lzh17-1-2-a弯曲变形解析
第6章管道的热应力计算
L
-
l p
l p t1 Ty t0 L Lmin
转角管段的应力验算 直埋弯头的应力验算应满足：
bt 0.5 pt 3
31
转角管段的应力验算
内压作用下 环形应力
pt
Pd rbi
b
弯矩作用下最 大环形应力
不保温凝结水管 3.0 4.0 4.5 5.0 6.0 6.0 7.0 7.5 8.0 9.5 10.5 11.5 11.5 13.0
6.4 管道热补偿
补偿器的选用原则是：首先考虑利用管道弯曲的自然补
偿，当自然补偿不能满足要求时，再考虑设置方型补偿器、套管 补偿器、波形补偿器、波纹管补偿器等进行补偿。
6.4.1方型补偿器
11
6.4.1方型补偿器
方型补偿器需要确定如下参数： ⑴方型补偿器所补偿的管道热伸长量，按式6-
1计算确定； ⑵选择方型补偿器的型式和几何尺寸； ⑶根据方型补偿器的几何尺寸和热伸长量，计
算方型补偿器的弹性力，确定对固定支架产生 的水平推力的大小； ⑷对方型补偿器进行应力验算。
6.3.1 管道壁厚的确定
理论计算壁厚 ：
s'
PDw
2 '
P
计算壁厚 ： s'' s' C
C xs'
当焊接钢管产品标准中未提供壁厚允许负偏差百分数时， 管子壁厚附加值可采用下列数据：理论计算壁厚为5.5mm者， c=0.5mm；理论计算壁厚为6.0~7.0mm者，c=0.6mm；理论 计算壁厚为8.0~25.0mm者，c=0.8mm。管子壁厚的附加值 不得小于0.5mm。
– 过渡段是指一端固定（固定点、驻点、锚固点），另一端为 活动端，当管道温度发生变化时，能产生热位移的直埋管段
tb17钛合金室温变形及时效析出行为
Volume29Number10The Chinese Journal of Nonferrous Metals October2019 DOI：10.19476/j.ysxb.1004.0609.2019.10.11TB17钛合金室温变形及时效析出行为刘洪骁1，董洪波1，王喆鑫1，蔡增1，朱知寿2(1.南昌航空大学航空制造工程学院，南昌330063；2.北京航空材料研究院先进钛合金航空科技重点研究院，北京100095)摘要：针对TB17钛合金，研究不同工艺参数下的室温变形及变形后的时效析出行为。
通过组织观察及XRD分析，在应变量为0.22以下的室温变形状态以及经室温变形后在(350℃，0.5h)的低温时效过程中均发生马氏体相变；变形过程中产生的形变诱导马氏体及低温时效过程中产生的等温马氏体都属于板条型马氏体，且均在晶界附近析出；不同点在于等温马氏体呈平行规则分布，而形变诱导马氏体呈现不规则分布；在500℃长时间时效的条件下马氏体相全部分解，细小的α相沿着变形带结构析出，形成大量交错分布的条状α相。
在分步变形实验中，等温马氏体在二次变形中起到了降低变形抗力与减小弹性模量的作用。
关键词：形变诱导马氏体；等温马氏体；低温时效；弹性模量文章编号：1004-0609(2019)-10-2306-06中图分类号：TG166.5文献标志码：ATB17是我国新一代具有自主知识产权的航空用近β型钛合金，固溶处理状态具有中高强度与高塑性，冷成型性和可焊性好，经时效处理后强度可高达1400 MPa[1−2]，是理想的高强度航空材料。
β类钛合金在高温单相区固溶处理后能获得单一的亚稳β相，经快冷均能保留至室温组织中。
由于β相所属的体心立方比密排六方的α相滑移系要多，因此β类钛合金拥有良好的室温变形性能。
在之前的生产和研究中，时效工艺往往设置在变形完成后进行，其实质是将形变强化与析出强化相结合，这是因为室温变形过程中会产生大量的位错以及晶内剪切带等亚结构，一方面，能为相变提供形核点而细化晶粒[3−4]，另一方面大幅度提高材料的强度[5−8]；析出强化主要通过在时效过程中析出大量细小的α相达到提高强度的效果[9−13]，α相大量的析出造成α/β相界面的增多，阻碍位错运动最终使得材料强度提高，利用低温时效ω相辅助α相形核也只是增强弥散强化效果，但是这样做获得的效果通常只局限在使变形后的材料强度进一步提高，却无法实现材料在变形过程中塑性与韧性等性能的改善。
