4-3圆周运动
人教版高一物理必修二第二学期6.1圆周运动
B．有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向变化的力的作用
C．有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用
D．有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向始终和速度垂直
的合力作用
任务探究五
6.如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂
直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 (
与半径______。
垂直
（6）匀速圆周运动：若物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处
相等。
匀速圆周运动中的“匀速”指速度不变吗？
v
可见：尽管做匀速圆周运动的物体在各
个时刻的线速度大小相等，但线速度的
方向是不断变化的
v
速率不变
v
匀速圆周运动是变速运动！
二、角速度
任务探究二
（1）物理意义：
描述质点绕圆心转动的快慢
, = = 2
任务探究四
1、思考判断
（1）做圆周运动的物体，起线速度的方向是不变化的。
（2）线速度越大，角速度一定越大。
（3）转速越大，周期一定越大。
（4）做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。
（5）座匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。
（6）匀速圆周运动是一种匀速运动。
1）同一传动装置各轮边缘的线速度相等。
2）同轴转动轮上各点的角速度相等。
任务探究五
1、做匀速圆周运动的物体，10s 内沿半径是20m的圆周运
动
了100m。试求物体做圆周运动的
（1） 线速度大小； ∆
（2）角速度
（3）周期
100
解（1） 线速度 = =
第4章 第3讲 圆周运动—2021届高中物理一轮复习讲义(机构)
第四章曲线运动第3讲圆周运动【教学目标】1、理解线速度、角速度和周期的概念；2、理解向心加速度和向心力以及和各物理量间的关系；3、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题，并能灵活解决圆周运动中的有关临界问题4、知道离心现象及发生离心现象的条件。
【重、难点】1、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题；2、临界问题【知识梳理】1（1）匀速圆周运动是匀变速曲线运动．（）（2）物体做匀速圆周运动时，其角速度是不变的．（）（3）物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的．（）（4）匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比．（）（5）做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比．( )（6）比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度．（）（7）匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因．（）（8）做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力．（）（9）做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力时，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用．（）（10）做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出．（）（11）做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向飞出．（）（12）摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故．（）（13）在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯．（）（14）火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大．（）（15）飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态．（）典例精析考点一描述圆周运动的物理量1．圆周运动各物理量间的关系及其理解2．常见的三种传动方式及特点（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即23v A ＝v B 。
（2）摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即 v A ＝v B 。
圆周运动
∆t
∆S
4、单 位：m/s
当Δt 趋近零时,弧长ΔS 就等于物体的位移,式中 的v ,就是直线运动中学 过的瞬时速度.
5、方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上 该点的切线方向。
匀速圆周运动
任意相等时间内 通过的圆弧长度 相等
任取两段相等的时 间，比较圆弧长度
v
可见：尽管做匀速圆 周运动的物体在各个 时刻的线速度大小相 等，但线速度的方向 是不断变化的
A
B
A、B、C三点的线速度大小相等
两个重要的结论
1、传动装置线速度的关系
a、皮带传动－线速度相等
b、齿轮传动－线速度相等
同一传动各轮边缘上线速度相等
共轴转动问题
两红点处转动角速度有什么关系？
2、同轴转动轮上各点的角速度关系
C A B
同轴转动轮上各点的角速度相等
对自行车三轮转动的描述
(1)A、B的线速度相同 (2)B、C的角速度相同 C B A (3)B比A角速度大 (4)C比B线速度大
问题研究：P16.4
如何估算你骑自行车的正常速度
(1)要测量哪些物理量？ C B A (2)写出自行车正常 行驶的速度与测 量量之间的关系 (3)估算正常行驶的速度
思 考
地球上的物体随着地球一起饶地轴自转。地球 上不同纬度的物体的周期一样吗?角速度一样 吗?线速度大小一样吗?
O' O R' O' R'
• 3.关于地面上的物体，由于地球自转，其角 速度、线速度的大小，以下说法正确的是 （ A ） • A.在赤道上的物体线速度最大 • B.在两极上的物体线速度最大 • C.在赤道上的物体角速度最大 • D.广州和北京的角速度不相等
第2讲：圆周运动的四个结论
n
v 2πnr t
如图：质点做半径为2m的匀速圆周运动， 周期为4s
求：质点的线速度？
•
o
第一步：写已知量 已知：r=2m，T=4s。求：v=? 第二步：默写线速度的三大公式
v s t
v 2r v r
T
第三步：选择公式 选哪个式子呢？很明显选
v
2r
大圆半径是小圆半径的2倍，通过皮带传动。 则 TA :TB ___
A·
·B
第一步：默写与周期有关的公式
T 2
T 2r
v
第二步：选公式
问：选哪一个式子判断好些？ 答：因为边缘v相等，所以选 T 2r
v
第三步：求周期之比
根据 T 2r 知：因为边缘v相等，所以T
同轴转动时，角速度相等 A B C
问：地球上各位置一天的时间都是24h吗？ 答：是的，T 24h 243600s 因为地球上的各位置都绕地轴旋转，属于
同轴转动。你绕地轴转一圈，我也绕地轴 转一圈。所以时间是最公平的。
问：为什么人站在地球上，感受不到地球 的自转？
则：A : B ___
A·
·B
问：A、B的线速度是否相等？ 答：相等。因为皮带传动时，边缘的线速
度相等。
问：A、B的角速度可相等？ 答：因为线速度v相等，因为半径r不相等 ，
所以角速度ω不相等。
问：大圆的角速度大些还是小些？
答：小些。
根据v r知：半径r越大，角速度ω越小 所以 A : B 1: 2
一圈，所以周期相等。
问：为什么圆盘上各点的角速度 ω相等？ 答： 因为周期相等，根据ω=2π/T知：角
高一物理必修二第6章4生活中的圆周运动PPT课件
【答案】是
绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员及所有物体均处于完全 失重状态吗？
离心运动
1．定义 原来做圆周运动的物体沿切线方向飞出或做逐渐_远__离__圆__心_的运动． 2．原因 向心力突然消失或外力不足以提供所需__向__心__力____.
做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向 飞出吗？
【答案】10 3 m/s
【解析】如图所示，由受力分析可知，汽
车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，此时车
对桥面压力最大．
由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力 FN1＝3.0×105 N，
根据牛顿第二定律有
FN1
－
mg
＝
m
v2 r
，
即
v＝
FmN1－gr ＝
32..00××110054－10×60 m/s＝10 3 m/s< gr＝10 6 m/s( gr为临界条
件)，故在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为 10 3 m/s.
