必修4学案任意角的三角函数
数学：1.2.1《任意角的三角函数》教案(必修4) 最新!!
高中数学必修④：1.2.1《任意角的三角函数》教案1．教学目标：一、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。
一、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
一、通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的 能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
一、 让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。
2．教学重点与难点：重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号。
难点：任意角的三角函数概念的建构过程。
授课过程：一、 引入在我们的现实世界中的许多运动变化都有循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性。
如何用数学的方法来刻画这种变化？从这节课开始，我们要来学习刻画这种规律的数学模型之一――三角函数。
二、创设情境三角函数是与角有关的函数，在学习任意角概念时，我们知道在直角坐标系中研究角，可以给学习带来许多方便，比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类，现在大家考虑：若在直角坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数又可怎样定义呢？学生情况估计：学生可能会提出两种定义的方式，一种定义为边之比，另一种定义在比值中引入了终边上的一点P 的坐标。
问题：1、锐角三角函数能否表示成第二种比值方式？2、点Ｐ能否取在终边上的其它位置？为什么？3、点P 在哪个位置，比值会更简洁？（引出单位圆的定义）。
指出sina ＝MP 的函数依旧表示一个比值，不过其分母为1而已。
练习：计算4πα=的各三角函数值。
三、任意角的三角函数的定义角的概念已经推广道了任意角，那么三角函数的定义在任意角的范围里改怎么定义呢？ 尝试：根据锐角三角函数的定义，你能尝试着给出任意角三角函数的定义吗？ 评价学生给出的定义。
给出任意角三角函数的定义。
四、解析任意角三角函数的定义三角函数首先是函数。
你能从函数观点解析三角函数吗？ （定义域）对于确定的角a ，上面三个函数值都是唯一确定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
新人教A版必修4高中数学任意角的三角函数第3课时学案
高中数学 任意角的三角函数第3课时学案新人教A 版必修4【学习目标】1.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；2.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小.【重点难点】 三角函数线 比较两个同名三角函数值的大小【学习内容】问题：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？【新授】【边描述边画】以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==. O xy a 角的终边 P T M A随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有cosOM xα==.同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP 与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样,无论那种情况都有sinMP yα==.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT、,我们有tanyATxα==.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====MP ，cos 1x x x OM r α====OM ，tan y MP AT x OM OAα====AT . 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
2020-2021学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4
2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。
《任意角的三角函数》学案6(苏教版必修4).doc
任意角的三角函数和弧度制及任意角的三角函数(1)一、学习目标：1.掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示，2.掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式.二、自主学习：【课前检测】完成《优化设计》“真题在线” 3道试题及例1、例2, “随堂练习”【考点梳理】1.与角a终边相同的角的集合为___________________ •2.与角a终边互为反向延长线的角的集合为____________ •:3.轴线角(终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角的集合为_________终边在y轴上的角的集合为_________终边在坐标轴上的角的集合为 ___________ •4.象限角是指：_________________ •5.区间角是指：_________________ ■6.弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系.7.弧度与角度互化：180。
= _______ 弧度1°= _____ 弧度1弧度= _____ « _________ °.8.弧长公式：1 = ________________ ;扇形面积公式：S= ____________ •9.特殊角的角度与弧度对应关系：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度三、合作探究：ry (y例1.若a是第二象限的角，试分别确定2a,—,—的终边所在位置.2 3解：Ta是第二象限的角，.•.k-360°+90°< a <k-36O°+18O° (kGZ).(1)V2k-360o+180o<2a <2k-360°+360° (keZ),.•.2a是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.(2)•.•k・180°+45°<? <k-180°+90° (kGZ),2当k=2n (nWZ)时，n-360°+45°< - <n-360°+90°；2当k=2n+l (n^Z)时，n-360°+225°< - <n-360°+270°.2•••竺是第一或第三象限的角.2例2・扇形的中心角为2&0<&<彳，半径为厂，在扇形AOB中作内切圆q 及与圆q外切，与0A,0B 相切的圆Q，问sin。
人教新课标版数学高一- 人教B版必修4 任意角的三角函数 导学案
§1.2.1任意角的三角函数（课前预习案）
班级：___ 姓名：________ 编写：
一、新知导学
1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）
的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r ，那么（1）比值
y r
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（2）比值x r 叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（
3）比值y x
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（4）比值x y
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（5）
比值r x
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿； （6）比值r y 叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿. 2.三角函数在各象限的符号
①正弦值sin y r α=
对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负；②余弦值cos x r
α=对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负；③正切值tan y x α=对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负．
3．三角函数的定义域。
二、课前自测 1、设sinθ<0且cosθ>0，确定θ是第 象限角。
2、tan()4x π+
的定义域为（ ） A 、x≠kπ B 、2x k π
π≠+ C 、4x k π
π≠+ D 、4x k π
π≠-
3、已知点P （tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在 象限。
250；672)；。
新人教A版必修4高中数学任意角三角函数第2课时学案
高中数学任意角三角函数第2课时学案新人教A版必修4【学习目标】1.三角函数的符号；2. 诱导公式（一）。
