材力-10-弯曲变形
板弯曲荷载计算公式
板弯曲荷载计算公式在工程设计中，板材的弯曲荷载计算是非常重要的一项工作。
通过计算板材的弯曲荷载，可以确定板材的受力情况，从而保证工程的安全性和稳定性。
本文将介绍板弯曲荷载的计算公式及其应用。
板材的弯曲荷载计算公式一般可以通过弯曲理论和材料力学知识推导得出。
其中，常用的板材弯曲荷载计算公式包括弯曲应力公式、弯曲变形公式和板材的抗弯强度计算公式。
首先，我们来看看板材的弯曲应力计算公式。
板材在受到外力作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是板材单位面积上的受力情况，可以通过以下公式计算：σ = M c / I。
其中，σ为板材的弯曲应力，M为板材上的弯矩，c为板材的截面中性轴到最外纤维的距离，I为板材的惯性矩。
通过这个公式，我们可以计算出板材在受到外力作用时的弯曲应力情况，从而确定板材的受力状态。
接下来，我们来看看板材的弯曲变形计算公式。
在受到外力作用时，板材会产生弯曲变形。
弯曲变形是板材在受力情况下发生的变形，可以通过以下公式计算：δ = M l / (E I)。
其中，δ为板材的弯曲变形，M为板材上的弯矩，l为板材的长度，E为板材的弹性模量，I为板材的惯性矩。
通过这个公式，我们可以计算出板材在受到外力作用时的弯曲变形情况，从而确定板材的变形情况。
最后，我们来看看板材的抗弯强度计算公式。
板材的抗弯强度是指板材在受到外力作用时所能承受的最大弯曲应力。
可以通过以下公式计算：f = M c / S。
其中，f为板材的抗弯强度，M为板材上的弯矩，c为板材的截面中性轴到最外纤维的距离，S为板材的截面模量。
通过这个公式，我们可以计算出板材在受到外力作用时的抗弯强度情况，从而确定板材的受力极限。
以上就是板材的弯曲荷载计算公式及其应用。
通过这些公式，我们可以计算出板材在受到外力作用时的受力情况、变形情况和抗弯强度情况，从而保证工程的安全性和稳定性。
在工程设计中，合理应用这些公式可以有效地指导工程实践，保证工程的质量和安全。
《材料力学》第四章 弯曲内力
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
弯曲变形区切向应变在板料厚度方向上按线性规律变化
三向应变
第四章 弯 曲
13
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第 2、宽板（B/t＞3）：
四 应力状态：
章
长度方向σ1：内区受压，外区受拉 宽度方向σ2 ：内区受压，外区受拉
厚度方向σ3 ：内外均受压应力
弯
三向应力
应变状态：
曲
长度方向ε1：内区压应变，外区拉应变
宽度方向ε2 ：内外区近似为零
厚度方向ε3 ：内区拉应变，外区压应变
章 为零。
厚度较小
弯
切向应变梯度很大
与最大应变的外表面相邻近的纤维
曲
层可以阻止外表面材料局部不均匀
延伸
延伸均匀 薄板最小弯曲半径允许
第四章 弯 曲
23
第 四 章
弯
第三节 弯曲卸载后的回弹
曲
第四章 弯 曲
24
第三节 弯曲卸栽后的回弹
第 一、回弹原因及表现形式
回弹： 塑性弯曲时伴随有弹性变形，当外载荷去
贴模： 板料与凸 、凹模完全贴紧
？
贴模后，凸模回程，继续下一个弯曲件的弯曲
自由弯曲
贴 继模 续后 下，一个凸弯模曲继件续的下弯压曲，压力增大到一定值后凸模回程，校正弯曲：
6
？
第四章 弯 曲
7
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第 二、弯曲变形的特点
目的：观察板料弯曲时的金属流动情况，
四 便于分析材料的变形特点
章 分析方法： 坐标网格法
弯
过程： 用机械刻线或照相腐蚀法在弯曲前 的板料侧表面设置坐标网格
曲
弯曲
用显微镜观察测量弯曲前后网格的尺 寸和形状变化情况
第四章 弯 曲
第一节 弯曲变形过程及变形特点
模具设计基础-第三章 弯曲工艺与弯曲模具设计
当t 2mm ，S t 当t 2mm ，S 2t
模具设计基础 第三章 弯曲工艺与弯曲模具设计
5．止裂孔、止裂槽 如图 3.12 所示， 当局部弯曲某一段边缘时， 为了防止 尖角处由于应力集中而产生裂纹，可增添工艺孔、 工艺槽或 将弯曲线移动一定距离， 以避开尺寸突变处， 并满足b≥t， h=t+r+b/2的条件。
弯曲件的结构工艺性对弯曲生产有很大的影响。弯曲件良 好的工艺性，不仅能简化弯曲工序和弯曲模的设计，而且还能 提高弯曲件的精度、节约材料、提高生产率。 （1）弯曲件的形状 弯曲件的形状一般应对称，弯曲半径应左右一致，如图 所示。图(b)所示形状左右不对称，弯曲时由于工件受力不平 衡将会产生滑动现象，影响工件精度。
3.7补偿法
模具设计基础 第三章 弯曲工艺与弯曲模具设计
2) 校正法 校正弯曲时，在模具结构上采取措施，让校正压力集 中施加在弯曲变形区，使其塑性变形成分增加，弹性变形 成分减小，从而使回弹量减小，如图 3.8 所示。
3.8 校正法示意
模具设计ห้องสมุดไป่ตู้础 第三章 弯曲工艺与弯曲模具设计
四、弯曲件的工艺性
模具设计基础 第三章 弯曲工艺与弯曲模具设计
3．回弹 由于影响回弹的因素很多，各因素之间往往又互相影 响，因此很难实现对回弹量的精确计算和分析。在模具设 计时，对回弹量的确定大多按经验确定(也可查有关冲压资 料进行估算)，最后通过试模来修正。 在模具设计时，要尽可能消除或减小回弹的影响响(指 消除回弹对弯曲件的影响，但并不能消除弯曲件的回弹现 象)。
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第六章弯曲变形判断弯曲变形1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线”2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比”3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程”4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