变式2 公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥时的运动可以看作匀
速圆周运动，如图所示，汽车通过桥的最高点时
()
A．车对桥的压力等于汽车的重力
B．车的速度越大，车对桥面的压力越小
C．车的速度越大，车对桥面的压力越大
D．如果车在最高点速度大到使汽车对地面的压力为零，则此时驾
【答案】(1)当汽车行驶到凸形桥的桥顶时，重力与支持力的合力提 供向心力，即 mg－FN＝mvR2；此时车对桥面的压力 FN′＝mg－mvR2； 即车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态．
(2)由 FN′＝mg－mvR2可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的 压力减小；当汽车对桥面的压力为零时，汽车的重力提供向心力，此时 汽车的速度达到最大，由 mg＝mvR2max，得 vmax＝ gR；如果汽车的速度 v> gR，汽车将离开桥面．
圆周运动角位移计算公式
圆周运动角位移计算公式圆周运动公式有v=ωr、v=l/t=2πr/T=ωr=2πrf=2πnr、ω=θ/t=2π/T=2πf、T=2πr/v=2π/ω、Fn）=mrω²=mv²/r=mr4π²/T²=mr4π²f²、an=rω²=v ²/r=r4π²/T²=r4π²n²。
主要公式线速度v=ωr求线速度，除了可以用,也可推导出v=2πr/T（注：T为周期）=ωr=2πrn（注：n代表转速，n与T可以互相转换，公式为T=1/n），π代表圆周率同样的,求角速度可以用ω=弧度/t=2π/T=v/r=2πn其中S为弧长，r指半径，V为线速度，a为加速度，T为周期，ω为角速度（单位：rad/s）。
匀速相关公式1、v(线速度)=l/t=2πr/T=ωr=2πrf=2πnr(l代表弧长，t代表时间，r代表半径，n为频率，ω为角速度)2、ω(角速度)=θ/t=2π/T=2πf（θ表示角度或者弧度）3、T（周期）=2πr/v=2π/ω4、f（频率）=1/T6、Fn（向心力）=mrω²=mv²/r=mr4π²/T²=mr4π²f²7、an（向心加速度）=rω²=v²/r=r4π²/T²=r4π²n²8、绳子拉球过顶点时重力充当向心力，即mg=mv²/r,因此最小速度为v=（gr）½9、Jmax(功最大值）=Fn×πr杆拉球时，v过顶点的最小速度为01、v（线速度）=ΔS/Δt=2πr/T=ωr=2πrn(S代表弧长，t代表时间，r代表半径,n代表转速)2、ω（角速度）=Δθ/Δt=2π/T=2πn（θ表示角度或者弧度）3、T（周期）=2πr/v=2π/ω=1/n4、n（转速）=1/T=v/2πr=ω/2π5、Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2n^26、an（向心加速度）=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^27、vmin=√gr（过最高点时的条件）8、fmin(过最高点时的对杆的压力)=mg-√gr（有杆支撑）9、fmax(过最低点时的对杆的拉力)=mg+√gr（有杆）1.线速度V=s/t=2. 2.角速度a;=;/t=;/T=3.向心加速度a=V2/r=2r4.向心力F=mV2/r=m2r=mr(2=v=F 合5.周期与频率：T=1/f 6.角速度与线速度的关系：V=ωr 7.角速度与转速的关系ω=2πn(此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m);角度(Φ)：弧度(rad);频率(f)：赫(Hz);周期(T)：秒(s);转速(n)：r/s; 半径(r):米(m);线速度(V)：m/s;角速度(ω)：rad/s; 向心加速度：m/s2。
2021学年高一下学期物理人教版(教材)必修第二册PPT-第六章第1节圆周运动
2．角速度 (1)定义：连接物体和圆心的半径转过的_角__度__与转过这一 _角__度__所用_时__间__之比。 (2)定义式：ω＝ΔΔθt 。 (3)单位：弧度每秒，符号是_r_a_d_/s_或_r_a_d_·s_－_1_。 (4)匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度_不__变__ 的圆周运动。
C．它们的线速度大小都是相同的
D．它们的角速度是不同的
解析：如图所示，地球绕地轴转动时，地 球上各点的运动周期及角速度都是相同 的。地球表面上的物体，随地球做圆周运 动的平面是物体所在纬线平面，其圆心分 布在整条自转轴上，不同纬线上的物体做圆周运动的半 径是不同的，只有同一纬线上的物体转动半径相等，线 速度的大小才相等。即使物体的线速度大小相同，方向 也可能各不相同。故 A 正确，B、C、D 错误。 答案：A
2．各物理量之间的关系
[例 1] 某兴趣小组走访了当地的某品牌汽车 4S 店后得知：汽
车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等
于车轮的周长，该品牌轿车的车轮半径约为 30 cm。当该型号轿车
在高速公路上行驶时，驾驶员前面的速率计的指针指在“120 km/h”圆周运动中，线速度的大小等于角速度
的大小与半径的_乘__积__。 2．关系式：v＝_ω_r_。
[试小题]
1．判断正误。
(1)角速度大时，线速度一定大。
(×)
(2)周期相同时，角速度一定相同。
(√)
(3)线速度相同时，半径越大的角速度一定越小。 ( √ )
(4)周期相同时，半径越大的角速度一定越大。 ( × )
二、线速度与角速度的关系 [微探究] 打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示
自己的球技。如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转， 那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
第六章-圆周运动章末复习-知识点和题型总结-2023年高一物理期末高效复习专题
第六章：圆周运动章末复习知识点一：匀速圆周运动及其描述一、匀速圆周运动1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期1．线速度(1)定义式：v＝Δs Δt.如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度．此时Δs的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向．(2)线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．2．角速度：半径转过的角度Δφ与所用时间Δt的比值，即ω＝ΔφΔt(如图所示)．国际单位是弧度每秒，符号是rad/s.3．转速与周期(1)转速n：做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数，常用符号n表示．(2)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用符号T 表示．(3)转速与周期的关系：若转速的单位是转每秒(r/s)，则转速与周期的关系为T＝1n .4．匀速圆周运动的特点(1)线速度的大小处处相等．(2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度三、描述圆周运动的各物理量之间的关系1．线速度与周期的关系：v＝2πr T.2．角速度与周期的关系：ω＝2πT.3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.知识点二、同轴转动和皮带传动1．同轴转动(1)角速度(周期)的关系：ωA＝ωB，T A＝T B.(2)线速度的关系：vAvB＝rR.2．皮带(齿轮)传动(1)线速度的关系：v A＝v B(2)角速度(周期)的关系：ωAωB＝rR、TATB＝Rr.知识点三、向心力1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．2．大小：F＝mω2r＝m v2 r.3．方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．4．效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．二：向心力的来源物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．几种常见的实例如下：实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F向＝F T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝F f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合知识点四：向心加速度的方向及意义1．物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．二：向心加速度的公式和应用1．公式a n ＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．向心加速度的大小与半径的关系(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．(4)a n与r的关系图象：如图552所示．由a nr图象可以看出：a n与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．图552知识点五：生活在的圆周运动一：火车转弯问题1．轨道分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．图5732．