弯曲变形1
材料力学(弯曲)
B
F1
FB
A
FA 如果作用在梁的外力和外力偶都在纵向对称平面内， 梁变形后，轴线将在纵向对称平面内弯曲。这种梁的弯曲 平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。 梁变形后的轴线与外 力在同一平面内
二、梁的类型
根据梁的支座反力能否用静力平衡条件完全确定， 可将梁分为静定梁和超静定梁两类。工程中的单跨静 定梁按支座的情况又可分为三种：
二、剪力和弯矩的符 号 1.剪切的符号
剪力的符号规则： 截面外法线顺时针转 90度后与剪力方向一 致时，该剪力为正； 反之为负。
Q+ Q+ Q Q
2.弯矩的符号
弯矩的符号规则： 使分离体弯曲成凹面 向上的弯矩为正；使 分离体弯曲成凹面向 下的弯矩为负。
M+
+
—
M+ M M
静定梁的形式: 外伸梁 悬臂梁
简支梁
三、载荷的形式:
F
集中力
集中力偶
分布力
M
q(x)
§9-2 梁的内力及计算
一、剪力与弯矩
如图a为一简支梁，并且梁上的所有载荷都在梁的纵向对称 平面内。现在利用截面法分析。用m-m截面假想将梁分为左右 两段，取左段进行分析。由b）图所示，因为有只返利FA作用， 为使左段满足∑Fy=0，截面m-m上必然有与FA反向的内力FQ存 在；同时因为FA对截面m-m的形心C点有一个力矩FAx,为了满 足∑MC=0，截面m-m上也必然存在一个与力矩FAx转向相反的 内力偶矩M。可见，梁弯曲时，横截面上存在着两种内力： F 剪力和弯矩 相切于横截面的内力FQ，称 FA 为剪力，单位为N或kN；
FA FB
M
x
(b)
FQ
C
第3章 弯曲
3 弯曲件中性层的位置
χ
α
ρr
ρ＝r＋χt 式中： ρ中性层弯曲半径； r内弯曲半径； t板厚； χ中性层位移系数 表3.1
图3.4 弯曲件中性层
表3.1
r/t χ r/t χ 0.1 0.21 1.3 0.34 0.2 0.22 1.5 0.36 0.3 0.23 2.0 0.38 0.4 0.23 2.5 0.39 0.5 0.25 3.0 0.40 0.6 0.26 4.0 0.42 0.7 0.28 5.0 0.44 0.8 0.30 6.0 0.46 1.0 0.32 7.0 0.48 1.2 0.33 ≥8.0 0.50
弯曲时尽可能使 弯曲时尽可能使 弯曲线与板料纤维方 向垂直。 向垂直。若弯曲线与 纤维方向一致， 纤维方向一致，则容 易产生破裂。 易产生破裂。此时应 增大弯曲半径。 增大弯曲半径。
弯曲线
弯曲结束后， 弯曲结束后，弹性变形 的恢复， 的恢复，使被弯曲的角度增 此现象称为回弹。 大，此现象称为回弹。一般 o 回弹角为0o 因此， 回弹角为 ～10 。因此， 在设计弯曲模时， 在设计弯曲模时，必须使模 具的角度比成品件角度小一 个回弹角。
五 弯曲件的工艺性及工艺安排
1 弯曲件的工艺性 对弯曲工艺影响最大的除了弯曲半径外，还有弯曲件的形状， 对弯曲工艺影响最大的除了弯曲半径外，还有弯曲件的形状， 材料及尺寸精度等。 材料及尺寸精度等。
1)对弯曲件尺寸的要求 1)对弯曲件尺寸的要求 （1）弯曲半径 r≥rmin rmin 为材料允许的最小弯曲半径。若r＜rmin，则需采取 1 工艺措施： 在弯曲园角内侧开槽，如图3.13；或采用退火增加材料塑性；或热弯等。 （2）弯曲件的直边高度 如图3.13。 （3）弯曲件孔到弯边的距离 如图3.12,当t＜2mm时，a ≥t；当t＞2mm时， a≤1.5t；当b＜25mm时,a1＞2.5t；当b ＞50mm时,a1≥3t。
弯曲变形区切向应变在板料厚度方向上按线性规律变化
三向应变
第四章 弯 曲
13