【重点难点】符号及诱导公式（一）【学习内容】【复习回顾】：三角函数的定义【新授】一．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知：①正弦值yr 对于第一、二象限为正（0,0y r>>），对于第三、四象限为负（0,0y r<>）；②余弦值xr 对于第一、四象限为正（0,0x r>>），对于第二、三象限为负（0,0x r<>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y同号），对于第二、四象限为负（,x y异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.口诀：一全正二正弦三正切四余弦二．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=， 其中k Z ∈．例1：已知sin 0α<且tan 0α>，（1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222ααα的符号.例2： 求函数x xx xy tan tan cos cos +=x xsin sin +的值域.解：例3：求下列三角函数的值：（1）9cos 4π，（2）11tan()6π-，（3）9sin 2π．解：例4：求函数x y sin 1=的定义域和值域解：例5：求函数x y tan 1=的定义域和值域解：例6：求函数x x y sin 3sin 2+=的值域解：【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值为 （答：正数，负数，0 ）. 2.确定tan －cos 8·tan 5的符号；3.α是第二象限角，且2cos 2cos αα-=，则2α是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4．若tan α<0，且sin α > cos α，则α在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若sin θ·cos θ＞0，则θ所在象限为6．求下列函数的值域（1）x x y sin sin 2-=（2）2sin sin 12+-=x x y7．求值（1）)415tan(325sin ππ-+（2） ︒-︒+︒1125tan 360cos 810sin（3）)423tan(313cos 613sin πππ--+8. 若α角是第三象限角，则ααααcos cos sin sin -的值为。
人教版高中数学必修4学案 任意角的三角函数的定义及应用(一)
第一章三角函数三角函数1．2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用(一)1．理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值．2．理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围．基础梳理一、任意角的三角函数1．单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合．在直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tan α(x ≠0)． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数．练习1：已知角A 的终边与单位圆的交点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，求角α的正弦、余弦和正切值．解析：由三角函数定义知，sin α＝y ＝45，cos α＝x ＝－35，tan α＝yx ＝－43.思考应用1．三角函数的值与点P 在终边上的位置有关系吗？解析：利用三角形的相似性可知任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P 的位置无关．对于α角的终边上任意一点P ，设其坐标为(x ，y )，点P 到原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.(1)比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；(2)比值xr 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr；(3)比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx .点P 在单位圆上是一种特殊情形．二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝yr，其中r>0，于是sinα的符号与y的符号相同，即：当α是第一、二象限角时，sin α>0；当α是第三、四象限角时，sin α<0.cos α＝xr，其中r>0，于是cosα的符号与x的符号相同，即：当α是第一、四象限角时，cos α>0；当α是第二、三象限角时，cos α<0.tan α＝yx，当x与y同号时，它们的比值为正，当x与y异号时，它们的比值为负，即：当α是第一、三象限角时，tan α>0；当α是第二、四象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr：上正下负横为0；cosα＝xr：左负右正纵为0；tanα＝yx：交叉正负”．形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”．练习2：已知角α的终边过点P0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．解析：∵r＝（－3）2＋（－4）2＝5，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.思考应用2．你知道形象的识记口诀的意思吗？解析： 口诀：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值相等，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z.思考应用3．公式一中的角α一定是锐角吗？解析：公式一中的角α为任意角，公式一都成立． 四、三角函数的定义域思考应用4．三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什么数学思想方法？解析： (1)三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．(3)三条有向线段的正负：三条有向线段与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值．(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面． 应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法． 自测自评1．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于(D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0，故选D.2．已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＝(B )A.12B.32C.33 D ．±12解析： ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12是单位圆上一点，则cos α＝x ＝32， 故选B.3．有下列四个命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不相等； ③若sin α>0，则α是第一或第二象限角；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y2.其中，不正确命题的个数是(C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析： ①正确；②不正确；③不正确，例：α＝π2也成立；④不正确．故选C.4．若sin α<0且tan α>0，则α(C ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 解析：∵sin α<0，∴α在第三、四象限．又∵tan α>0，∴α在第一、三象限．故α在第三象限．基础提升1．角α的终边落在y ＝－x (x >0)上，则sin α的值等于(D ) A ．±12 B.22 C ．±22 D ．－222．sin 330°等于(B ) A ．－32 B ．－12C.12D.323．若角α的终边上有一点P (－4a ，3a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α的值是(B )A.25B.23或－25C ．－25D ．与a 有关但不能确定解析：当a ＞0时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当a＜0时，为－25.4．点P 从(－1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针运动π3弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为(A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12解析：旋转角为－π3，此时点Q 所在终边对应的角为2π3，∴x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－12，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝32.故选A.5．sin 1 485°的值为(B ) A.12 B.22 C.32 D ．－32解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22.6．若α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为(A )A.104 B.64 C.24 D ．