向心力分析如图573所示，火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mg tan θ.3．规定速度分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mg tan θ＝m v 2 0R，可得v0＝gR tan θ(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．4．轨道压力分析(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用．(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．②当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力．二：拱形桥汽车过凸形桥(最高点)汽车过凹形桥(最低点) 受力分析牛顿第二定律求向心力 F n ＝mg －F N ＝m v 2rF n ＝F N －mg ＝m v 2r牛顿第三定律求压力F 压＝F N ＝mg －m v 2rF 压＝F N ＝mg ＋m v 2r讨论v 增大，F 压减小；当v 增大到rg 时，F 压＝0v 增大，F 压增大 超、失重汽车对桥面压力小于自身重力，汽车处于失重状态汽车对桥面压力大于自身重力，汽车处于超重状态知识点六：离心运动1．离心运动的实质离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．2．离心运动的条件做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．3．离心运动、近心运动的判断如图578所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F n 与所需向心力⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2r 或mr ω2的大小关系决定．图578(1)若F n ＝mr ω2(或m v 2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．(2)若F n＞mrω2(或m v2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．(3)若F n＜mrω2(或m v2r)即“提供”不足，物体做离心运动．由以上关系进一步分析可知：原来做圆周运动的物体，若速率不变，所受向心力减少(或向心力不变，速率变大)物体将做离心运动；若速度大小不变，所受向心力增大(或向心力不变，速率减小)物体将做近心运动．知识点七.竖直平面的圆周运动１．“绳模型”如上图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
圆周运动
4圆周运动[1．圆周运动物体沿着圆周的运动，它的运动轨迹为圆，圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动．2．描述圆周运动的物理量比较打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技，如图5-4-1所示．若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？图5-4-1【提示】 篮球上各点的角速度是相同的．但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v ＝ωr 可知不同高度的各点的线速度不同．[后判断]1．做圆周运动的物体，其速度一定是变化的．(√) 2．角速度是标量，它没有方向．(×)3．圆周运动线速度公式v ＝ΔsΔt 中的Δs 表示位移．(×)[先填空]1．定义：线速度大小处处相等的圆周运动． 2．特点(1)线速度大小不变，方向不断变化，是一种变速运动． (2)角速度不变．(填“变”或“不变”) (3)转速、周期不变．(填“变”或“不变”) [再思考]若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？图5-4-2【提示】 秒针的周期T 秒＝1 min ＝60 s ， 分针的周期T 分＝1 h ＝3 600 s. 由ω＝2πT 得ω秒ω分＝T 分T 秒＝601.[后判断]1．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等．(√) 2．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同．(×) 3．匀速圆周运动是一种匀速运动．(×)描述圆周运动的物理量间的关系 分层设问，破解疑难1．公式v ＝ωr 仅适用于匀速圆周运动吗？为什么？【提示】 不是．角速度ω、线速度v 、半径r 之间的关系是瞬时对应关系，不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动．2．公式T ∝1n 仅适用于匀速圆周运动吗？为什么？【提示】 不是．公式T ∝1n 适用于包括匀速圆周运动在内的一切周期性运动．自我总结，素能培养 1．意义的区别(1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同．线速度v 描述质点运动的快慢，而角速度ω、周期T 、转速n 描述质点转动的快慢．(2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，既需要一个描述运动快慢的物理量，又需要一个描述转动快慢的物理量．2．各物理量之间的关系3．v 、ω及r 间的关系(1)由v ＝ωr 知，r 一定时，v ∝ω；ω一定时，v ∝r .v 与ω、r 间的关系如图5-4-3甲、乙所示．甲 乙图5-4-3(2)由ω＝v r 知，v 一定时，ω∝1r ，ω与r 间的关系如图5-4-4甲、乙所示．甲 乙图5-4-41．角速度ω、线速度v 、半径r 之间的关系是瞬时对应关系．2．公式v ＝ωr 适用于所有的圆周运动；关系式T ∝1n 适用于具有周期性运动的情况．典例印证，思维深化做匀速圆周运动的物体，在10 s 内沿半径为20 m 的圆周运动了100m ，试求该物体做匀速圆周运动时：(1)线速度的大小： (2)角速度的大小； (3)周期的大小． 【思路点拨】【解析】 (1)由线速度的定义式得v ＝Δs Δt ＝10010 m/s ＝10 m/s. (2)由v ＝ωr 得ω＝v r ＝1020 rad/s ＝0.5 rad/s. (3) 由ω＝2πT 得T ＝2πω＝2π0.5 s ＝4π s.【答案】 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s物体的线速度、角速度、周期、频率间的关系1．线速度v 与周期T 的关系为v ＝s t ＝2πrT ，T 一定时，v 与r 成正比；r 一定时，v 与T 成反比．2．ω与T 的关系为ω＝φt ＝2πT ，ω与T 成反比．3．ω与T 、f 、n 的关系为ω＝2πT ＝2πf ＝2πn ，ω、T 、f 、n 四个物理量可以相互换算，其中一个量确定了，另外三个量也就确定了．(注意公式中的n 必须取r/s 为单位)精选习题，落实强化1．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )A ．线速度大的角速度一定大B ．线速度大的周期一定小C ．角速度大的半径一定小D ．角速度大的周期一定小【解析】 由v ＝ωr 知，ω＝vr ，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，A 错误；同样，r ＝vω，半径与线速度、角速度两个因素有关，角速度大的半径不一定小，C 错误；由T ＝2πrv 知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，B 错误；而由T ＝2πω可知，ω越大，T 越小，D 正确．【答案】 D2．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s ，转动周期为 2 s ，则下列说法不正确的是( )A ．角速度为0.5 rad/sB ．转速为0.5 r/sC ．运动轨迹的半径为1.27 mD．频率为12Hz【解析】由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系ω＝2πT＝2×3.142rad/s＝3.14 rad/s.由线速度与角速度的关系v＝ωr得r＝vω＝4πm≈1.27m．由v＝2πnr得转速n＝v2πr＝42π·4πr/s＝0.5 r/s.又由f＝1T＝12Hz .故A 错误．B、C、D均正确．【答案】 A传动装置问题的分析分层设问，破解疑难1．在不同的传动装置中，同轴传动和皮带传动时相同的物理量分别是什么？【提示】同轴传动时，各点角速度相同；皮带传动时，轮上边缘点线速度相同．2．皮带传动中，两个轮子的转动方向一定相同吗？【提示】不一定．若皮带按如图所示方式连接，则两个轮子的转动方向也可以相反．自我总结，素能培养三种传动装置及其特点角速度、周期相同线速度相同线速度相同如图5-4-5所示的传动装置中，B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A 、B 两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是r A ＝rC ＝2r B .若皮带不打滑，求A 、B 、C 三轮边缘上a 、b 、c 三点的角速度之比和线速度之比．图5-4-5【思路点拨】 解答本题时可按以下思路分析：【解析】 A 、B 两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A 、B 两轮边缘的线速度大小相等，即v a ＝v b 或v a ∶v b ＝1∶1①由v ＝ωr 得ωa ∶ωb ＝r B ∶r A ＝1∶2②B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，则B 、C 两轮的角速度相等，即 ωb ＝ωc 或ωb ∶ωc ＝1∶1③由v ＝ωr 得v b ∶v c ＝r B ∶r C ＝1∶2④ 由②③得ωa ∶ωb ∶ωc ＝1∶2∶2， 由①④得v a ∶v b ∶v c ＝1∶1∶2. 