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第 2、宽板（B/t＞3）：
四 应力状态：
章
长度方向σ1：内区受压，外区受拉 宽度方向σ2 ：内区受压，外区受拉
厚度方向σ3 ：内外均受压应力
弯
三向应力
应变状态：
曲
长度方向ε1：内区压应变，外区拉应变
宽度方向ε2 ：内外区近似为零
厚度方向ε3 ：内区拉应变，外区压应变
章 为零。
厚度较小
弯
切向应变梯度很大
与最大应变的外表面相邻近的纤维
曲
层可以阻止外表面材料局部不均匀
延伸
延伸均匀 薄板最小弯曲半径允许
第四章 弯 曲
23
第 四 章
弯
第三节 弯曲卸载后的回弹
曲
第四章 弯 曲
24
第三节 弯曲卸栽后的回弹
第 一、回弹原因及表现形式
回弹： 塑性弯曲时伴随有弹性变形，当外载荷去
贴模： 板料与凸 、凹模完全贴紧
？
贴模后，凸模回程，继续下一个弯曲件的弯曲
自由弯曲
贴 继模 续后 下，一个凸弯模曲继件续的下弯压曲，压力增大到一定值后凸模回程，校正弯曲：
6
？
第四章 弯 曲
7
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第 二、弯曲变形的特点
目的：观察板料弯曲时的金属流动情况，
四 便于分析材料的变形特点
章 分析方法： 坐标网格法
弯
过程： 用机械刻线或照相腐蚀法在弯曲前 的板料侧表面设置坐标网格
曲
弯曲
用显微镜观察测量弯曲前后网格的尺 寸和形状变化情况
第四章 弯 曲
第一节 弯曲变形过程及变形特点
简述弯曲变形的变形特点
简述弯曲变形的变形特点
弯曲变形是指物体在外力作用下产生的弯曲形变。
它是许多结构和工程中常见的变形形式，具有以下几个特点。
首先，弯曲变形一般发生在杆件或梁上。
当外力施加在杆件或梁的端点处时，由于外力的作用，杆件或梁会发生挠度，也就是形成弯曲形状。
这种形变特点使得弯曲变形成为一种常见的结构设计和分析问题。
其次，弯曲变形是非常重要的因为它与结构的刚度和强度密切相关。
杆件或梁的弯曲刚度决定了结构的变形和挠度，而弯曲变形的刚度与杆件或梁的几何形状、材料性质以及外力大小有关。
因此，对于结构和工程设计而言，了解弯曲变形的特点和规律对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。
此外，弯曲变形的形态和分布是非常复杂的。
根据杆件或梁的几何形状、材料特性和外力条件不同，弯曲变形的程度和形态也会有所差异。
一些杆件或梁会出现单一的弯曲点，而另一些则会出现多个弯曲点，形成复杂的变形形态。
总结起来，弯曲变形在结构和工程中是一种常见的变形形式。
它具有杆件或梁上发生、与刚度和强度密切相关以及复杂的变形形态等特点。
了解和掌握弯曲变形的特点对于进行结构设计和分析工作至关重要。
弯曲变形文档
弯曲变形弯曲变形简介弯曲变形是指在受到外力作用时物体的形状发生弯曲的现象。
在力的作用下，物体会沿某个轴向发生曲率的变化。
这种变形是由于物体内部的应力分布不均匀造成的。
弯曲变形的现象普遍存在于日常生活和工程领域中，如桥梁、建筑物、杆件等。
弯曲变形的原理和影响因素在弯曲变形的过程中，物体经历了受力、应力和应变等过程。
受力物体受到的外力是引起弯曲变形的原因。
外力可以是静力或动力，来自外界的压力、重力、扭矩等。
不同类型的外力会对物体的弯曲变形产生不同的影响。
应力应力是指物体内部单位面积上的力。
在弯曲变形中，物体受到的外力通过内部的分子和原子之间进行传递，从而在物体内部产生应力。
应力的大小和方向直接影响着物体的弯曲程度和方向。
应变应变是指物体在受到外力作用后发生的形状变化。
应变可以分为线性应变和非线性应变两种类型。