”6、“最大挠度处的截面转角一定为0”7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大”8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。
”9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求”10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”选择弯曲变形1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的倍；最大挠度是原来的倍。
若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的倍，最大挠度是原来的倍。
A：2； B：16 C：8 D：4；2、y’’=M(x)/EI在条件下成立。
A：小变形； B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C；3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在处。
A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；4、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。
A：减小集中力P； B：减小梁的跨度；C：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/I Z,②y’’=M(x)/EI Z哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误； C:①错误、②正确； D：①错误、②错误；6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是。
木材弯曲变形原因
木材弯曲变形原因
一、木材弯曲变形原因
1.湿度的影响：在潮湿的环境下，木材容易吸收水分而发生弯曲；
2.力的影响：木材在受到外力作用时，会发生弯曲变形；
3.木材品种的影响：不同的木材品种，因其纤维的不同分布会对弯曲度产生影响；
4.木材结构的影响：木材的结构会对弯曲度产生影响，如截面形状和木材含水量的不同等。
二、解决方法
1.控制湿度：在木材加工过程中，要控制好木材的湿度，特别是在湿度较高的季节加工木材，要采取相应的措施，如在油漆表面刷一层防锈油等；
2.热压弯曲：经过热压后的木材，可以改变木材的结构，使得弯曲度得到控制；
3.使用强度高、材质均匀的木材；
4.使用钢筋等辅助材料，加强木材的支撑和承受力；
5.在木材旁边加装托板，防止木材因弯曲太大而破裂。
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。
剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。
【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：yερ=物理关系：Ey σρ=静力关系：0N AF dA σ==⎰，0y AM z dA σ==⎰，2zz AAEI EM y dA y dA σρρ===⎰⎰中性层曲率：1MEIρ=弯曲正应力应力：，My Iσ=，max max z M W σ=弯曲变形的正应力强度条件：[]maxmax zM W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F bh F S S 2323max ==τ工字形梁弯曲切应力：dI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F dh F S S ==max τ圆形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F S 34max =τ弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =-梁的转角方程：1()dwM x dx C dx EIθ==-+⎰ 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 练习题一. 单选题1、 建立平面弯曲正应力公式zI My /=σ,需要考虑的关系有（）。
查看答案A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系B 、变形几何关系，物理关系，静力关系；C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系D 、平衡关系, 物理关系，静力关系；2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。
查看答案A 、平衡条件B 、边界条件C 、连续性条件D 、光滑性条件3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（）。
材力第十章
向力 Fz = 10 kN；在齿轮 2 上，作用有切向力 F'y = 5 kN、径向力 F'z = 1.82 kN。若许用应力 [ ]=100 MPa，试根据第四强度理论确定轴径。
题 10-13 图 解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图 10-13a 所示。内力图（ M z , M y 和 T ）分 别示如图 b,c 和 d。