【答案】 1∶2∶2 1∶1∶2求解传动问题的方法1．分清传动特点传动问题是圆周运动中一种常见题型，常见的传动装置有如下特点：(1)皮带传动(轮子边缘的线速度大小相等)；(2)同轴传动(各点角速度相等)；(3)齿轮传动(相接触两个轮子边缘的线速度大小相等)．2．确定半径关系根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系．3．用“通式”表达比例关系(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v ＝ωr，即v∝r；(2)在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝vr，即ω∝1 r；(3)齿轮传动与皮带传动具有相同的特点．精选习题，落实强化3．无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的挡位变速器，很多种高档汽车都应用了无级变速．图5-4-6所示是截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮之间有一个滚轮，主动轮、滚轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动．当位于主动轮和从动轮之间的滚轮从左向右移动时，从动轮降低转速；滚轮从右向左移动时，从动轮增加转速．当滚轮位于主动轮直径D1、从动轮直径D2的位置时，主动轮转速n1、从动轮转速n2的关系是()图5-4-6A.n 1n 2＝D 1D 2 B.n 2n 1＝D 1D 2 C.n 2n 1＝D 21D 22D ．n 2n 1＝D 1D 2【解析】 传动中三轮边缘的线速度大小相等，由v ＝2πnr ，得n 1D 1＝n 2D 2，所以n 2n 1＝D 1D 2，故B 项正确．【答案】 B4．如图5-4-7所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z 1＝24，从动轮的齿数z 2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是( )图5-4-7A ．顺时针转动，周期为2π/3ωB ．逆时针转动，周期为2π/3ωC ．顺时针转动，周期为6π/ωD ．逆时针转动，周期为6π/ω【解析】 主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T 从＝2π3ω，B 正确．【答案】 B匀速圆周运动的多解问题匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去．如图5-4-8所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平力F 的作用下由静止开始运动，B 物体的质量为m ，同时A 物体在竖直面内由M 点开始做半径为r 、角速度为ω的匀速圆周运动．求满足使A 、B 速度相同的力F 的取值．图5-4-8【思路点拨】 速度相同即大小、方向相同，B 为水平向右，A 一定要在最低点才能保证速度水平向右．【解析】 由题意可知：当A 从M 点运动到最低点时 t ＝nT ＋34T (n ＝0,1,2…)， 线速度v ＝ωr 对于B (初速度为0)：v ＝at ＝F m ⎝ ⎛⎭⎪⎫nT ＋34T ＝F m ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋342πω 解得：F ＝2mω2rπ(4n ＋3)(n ＝0,1,2…)．【答案】 2mω2rπ(4n ＋3)(n ＝0,1,2…)——[先看名师指津]——————————————匀速圆周运动的多解问题处理方法1．明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键．2．分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2n π，具体n 的取值应视情况而定．——[再演练应用]———————————————如图5-4-9所示，直径为d 的纸制圆筒以角速度ω绕垂直于纸面的轴O 匀速转动(图示为截面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留下a 、b 两个弹孔．已知aO 与bO 夹角为θ，求子弹的速度．若无旋转不到半周的限制，则子弹的速度又如何？图5-4-9【解析】 设子弹速度为v ，则子弹穿过圆筒的时间t ＝dv .此时间内圆筒转过的角度α＝π－θ.据α＝ωt ，得π－θ＝ωd v .则子弹的速度v＝ωd π－θ.本题中若无旋转不到半周的限制，则在时间t内转过的角度α＝2nπ＋(π－θ)＝π(2n＋1)－θ.则子弹的速度v＝ωd(2n＋1)π－θ(n＝0,1,2，…)．【答案】ωdπ－θωd(2n＋1)π－θ(n＝0,1,2，…)小结课时作业(四)圆周运动[全员参与·基础练]1．(多选)做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是()A．速度B．速率C．周期D．转速【解析】速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、周期、转速都是标量，B、C、D正确．【答案】BCD2．甲、乙两物体分别做匀速圆周运动，如果它们转动的半径之比为1∶5，线速度之比为3∶2，则下列说法中正确的是()A．甲、乙两物体的角速度之比是2∶15B．甲、乙两物体的角速度之比是10∶3C ．甲、乙两物体的周期之比是2∶15D ．甲、乙两物体的周期之比是10∶3【解析】 由v ＝rω可得ω甲ω乙＝v 甲r 甲∶v 乙r 乙＝v 甲v 乙×r 乙r 甲＝32×51＝152；又ω＝2πT ，所以T 甲T 乙＝ω乙ω甲＝215，选项C 正确． 【答案】 C3．如图5-4-10所示是一个玩具陀螺．A 、B 和C 是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述中正确的是( )图5-4-10A ．A 、B 和C 三点的线速度大小相等 B ．A 、B 和C 三点的角速度相等 C ．A 、B 的角速度比C 的大D ．C 的线速度比A 、B 的大【解析】 A 、B 和C 均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度，选项B 对，选项C 错；三点的运动半径关系r A ＝r B >r C ，据v ＝ωr 可知，三点的线速度关系v A ＝v B >v C ，选项A 、D 错．【答案】 B4有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( )A ．树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断B ．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断C ．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断D ．伐木工人的经验缺乏科学依据【解析】 树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故A 项错误．由T ＝2πω知，树各处的周期也一样大，故C 项错误．由v ＝ωr 知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，故B 项正确，D 项错误．【答案】 B5．(多选)质点做匀速圆周运动时( ) A ．线速度越大，其转速一定越大 B ．角速度大时，其转速一定大C ．线速度一定时，半径越大，则周期越长D ．无论半径大小如何，角速度越大，则质点的周期一定越长【解析】 匀速圆周运动的线速度v ＝Δs Δt ＝n 2πr1＝2πrn ，则n ＝v 2πr ，故线速度越大，其转速不一定越大，因为还与r 有关，A 错误；匀速圆周运动的角速度ω＝ΔθΔt ＝2πn 1＝2πn ，则n ＝ω2π，所以角速度大时，其转速一定大，B 正确；匀速圆周运动的周期T ＝2πrv ，则线速度一定时，半径越大，则周期越长，C 正确；匀速圆周运动的周期T ＝2πω，与半径无关，且角速度越大，则质点的周期一定越短，D 错误．【答案】 BC6．(多选)(2015·杭州高一检测)如图5-4-11所示，一个以过O 点垂直于盘面的轴匀速转动的圆盘上有a 、b 、c 三点，已知Oc ＝Oa 2，则下面说法中正确的 是( )图5-4-11A ．a 、b 两点的线速度大小不相同B ．a 、b 、c 三点的角速度相同C ．c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半D ．a 、b 、c 三点的运动周期相同【解析】 a 、b 、c 三点在同一圆盘上且绕同一轴转动，故角速度、周期相同，B 、D 正确；由v ＝ωr 知v a ＝v b ，v c ＝v a2，A 错误、C 正确．【答案】 BCD7．(多选)假设“神舟十号”飞船升空实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n 周，起始时刻为t 1，结束时刻为t 2，运行速度为v ，半径为r ，则计算其运行周期可用( )A ．T ＝t 2－t 1n B ．T ＝t 1－t 2n C ．T ＝2πrvD ．T ＝2πvr【解析】 根据周期的定义可知选项A 正确，B 错误；根据线速度与周期的关系v ＝2πrT 可知选项C 正确，D 错误．【答案】 AC8．如图5-4-12所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为()图5-4-12A.5960 min B ．1 min C.6059 minD ．