热变形参数对TC17合金的片状α球化过程的影响
-6-
合金片状组织开始球化最小真应变仅为 0.6（变形量约为 45％） ，达到 0.8 时就可以完全 球化。 3． 降低应变速率、提高变形温度不利于片状组织的球化。在应变速率低于 10-3s-1 时，即使 应变量超过 0.8 也未发生片状α球化。 因此，为了得到较为细小均匀等轴α组织，应该在较高的变形速率下适当降低变形温度 和提高变形程度。
图1
TC17 合金 920℃锻后空冷高倍组织
3. 实验结果与分析
3.1 高温变形行为
TC17 钛合金高温压缩变形时真应力真应变曲线如图 2 所示。
(a)
300 True Stress (MPa)
830 C
(MPa)
o
250 200 150 100 50
(b)
850 C 1s
-1
o
True stress
& ε =10-1s-1
(d)
& ε =1s-1
不同应变速率压缩的显微组织(850℃，ε=0.8)
在应变为 0.8, 变形速率为 0.1s-1 时变形温度对 TC17 合金显微组织的影响如图 5 所示。 图中可见，在 870℃变形时，原始的晶界α只是被切断或发生弯折，片状α组织没有发生明显 的球化；850℃变形后片状组织大部分球化，但图中还可见少量原始平直α相，片状α球化后 并非理想的球形，呈长椭圆形；在相对较低的 830℃时变形，片状状组织等轴化发生非常充 分，得到等轴α相的晶粒度也较高温下变形的组织更为细小。
Inconel617棒材Inconel617成分标准
Inconel617棒材Inconel617成分标准inconel617概述：Inconel617是在高温下具有优秀的机械型能的镍铬钴钼合金，该合金具有耐高温腐蚀性能，如氧化和碳化。
对应牌号：UNS NO7617，W.Nr.2.4663 ，NiCr23Co12Mo(德国)化学成分：C(％): 0.07Si(％): —Mn(％): —Cr(％): 22Ni(％): 54Mo(％): 9Co(％): 13W(％): —Al(％): 1Cu(％): —Ti(％): —Fe(％): —其他(％): —物理性能：密度g/cm3 8.4熔点℃1330-1380机械性能：热导率13.4(100℃)λ/(W/m?℃)比热容420J/kg?℃弹性模量212GPa电阻率 1.22μΩ?m线膨胀系数11.6(20~100℃) a/10-6℃-1力学性能：热处理方式固溶处理抗拉强度680σb/MPa屈服强度300σp0.2/MPa延伸率30σ5 /%金相组织结构：该合金为面心立方晶格结构，具有很好的晶相稳定性。
通过固溶硬化具有了优秀的高温强度，合金没有时效硬化。
工艺性能与要求：1、合金合适的热加工温度为1200-950℃，冷却方式可以是水淬或其他快速冷却方式，材料须在加热炉达到最高炉温时入炉。
2、该合金的晶粒度平均尺寸与锻件的变形程度、终锻温度密切相关。
3、合金焊缝附近的氧化物要比不锈钢的更难以去除。
机械或化学方法都可以采用，用机械方法时，要避免产生金属污染和高的表面变形。
在硝酸和氢氟酸的混合酸中酸洗之前，也要用砂纸去除氧化物或进行盐浴预处理。
4、合金很适合于焊接，包括钨电极电弧焊（GTAW/TIG）、手工电弧焊（GMAW/MIG）、脉冲弧焊和保护气体弧焊。
特性及应用：●在高达1100℃高温下具有很好的瞬时和长期机械性能●在1100℃时具有高抗氧化性●在1100℃时具有高抗碳化性●良好的焊接性能应用于工业和航空汽轮机部件、空气加热器、马弗罐和辐射馆、高温热交换器、阀和弹簧、高温气体冷却核反应堆，如核反应堆高温部件-氦/氦介质热交换器、化工设备、石化工业中的螺旋管和管道等。
马氏体钢制汽轮机阀杆氮化后的弯曲及防止研究