其相当应力为 (b)
比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面 A-A 上水平直径的左端点，其相当应力如 式(b)所示。 顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求 ( ) 与 τ ( ) ，再求 σ r3 ( ) 。这里的
5
从截面 A-A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将 σ r3 ( ) 对 求导，寻找其极值位置，找 到的极值位置是 0 ，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。
5.19 102 m 51.9 mm
10-16
图示钢质拐轴，承受铅垂载荷 F1 与水平载荷 F2 作用。已知轴 AB 的直径为
d，轴与拐臂的长度分别为 l 与 a，许用应力为[]，试按第四强度理论建立轴 AB 的强度条件。
题 10-16 图 解：将载荷 F1 与 F2 平移到截面 B 的形心，得轴 AB 的受力如图 b 所示。 显然，固定端处的横截面 A 为危险截面，该截面的轴力、扭矩与弯矩分别为
试求偏心距 a 的许用值。
题 10-8 图 解：1.确定内力
FN 250kN，M y Fa 2.50 105 a (N m) M z 0.050F 0.050 250103 N m 1.25104 N m
2．计算 Iz，Iy 及 A
0.100 0.1203 0.080 0.0803 4 )m 1.099105 m 4 12 12 3 0.020 0.100 0.080 0.0203 4 Iy ( 2 )m 3.39 106 m 4 12 12 A (0.100 0.020 2 0.080 0.020)m2 5.60 103 m 2 Iz (
材料力学第六版答案第10章
第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。
试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。
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已知：L = 4 m，Fp= 7 kN，E=200 GPa，[ymax/L] = 0.0045，试确定工字钢的型号。
解：
ymax
FP L3 48EI z
Iz
FP L2 48E ymax
L
∴选定14# 。
ymax FP L2 ymax L 48EIz L
7 103 42 48 200 109 0.0045
yC yC1 yC2
q(2a)4 yC1 8EIZ ()
yC 2
yB2
B2a
7qa 4 24 EI Z
()
yB2
qa 4 8EIZ
()
B2
qa 3 6EIZ
(
)
yC yC1 yC2
2qa 4 7qa 4 41qa 4
()
EIZ 24EIZ 24EIZ
组合方法二：逐段刚化法
方法：
将杆件系统分解为n段，分n次变形。假设每 次只有一段变形，其它段均作为刚性处理（可以 使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得 变形量。
以用端部的挠度fB表示
P a 3
fB
22
3EI
挠度
P a 2
2 2 3EI
转角 a 2
P 2
a 3
挠度
2
3 16
Pa3
3EI
96EI
11 Pa3 96EI
fC
fB
11 96EI
Pa3
§6-5 简单的静不定梁
与杆件静不定问题的解题方法类似，除了平衡方程 外 ， 还 需 要 建 立 变 形 协 调 方 程 （ compatibility equation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系， 即物理方程或称本构方程（constitutive equations）。
刚度设计举例
对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根 据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或 者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足 弯曲刚度设计准则(criterion for stiffness design)：
ymax y
max
上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均
对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性 轴不对称的截面
二、采用变截面梁
P
最好是等强度梁，即
x
max(x)
M W
(x) (x)
[
]
若为等强度矩形截面，则高为：
h(x) 6M (x)
b[ ]
在工程应用中则广泛采用变截 面梁，如：在机械工厂中，行车 多采用鱼腹梁形状。
三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小
B
=
Pa2 2EI
()
M
B
a
yB
=
Ma2 2EI
()
B
=
Ma EI
()
M=a*P/2
A P
A
=P
+A
2
2
P
a
a
a
a
2
a
a
组合方法五：利用对称性(仅适合求简支梁中点位移)
从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称
矩阵之和的形式: [ F ]= [ F ]symm + [ F ]antisymm, 对于轴对称的结 构,力也可以同样分解. 例如
XA=0 ,
YA =5ql /8 ,
YB =3ql /8 , MA= ql 2/8