线性应变是指弯曲变形的形状随应力成正比的变化。
非线性应变则是指物体在受到外力作用后，并不按线性规律进行变化。
影响因素弯曲变形的程度和形状会受到多种因素的影响：•材料的属性：材料的韧性、强度、刚度等属性会影响物体的弯曲变形。
•受力的位置和大小：外力的位置和大小直接决定了物体弯曲变形的形状和程度。
•物体的结构：物体的大小、形状、几何结构等都会影响其弯曲变形的方式和程度。
弯曲变形的应用和工程案例弯曲变形在工程领域中具有重要的应用价值。
许多结构和设备的设计都需要考虑弯曲变形的影响。
桥梁和建筑物桥梁和建筑物常常会受到各种外力的作用，如重力、风力、温度变化等。
这些外力会引起桥梁和建筑物的弯曲变形。
为了确保结构的稳定性和安全性，工程师需要考虑这些变形，并根据实际情况进行结构设计和加固。
杆件和承重构件杆件和承重构件在机械、航空航天和汽车等领域中广泛使用。
在受到载荷作用时，这些杆件会发生弯曲变形。
工程师需要根据载荷和弯曲变形来选择合适的材料和结构，以确保杆件的强度和稳定性。
弹性元件和弹簧弹性元件和弹簧在许多设备和机械中起到承载和缓冲作用。
第一至二节 弯曲变形过程分析
第二节 弯曲变形工艺计算
一、缷裁后弯曲件的回弹 1、回弹现象 塑性弯曲时伴随有弹性变形，当外载荷去除后，塑性变形 保留下来，而弹性变形会完全消失，使弯曲件的形状和尺寸发 生变化而与模具尺寸不一致，这种现象叫回弹。 2、回弹现象的表征及模具相关尺寸的修正 1）回弹的表现形式： ①曲率1/ρ减小,弯曲半径r 增大； ②弯曲中心角α减小，相应 弯曲角φ增大。
一、缷裁后弯曲件的回弹
4、减少回弹值的措施
1）选用合适的弯曲材料
2）改进弯曲件的结构设计 3）改进弯曲工艺 （1）采用校正弯曲代替自由弯曲； （2）对冷作硬化的材料须先退火，使其屈服点σs降低。对回 弹较大的材料，必要时可采用加热弯曲； （3）采用拉弯工艺。 4）改进模具结构 （1）补偿法 （2）校正法 （3）软凹模法
第二节 弯曲变形工艺计算
二、最小相对弯曲半径rmin/t 相对弯曲半径 r/t 是指弯曲件内侧圆角半径与板料厚度的 比值，表示板料弯曲变形程度的大小。
二、最小相对弯曲半径rmin/t
1、切向应变与相对弯曲半径的关系
由式 4-9 可见，弯曲变形的最大切向应变与相对弯曲半径 r/t成反比。因此，以相对弯曲半径表示弯曲的变形程度，r/t 愈小表示变形程度愈大。 2、最小相对弯曲半径rmin/t的概念 最小弯曲半径rmin： 在板料不发生破坏的条件下，所能弯成零件内表面的最小 圆角半径。 常用最小相对弯曲半径rmin/t表示弯曲时的成形极限。其值 越小越有利于弯曲成形。
二、最小相对弯曲半径t
3、影响最小相对弯曲半径rmin/t的因素 1)材料的力学性能： 塑性越好，许可的最小弯曲半径就越小。
2)弯曲中心角a： 弯曲中心角愈小，愈利于降低最小弯曲半径数值；当 a 为 60°-70 ° 时其影响就很小。 3)板料的方向： 弯曲时弯曲线垂直于纤维方向比平行时效果好，可得到较小 的最小弯曲半径。
弯曲与剪切变形的计算
弯曲与剪切变形的计算弯曲和剪切变形是材料力学中非常重要的概念。
在许多工程领域中，了解和计算弯曲和剪切变形对于设计和分析结构的性能至关重要。
本文将介绍弯曲和剪切变形的计算方法，并探讨它们的应用。
一、弯曲变形的计算弯曲是指材料在受力作用下沿弯曲轴线产生的变形。
弯曲变形的计算可以通过弯曲应变和弯曲应力来实现。
1. 弯曲应变的计算弯曲应变是材料在弯曲变形中的应变量。
假设材料长度为L，弯曲后的曲率半径为R，那么弯曲应变可以通过以下公式计算：ε = ρ / R其中，ε表示弯曲应变，ρ表示材料上某点的位置与原始中心线的偏移量，R表示弯曲后的曲率半径。