马氏体钢制汽轮机阀杆氮化后的弯曲及防止研究发布时间：2021-07-06T16:10:47.590Z 来源：《基层建设》2021年第11期作者：曾成[导读] 摘要：本文主要介绍了2Cr12NiMo1W1V、2Cr11Mo1VNbN等马氏体钢材料所制造的汽轮机阀杆（以下内容简称阀杆）在氮化后的弯曲变形超标现象，并针对该现象对阀杆的生产全流程进行了分析，最终确定了造成阀杆在氮化过程中产生变形的根本原因，同时针对其弯曲变形采取了一系列的预防控制措施，最终消除了马氏体钢制汽轮机阀杆氮化后弯曲变形超标质量问题。
东方汽轮机有限公司四川德阳 618000摘要：本文主要介绍了2Cr12NiMo1W1V、2Cr11Mo1VNbN等马氏体钢材料所制造的汽轮机阀杆（以下内容简称阀杆）在氮化后的弯曲变形超标现象，并针对该现象对阀杆的生产全流程进行了分析，最终确定了造成阀杆在氮化过程中产生变形的根本原因，同时针对其弯曲变形采取了一系列的预防控制措施，最终消除了马氏体钢制汽轮机阀杆氮化后弯曲变形超标质量问题。
关键词：马氏体钢；阀杆；弯曲；防止1引言1.1阀杆简介阀杆是汽轮机组阀门部套的关键零部件，在机组运行中通过阀杆的上下提升，控制与其连接的阀芯内部阀座、阀碟等相关零部件的运动，从而控制阀门进汽管道内蒸汽流的通断以及流量调节，最终实现汽轮机组以及发电机组的功率调节，直接关系到电厂的发电量输出控制以及电网负荷的调节[1、2、3]。
由于电厂覆盖地区用电需求的波动，发电机组需频繁的调节输出功率，因此汽轮机组中阀杆的提升运动十分频繁。
1.2阀杆的生产工艺流程阀杆在汽轮机机组内阀门内部环境的运行难点为高温蒸汽、轴向载荷、外圆频繁的相对滑动摩擦。
因此，对于汽轮机组阀杆的生产制造工艺上具有相当高的要求，其基本生产制造流程为：自由锻—调质—去应力退火—机械加工—氮化—精磨—装配。
现有汽轮机组阀杆主要采用2Cr12NiMo1W1V、2Cr11Mo1VNbN等屈服强度在650MPa以上的马氏体耐热钢制造，以保证其在最高600℃的高温蒸汽环境下仍具有相当的机械性能，而最终的氮化工序则可使其表面强化，在高温蒸汽、频繁轴向往复运行过程中提高自身的耐磨、耐蚀性能。
第7讲几何非线性与屈曲分析
主讲：练章华 教授
Lzh_CAE
16
6．子步 7．自动时间步长 8．载荷和位移方向 9．非线性瞬态过程的分析
主讲：练章华 教授
（1）子步数或时间步长 （2）自动时间步长
以载荷增量加 载，程序在每 一步中进行平 衡迭代
Lzh_CAE
17
四、非线性分析的基本过程
主讲：练章华 教授
非线性分析的步骤
1．建模 2．加载并求解 3．检查结果
主讲：练章华 教授
非线性问题需要 一系列带校正的 线性近似来求解
纯粹增量近似与牛顿啦普森近似的关系
计算响应 误差
真实响应
纯粹增量式解
Lzh_CAE
两给载荷增量
全牛顿－拉普森迭代求解
13
3．非线性求解的组织级别
非线性求解级别：
载荷步 子步 平衡迭代
载荷步2
子步 载荷步1
主讲：练章华 教授
载荷步 子步
rectng , 0 , 0.0032 , 0 , 0.0324
lesize , 2 , , , 20 , 1 lesize , 1 , , , 4 , 1
建模
mshape , 0 , 2d
mshkey , 1
amesh , 1 网格
fini
/solu
antype , 4
trnopt , full
lumpm , on
(m/s)
0
0.E+00
-50 -100 -150 -200 -250
2.E-05
(s)
4.E-05
6.E-05
8.E-05
1.E-04
Lzh_CAE
23
不同时刻等效应力及变形
铜钢铜冷轧复合薄带弯曲性能实验研究
收稿日期: ２０１８ － ０３ － ２２ 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(５１３７４０６９) . 作者简介: 陈敬琪(１９９２ － )ꎬ男ꎬ安徽宣城人ꎬ东北大学博士研究生ꎻ 刘相华(１９５３ － )ꎬ男ꎬ黑龙江双鸭山人ꎬ东北大学教授ꎬ博士生导师.
