毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
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10-4高斯定理和环路定理
B
o
R
B d l 0 I
l
dl
l
二、安培环路定理
1. 安培环路定理的表述
B dl 0 ?
l
表述: 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一
闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所 包围的各电流的代数和. 表达式: 注意 电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋时， 为正；反之为负.
定理表达式中B是闭合积分环路上各点的
总磁感应强度,是由空间所有电流共同激发的
L
闭合环路不包围的电流对 B dl 没有贡献
该定理可用于求解对称性磁场的B分布
与静电场的高斯定理的应用相似
B dl 0 说明磁场不是保守场,而是非保守场,也叫涡旋场
L
定理只适用于稳恒电流的磁场
对称性分析 选择合适的高斯面 根据定理求解
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析；
一个重要结论: 若 Idl1 和 Idl2 关于某个面为镜象对称,则 此对对称电流元在该面上产生的合磁场 必与该面垂直
2. 选取合适的闭合积分路径和积分回路的绕向
过场点 积分路径上各点B大小相等, B//dl 规则曲线
m2 （2）计算 单位：韦伯(wb) 1Wb=1T·
a . dS垂 直B
b. dS跟B成角
d m B dS
d m B cosdS
c. 通过任一曲面的 磁通量
B dS
m B dS
S
B
dS dS n 源自B例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量.
《大学物理》第八章 毕萨定律S
”
. 例Id载ly任流意2长一r直解点导：P根线的取据，磁任毕其其感意—电在应电萨流P强流点定强度元产理度BI生d为l的I?，磁试场d计为B 算方：导向线为旁Idl r
ol
ro
P
dB
各电流元产生的
o Idlsin 4dB 方r向2 垂直纸面向里。
I
1
B dB
B
ab
dr
其中B adbr、0cd与B板 d面r 等 距B离 d。0r
bc
cd
da
B
c
Bab Bcd 2Bab
而 o Ii o j ab
B
1 2
o
j
. . . . 与P点到平板的距离无关。
dl
dl
aB
b
B
1 2
o
j
与P点到平板的距离无关。
)
0m 2x3
r
B
xP
2)
在圆心处（x=0）：
B
0 I
2R
（磁偶极子的场）
如考虑一段“圆弧形”载流线在圆心的磁场贡
献：
B 0I 2R 2
圆弧对圆心 所张的角
例 一直螺线管轴线上的磁场 B ?
已知：导线通有电流I，单位长度
B
2
oI R2
(
x2
R2
)
3 2
I
若令L 积分B回 d路r LL的L 绕B向dl 相反：0 若积分回L 路不包围电流I ： B
I
dr
0
L
B
r
I
L
L
几点注意事项：
恒定磁场
三、恒定磁场电流或运动电荷在空间产生磁场。
不随时间变化的磁场称恒定磁场。
它是恒定电流周围空间中存在的一种特殊形态的物质。
磁场的基本特征是对置于其中的电流有力的作用。
永久磁铁的磁场也是恒定磁场。
1、磁通密度与毕奥－萨伐尔定律磁通密度是表示磁场的基本物理量之一，又称磁感应强度，符号为B。
电流元受到的安培力 B l d I f d⨯''=毕奥——萨伐尔定律 ⎰⨯=l r r l Id B 2004 πμ对于粗导线，可将导线划分为许多体积元dV 。
⎰⎰⎰⨯=Vrr dV J B 24 πμ 2、磁通连续性定理磁场可以用磁力线描述。
若认为磁场是由电流产生的，按照毕奥－萨伐尔定律，磁力线都是闭合曲线。
磁场中的高斯定理 0d =⋅⎰⎰SS B式中，S 为任一闭合面，即穿出任一闭合面的磁通代数和为零。
应用高斯散度定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅VSdV B S B d0＝⎰⎰⎰⋅∇VdV B由于V 是任意的，故 0＝B⋅∇式中⋅∇为散度算符。
这是磁场的基本性质之一，称为无散性。
磁场是无源场。