2. 弯曲应力的计算弯曲应力是材料在弯曲变形中的应力量。
弯曲应力可以通过以下公式计算：σ = M / S其中，σ表示弯曲应力，M表示弯矩，S表示抵抗弯曲变形的截面形状。
二、剪切变形的计算剪切变形是指材料在受力作用下平面内的切变变形。
剪切变形的计算同样可以通过剪切应变和剪切应力来实现。
1. 剪切应变的计算剪切应变是材料在剪切变形中的应变量。
剪切应变可以通过以下公式计算：γ = δ / h其中，γ表示剪切应变，δ表示平面内相邻点的位移，h表示两点间的距离。
2. 剪切应力的计算剪切应力是材料在剪切变形中的应力量。
剪切应力可以通过以下公式计算：τ = F / A其中，τ表示剪切应力，F表示应力面上的剪切力，A表示应力面的面积。
三、弯曲和剪切变形的应用1. 结构设计通过计算弯曲和剪切变形，可以评估结构在受力下的变形程度，从而进行结构设计的优化。
例如，在桥梁设计中，计算桥梁的弯曲和剪切变形可以确保结构的安全性和稳定性。
2. 材料选择了解材料在弯曲和剪切变形下的性能可以帮助工程师选择适合特定应用的材料。
不同材料的弯曲和剪切性能可能会有所不同，因此需要根据应用需求进行合适的选择。
3. 结构分析通过计算弯曲和剪切变形，可以对结构进行全面的分析。
这有助于理解和预测结构在受力下的行为，为结构的维护和优化提供依据。
第七章弯曲变形1
讨论：1、此梁的最大转角。
Fab ( L b) A ; 6 LEI
当 a ＞b 时——
Fb l
Fab ( L a) B 6 LEI
Fab ( L a) 6 LEI
max B
a
x1
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
Fb l
a
x1
F C
b
Fa l ymax y1 0 x1
L2 b 2 a(a 2b) 3 3
A
B
x2
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
右侧段（a≤x2≤L）：
Fa l
A
B
x2
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2 2 2 L b x1 6 LEI Fb 2 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 6 LEI y1
Fb x2 F ( x 2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIy2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6 EIy2
Fb l
a
x1
F
C
b
Fa l
b)写出微分方程并积分
A
右侧段（a≤x2≤L）：
B
左侧段（0≤x1≤a）：
x2
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIy2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
弯曲变形1
第六章 弯曲变形一、是非判断题6.1 正弯矩产生正转角，负弯矩产生负转角。
( ) 6.2 弯矩最大的截面转角最大，弯矩为零的截面上转角为零。
( ) 6.3 弯矩突变的地方转角也有突变。
( ) 6.4 弯矩为零处，挠曲线曲率必为零。
( ) 6.5 梁的最大挠度必产生于最大弯矩处。
( ) 二、填空题6.1 梁的转角和挠度之间的关系是 。
6.2 梁的挠曲线近似微分方程的应用条件是 。
6.3 画出挠曲线的大致形状的根据是 。
判断挠曲线的凹凸性与拐点位置的根据是 。
6.4 用积分法求梁的变形时，梁的位移边界条件及连续性条件起 作用。
