Lesson6集合类
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结在数学中，集合是一种用来描述事物的概念。
它由一组称为元素的对象组成，没有重复的元素，并且元素之间没有明确的顺序。
集合的概念在数学中非常重要，它被广泛应用于各个领域。
本文将对集合的基本概念、运算、性质以及常见的应用进行总结和探讨。
一、集合的基本概念：1. 元素：集合中的对象称为元素。
用小写字母表示，例如集合A={a，b，c}，a，b，c就是A的元素。
2. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
3. 相等关系：两个集合A和B相等，当且仅当A中的所有元素都属于B，且B中的所有元素都属于A。
4. 子集：若A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，用符号A⊆B表示。
5. 真子集：若A是B的子集且A≠B，则称A是B的真子集，用符号A⊂B表示。
二、集合的运算：1. 并集：将两个集合中的所有元素进行合并得到的新集合，用符号∪表示。
例如A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}。
2. 交集：两个集合中共有的元素构成的新集合，用符号∩表示。
例如A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩B={3}。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合中相同的元素所得到的新集合，用符号-表示。
例如A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A-B={1，2}。
4. 补集：对于给定的全集U，集合A相对于全集U中的元素不在集合A中的元素所构成的新集合，用符号A'表示。
三、集合的性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
4. 同一律：对于任意集合A，A∪∅=A；A∩U=A（其中U为全集）。
5. 非空律：任何一个集合与非空集合的并集等于非空集合本身。
小学集合知识点总结
小学集合知识点总结一、集合的基本概念集合是指具有某种共同性质的事物的总体，这些事物称为元素。
集合通常用大写字母来表示，元素通常用小写字母或数字来表示。
集合的表示方法有两种，一种是列举法，用花括号{}括起来，里面列出所有元素；另一种是描述法，用条件语句来描述元素的性质。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5} 表示集合A包含元素1, 2, 3, 4, 5。
B = {x|x是一个小于10的偶数} 表示集合B包含所有小于10的偶数。
二、集合的关系及特殊集合1. 包含关系如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A就是集合B的子集。
用数学符号表示为A⊆B。
2. 相等关系如果两个集合A和B具有相同的元素，那么它们是相等的。
用数学符号表示为A＝B。
3. 空集一个不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅或{}表示。
4. 全集包含所有可能元素的集合称为全集。
5. 自然数集、整数集、有理数集、实数集等这些都是特殊的集合，它们包括了不同类型的数，例如自然数集包括了1, 2, 3, 4, ...；而整数集包括了...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...；有理数集包括所有可以表示为两个整数比的数；实数集包括了所有实数。
三、集合的运算1. 交集集合A和集合B的交集，表示为A∩B，是指包含同时属于A和B的所有元素的集合。
2. 并集集合A和集合B的并集，表示为A∪B，是指包含属于A或者属于B的所有元素的集合。
3. 补集对于某个集合A，它的补集是指全集中不属于A的元素组成的集合，用A'或者A^c表示。
4. 差集集合A和集合B的差集，表示为A-B，是指属于A但不属于B的所有元素的集合。
5. 笛卡尔积对于两个集合A和B，它们的笛卡尔积是指所有形式为(a, b)的有序对的集合，其中a∈A，b∈B。
四、集合的性质1. 交换律对于任意两个集合A和B，有A∩B = B∩A和A∪B = B∪A。
2. 结合律对于任意三个集合A、B和C，有(A∩B)∩C = A∩(B∩C)和(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
新概念英语第三册Lesson 6
Lesson 6 Smash-and-grabPart 1 Words and Expressions(1) smash-and-grab n. 砸橱窗抢劫(the act of stealing from a shop by breaking a window and taking the goods you can see or reach easily)smash vt. 打碎，打破(to break into pieces violently)翻译：The dishes smashed on the floor.碟子摔碎在地板上。