料ꎬ因此获得人们的青睐. 相对于纯铜和铜合金ꎬ铜 / 钢层状复合材料由
于其优异的力学性能、导电性能、低成本等特点而 深受关注. 近年来ꎬ铜 / 钢复合材料弯曲性能也越 来越受重视ꎬ该性能决定其使用寿命与应用领域ꎬ 电子通信行业中如机械弹片、电连接器端子等都 要求材料具有良好的弯曲性能. 于宝义等[１] 研究 了铜合金 － Ｑ１９５ － 铜合金三层复合板室温轧制
第４０ 卷 第５ 期 ２０１９ 年 ５ 月
东北大学学报( 自然科学版) Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ( Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ)
ｄｏｉ: １０. １２０６８ / ｊ. ｉｓｓｎ. １００５ － ３０２６. ２０１９. ０５. ００８
Ｖｏ ｌ. ４０ꎬＮｏ. ５ Ｍａｙ ２ ０ １ ９
Ａｂｓｔｒａｃｔ: Ｕｓｉｎｇ Ｑ３４５ ｓｔｅｅｌ ｓｔｒｉｐ ａｓ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ Ｔ３ ｐｕｒｅ ｃｏｐｐｅｒ ａｓ ｃｌａｄｄｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌꎬ ａ ｃｏｐｐｅｒ / ｓｔｅｅｌ / ｃｏｐｐｅｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｓｔｒｉｐ ｃａｎ ｂｅ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ａ ｐｒｏｃｅｓｓ ｒｏｕｔｅ ｏｆ ｃｏｌｄ￣ｒｏｌｌｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｎｇ － ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ａｎｎｅａｌｉｎｇ － ｃｏｌｄ － ｒｏｌｌｅｄ ｔｈｉｎｎｉｎｇ － ｐｏｓｔ ｒｏｌｌｉｎｇ. Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｉｐ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ａｎｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｏｎ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｓｔｒｉｐ ｗｅｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｂｙ ｒｅｐｅａｔｅｄ ｂｅｎｄｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ. Ｉｔ ｉｓ ｆｏｕｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｓｔｒｉｐ ｍａｉｎｌｙ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｌｄ￣ｒｏｌｌｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｄｕｒｉｎｇ ａｎｎｅａｌｉｎｇ. Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｔｒｉｐ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｂｅｃｏｍｅｓ ｔｈｉｎｎｅｒ ｄｕｒｉｎｇ ｒｏｌｌｉｎｇꎬ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｌｄ￣ｒｏｌｌｅｄ ｓｔｒｉｐ ａｌｍｏｓｔ ｌｉｎｅａｒｌｙ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ. Ｍｏｒｅｏｖｅｒꎬ ｔｈｅ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｍｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｉｐ ａｓ ｗｅｌｌ. Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ｈａｓ ａｎ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｗｉｔｈ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ: ｃｏｐｐｅｒ / ｓｔｅｅｌ / ｃｏｐｐｅｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅꎻ ｔｈｉｎ ｓｔｒｉｐꎻ ｂｅｎｄｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙꎻ ｃｏｌｄ ｒｏｌｌｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓꎻ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ
低碳钢材料扭转和平弯问题的有限元分析
从图 10 中，我们可以看出在悬臂梁在纯弯过程中弹性核的演变历史。图 10 的横轴是计算时间，纵轴是弹性区域占整个梁截面高度的百分比。在变形初期， 整个梁都处于线弹性变形阶段，继而由外向内进入塑性屈服阶段。在计算终止的 时候，弹性核仍占悬臂梁截面高度的 40%。
图 10 弹性核的演变
利用重新划分网格技术 在图 7 所示模型的基础上， 在 M 点加扭转位移载荷 3.14 弧度。 得到的 Mises 应力及模型变形结果如图 11 所示。基于图 11 的模型变形图，重新生成新的模型
5mm，长 80mm。它可以反映整个圆柱的受力－变形扭转性质。
图 3 圆柱扭转有限元计算中的模型示意图
-3-
Home
虽然几何模型为一个二维平面问题，但是在 ABAQUS 中，存在一种含扭转自 由度的二维平面单元。因此在定义边界条件的时候，选择几何模型一端固支，另 一端给定扭转位移载荷，比如给定扭转角为 720 度；并放松轴向约束，使之可以 沿轴向自由运动。 按照上一节中讲述的 UMAT 的方法编程， 并在 ABAQUS 的输入文件中给定材料 参数。 按照试验结果拟合的低碳钢材料的参数， 给定如下： 屈服应力 σ Y ＝3.0434 ×108 Pa，屈服应变 ε Y =0.0197，幂硬化指数 N = 0.212 ，泊松比ν＝0.275 。 在计算过程中，考虑几何非线性因素的影响。同时为研究圆柱在扭转过程中 是否出现局部化失稳现象，给出了非均匀的网格划分。 由于低碳钢圆柱扭转问题是一个包含有几何和材料非线性同时存在的问题。 参考有关非线性方程组的求解方法，利用 ABAQUS 软件并采用混合法进行计算。 在加载过程中，采用增量加载的方法，逐步施加位移载荷。同时在每一步施加位 移载荷的过程中，采用拟牛顿迭代法进行迭代，求解非线性方程组。在 UMAT 程 序内部， 利用全量理论直接求解每一迭代步中的应力、 应变和更新的雅克比矩阵。 在计算过程中，由于非线性问题的复杂性，模型在扭转到 612 度时，出现了 迭代不收敛现象，计算终止。变形后的模型如图 4 所示。
17钢标疑难解析pdf
17钢标疑难解析pdf
针对17钢标疑难解析的问题，我将从多个角度给出全面的回答。
首先，17钢标是指GB/T 699-2015《普通碳素结构钢》标准，
它是中国国家标准，适用于普通碳素结构钢的设计、生产和使用。
该标准对钢材的化学成分、机械性能、技术要求等进行了规定，是
钢铁行业的重要参考依据。
针对疑难解析的问题，可能是指在理解和应用17钢标时遇到的
困难或疑惑。
解析这些问题需要深入研读标准文本、了解相关背景
知识以及实践经验。
从标准文本的角度来看，疑难解析可能涉及对标准中具体术语、定义、测试方法、允许偏差等内容的理解。
在解析时，可以逐条解
读标准中的相关条款，查阅标准中的注释和附录，以及参考标准中
的解释说明。
此外，从实践经验的角度来看，疑难解析可能涉及到具体材料
的生产、加工、测试等环节中遇到的问题。
解析这些问题需要结合
实际情况，参考行业经验和专家意见，进行综合分析和判断。
另外，从相关背景知识的角度来看，疑难解析可能涉及到钢材的冶金学知识、材料力学性能的理论基础等。
解析这些问题需要深入学习相关知识，了解钢材的组织结构、相变规律、力学性能等方面的知识，并将其与17钢标进行对照分析。
总之，解析17钢标疑难问题需要综合运用标准文本解读、实践经验和相关背景知识等多个角度。