§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
刚度
f M (x) EI z
一、选择梁的合理截面
矩形木梁的合理高宽比
h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:
R
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为
的可能性却增大了，这点应引起注意。
五、选用高强度材料，提高许用应力值
同类材料，如钢材“E”值相差不多，“s”相差较大，故
换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。
不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜 E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性 的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的 改变！
例3 求图示悬臂梁的 yc
AB
q
a
aC
=
PB mB
AB
C
yB1
B1 yC1
aa
+
AB
aa
C
yC 2
先假设 BC 段刚性，只有 AB 段变形
yC1 yB1 B1a
yB1
PBa 3 3EIZ
mBa2 2EIZ
7qa 4 12 EI Z
()
B1
PBa 2 2EIZ
mBa2 EIZ
qa 3 EIZ
例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的 挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支 架。
q L
q
L/5
L/5
q L/2 L/2
qL2 M
8
M
qL2 40
x
ym
a
x0.013
qL4 EI
x
qL2 50
ym
ax0.7875
10
3
qL4 EI
M
9qL2 /512
x
qL2 32
合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面
z
Wz1
D3
32
D
对于正方形 当 D2 a2时, a D
4
2
a
z
Wz 2
bh2 6
(
D )3
2 6
D3
48 =1.18Wz1
a
I
z
2
bh3 12
1.05
I
z1
圆环形截面 z
P
M
PL/4
+
L/2
L/2
x
PL3
ymax0.021 EI
P
M 3PL/16
L/4
3L/4
P=qL
x
ym
a
x0.014
PL3 EI
M
qL2/10
对称
L/5
4L/5
x
ym
ax0.0073
PL3 EI
调整跨长,改善结构形式，减少弯矩数值 因此,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I 外，
主要是减小梁的长度l。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支 座。
ym
ax0.32610
3
qL4 EI
四、防止薄壁梁的侧向屈曲
1.矩形纯弯梁的临界载荷
M z
x
y
M
cr
b
GE L
IY IZ
2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷
h M
M
z x
y
c
r
L
E h
2L
2 ( IY IZ
) 2 EG
IY2
I
2 Z
IY IZ
由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳
§6-4 用叠加法求弯曲变形
1、叠加法（superposition method）的基本概念
对于线性系统，各变量是关于系统的线性函数。 则其解可以线性叠加。
如果方程 y1 = f1 x 和 y2 = f2 x 均为线性
则： y f1 ( x ) f 2 ( x )
P1 P2
P1
P2
A
B= A
端铰支梁的弯曲刚
q
度为EI、长度为l。
A
B
l
求: 梁的约束力
解：1、平衡方程:
q
MA
XA=0
XA
A
l
B
YA
YA+YB - ql=0
YB
MA
+ YB
l
-
ql2 2
=
0
2、变形协调方程： MA
XA
yB=yB(q)+yB(FBy)=0
A YA
3、物理方程：
yB(q)=ql4/（8EI） yB(FBy)= - Ybl 3 /（3EI）
B +A
B
2、叠加法求弯曲变形
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和 位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以 及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠 加法（superposition method）由现有的挠度表 可以得到在很多复杂情形下梁的位移。
当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以 将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表 查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠 加后，便得到几种载荷同时作用的结果。
(
)
+
P
A2
q( 2a )3 16 EI Z
qa 3 2EIZ
(
)
A
C
a
a
B
A
A1
A2
5qa 3 6EIZ
(
)
组合方法一：增减载荷法
例2 求图示悬臂梁的 yc
AB
q
a
aC
q
C
q
aa
（1）
a
q
aC
（2）
yB B
a q Ba C
q Al
B
y B B
yB
B
ql4 8EIZ
ql3 6EIZ
a
A
B
a
q