绕口令：He dashed to smash the fashionable ashtray with cash.grab v. 抓住，攫取(to take hold of something with a sudden movement)猜测grab在以下词组中的含义grab a taxi 揽到车grab a bite to eat 随便吃几口(2) arcade n. 有拱廊的街道(两旁常设商店) (a covered passage between streets, with shops/ stores on either side)扩展：arc拱arch拱形Triumphal Arch 凯旋门archer 弓箭手(3) Piccadilly n. 皮卡迪利大街(4) jewellery n. 珠宝(objects such as rings and necklaces that people wear as decoration)辨析：jewel n. 宝石；jewellery 珠宝总称（集合名词）扩展：various kinds of jewellery: agate玛瑙；jade翡翠；ruby红宝石；sapphire 蓝宝石；diamond钻石(5) necklace n. 项链(a piece of jewellery consisting of a chain, string of beads, etc. worn around the neck)–lace n. 花边；带子鞋带shoelace knitted lace 针织花边(6) ring n. 戒指(a piece of jewellery that you wear on your finger, consisting of a round band of gold, silver, etc.)(7) background n. 背景(the part of a picture, photograph or view behind the main objects, people, etc.)词组：on the background of sth. 以……为背景扩展：remain in the background 处在幕后翻译：高等教育背景和良好的沟通技能都是这个工作所必须具备的。
Lecture 6
实例（续）
解：方法二：包含排斥原理 对上述子集计数： |S|=1000, |A|= ⎣1000/5⎦ =200, |B|=⎣1000/6⎦=166， |C|= ⎣1000/8⎦ =125, |A∩B|= ⎣1000/30⎦ =33, |B∩C| = ⎣1000/40⎦ =25, |B∩C|= ⎣1000/24⎦ =41, |A∩B∩C| = ⎣1000/120⎦ =8, 代入公式 N = 1000−(200+166+125)+(33+25+41)−8=600
5
集合与元素
元素与集合的关系：隶属关系 属于∈，不属于 ∉ 实例 A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1} 1∈A, 2∉A 注意：1）对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)， x∈A和 x∉A 两者成立其一，且仅成立其一. 2）集合中的元素是不相同的，并且没有次序关系 如： {3, 4, 5}、 {3, 4, 4, 5}、 {5 ,3, 3, 4} 是同一个集合
例: E={0,1,2,3,4}, A= {1,2,3}, B= {1,4}, C= {3} A∪B= {1,2,3,4}= B ∪A; A∩B = {1}= B∩ A A−B = {2,3}; B−A = {4}; C−A = ∅ A⊕B= {2,3} ∪ {4}= {2,3,4}; A⊕B ={1,2,3,4} - {1} = {2,3,4}; ∼A = {0,4}; ∼ B= {0,2,3} A−B = A ∩ ∼ B = {2,3}
10
幂集
定义
A的全体子集构成的集合 ，记作P(A)
P(A) = { x | x⊆A } 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n P(∅) = {∅} P({∅}) = { ∅,{∅} } P({∅, {∅}}) = { ∅,{∅}, {{∅}} ,{∅, {∅}} } P({1,{2,3}}) ={ ∅,{1},{{2,3}},{1,{2,3}} }
集合的概念说课稿
集合的概念说课稿
集合的概念是数学中非常重要的基本概念，用于描述一组事物的整体。
集合可以包含任何类型的对象，例如数字、符号、单词、图像、音频等等。
在集合中，每个对象都被称为元素，而集合本身则是由这些元素组成的。
在数学中，集合通常用花括号“{}”来表示，集合中的元素用逗号分隔。
例如，{1,2,3,4,5}表示一个包含了数字1到5的集合。
集合的元素可以重复，但是在集合中每个元素都是唯一的。
集合的特点包括：
1. 无序性：集合中的元素没有任何顺序，也就是说，集合中的元素可以以任意顺序排列。
2. 互异性：集合中的所有元素都是互不相同的。
3. 确定性：一个元素要么属于集合，要么不属于集合。
4. 无限性：集合可以包含无限个元素。
在集合中，常用的操作包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将
两个或多个集合中的所有元素合并在一起的操作，交集是指两个或多个集合中共有的元素，差集是指一个集合中除去另一个集合中的元素，而补集是指一个集合中没有的另一个集合中的所有元素。
集合是许多数学分支的基础，如集合论、代数学、数理逻辑等。
在计算机科学中，集合也是一种常用的数据结构，被广泛应用于算法设计、数据库操作、搜索引擎等等。
因此，学习集合的概念和操作对于数学和计算机科学的学习都非常重要。
新高一6次课集合与元素
第6次课：集合与元素一.集合概念1 、集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素.2、集合与元素的表示：集合通常用来表示，它们的元素通常用来表示。
3、元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说，记作，读作。
如果a不是集合A的元素，就说，记作，读作。
4.常用的数集及其记号：（1）自然数集：，记作。
（2）正整数集：，记作。
（3）整数集：，记作。