通过深入研究和思考，结合实际情况，可以找到合理的解决方案。
希望以上回答对你有所帮助。
17钢标疑难解析
17钢标疑难解析摘要：1.17 钢标的概念和重要性2.17 钢标的疑难问题3.17 钢标疑难问题的解析方法4.17 钢标疑难问题的具体解析正文：一、17 钢标的概念和重要性17钢标是指我国GB/T 20878-2007 标准中规定的17 种特殊钢的牌号和化学成分、力学性能、热处理制度等技术要求。
这些特殊钢在各个领域中具有广泛的应用，如轴承钢、工具钢、不锈钢等。
因此，了解和掌握17 钢标的相关知识对于钢铁行业以及机械制造等领域具有重要意义。
二、17 钢标的疑难问题在实际应用中，17 钢标可能会遇到一些疑难问题，如钢号和化学成分的匹配、力学性能的波动、热处理制度的选择等。
这些问题可能会影响到特殊钢的性能和使用寿命，甚至导致产品出现质量问题。
三、17 钢标疑难问题的解析方法针对17 钢标的疑难问题，我们可以采用以下几种方法进行解析：1.查阅相关标准和资料，了解钢号的定义和化学成分、力学性能、热处理制度等技术要求；2.分析问题的原因，从钢号、化学成分、热处理制度等方面入手，查找问题的根源；3.进行实验和检测，通过数据分析，验证问题的原因，并确定解决方案。
四、17 钢标疑难问题的具体解析以轴承钢为例，如果出现力学性能波动的问题，我们可以按照以下步骤进行解析：1.查阅GB/T 20878-2007 标准，了解轴承钢的钢号、化学成分、力学性能等技术要求；2.分析问题的原因，可能是化学成分偏离标准要求、热处理制度不合理等；3.对轴承钢进行化学成分分析和热处理制度检查，确定问题的原因；4.根据分析结果，调整化学成分或热处理制度，重新生产轴承钢，并进行检测，验证问题的解决。
总之，掌握17 钢标的相关知识，了解其疑难问题的解析方法，对于解决实际应用中的问题具有重要意义。
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M1x1
m l
x1
(0 x1 a)
17
例:求梁的 max、wmax y
FA
m l
FB
m l
A
2.列内力方程 FA
CB段： MO(F) 0
M2(x2) m FAx2 0
a
m
b
EI C
x2
l
m
B
x
FB
M2(x2)
x2
M 2 ( x2 )
FAx2
m
m l
x2
m
(a x2 l)
18
AC:
第11章 弯曲变形
11.1 弯曲变形的概念
1.弯曲变形问题实例
作业：11.2 (c), 11.3 (a)；11.6；11.8
1
2
3
2.弯曲变形的描述
y
挠曲线
弯曲使梁的 任意 x 截面 产生
w(x)
弯曲位移：
x x
F (1)截面形心的铅垂位移
——截面挠度w(x):向上为正
M
(2)截面绕中性轴转过的角度 M ——截面转角(x):逆时针转为正
(x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为
(x)
1
(x)
w(x)
3
[1 (w(x))2 ]2
小变形简化：
tan dw( x)
dx
1
(x)
w(x)
w(x)
M (x) EI
tan 45 1
w' dw
1
dx
弯曲位移：截面挠度w(x)、截面转角(x)如何求解？
6
w(x)
M (x) EI
xl
截面挠度w(x):
向上为正
14
最大挠度与哪些因素有关？
y
wmax
wB
Fl3 3EI
?
A
若 F=2KN 悬臂工件跨度为
l
l =1m，截面直径d =50mm，材料的 弹性模量E=200GPa，求B端挠度.
I d?4
wB
Fl3 3EI
2 103 13 64
3 200 109 504 1012
64
F
wB x
B
惯 性 矩
10.8m 0.0108m 10.8mm
讨论：若F´=2F=4KN，B截面挠度=？ w'B 2wB 讨论：若l´=2l=2m，B截面挠度=？ w'B 8wB
15
例 ：求图示梁的最大转角 max 、最大挠度 wmax
解：
y
a
m
b
1.求支反力 A
EI C
B
x
F MB(F) 0 A
y
F
dx
w(x)
(Fl
x2
1
2
Fx3
Cx
D) /
EI
A
26
x
Bx
4）由边界条件 确定积分常数
x 0, A 0? x 0, wA 0?
l
代入
CD00 求得
EI
EIw
dw dx
[Fl
[Flx 1 Fx
x2
1
2
Fx3
26
2 C
Cx
]x0
D]x
0
C? 0 D?