6.5 梁在纯弯时的挠曲线是圆弧曲线，但用积分法求得的挠曲线却是抛物线，其原因是。
6.6 两悬臂梁，其横截面和材料均相同，在梁的自由端作用有大小相等的集中力，但一梁的长度为另一梁的2倍，则长梁自由端的挠度是短梁的 倍，转角又是 短梁的 倍。
6.7 应用叠加原理的条件是 。
6.8 试根据填题6.8图所示载荷及支座情况，写出由积分法求解时，积分常数的数目及确定积分常数的条件。
积分常数 个； 支承条件 。
连续条件是 。
6.9 试根据填题6.9图用积分法求图示挠曲线方程时，需应用的支承条件是；连续条件是 。
填题6.8图 填题6.9图 三、选择题5.1挠曲线近似微分方程形式为（ ）A.22dx y d = GI x M )(B. 22dx y d = EI x M )(C.22dx y d = GA x M )(D. 22dx y d = EA x M )(5.2用积分法求图示变截面梁自由端的挠度时，挠曲线近似微分方程应分（ ）段来列。
Ａ. 一段 Ｂ.二段 Ｃ..三段 D.四段5.3Ａ.0=A θ，0≠A yＢ. 0≠B θ，0=B y Ｃ. 0=B θ，0≠B y Ｄ. 0=B θ，三、计算题6.1 用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。
设EI =常量。
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
§6．3 用积分法求弯曲变形
Calculation of deformation in bending by integration
用积分法计算梁的挠度和转角 的一般步骤：
（1）建立坐标系
（2）分段写弯矩方程M(x)
（3）分段建立挠度近似微分方程
分段的原则：一是弯矩方程M(x)不同；二 是抗弯刚度EI有变化。
积分法的优点是普遍适用于求解等截面或
变截面梁在各种载荷情况下的转角、挠度 方程。 当仅需计算个别截截面的挠度、转角时， 其计算过程显得繁琐。
画梁挠曲线大致形状的依据
(1)根据弯矩M（x）的正负确定梁挠曲线凸凹;
(2)根据梁的支座的“约束条件”，即支座处的 位移情况； (3)梁的挠曲线为一连续、光滑的曲线；
没有约束无法确定位移
位移与变形的相依关系
比较二梁的受力、弯矩、变形与位移
位移与变形的相依关系
P
几点重要结论 位移除与变形有关外，还与约束有关; 总体变形是微段变形累加的结果; 有位移不一定有变形; 有变形不一定处处有位移。
§6．2 挠曲线的微分方程
一、梁的挠曲线近似微分方程式
教学要求
1.明确挠曲线、挠度和转角的概念；
2.深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立
过程；
3.掌握计算梁变形的积分Байду номын сангаас。
第六章
弯曲变形
Deformations in Bending
§6．1 工程中的弯曲变形 问题
工程实例
研究梁变形的主要目的： 1.对梁进行刚度计算； 2.求解静不定梁。 3.为研究压杆稳定问题提供理论依据。
2.挠度和转角(度量梁变形基本量)
转角(θ):横截面绕中性轴转动角度。转角
逆时针转向为正，顺时针转向为负。 转角θ等于等于挠曲线的法线与y轴的夹角 ，也等于挠曲线在x点的切线与x轴的夹角 。
3.挠度与转角之间的关系
y
转角
挠度 挠曲线
y
x
x
dv tan dx
约束对位移的影响
d xa dx
n
0
( x a)
n 1
n( x a)
( x a)
奇异函数的微分和积分
x a dx
n
0
( x a)
1 n 1 ( x a) C n 1 ( x a)
集 中 力 偶 作 用 的 情 形