（4）有理数集：，记作。
（5）实数集：，记作5.集合表示方法：(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“｛｝”内，元素与元素之间用“，”分开，这样的表示方法叫列举法．(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．6.集合分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合叫有限集．(2)无限集：含有无限个元素的集合叫无限集．7.集合中的元素必须具有三大特性“”．①：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一．如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性，故0．001是否属于这个集合不能判断，所以这不能组成一个集合．②：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如：｛1，0，a2｝表示一个集合，则a≠±1．③：集合中的元素无先后顺序，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合．二、集合间的基本关系1 子集：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：A⊆B (或B ⊇A)，图1—1所示表示：这时我们也说集合A是集合B的子集．2 集合的相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．我们说集合A等于集合B，记作：A＝B．即对于集合A，B，如果A⊆B，同时B ⊇A，那么A＝B．3．真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A 是集合B的真子集，记作B A (或B A)．4．空集是5 知识拓宽含有n个元素的集合有几个子集？［例1］若A＝｛a，b｝；B＝｛x｜x∈A｝，则集合A与集合B的关系是( ) A．B⊆A B．B A C．B∈A D．B∉A［例2］已知A＝{x|x＜－1或x＞2}，B＝{x|4x＋p＜0}，当A⊇B时，求p的取值范围．［例3］下列集合中表示空集的是( )A．{x∈R|x＋5＝5} B．{x∈R|x＋5＞5}C．{x∈R|x2＝0} D．{x∈R|x2＋x＋1＝0}［例4］已知下列集合：（1）、1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x | x= 2k, k ∈N, k ≤3｝；（3）、3A =｛x | x = 4k ＋1,或x = 4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。
集合知识点总结高职
集合知识点总结高职一、集合的概念集合是指把确定的对象按一定的规律放在一起的一种组织形式。
集合中的每一个元素都是确定的，而且不重复。
集合用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示。
比如集合A={1,2,3,4,5}，其中1，2，3，4，5就是集合A的元素。
二、集合的分类1. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号“∅”或“{}”表示。
2. 有限集：包含有限个元素的集合称为有限集。
3. 无限集：包含无限个元素的集合称为无限集。
4. 单集：只包含一个元素的集合称为单集。
5. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。
三、集合的表示方法1. 列举法：直接列出集合中的元素。
2. 描述法：用一个性质或条件来描述集合中的元素。
比如集合A={x|x是自然数，且x<10}，表示集合A中的元素是小于10的自然数。
四、集合的运算1. 并集：设A和B是两个集合，那么A和B的并集，记作A∪B，就是由A和B中所有的元素组成的集合。
2. 交集：设A和B是两个集合，那么A和B的交集，记作A∩B，就是同时属于A和B的元素组成的集合。
3. 差集：设A和B是两个集合，那么A和B的差集，记作A-B，就是属于A但不属于B 的元素组成的集合。
4. 补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，那么A在U中的补集，记作A'，就是属于U但不属于A的元素组成的集合。
五、集合的关系1. 包含关系：设A和B是两个集合，如果A中的每一个元素都属于B，那么称A包含于B，记作A⊆B。
2. 相等关系：设A和B是两个集合，如果A包含于B，并且B包含于A，那么称A等于B，记作A＝B。
3. 互斥关系：设A和B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，那么称A和B互斥。
六、集合的性质1. 交换律：对于任意的集合A和B，A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 分配律：对于任意的集合A、B和C，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
集合类定义
集合类定义一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，一个班级里的所有学生可以组成一个集合，这个班级里的每个学生就是这个集合的元素。
集合通常用大写字母表示，如A、B、C等，而集合的元素用小写字母表示，如a、b、c等。
如果元素a属于集合A，我们记作a∈A；如果元素a不属于集合A，我们记作a∉A。
二、集合的表示方法1. 列举法•把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如，由数字1、2、3组成的集合可以表示为{1, 2, 3}。