3、磁场中的媒质磁场对其中的磁媒质产生磁化作用，即在磁场的作用下磁媒质中出现分子电流。
总的磁场由自由电流与分子电流共同产生。
永磁铁本身有自发的磁化，因而不需要外界自由电流也能产生磁场。
磁媒质的磁化程度用磁化强度M来表征，它是单位体积内的磁偶极矩。
磁偶极矩：环形电流所围面积与该电流的乘机为磁偶极矩，其方向与电流环绕方向符合右螺旋关系。
n IS P m =磁场强度 M B H-=0μ 或 )(0M H B +=μ本构方程 由m H M χ=可得 H B μ＝，该式称为磁媒质的成分方程或本构方程。
磁媒质的分类：r m μμχμμ00)1(=+=，顺磁质 1>r μ，抗磁质 1<r μ，铁磁质1>>r μ。
4、安培环路定律磁场强度H沿闭合回路的积分，等于穿过该回路所限定的面上的自由电流。
回路的方向与电流的正向按右螺旋规则选定。
大学物理7-2磁场的源
q
+
r
v
B
q
r
v
B
例4 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度为 ，并 以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求圆盘 中心的磁感应强度。
解法一 ：圆电流的磁场
dq 2 rdr dI rdr T 2 / dB
R o r
0 dI
2r
0
2
dr
7.2
magnetic field and magnetic induction
磁力——电流和磁体之间的相互作用。 (1) 磁铁与磁铁之间的相互作用力 磁铁
同极相斥 异极相吸
注意：如果把一条磁铁折成数段，不论段数 多少或各段的长短如何，每一小段仍将形成 一个很小的磁铁，仍具有N、S两极，即 N 极与 S 极相互依存而不可分离。但是，正电 荷或负电荷却可以独立存在，这是磁现象和 电现象的基本区别。
(1) 将电流分解为无数个电流元 Idl (2) 由电流元求dB (据毕—萨定律)
(3) 将 dB 在坐标系中分解，并用磁场叠加原理做对称 性分析，以简化计算步骤 (4) 对 dB 积分求 B = dB
Bx dBx , B y dB y , Bz dBz
L L L
矢量合成： B B i B j B k x y z
2
x
C
o
0 I B （cos 1 cos 2 ） 4 r
方向：电流与磁感强度成 右手螺旋定则 注意：从直电流始端沿电 流方向积分到末端。 ◆ 无限长载流长直导线 的磁场
z
D
2
B
I
o
x
C
r
7-2 磁感强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场的高斯定理
B的 定 义
F 0
+ *
带电粒子在磁场中运动所受的力与运动方向有关 .
y
v
o
P
v
S N
z
x
在磁场中，小磁针的北极指 向一个特定的方向。实验发现带 电粒子在磁场中某点P 沿此特定 方向（或其反方向）运动时不受 力。
7-2 磁感强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场的高斯定 理 S N 带电粒子在磁场中沿 其他方向运动时，其受力 垂直于 v 与该特定方向 所组成的平面.
2 2
1）若线圈有 N 匝
B
（ 2 x R ）2 2 N 0 IR
2
3
3
7-2 磁感强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场的高斯定 理 磁矩
m ISen
I
例2 中圆电流磁感强度 公式也可写成
S
en
m
0 IS B 3 2 x 0 m B e 3 n 2π x
0m B 3 2π x
7-2 磁感强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场的高斯定 理 本节练习
1. 因为受力方向与运动方向有关 2.略 3. 均匀磁场磁感应线为分布均匀的平行直线，非均匀 磁场磁感应线为分布不均匀的曲线。
7-2 磁感强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场的高斯定 理
作业 习题 7-2
dB
0 Idl
4π R
2
sin 45
7-2 磁感强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场的高斯定 理 毕奥---萨伐尔定律应用举例 dB 方向均沿 x 轴的负方向 例1 载流长直导线的磁场.