弯矩方程的奇异函数表示
M ( M i ) M i x ai
定义 图形 微分和积分 弯矩方程的奇异函数表示 梁的挠度方程的奇异函数形式
奇异函数定义（Singular Function）
xa
n
0
( x a)
n
( x a)
( x a)
奇 异 函 数 图 形
奇 异 函 数 图 形
奇 异 函 数 图 形
奇异函数的微分和积分
积分时采取一些措施 独立积分常数减少为两个：C、D
1.写各段弯矩方程时，采用同一坐标系，即取梁 左端点为原点，向右为正。 2.写弯矩方程时，根据从坐标原点到所研究的截 面之间的一段梁上的外力来写弯矩方程。 3.写M(x)方程时,统一写成：力×力臂形式,力 臂在积分时作为一个独立自变量积分。 4.遇到分布载荷延长到梁的右端点，并在延长段 上加一个等值反向的分布载荷。
讨论与思考题
画梁挠曲线的大致形状。 q a a
B A
l
作
6．1(c),(d)
业
6．3(c)
6．4
(d)
*§6-3 计算梁位移 的奇异函数法
积分法需要分段建立与求解挠曲轴近似
微分方程，并确定许多积分常数，实际 应用很不方便。 本节所述奇异函数法，采用奇异函数， 建立同时适用于各梁段的弯矩通用方程 ，求解方法简捷规范，特别适合于计算 机的应用。
(4)利用对称性、反对称性。
画梁挠曲线大致形状的步骤
(1)画弯矩M（x）图；
(2)根据梁的支座的“约束条件”，即支
座处的位移情况；
(3)根据弯矩M（x）的正负确定梁挠曲线
凸凹；
(4)梁的挠曲线为一连续、光滑的曲线。
画梁挠曲线的大致形状
画梁挠曲线的大致形状
画梁挠曲线的大致形状
二、弯曲变形的基本概念
取直角坐标系xoy，原点取在梁的左端点，x
轴沿轴线方向,向右为正，y轴向上为正。
1.
梁在平面弯曲时，挠曲线是一条光滑连续 的平面曲线，可用连续函数v=f(x)或w =f(x)表示挠曲线方程。
挠度(v或w):梁上任一横截面形心C 在垂直于轴 线方向的线位移。挠度(v或w)向上为正。 在弹性小变形的情况下，沿轴线方向的位移属于 高阶微量，可以忽略不计。
（4）积分、确定积分常数
试求图示悬臂梁的转角方程和挠曲线方程,并确定θB和wB。
试求图示悬臂梁的转角方程和挠曲线方程,并确定θB和wB。
应用积分法时要注意以下几点
1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程 ，而对每一段进行积分时，必然要有两个积分常 数； 2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后 ，再来确定积分常数，并应了解到每段方程只适 用于一定的区间之内; 3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。 连续条件则在每一分段处有两个：一个是挠度连 续，另一个是转角连续；
计算梁变形的方法: 积分法、初参数法、虚梁法、图解法、叠 加法、差分法、奇异函数法、面积一力矩 法、迈克勒法、逐次面积矩法、拉普拉斯 变换法、三角级数法、能量法及虚位移法 、导线法、剪力面矩法、常数相等法、焦 点法、近似计算法、面积向量法、马克劳 林级数法、定积分法、位移置换法等等。 能量法又细分为几种方法，即卡氏定理、 单位载荷法、图形互乘法等等。
如何才能简化 确定积分常数的工作？
1.后一段梁的转角方程（挠曲线方程）中总是包 括了前一段梁的转角方程（挠曲线方程）每一项 ； 2.后一段梁的转角方程（挠曲线方程）中增加项 在分段处值为零;
C1=C2= · · · =Cn =C , D1=D2= · · · = Dn = D 积分常数C和D分别是梁在坐标原点处的转角和 挠度（或1/EI）。