•当集合中的元素较多，但有一定规律时，也可以用列举法的简略形式。
例如，由所有小于10的正奇数组成的集合可以表示为{1, 3, 5, 7, 9}。
2. 描述法•用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
例如，所有大于5的整数组成的集合可以表示为{x|x是整数且x > 5}，其中“x是整数且x > 5”就是描述元素x的条件。
三、集合的类型1. 有限集•含有有限个元素的集合称为有限集。
例如，集合A={1, 2, 3}是有限集，因为它只有3个元素。
2. 无限集•含有无限个元素的集合称为无限集。
例如，所有自然数组成的集合N = {0, 1, 2, 3,…}是无限集，因为自然数的个数是无限的。
3. 空集•不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
例如，方程x²+1 = 0在实数范围内的解组成的集合就是空集，因为这个方程在实数范围内无解。
四、集合间的关系1. 子集•如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称集合A 是集合B的子集，记作A⊆B。
例如，集合A = {1, 2}，集合B={1, 2, 3}，那么A⊆B。
•任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A。
空集是任何集合的子集，即∅⊆A。
2. 真子集•如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
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集合类主讲人：孙鑫
集合框架中的接口
所谓框架就是一个类库的集合。
集合框架就是一个用来表示和操作集合的统一的架构，包含了实现集合的接口与类。
提供这个接口直接的实现类。
：不能包含重复的元素。
SortedSet是一个。
：是一个有序的集合，可以包含重复的元素。
提供了按索引访问的方式。
：包含了key-value对。
Map不能包含重
SortedMap是一个按照升序排列key
List Map ArrayList LinkedList
SortedMap
HashMap
TreeMap
：我们可以将其看作是能够自动增
返回一个数组。
返回一个列表。
(Iterator) 给我们提供了一种通用的方式来访问集合中的元素。
删除的元素remove()
next()
natural ordering)；
(Comparator)接口。
Collections.max()、Collections.min()。
在已排序的List中搜索指定的元素：Collectons.binarySearch()。
是采用双向循环链表实现的。
(stack)、队列(queue)、(double-ended queue )。
一般将数据结构分为两大类：线性数据结
线性数据结构有线性表、栈、队列、串、数组和文件；非线
n为线性表的长度(n≥0)，n=0的表称为空表。
数据元素呈线性关系。
必存在唯一的称为“第一个”的数据元素；必存在唯一的称为“最后一个”的数据元素；除第一个元素外，每个元素都有且只有一个前驱元素；除最后一个元素外，每个元素都有且只有一个后继元素。
所有数据元素在同一个线性表中必须是相同的数
线性表按其存储结构可分为顺序表和链表。
用顺序存储结构存储的线性表称为顺序表用链式存储结构存储的线性表称为链表。
将线性表中的数据元素依次存放在某个存储区域中,所形成的表称为顺序表。
一维数就是用顺序方式存储的线性表。
data next＝null
data next＝null
data next data next＝null
data next
data next data next
previous
是一种后进先出(LIFO)的结构。
栈是限定仅在表尾进行插入和删除运算的线性表，表尾称为栈顶(top)，表头称为栈底(bottom)。
栈的物理存储可以用顺序存储结
构，也可以用链式存储结构。
a1a2
an …
栈底栈顶出栈
所有的删除都在表的另一端进行的线性表。
表中允许插入的一端称为队尾(Rear)，允许删除的一端称队列的操作是按先进先出(FIFO)的原则进行的。
队列的物理存储可以用顺序存储结构，也可以用链式存储
入队
a1 a2 a3 …an
队头队尾
(double-linked list)完成，其内每个对象除了数据本身外，还有两个
引用，分别指向前一个元素和后一个元素。
的开始处增加元素，或中进行插入和删除操作，我们应该LinkedList，否则的话，使用ArrayList将更加快速。
哈希表)，依靠
我们应该为要存放到散列表的各个对象定
以结点的关键字为自变量，通过一定的函数关系（散列函数）计算出对应的函数值，以这个值作为该结点存储在散
当散列表中的元素存放太满，就必须进行再散列，将产生一个新的散列表，所有元素存放到新的散列表中，原先的
语言中，通过负载因子(load factor)来决定何时对散列表进行再散列。
例如：如果负载因子是，当散列表中已经有75%的位置已经放满，那么将进
负载因子越高(越接近1.0)，内存的使用效率越高，元素的寻找时间越长。
负载因子越低(越接近0.0)，元素的寻找时间越短，内存浪费越多。
类的缺省负载因子是0.75。
来实现的。
是一个有序集合，TreeSet中元素将按照升序排列，缺省是按照自然顺序进行排
中元素要实现Comparable 我们可以在构造TreeSet对象时，传递实现Comparator接口的比较器对象。
算法实现的，其性能通。
我们通常都应该使用
，在我们需要排序的功能时，我们
进行散列。
entrySet()。
进行排序。
的速度通常都比
快，只有在需要排序的功能的时候，
Vector。
代替Hashtable。
Stack。