－104解析：∵α是第二象限角，∴x <0，∴r ＝|OP |＝x 2＋5，故cos α＝xx 2＋5＝24x ，解得x ＝－3， ∴r ＝x 2＋5＝22，∴sin α＝5r ＝522＝104，故选A. 巩固提高7．sin 2·cos 3·tan 4的值的符号为________． 解析：∵π2<2<π，∴sin 2>0.∵π2<3<π，∴cos 3<0. ∵π<4<3π2，∴tan 4>0.则sin 2·cos 3·tan 4为负值． 答案：负8．已知α的终边经过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，则a的取值范围是________．答案：(－2，3]9．确定三角函数式tan （－3）cos 5sin 8的符号．解析：∵－π<－3<－π2，∴tan(－3)>0.∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.∵5π2<8<3π，∴sin 8>0. ∴tan （－3）cos 5sin 8>0.10．已知sin x <0，且tan x >0. (1)求角x2的终边所在的象限；(2)试判断tan x 2与sin x 2·cos x2的符号．解析：(1)∵sin x <0，且tan>0，∴x 是第三象限角． ∴2k π＋π<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴k π＋π2<x 2<k π＋34π(k ∈Z)，∴角x2的终边在第二或第四象限．(2)由(2)得tan x 2<0，sin x 2· cos x2<0.1．三角函数的定义．(1)可以用角的终边上任一点的坐标的“比值”来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，P与原点的距离为r(r＝x2＋y2>0)，则sin α＝yr；cosα＝xr；tanα＝yx.这样定义三角函数，突出了与点P在角的终边上的位置无关，若令r ＝1，则为单位圆中三角函数的定义．(2)三角函数既可以看成是以角为自变量，又可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，三角函数具有二重性．(3)深刻认识理解三角函数符号的含义．如sin α这个符号，表示yr，即角α的正弦，不能把sin α看成sin与α的积．同时也应注意每个函数记号的第一个字母都不能大写．2．三角函数的定义域和函数值的符号．(1)用坐标定义三角函数，因而坐标的符号即角的终边所在的象限决定三角函数值的符号，同时，三角函数的定义域只需抓住分母不为零这一关键，不要死记．(2)判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在的象限的确定，不能忽视终边在坐标轴上的情况．。
高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4
1．2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系．2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．同角三角函数的基本关系式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin 24α＋cos 24α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同．( )解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 24α＋cos 24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：B3．化简：(1＋tan 2 α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C4．已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．解析：原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案：12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．【解】 因为cos α<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． 所以当α为第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝ －45，tan α＝sin αcos α＝43.已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．1.(1)已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________．(2)已知sin θ＝a (a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ、tan θ. 解：(1)因为α是第二象限角， 故sin α＞0，cos α＜0， 又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.故填－2425.(2)因为tan θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a ≠±1. ①若θ在第一象限，sin θ＝a ＞0，且a ≠1时， cos θ＝1－sin 2θ＝1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝a1－a2. ②若θ在第三象限，sin θ＝a ＜0，且a ≠－1时， cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－a1－a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin αtan α＜0.【解】 (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin αtan α＜0，则sin α，tan α异号， 所以α是第二、三象限角，所以cos α＜0.所以1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低． ②使式中的项数尽量少． ③使三角函数的种类尽量少． ④使式中的分母尽量不含有三角函数． ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.2.化简：1－sin 4x －cos 4x1－sin 6x －cos 6x.解：原式＝1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x ]1－（sin 2x ＋cos 2x ）（sin 4x ＋cos 4x －sin 2x cos 2x ） ＝1－1＋2sin 2x cos 2x1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－3sin 2x cos 2x ] ＝2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x ＝23. 利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1＋tan 2α＝1cos 2α；(2)sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 【证明】 证明：(1)因为1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， 所以原式成立．(2)法一：由sin α≠0知，cos α≠－1， 所以1＋cos α≠0.于是左边＝sin α（1＋cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝sin α（1＋cos α）1－cos 2α＝sin α（1＋cos α）sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边． 所以原式成立．法二：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α， 即sin 2α＝(1－cos α)(1＋cos α)． 因为1－cos α≠0，sin α≠0， 所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3.(1)求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：(1)左边＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2xcos 2x －sin 2x＝tan 2x －2tan x ＋11－tan 2x＝（tan x －1）2（1－tan x ）（1＋tan x ）＝1－tan x1＋tan x ＝右边． 所以原式成立．(2)因为右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边， 所以原等式成立．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．3．注意公式的变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cosα＝sin αtan α等． 4．在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【解】 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0＜α＜π，且sin α·cos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＞0， 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.