z
D
解 dB
0 Idz sin
4π r
2
dz
I
z
毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
0 Idz sin B dB 4 r2
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
7-5 磁通量 磁场的高斯定律7-6 安培环路定理
L
I1 I1
L
I2 I 3 I1
= −µ0 I1 + I2） （
问
v 1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 外电流有关？ ） v v v 2）若 ∫ B ⋅ d l = 0 ，是否回路 L上各处 B = 0？ ） L 内无电流穿过？ 是否回路 L 内无电流穿过？
3、说明 、
•符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关系的 I为正，否 符号规定：电流方向与 的环绕方向服从右手关系的 为正 为正， 符号规定 则为负。 则为负。 •安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立 •B的环流与电流分布有关，但路径上B仍是闭合路径内外电流的 的环流与电流分布有关，但路径上 仍是闭合路径内外电流的 的环流与电流分布有关 合贡献。 合贡献。 •物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。 物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。 物理意义
l MN
B ⋅ MN = µ 0 n MN I
B = µ 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零. 为零
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）
I
1)r > R
2π rB = µ0 I
v v ∫ B ⋅ d l = µ0 I
l
R R
L
r
2π r 2 v v πr 2)0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR 2 µ0r µ0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π R
二、磁通量
1、磁通量定义： 、磁通量定义：
通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目， 通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目， 定义为磁通量， 表示。 定义为磁通量，用Ф表示。 表示
I1 I1
L
I2 I 3 I1
= −µ0 I1 + I2） （
问
v 1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 外电流有关？ ） v v v 2）若 ∫ B ⋅ d l = 0 ，是否回路 L上各处 B = 0？ ） L 内无电流穿过？ 是否回路 L 内无电流穿过？
3、说明 、
•符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关系的 I为正，否 符号规定：电流方向与 的环绕方向服从右手关系的 为正 为正， 符号规定 则为负。 则为负。 •安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立 •B的环流与电流分布有关，但路径上B仍是闭合路径内外电流的 的环流与电流分布有关，但路径上 仍是闭合路径内外电流的 的环流与电流分布有关 合贡献。 合贡献。 •物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。 物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。 物理意义
l MN
B ⋅ MN = µ 0 n MN I
B = µ 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零. 为零
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）
I
1)r > R
2π rB = µ0 I
v v ∫ B ⋅ d l = µ0 I
l
R R
L
r
2π r 2 v v πr 2)0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR 2 µ0r µ0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π R
二、磁通量
1、磁通量定义： 、磁通量定义：
通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目， 通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目， 定义为磁通量， 表示。 定义为磁通量，用Ф表示。 表示
12-1 毕萨定律 磁场高斯 安培环路
l r0ctg
0 I B 4r0
r0 d dl 2 sin
r0 r sin
2
1
0 I (cos1 cos 2 ) sind 4r0
1
r0
+p
0 I 讨论： B 4r (cos 1 cos 2 ) 0
2
⑴ 无限长载流长直导线的磁场
en
m
m
en
I
S
注意：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距圆 电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子。
3、 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
R
o * p
I
一、磁场线
磁场线的特征： 1）无头无尾的闭合曲线
2）与电流相互套合，服从右手螺旋定则 3）磁场线不相交
二 磁通量
磁场的高斯定理
1.磁场线的密度规定：
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上通过 的磁场线数目等于该点 B 的数值.
S B
N B S
n
2.磁通量（） 通过磁场中某一曲面的磁场线数。 均匀磁场的磁通量：
1 n SE dS o qi — 有源场 电场线不闭合 i 1 B dS 0 — 无源场 磁感应线闭合
S
6.单位：B的单位—特斯拉（Ｔ）
的单位—韦伯（Ｗｂ） 1Wb 1T 1m
2
例1. 如图载流长直导线的电流为I ,试求通过矩 形面积的磁通量. 解:
q
r
v
B
例题：设半径为R的带电薄圆盘的电荷面密度为 ， 并以角速率绕通过盘心垂直盘面的轴转动，求圆盘中 心处的磁感强度。 解： dq 2 rdr 0 dq v r0 r R dB 4 r2 o r R dr dr 0 R 0 B dB 0 2 2 2 方向：垂直于板面向外。 T
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磁通量
磁场的高斯定理
(1)磁通量 的定义和计算 磁感应强度方向的定义
（2）磁场高斯定理的理解
第七章 恒定磁场
31
物理学
第五版
条形磁铁周围的磁感应线
规定：磁铁的北级（N)所指方向为磁场方 向
第七章 恒定磁场
32
物理学
第五版
北级（N)指 向磁场方向
第七章 恒定磁场
33
物理学
第五版
直线电流的磁感应线
R
O*
dx
x
第七章 恒定磁场
x
18
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
2
x Rcot
dx R csc d
B dB
2
0 nI
2
2 2
R
x1
x2
R 2dx
2
x
2 3/ 2
R x R csc
2
R
x1
1 O*
x R
I S
en
m
m
en
I S
说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距圆电 流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子. 2013-7-5 16
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
例3 载流直螺线管内部的磁场. 如图所示，有一长为l ，半径为R的载 流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N， 通有电流I. 设把螺线管放在真空中，求管 内轴线上一点处的磁感强度.
1 8
×
2
×3
7
Idl
R
6
×
4
0 Idl r dB 4 π r3
5
1、5点 ：dB 0 0 Idl 3、7点 ：dB 4 π R2 2、4、6、8 点 ： 0 Idl dB sin 45 0 4 π R2 毕奥－萨伐尔定律
[例2] 直电流的磁场。
dB B dB
2
x2 x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
第七章 恒定磁场
19
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
B
0 nI
2
2
1
2
1
R 3csc2 d 3 3 R csc d
0 nI 2
sin d
R
x1
1 O*
2
x2 x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
q
r
v
B
27
第七章 恒定磁场
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
R
o
例4 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷 面密度为 ，并以角 速度 绕通过盘心垂 直于盘面的轴转动， 求圆盘中心的磁感强 度.