6160 min【解析】 分针与秒针的角速度分别为ω分＝2π3 600rad/s ，ω秒＝2π60rad/s.设两次重合的时间间隔为Δt ，因φ分＝ω分 Δt ，φ秒＝ω秒 Δt ，φ秒－φ分＝2π，得Δt ＝2πω秒－ω分＝2π2π60－2π3 600s ＝3 60059s ＝6059 min ，故C 正确．【答案】 C[超越自我·提升练]9．半径为R 的大圆盘以角速度ω旋转，如图5-4-13所示．有人站在盘边P 点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O ，若子弹的速度为v 0，则( )图5-4-13A．枪应瞄准目标O射去B．枪应向PO的右方偏过角度θ射去，而cos θ＝ωR/v0C．枪应向PO的左方偏过角度θ射去，而tan θ＝ωR/v0D．枪应向PO的左方偏过角度θ射去，而sin θ＝ωR/v0【解析】子弹同时参与两个运动：沿P点切线方向的速度ωR；沿枪口方向的匀速运动，合成的速度沿PO方向，如图所示，枪应向PO的左方偏过角度θ射去，且sin θ＝ωRv0，故D正确．【答案】 D10.如图5-4-14所示，一绳系一球在光滑的桌面上做匀速圆周运动，绳长L ＝0.1 m，当角速度为ω＝20 rad/s时，绳断开，试分析绳断开后：图5-4-14(1)小球在桌面上运动的速度；(2)若桌子高1.00 m，小球离开桌面时速度方向与桌面平行．求小球离开桌子后运动的时间和落点与桌子边缘的水平距离．【解析】(1)v＝ωr＝20×0.1 m/s＝2 m/s.(2)小球离开桌面后做平抛运动，竖直方向：h＝12gt2，所以t＝2hg＝2×110s＝0.45 s.水平方向：x＝v t＝2×0.45 m＝0.9 m. 【答案】(1)2 m/s(2)0.45 s0.9 m11．如图5-4-15所示，半径为0.1 m 的轻滑轮，通过绕在其上的轻绳与重物相连，若重物由静止开始以2 m/s 2的加速度匀加速下落，则当它下落的高度为1 m 时，其瞬时速度为多大？此时滑轮转动的角速度是多少？图5-4-15【解析】 由运动学公式v 2－v 20＝2al ，得重物由静止开始下落1 m 时的瞬时速度v ＝2al ＝2×2×1 m/s ＝2 m/s ；与重物相连的轻绳此时的速度也为2 m/s ，轻绳绕在轻滑轮的边缘上使滑轮转动，由v ＝ωr ，得此时滑轮转动的角速度ω＝v r ＝20.1 rad/s ＝20 rad/s. 【答案】 2 m/s 20 rad/s12．一半径为R 的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图5-4-16所示．伞边缘距地面高h ，甩出的水滴在地面上形成一个圆，则此圆的半径r 为多少？图5-4-16【解析】 水滴飞出的速度大小v ＝ωR ， 水滴做平抛运动，故竖直方向有h ＝12gt 2，水平方向有l ＝v t ，由题意画出俯视图，如图所示，由几何关系知，水滴在地面上形成的圆的半径r ＝R 2＋l 2，联立以上各式得r ＝R1＋2ω2h g .2ω2h 【答案】R1＋g。
第1节 圆周运动 教学设计
第六章圆周运动第1节圆周运动[学习目标]1．理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算．2．知道线速度、角速度、周期之间的关系．3．理解匀速圆周运动的概念和特点．知识点1线速度1．定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值．2．定义式：v＝Δs Δt．3．标矢性：线速度是矢量，其方向和半径垂直，和圆弧相切．4．物理意义：描述质点沿圆周运动快慢的物理量．5．匀速圆周运动(1)定义：线速度的大小处处相等的圆周运动．(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变速运动．知识点2角速度1．定义：物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值．2．定义式：ω＝ΔθΔt．3．单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1，在运算中，角速度的单位可以写为s－1．4．物理意义：描述质点沿圆周转动快慢的物理量．[判一判]1．(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同．()(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零．()(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变．()(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)√[想一想]1．日常生活中，时钟指针的尖端、摩天轮上的座舱、电风扇工作时叶片上的点都在做圆周运动，它们的运动有何共同点？有什么不同之处？提示：它们的运动都是圆周运动，共同点是运动轨迹都是圆周．不同点是转动的快慢不一样．知识点3周期1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)．2．转速：单位时间内物体转过的圈数，常用n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)．知识点4线速度与角速度的关系1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积．2．关系式：v＝ωr．[判一判]2．(1)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．()(2)匀速圆周运动的角速度越小，则线速度越大．()提示：(1)√(2)×[想一想]2．闹钟与手表为什么会有快慢之争？提出你的看法，和同学进行讨论．提示：显然，闹钟和手表是从不同角度看圆周运动的：闹钟指的是秒针针尖的线速度；手表则指的是描述秒针运动的另一个物理量，这个物理量就是角速度．1．(对匀速圆周运动的理解)质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，下列物理量可能不同的是()A．通过的弧长B．通过的位移大小C．转过的角度D．速度的变化解析：选 D.质点做匀速圆周运动时，因线速度的大小不变，故在任意相等的时间内通过的圆弧长度相同，A错误；位移是矢量，所以在任意相等的时间内通过的位移方向不一定相同，但是位移大小相等，B错误；质点做匀速圆周运动时，角速度是不变的，所以在任意相等的时间内转过的角度是相同的，C错误；速度的变化是矢量，任意相等的时间内的速度变化方向不一定相同，D正确．2．(对匀速圆周运动性质的理解)关于物体做匀速圆周运动的速度，下列说法中正确的是()A．速度的大小和方向都改变B．速度的大小和方向都不变C．速度的大小不变，方向改变D．速度的大小改变，方向不变解析：选 C.物体做匀速圆周运动的速度大小不变，但方向始终沿圆周的切线方向，即方向时刻在变化，故C正确，A、B、D错误．3.(圆周运动的物理量及相互关系)如图所示，秒针绕O点转动，A、B为秒针的两个端点．在转动时，A、B的角速度和线速度分别记为ωA、ωB和v A、v B，则()A．ωA<ωBB．ωA>ωBC．v A<v BD．v A>v B解析：选C.A、B为秒针的两个端点，他们属于同轴转动，故A、B的角速度大小相等，A、B错误；转动过程中，A点的半径小于B的半径，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可得v A<v B，故C正确，D错误．4．(角速度与周期的关系)(多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是()A．秒针转动的周期最长B．时针转动的转速最小C．秒针转动的角速度最大D．秒针的角速度为π30rad/s解析：选BCD.秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为ω＝2π60rad/s＝π30rad/s，D正确．探究一圆周运动的物理量及其关系【情景导入】拍苍蝇的过程与物理有关．市场上出售的苍蝇拍(如图所示)拍把长约30 cm，拍头长约12 cm、宽约10 cm，这种拍的使用效果往往不好，拍未到，蝇已飞．有人将拍把增长到60 cm，结果是打一个准一个，你能解释其原因吗？提示：苍蝇的反应很灵敏，只有拍头的速度足够大时才能击中，而人转动手腕的角速度是有限的．由v＝ωr知，当增大转动半径(即拍把长)时，如由30 cm 增大到60 cm，则拍头速度增大为原来的2倍，此时，苍蝇就难以逃生了．1．物理量的定义(1)线速度：单位时间(1 s内)转过的弧长．(2)角速度：单位时间(1 s内)转过的圆心角．(3)周期：转一圈所用的时间．(4)频率(转速)：单位时间内转过的圈数．2．各物理量之间的关系(1)v＝ΔsΔt＝2πrT＝2πnr(2)ω＝ΔθΔt＝2πT＝2πn3．物理量之间关系的分析技巧(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2πT＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了．(2)对线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝1r；ω一定时，v∝r.(3)在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系．ω、T和n三个物理量可相互换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了．【例1】(多选)某同学参加了糕点制作的选修课，在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径约25 cm的蛋糕(圆盘与蛋糕中心重合)．他要在蛋糕上均匀“点”上奶油，挤奶油时手处于圆盘上方静止不动，奶油竖直下落到蛋糕表面，若不计奶油下落时间，每隔2 s“点”一次奶油，蛋糕一周均匀“点”上10个奶油．