(1)在处得到sin α·cos α＜0，为判断sin α，cos α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin α－cos α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin α－cos α＝±173，则是解答本题的又一易失分点． (2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．1．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A ．13 B ．53 C ．73D ．55解析：选B ．因为tan α＝sin αcos α，所以cos α＝sin αtan α＝23255＝53.2．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ．⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 3．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．解析：因为θ为第四象限角， 所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－434．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，所以cos α＝－35，sin α＝－45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73 B ．75 C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1， 所以cos 2θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角． 当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55， 此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tanα＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－310 8．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________． 解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1. 答案：－19．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( ) A ．153 B ．－153 C ．53 D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，15，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cosθ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34.又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34， 所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
1.2.1任意角的三角函数（A层学案）学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；2.记住诱导公式一并会应用。
学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。
学习难点：任意角的三角函数的定义。
一、课前预习案1．任意角三角函数(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y；②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x；③yx叫做α的________，记作______，即tanα＝yx(x≠0)．(2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为：sinα＝cosα＝tanα＝2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号记忆口诀：。
3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________，即：sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.二、课内探究案知识点一利用定义求角的三角函数值例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1：（1）已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.（2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．知识点二：三角函数值的符号问题例2.（1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( )αααα或tan α（2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”).(3)函数的值域是_______.变式训练2：判断下列各式的符号.(1)sin 370°+cos 370°.知识点三诱导公式一的应用例3求下列各式的值． (1) cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4 ; (2) sin 420° (3)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；变式训练3：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°课堂小结：当堂检测 1. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x 42cos =α，则αsin 的值为（ ）A.410 B. 46 C. 42 D. 410-2. α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则2α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 3. 已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则a 的取值范围是 。
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第一章 第三节 任意角的三角函数
一、复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？
RtABC
中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、
正切依次为_____sinA，Acos________，Atan________.
二、任意角三角函数的定义：
1．用终边上点的坐标定义三角函数.
角可放在坐标系中，在角的终边上
任取一点P(,)ab，点P与原点的距离22rab
_____sin
______cos ____tan
这三个比值对应相等，不会随P在角的终边的位置改变而改变
2．用单位圆与终边的交点坐标定义三角函数.
思考：怎样适当的选取P点使比值简化？
不难 想到，当1r时形式上比较简单，即
_____sin
______cos ____tan
而当1r时，可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆，交角的终边过
P
点．此时，点P与原点的距离1r．
其中，以______为圆心，以______为半径的圆为单位圆．
【典型例题】
例1、已知角α的终边过点P（－1,2）,求sinα, c o sα,tanα
变式练习：
已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值；
例2、角α的终边上有一点P（m，5），且)0(,13cosmm，则求sinα+cosα
例3、求43角的正弦、余弦和正切值．
解：角34与单位圆的交点坐标为 ，
则3sin4 ，3cos4 ，3tan4 .
变式练习
求32角的正弦、余弦和正切。
三、三角函数的符号
总结：正弦的正负由____的符号决定，余弦的正负由___的符号决定，
正切的正负由____的符号决定
例1．已知0cossin，求是第几象限角.
例2. 已知点P（cos,tan）在第三象限，则角在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、诱导公式一
问题：观察下列各组角有什么联系，并计算它们的三角函数值。
（1）30°，390° （2）-60°，780°
规律：终边相同的角，三角函数值相等，用公式表示如下：
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin
＋
cos
tan
例：判断下列三角函数值的正负
（1）)230cos(0； （2）313sin； （3）341cos647tan．
例：计算下列三角函数值
（1）0780sin； （2）613cos； （3）)49tan(．
四、三角函数线
1、有向线段: ____________________________的线段叫做有向线段．
2、正弦线、余弦线、正切线的作法
3、根据三角函数线得到的结论
①sin a的取值范围：___________________________________
②cos a的取值范围：___________________________________
③tan a的取值范围：____________是不是所有角都有正切值？
练：当a∈（0，）2时，比较a、sin a、tan a的大小