0
5）确定 转角方程 和挠度方程
dw [Flx 1 Fx2 ]/ EI
dx
2
w [Fl x2 1 Fx3]/ EI
26
12
y
F
讨论：是否要求记住 转角方程和挠度方程？
A x
l
B x dw [Flx 1 Fx2 ]/ EI
dx
2
w [Fl x2 1 Fx3]/ EI
要求记：
26
挠曲线近似微分方程
F
d2w dx2
z中性轴 O
有没有水平方向的位移？
x
M
4
y
(x)
=? (x)
w(x)
tan dw
dx
x
x
F
(3) 挠度方程 w = w (x)
(5)挠度和转角 有关系吗？
(4) 转角方程 = (x)
由平面假设及 小变形，得：
(x) tan (x) dw(x)
dx
5
11.2 梁的挠曲线近似微分方程
由静力关系结论： 1 M (x)
M1x1
m l
x1
y
2.AC段积分:
A
AC段：
d 2w dx2
M (x) /
EI
FA
w1(ax)
m w2(x)
b
EI C
B
x1
x
l
FB
d 2w1 dx2
x1 /
EI
积分 一次:
w1( x)
(1 2
m l
x12
C1) /
EI
(0 x1 a)
再积分 一次:
l
FB
FA l m 0
FA
m l
Fiy 0 FA FB 0
FB
m l
16
例：求图示梁的 max 、wmax
FA
m l
FB
m l
y
A
a
EI
2.列内力方程
x1
应分为两段列内力方程： FA
AC段： MO(F) 0
M1x1 FAx1 0 M1x1 FAx1
x1
m
b
C
B
x
l
FB
M1(x1)
（1）铰支座 yA
l
x 0, w ?0 A
B x x l , w ?0 B
A 0 B 0
（2）固定端 y
A
l
x 0, w ?0
B
x
x
0, A
A
dw dx
?0
9
11.3 积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠
y
度方程，并求最大转角和 最大挠度，梁的EI 已知。
mA A
解 1）求支反力
x
RA -F , m A -Fl
2）列出x截面的弯矩方程
l
RA
mO(F) 0 -M (x) F(l x) 0
M(x) F(l x)
M(x)
F
Bx
Fl Fx
M(x) mA RAx 0
M(x)
M(x) RAx mA
Fx Fl
d2w dx2
M (x) EI
10
3）列挠曲线近似 微分方程并积分
M(x) EI
l l1
l FN L EA
m
A
l mB
AB
Tl GI p
13
dw [Flx 1 Fx2 ]/ EI y
dx
w
[Fl
x2
1
2
Fx3 ] /
EI
A
26
x
F
B
wB
Bx
6）确定最大转角和最大挠度
l
max
?B
Fl2 2EI
xl
截面转角(x):
逆时针转为正
wm a x
?wB
Fl3 3EI
7
11.3 积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程 对上式积分一次，
d2w M (x) dx2 EI
得转角方程： θ(x) dw M ( x)dx C
dx
再积分一次，得挠度方程：
l EI
w(x)
θ(x)dx
l
ll
M(x) EI
dx
dx
Cx
D
其中，C，D为积分常数，
由边界条件确定
8
常见的支座约束条件——边界条件
符号的选择： 与y轴及弯矩M的符号规定有关
y M (x) > 0
y
M (x) > 0
M (x) < 0
弯矩
M (x) < 0 M的 符号
w d 2 wd2y
dxd2x 2> 00
x
w ddx2w2ddx2y2 <00
规定
x
O 取+号
挠曲线近似 微分方程为
O
d2w dx2
w( x)''
M (x) EI
y
mA
A
x
F Bx
M(x) Fl Fx
l
RA
d 2w dx2
M
(x)
/
EI
(Fl Fx) / EI
d2w dx2
M (x) EI
积分 一次
dw (Flx 1 Fx2 C) / EI
dx
2
再积分 一次
w( x) (Fl x2 1 Fx3 Cx D) / EI
26
11
dw (Flx 1 Fx2 C) / EI