下列说法正确的是()A．圆盘转动一周历时18 sB．圆盘转动一周历时20 sC．蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为π80m/sD．蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为π10m/s[解析]每隔2 s“点”一次奶油，蛋糕一周均匀“点”上10个奶油，则圆盘转动一圈的时间T＝20 s，A错误，B正确；蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为v＝ΔsΔt＝2πrT＝2π×0.25220m/s＝π80m/s，C正确，D错误．【例2】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们()A．线速度大小之比为2∶3B．角速度大小之比为3∶4C．圆周运动的半径之比为2∶1D．转速之比为3∶2[解析]根据线速度定义式v＝st，已知在相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，则线速度大小之比为4∶3，故A错误；根据角速度定义式ω＝θt，相同时间内它们转过的角度之比为3∶2，则角速度之比为3∶2，故B错误；根据公式v＝rω，可得圆周运动半径r＝vω，线速度大小之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则圆周运动的半径之比为8∶9，故C错误；根据T＝2πω得，周期之比为2∶3，再根据n＝1T得转速之比为3∶2，故D正确．[答案] D[针对训练1](多选)质点做匀速圆周运动时()A．线速度越大，其转速一定越大B．角速度大时，其转速一定大C．线速度一定时，半径越大，则周期越长D．无论半径大小如何，角速度越大，则质点的周期一定越长解析：选BC.匀速圆周运动的线速度v＝ΔsΔt＝n·2πr1＝2πrn，则n＝v2πr，故线速度越大，其转速不一定越大，因为还与r有关，A错误；匀速圆周运动的角速度ω＝ΔθΔt＝2πn1＝2πn，则n＝ω2π，所以角速度大时，其转速一定大，B正确；匀速圆周运动的周期T ＝2πrv ，则线速度一定时，半径越大，周期越长，C 正确；匀速圆周运动的周期T ＝2πω，与半径无关，且角速度越大，质点的周期一定越短，D 错误．[针对训练2] 如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P 、Q 两点的角速度分别为ωP 和ωQ ，线速度大小分别为v P 和v Q ，则( )A.ωP <ωQ ，v P <v Q B ．ωP <ωQ ，v P ＝v Q C ．ωP ＝ωQ ，v P <v Q D ．ωP ＝ωQ ，v P >v Q解析：选C.由于P 、Q 两点属于同轴转动，所以P 、Q 两点的角速度是相等的，即ωP ＝ωQ ，同时由题图可知Q 点到螺母的距离比较大，根据v ＝ωr 可知Q 点的线速度大，即v P ＜v Q .探究二 对匀速圆周运动性质的理解 【情景导入】1．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同吗？2．匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周运动中的“匀速”和匀速直线运动中的“匀速”一样吗？提示：1.不一定相同．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移大小相等，但方向可能不同．2．质点做匀速圆周运动时，速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动不是线速度不变的运动，而是线速度大小不变的运动，是变速曲线运动．匀速圆周运动中的“匀速”是指速度的大小(速率)不变，应该理解成“匀速率”；而匀速直线运动中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变．二者并不相同．1．匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化．2．匀速的含义(1)速度的大小不变，即速率不变；(2)转动快慢不变，即角速度大小不变．3．运动性质：线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动．【例3】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．匀速圆周运动就是匀速运动B．匀速圆周运动是匀加速运动C．匀速圆周运动是一种变加速运动D．做匀速圆周运动的物体处于平衡状态[解析]匀速圆周运动是速度大小不变即“匀速率”的运动，速度的方向时刻发生变化，而匀速运动是速度不变的运动即匀速直线运动，A错误；由于速度方向在变化，故物体的加速度不为零，所受合力也一定不为零，故不是平衡状态，D错误；由于匀速圆周运动的速度大小不变，则由力与运动的关系可知合力方向应与速度方向是垂直的，即加速度方向与速度方向总是垂直的，而速度方向不停地发生变化，故加速度方向不停地发生变化，即加速度不是恒定的，B错误，C 正确．[答案] C[针对训练3](多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是() A．速度B．速率C．角速度D．周期解析：选BCD.物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，故B、C、D正确．探究三对传动装置的分析【情景导入】1．如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板上的两个点，请比较：在撬动的某一时刻，A、B的线速度v A、v B的大小关系及角速度ωA、ωB的大小关系．2．如图所示的是机器内部的齿轮，大、小齿轮相互啮合．当机器转动时，小齿轮和大齿轮谁转得快？有人说它们的速度大小是一样的，这种说法对吗？提示：1.根据题意，A、B绕同一支点转动，所以角速度相等，即ωA＝ωB；由题图看出r A>r B，根据v＝ωr得线速度v A>v B.2．小齿轮比大齿轮转得快(因为小齿轮转动角速度大)，但大小齿轮相互啮合的线速度大小相同．常见的传动装置及其特点项目同轴转动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点角速度、周期相同线速度大小相等线速度大小相等规律线速度与半径成正比：v Av B＝rR角速度与半径成反比：ωAωB＝rR.周期与半径成正比：T AT B＝Rr角速度与半径成反比：ωAωB＝r2r1.周期与半径成正比：T AT B＝r1r2【例4】(多选)如图所示的传动装置中，A轮顺时针转动，并通过皮带带动B轮转动(皮带不打滑).a、b分别是两轮边缘上的点，它们的线速度大小分别为v a、v b，下列判断正确的是()A．B轮顺时针转动B．B轮逆时针转动C．v a＝v bD．v a＞v b[解析]由题图可知，B轮的转动方向与A轮转动方向一定是相反的，所以B轮逆时针转动，故A错误，B正确；a点与b点属于同缘传送，所以两点具有相等的线速度，即v a＝v b，故C正确，D错误．[答案]BC【例5】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比R B∶R C＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无相对滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的()A．线速度大小之比为3∶3∶2B．角速度之比为3∶3∶2C．转速之比为2∶3∶2D．周期之比为2∶3∶2[解析]A轮、B轮靠摩擦传动，边缘点线速度大小相等，故v a∶v b＝1∶1，B轮、C轮角速度相同，根据v＝ωr可知，速度之比为半径之比，所以v b∶v c＝3∶2，则v a∶v b∶v c＝3∶3∶2，故A正确；b、c角速度相同，而a、b线速度大小相等，根据v＝ωr可知ωa∶ωb＝3∶2，则ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故B错误；根据ω＝2πn可得n a∶n b∶n c＝3∶2∶2，故C错误；根据T＝2πω结合ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，可得T a∶T b∶T c＝2∶3∶3，故D错误．[答案] A[针对训练4]如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同的轴转动的．设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为r1、r2、r3，当A点的线速度大小为v时，C点的线速度大小为()A.r1r2v B.r2r3vC.r3r1v D.r3r2v解析：选D.传动过程中，同一链条上的A、B两点的线速度相等，即v A＝v B，B点的速度为v，根据ω＝vr，且B、C两点同轴转动，角速度相同，所以v Br2＝v Cr3，代入数据联立得：v C＝r3r2v，D正确．[A级——合格考达标练]1．如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中()A.笔尖的角速度不变B．笔尖的线速度不变C．笔尖的加速度不变D．笔尖在相等的时间内转过的位移不变解析：选A.做匀速圆周运动的物体角速度是不变的，故A正确；线速度是矢量，在匀速转动圆规画图的过程中，线速度大小不变，方向时刻改变，所以笔尖的线速度是变化的，故B错误；笔尖的加速度大小不变，方向时刻改变，所以笔尖的加速度是变化的，故C错误；笔尖在相同时间内转过的路程相等，但转过的位移不一定相等，故D错误．2．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为()A．1 000 r/s B．1 000 r/minC．1 000 r/h D．2 000 r/s解析：选B.