩石、玻璃
截面收缩率 ϕ = A − A1 100%
A
(三)卸载现象及冷作硬化
当 σ > σ P后卸载 ε = ε e + ε P
ε P ——塑性应变
Δσ Δε
=E
= tgα 卸载后再加载 σ ′P
1、纵向变形
b
P
εx
=
σ
E
σ=N
A
l
Δx 的伸长量为 ε xΔx
拉压杆总的伸长量Δ（l 纵向）
y
P
x
∫ Δl =
l 0
ε
x dx
=
ε
xl
或
εx
=
Δl l
因此 Δl = Nl
EA
EA ——抗拉压刚度
2、横向变形
εy
=
−ν
σ
E
Δy 的“伸长量”为 ε y Δy
拉压杆横向的“伸长量”
∫ Δb =
AA
l
σ − ε曲线 σ
ε
低碳钢拉伸实验
理想塑性曲线
一、低碳钢拉伸时的力学性能
（一）四个阶段
σ
e
d
σs
c
σe
1、弹性阶段ab σ p
b c′
a
f
σb
oa段比例极限 σ P
ab段弹性极限 σ e
α
α
O
d′
ε1 α
g
f′
ε
2、屈服阶段cc’
cc’应力不断增加变形不断增加称为屈服 ，该段的最低应力称为屈服应力σ s ，在 材料屈服后若卸载出现不能恢复的变形 称为塑性变形。
σ σs
εs
2、线性强化材料
σ σs E
εs
ε
E′ ε
3、刚塑性材料
σ σ
σs
σs
ε
ε
4、强化材料，加载 σ = cε n
σ
ε
§12.3 许用应力及拉压杆的强度计算 当构件已不能正常使用时，如断裂或 变形过大称为失效
失效时对应的应力称为极限应力 σ u
塑性材料 σ u = σ s
脆性材料 σ u = σ b
在拉压杆的表面上
刻划纵线和与之垂 P
直的横线形成均匀
的小方格
P
P
σ
N
拉伸内力与应力
拉压杆横截面上只有正应力，且均匀 分布（各处变形相同）各单元体处于 单向应力状态（根据边侧单元）
设杆的横截面为A 则 σA = N 或 σ = N A
x
q
对于横截面直杆
P
σ
(x)
=
N(x) A(x)
(当杆的截面变化不是很剧烈时)
σ
σb
α
ε
低碳钢压缩实验
四、材料压缩时的力学性能
1、低碳钢(塑性材料类似)
可用拉伸曲线代替压缩曲线
σ
压
P
拉
ε
铸铁压缩实验
2、铸铁(脆性材料类似) σ bc 远大于σ bT（约3-4倍）
断口与轴线成45度试件沿τmax 面错动剪
断
σ
P
σ bc
45o
σ bT
ε
五、简化的应力——应变曲线
1、理想弹塑性材料
二、拉压杆斜截面上的应力
对于斜截面上的应力
m
P
α
σα
=
σ
2
+
σ
2
cos2α
=σ
cos2 α
τα
=
σ
2
sin2α
=σ
sinα cosα
qα =
σα2
+ τ α2
= σ cosα
=
N cosα
A
=
α
N A
cosα
n
α
P
m
n
α
σ
当 α = 0 （横截面）
P
σα =σαmax =σ
τα = 0
当 α = 45o
= σα
>σP
原点移至d’点 ε1′ < ε1
塑性指标下降称为冷作硬化。
二、其他塑性材料拉伸时的力学性能
σ s = σ 0.2
σ
称为名义屈服应力
σ 6.2
ε
0.2%
其他拉伸曲线
铸 铁 拉 伸实 验
三、铸铁拉伸时的力学性能
由于σ − ε 曲线曲率很小，工程上
以割线代替曲线 E = tgα σ = E §12.3 §12.4 §12.5 §12.6
拉压杆的应力和变形 材料的力学性能 许用应力及拉压杆的强度计算 应力集中的概念 桁架的位移 连接杆件的工程实用计算
§12.1 拉压杆的应力和变形 一、拉压杆横截面上的应力 *静不定问题*