第七章 恒定磁场
28
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
圆电流的磁场 dI 2 π rdr rdr 2π R 0 dI 0 dB dr o 2r 2 r 0 R 0 R dr B 0 dr 2 2 0, B 向内 0, B 向外
7-4
重点：
毕奥-萨伐尔定律
（1）毕奥---沙伐尔定律 0 Idl r dB 3 4 r
0 Idl sin dB 4 r2
B dB
物理学
第五版
（2）载流直导线的磁场: 0 I B (cos 1 cos 2 ) 4a
7-4
毕奥-萨伐尔定律
第七章 恒定磁场
21
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
B 0 nI cos 2
若 l R
0 nI
2
l
l
2
/4 R
2 1/ 2
B 0nI
R
1 * P
2
x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
第七章 恒定磁场
22
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
0 nI cos 2 cos 1 或由 B 2
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
0 I
O
R
15
3. 磁偶极矩(magnetic dipole moment)
m ISen
0 IR 2 B i 3 2x 0 I R 2 0 ISi 0m B i 3 3 3 2 x 2 x 2 x
圆电流磁感强度公式在 时可写成
I
磁感应线为一组环 绕电流的闭合曲线。
第七章 恒定磁场
34
物理学
第五版
7-5 磁通量
磁场的高斯定理
Bb Bc
1. 磁力线（磁感应线）
磁感应强度方向：切线
磁感应线上任一点的切线方向都与 该点的磁感应强度的方向一致。
Ba a
b
c
B
dN m 磁感应强度大小：B dS
垂直通过单位面积的磁感应线条数等于 该处磁感应强度B 的大小。 第七章 恒定磁场
第七章 恒定磁场
29
解法一
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
解法二
运动电荷的磁场
dB0
0 dqv
4 π r2
R o r
dq 2 π rdr
v r
dr
B
dB
0
2
dr
0
2
R
0
dr
0 R
2
30
第七章 恒定磁场
物理学
第五版
本章目录
7-5
重点:
第七章 恒定磁场
20
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
0 nI cos 2 cos 1 B 讨 论 2 （1）P点位于管内轴线中点 1 π 2
cos1 cos2
cos 2 l/2
l / 2
2
R
2
R
1 * P
2
x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
0 I 无限长载流直导线: B 2a
直导线延长线上: （3）载流圆环 载流圆弧
B0
B
0 I
2R 0 I B 2 R 2
B
R
I
2
第七章 恒定磁场
物理学
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
B 0 nI
（4）无限长直螺线管内部的磁场
第七章 恒定磁场
3
物理学
第五版
7-4
z
D
B
（cos 1 cos 2） 4 π r0
B
0 I
2
B
I
1 0 2 π
0 I
2 π r0
o
x
C
1
π 1 2 2 π
P y
+
2.半无限长载流直导线
3.直导线延长线上
B0
0 I B 4 r
0
1 π π 2 2
无限长载流长直导线的磁场
B
0 IR 2
2z 3
B
2. z 0 B ?
载流圆环
B
0 I
2R
圆心角 2
I 圆心角
载流圆弧
B
0 I B 2 R 2 4R
2013-7-5
0 I
I
13
小结：
利用毕奥—萨伐尔定律求解任意形状的载流
导线所产生的磁场的注意事项：
分析任意电流元产生磁场的方向是否一致
j
S
Id l
这段导体内的 运动电荷数为
dN nS dl
第七章 恒定磁场
dl
26
物理学
第五版
dN nSdl 个电荷产生 dB ，则
一个运动电荷的磁场 d B 0 qv r B d N 4 π r3 适用条件 v c
7-4
毕奥-萨伐尔定律
q
+
v r ×B
第五版
7-4
毕奥-萨伐尔定律
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度 叠加原理 B dB
dB
r
Idl
0 I dl r 4 π r3
dB
P*
I
Idl
r
第七章 恒定磁场
5
二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
例1. 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
0 B 4
z
D
2
1
2
I sin r 0d 2 2 r 0 sin 2 sin
2
dz
I
z1ຫໍສະໝຸດ rr0 dB
* y P
0 I sind 4r 0
1
x
C
o
0 I (cos 1 cos 2 ) 4r 0
重点：θ1，θ2的确定！
1.无限长载流长直导线的磁场。