由v＝rω、ω＝2πn，联立可得n＝v2πr＝120×1033 600×2×3.14×30×10－2r/s≈17.7 r/s＝1 062 r/min.3．甲、乙、丙三个物体，甲静止地放在金昌，乙静止地放在上海，丙静止地放在三亚．当它们随地球一起转动时，则()A．甲的角速度最大，乙的线速度最小B．丙的角速度最小，甲的线速度最大C．三个物体的角速度、周期和线速度都相等D．三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最大解析：选 D.甲、乙、丙三个物体随地球一起转动时它们的周期和角速度均相同，由于甲的半径最小而丙的半径最大，由线速度和角速度的关系v＝ωr知，甲的线速度最小而丙的线速度最大，故A、B、C错误，D正确．4．甲、乙两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，转动半径之比为1∶3，则甲、乙两快艇的线速度大小之比为() A．1∶4 B．2∶3C．4∶9 D．9∶16解析：选C.由题知，甲的角速度ω1＝ΔθΔt＝π3Δt，乙的角速度ω2＝π4Δt，ω1ω2＝43，又r1r2＝13，则甲、乙两快艇的线速度大小之比v1v2＝ω1r1ω2r2＝43×13＝49，故C正确，A、B、D错误．5．如图所示，电风扇同一扇叶上的P、Q两点到转轴的距离分别为r P、r Q，且r P<r Q，电风扇正常转动时()A．P点的线速度比Q点的线速度小B．P点的角速度比Q点的角速度小C．P点的线速度比Q点的线速度大D．P点的角速度比Q点的角速度大解析：选A.P、Q两点同轴做匀速转动，角速度相等，设为ω，由图可知Q 点转动的半径大，P点转动的半径小；由公式v＝rω，ω相等，则P、Q两点的线速度大小关系为v P<v Q，故A正确．6．如图所示，A、B为某小区门口自动升降杆上的两点，A在杆的顶端，B在杆的中点处．杆从水平位置匀速转至竖直位置的过程中，A、B两点()A．角速度大小之比为2∶1B．角速度大小之比为1∶2C．线速度大小之比为2∶1D．线速度大小之比为1∶2解析：选C.因为A、B两点是同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，故A、B错误；由v＝rω，可知速度之比等于半径之比，故A、B两点线速度大小之比为2∶1，故C正确，D错误．7．一个玩具陀螺如图所示，a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是()A.a、b和c三点的线速度大小相等B．a、b和c三点的角速度相等C．a、b的角速度比c的大D ．c 的线速度比a 、b 的大解析：选B.由于a 、b 、c 三点绕同一轴转动，在相等时间内转过的圆心角相等，故它们的角速度相同，B 正确，C 错误．因a 、b 两点转动半径相等且大于c 点的转动半径，由v ＝ωr 知v a ＝v b >v c ，故A 、D 错误．[B 级——等级考增分练]8．(多选)明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图所示)，记录了我们祖先的劳动智慧．若A 、B 两齿轮半径的大小关系为r A >r B ，则( )A.齿轮A 、B 的角速度大小相等B ．齿轮A 的角速度大小小于齿轮B 的角速度大小C ．齿轮A 、B 边缘的线速度大小相等D ．齿轮A 边缘的线速度大小小于齿轮B 边缘的线速度大小解析：选BC.A 、B 两轮边缘线速度大小相等，且齿轮A 半径比齿轮B 大，所以齿轮A 的角速度大小小于齿轮B 的角速度大小，A 、D 错误，B 、C 正确．9．共享单车是一种新型、便捷的公共交通方式．某共享单车采用的无链传动系统如图甲所示，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”的问题．圆锥齿轮90°轴交示意图如图乙所示，其中A 是圆锥齿轮转轴上的点，B 、C 分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A 、B 、C 三点的距离分别记为r A 、r B 和r C (r A ≠r B ≠r C ).下列说法正确的是( )A.ωB ＝ωCB ．vC ＝r B r A v A C ．ωB ＝r A r B ωAD ．v A ＝r A r Cv C解析：选B.由圆锥齿轮的特点，得v B ＝v C ，根据v ＝ωr 可知ωB ≠ωC ，A 错误；由v C ＝v B ，v B ＝ωB r B ，ωB ＝ωA ＝v A r A ，知v C ＝r B r A v A ，则v A ＝r A r Bv C ，且r B ≠r C ，B 正确，D 错误；A 、B 同轴转动，角速度相同，C 错误．10．手摇动蒲扇向某方向运动，蒲扇上的A 、B 两点均可看作以手上的O 点为圆心的匀速圆周运动，如图所示．若A 、B 两点的角速度大小分别为ωA 和ωB ，线速度大小分别为v A 和v B ，则( )A ．ωA >ωBB ．ωA <ωBC ．v A >v BD ．v A <v B解析：选C.A 、B 两点均绕O 点转动，角速度相同，根据v ＝ωr ，r A >r B 可知，v A >v B ，C 正确，A 、B 、D 错误．11．两个小球固定在一根长为L 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v 1时，小球2的速度为v 2，则O 点到小球2的距离是( )A.L v 1v 1＋v 2B ．L v 2v 1＋v 2C ．L （v 1＋v 2）v 1D ．L （v 1＋v 2）v 2解析：选B.两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为ω，设两球的转动半径分别为r 1、r 2，则r 1＋r 2＝L .又知v 1＝ωr 1，v 2＝ωr 2，联立得r 2＝L v 2v 1＋v 2，B 正确．12．如图所示，小球Q 在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q 球转到与O 在同一水平线上时，有另一小球P 从距圆周最高点为h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g .求：(1)Q 球转动的角速度ω；(2)Q 球做匀速圆周运动的周期及其最大值．解析：(1)小球P 做自由落体运动，有h ＝12 gt 2，解得t ＝2h g， Q 球运动到最高点的时间为t ′＝T 4 ＋nT (n ＝0，1，2，3，…)，由于T ＝2πω ，t ＝t ′，解得ω＝2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋n · g 2h (n ＝0，1，2，3，…). (2)根据公式T ＝2πω ，解得T ＝44n ＋1 2h g (n ＝0，1，2，3，…)当n 取0时，周期最大，最大值为T max ＝42hg . 答案：(1)2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋n g 2h (n ＝0，1，2，3，…) (2)44n ＋1 2h g (n ＝0，1，2，3，…) 42h g。
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4-3圆周运动 一、选择题 1．在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( ) A．树木开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断 B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断 C．树木开始倒下时，树梢的向心加速度较大，易于判断 D．伐木工人的经验缺乏科学依据 [答案] B [解析] 树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故A错误；由v＝ωr可知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，B正确；由a＝ω2r知，树梢处的向心加速度最大，方向指向树根处，但无法用向心加速度确定倒下方向，故C、D均错误． 2．水平路面上转弯的汽车，向心力是( ) A．重力和支持力的合力 B．静摩擦力 C．重力、支持力、牵引力的合力 D．滑动摩擦力 [答案] B [解析] 重力和支持力垂直于水平面，不能充当向心力，充当向心力的是静摩擦力． 3．(2011·镇江模拟) 如图所示，A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( ) A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心 B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心 C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力 D．圆盘对B的摩擦力和向心力 [答案] B [解析] A随B做匀速圆周运动，它所需的向心力由B对A的摩擦力来提供，因此B对A的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心，圆盘对B的摩擦力指向圆心，才能使B受到指向圆心的合力，所以只有选项B正确． 4．(2011·长沙模拟)
如图所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P，则下列说法中正确的是( ) A．轨道对小球做正功，小球的线速度vp>vQ B．轨道对小球不做功，小球的角速度ωPC．小球的向心加速度aP>aQ D．轨道对小球的压力FP>FQ [答案] B [解析] 轨道对小球的支持力始终与小球运动方向垂直，轨道对小球不做功；小球从P运动到Q的过程中，重力做正功，动能增大，可判断vPrQ可知，ωP利用向心加速度a＝v2/r，vPrQ，可知aP高点mg＋FN＝ma，即FN＝ma－mg，因aPFP，D错误． 5.
(2011·桂林模拟)如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( ) A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中 C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中 D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周转动，乙发生滑动最终落入水中 [答案] D [解析] 在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为这两个小孩在同一个圆盘上运动，故角速度ω相同，设此时手上的拉力为FT，则对甲：Ffm－FT＝mω2R甲．对乙：FT＋Ffm＝mω2R乙，当松手时，FT＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水中，甲所受的静摩擦变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，选项D正确．
第6题图 6．如图甲所示，一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，则图乙中关于ω与θ关系的图象正确的是( )
[答案] D [解析] 对小球受力分析后列牛顿第二定律方程，设绳长为L，小球质量为m，则mgtanθ＝m(Lsinθ)ω2，得ω2＝gLcosθ，再利用极限法，根据当θ＝0°和θ＝90°时cosθ分别为1和0即可判断出ω的变化规律应为D图． 7．(2011·安徽)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图(a)所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆．在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度υ0抛出，如图(b)所示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
A.v 20g B. v 20sin2αg C.v 20cos2αg D.v 20cos2αgsinα [答案] C [解析] 本题考查抛体运动和圆周运动相结合的知识．以v0初速斜抛的物体上升到最高点处即竖直分速度减到零，故P点速度vP＝
v0·cosα.由圆周运动知识在P点处重力提供向心力，即mg＝mv 2Pρ
∴ρ＝v 2P/g＝v 20cos2αg，故C正确． 8．(2011·鸡西模拟)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的 ( ) A．运动周期相同 B．运动的线速度相同 C．运动的角速度相同 D．向心加速度相同 [答案] AC [解析]
①对两球受力分析如图所示，重力和绳拉力的合力提供向心力，则
F合＝mgtanα＝m(2πT)2r＝mv2r＝mω2r＝man 由几何关系得r＝htanα 解得T＝2πhg、ω＝gh、v＝ghtan2α、an＝gtanα； ②由于两球与竖直方向的夹角不同，所以线速度和向心加速度不同，而周期和角速度相同，故A、C正确，B、D错误． 二、非选择题 9.
如图所示，将完全相同的两个小球A、B用长l＝0.8m的细绳悬于以v＝4m/s向右匀速运动的小车顶部，两小球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中的张力FA与FB之比为________(g取10m/s2)． [答案] 3：1 [解析] 当小车突然停止运动时，B球立即停止，所以FB＝mg
而A球由于惯性将做圆周运动，由牛顿第二定律得：FA－mg＝mv2l，代入数值解得FA＝3mg ∴FA：FB＝3：1 10．用一根细绳，一端系住一定质量的小球，另一端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动．现在两个这样的装置，如图甲和乙所示．已知两球转动的角速度大小相同，绳与竖直方向的夹角分别为37°和53°.则a、b两球的转动半径Ra和Rb之比为________．(sin37°＝0.6；cos37°＝0.8)
[答案] 9 ∶16 [解析] 考查水平面内的圆周运动，绳的拉力与重力的合力提供向心力，由几何关系用绳长表示圆周运动的半径，由于角速度大小相同，由F＝mRω2，可以求出半径之比． 11.
2010年11月17日广州亚运会体操男子单杠决赛中，中国小将张成龙问鼎冠军．张成龙完成了一个单臂回环动作后恰好静止在最高点，如图所示．设张成龙的重心离杠l＝1.1m，体重51kg.忽略摩擦力，且认为单臂回环动作是圆周运动(g＝10m/s2)．试求： (1)达到如图所示效果，张成龙的重心在最低点的速度大小． (2)张成龙在最高点与最低点时对杠的作用力分别是多大． [答案] (1)6.6m/s (2)510N 2550N [解析] (1)根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为v，则
mgh＝12mv2 h＝2l 所以v＝2gh＝2gl＝211m/s≈6.6m/s. (2)在最高点张成龙处于静止状态，故所受杠的支持力等于其重力 FN＝mg＝510N 由牛顿第三定律，张成龙对杠的作用力为510N. 在最低点做圆周运动，设杠对张成龙的作用力为FN′ 则FN′－mg＝mv2l 故FN′＝mg＋mv2l＝2550N 由牛顿第三定律知，张成龙对杠的作用力为2550N. 12．(2011·淄博模拟)
如图所示，在竖直平面内的34圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高， AD为水平面，B端在O的正上方．一个小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道，到达B点对轨道的压力恰好为零．求： (1)释放点距A点的竖直高度； (2)落点C与A点的水平距离．
[答案] (1)32R (2)(2－1)R [解析] (1)小球达到B点时对轨道的压力恰好为零，则 mg＝mv 2BR 所以vB＝gR 由机械能守恒定律得mgh＝12mv 2B＋mgR
所以h＝32R (2)小球从B点到C点做平抛运动，则R＝12gt2 解得t＝2Rg OC间的距离为x＝vBt，解得x＝2R AC间的距离为d＝x－R＝(2－1)R. 13．(2011·太原模拟)如图所示，传送带以一定速度沿水平方向匀速运动，将质量m＝1.0kg的小物块轻轻放在传送带上的P点，物块运动到A点后被水平抛出，小物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑．B、C为圆弧的两端点，其连线水平，轨道最低点为O，已知圆弧对应圆心角θ＝106°，圆弧半径R＝1.0m，A点距水平面的高度h＝0.8m，小物块离开C点后恰好能无碰撞地沿固定斜面向上滑动，经过 0.8s小物块 第二次经过D点，已知小物
块与斜面间的动摩擦因数μ＝13.(取sin53°＝0.8，g＝10m/s2)求：
(1)小物块离开A点时的水平速度大小； (2)小物块经过O点时，轨道对它的支持力大小； (3)斜面上C、D间的距离． [答案] (1)3m/s (2)43N (3)0.98m [解析] (1)对于小物块，由A到B做平抛运动，在竖直方向上有v 2y＝2gh①
在B点时有tanθ2＝vyvA② 由①②解得vA＝3m/s