晶体中结构基元的确定
晶体结构
晶体结构和布拉菲格子的区别
晶体结构和布拉菲格子的区别
基矢 原胞 晶胞（单胞）
初基元胞 点阵的基本 平移矢量。
有多种取法。
12面体
14面体
布拉伐格子 晶向 晶面
标志？
互质的整数（h1h2h3）-----晶面指数
若以单胞的棱a，b，c为坐标系对应的指数（h1h2h3）----miller index
33 23
13
32 22 12
31
33 11
21 31 13;32 12 32 0
11
23 21 21 0
同样若沿Z轴作对称操作-转动900
0 1 0 A 1 0 0
0 0 1
A1A
22
0
0
11
0
13
11
0
0
22
13
0
0 31 33
31 0 33
7晶系14种Bravais Lattice介绍
可以证明，由于对称性的要求，共有14种Bravais Lattice， 分为7个晶系（点阵只有7种点群）。 对称操作群{D/t} D--点（宏观）对称操作; t--平移对称操作. 点阵点群-------{D/t=0}7个7个晶系 点阵空间群-------{D/t}14个14 lattices
绪论
������ 固体物理是研究固体的结构和其组成粒子之间的相互作用 及运动规律，以阐明其性能和用途的学科。
固体的分类 晶体（晶态）：原子按一定的周期规则排列的固体（长程有序)。 非晶体（非晶态）：原子排列没有明确的周期性（短程有序)。
[理学]1-1 第一章 晶体的结构布拉伐格子、原胞_OK
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Be2O3晶体内部结构
Be2O3玻璃内部结构
4
多晶体：由两个以上的同种或异种单晶组成的结晶物质。
其中各单晶通过晶界结合在一起的。多晶由成千上万的晶粒构 成，晶粒的尺寸大多在厘米级至微米级范围内变化，多晶没有 单晶所特有的各向异性特征。
液晶：一些晶体当加热至某一温度时转变为介于固体与液体
之间的物质，在一维或二维方向上具有长程有序。当继续加热 至温度时，转变为液体。
5
准晶体：1984年Shechtman等人用快速冷却方法制备的
AlMn准晶体，用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之间的 物质结构。
6
最简单、最常见的晶格结构
原子的正方堆积
17
原胞
• 最小的重复单元，包含一个格点 • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏，
也没有重叠 • 选取方法可以不只是一种，但体积相同 • 三维 • 二维 • 一维
18
最小重复单元
19
原胞的多重选择
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
20
Wigner-Seitz原胞
• 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 这些中垂面所包含最小体积的区域
结点的总和基元点阵晶体结构结构具体用没有大小的几何点来代表基元这种点在空间排列成阵列点阵基元平移没有转动地放在点阵上晶体结构基元将填满所有空间没有重叠也没有遗漏思考
第一章、晶体的结构
1
晶体特征
• 物理：固定熔点，长程有序，解理性 • 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、夹角
守恒
2
3
晶体化学基本原理2012
结构投影图：（俯视图）用标高来表示，0－底面；25－ 1/4；50－1/2；75 －3/4。（0－100；25－ 125；50－150是等效的） 配位数： CN＋＝CN－＝4；极性共价键，配位型共价 晶体。
配位多面体： 〔ZnS4〕四面体，在空间以共顶方式相连接 属于闪锌矿型结构晶体有：β－SiC；GaAs；AlP；InSb等。
阳离子的配位数与阴阳离子半径比 的关系：正离子总是在自己 半径所允许的条件下，具有尽可能高的配位数，使得正负离子 相接触而负离子之间稍有间隔，使体系处于最稳定状态。
（二）第二规则（静电价规则）：
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离子到达一 个阴离子的静电键的总强度，等于（或近似等于）阴离子的电 荷数。
位移性转变：质点间位移、键长、键角的调整，转变速 度快（高低温型转变）。 重建型转变：旧键的破坏，新键的形成，转变速度慢。
例：SiO2 β-石英 α-石英
573℃
α-石英 α-磷石英
位移性转变，需能量低 重建型转变，转变慢
870℃
2. 根据多晶转变的方向，可分为：
可逆转变： 当温度高于或低于转变点时，两种变体可以反 （双向转变） 复瞬时转变，位移性转变都属于可逆转变。
（四）第四规则：——第三规则的推论 在一个含有不同阳离子的晶体中，电价高而配位数小的 那些阳离子不趋向于相互共有配位多面体的要素。
共顶、共棱和共面
例： 岛状镁橄榄石（Mg2SiO4） Si4＋斥力较大，使得[SiO4]间互不相连，以孤立状态存在； 而Si4＋与Mg2＋间斥力较小，[SiO4]与[MgO6]之间共顶和共棱 相连，形成较稳定的结构。
共价键 4
NaCl型
NaCl型
ZnS型
（四）电负性 各种元素的原子在形成价键时吸引电子的能力。
晶体结构的基本结构单元
晶体结构的基本结构单元
晶体结构的基本结构单元主要有三种：原子、分子和离子。
这些基本结构单元在空间中按照一定的规律排列，形成了具有周期性的三维结构。
1.原子：原子是构成物质的基本粒子，它们按照一定的顺序排列在晶体中，形
成一种重复的模式。
原子的排列方式直接决定了晶体的物理和化学性质。
例如，金属原子按照一种被称为“金属键”的强力键合排列，这使得金属具有良好的导电性和导热性。
2.分子：分子是由两个或更多原子通过共价键结合在一起的。
在晶体中，分子
可以是链状、网状或者层状排列。
分子的排列方式会影响分子的化学性质和物理性质。
例如，在石墨中，碳原子以层状排列，每层之间的相互作用很弱，因此石墨可以轻易地在层之间滑动。
3.离子：离子是带有电荷的原子或分子。
在晶体中，离子通常通过离子键或者
共价键结合在一起。
离子的排列方式会影响晶体的离子导电性和耐压性。
例如，在食盐（NaCl）中，钠离子和氯离子通过离子键结合，这种键合方式使得食盐具有良好的导电性和耐压性。
晶体的结构基元
晶体的结构基元晶体是由原子、离子或分子排列有序形成的固体物质，其结构由基元构成。
基元是指晶体中最小的、可重复排列的结构单元，它决定了晶体的性质和结构。
本文将介绍晶体的结构基元，包括晶格、点阵、Bravais格子、基本晶胞和原胞等。
一、晶格晶格是指在三维空间中无限延伸的点阵，它描述了晶体中原子或离子的排列方式。
每个点代表一个原子或离子，在不同类型的晶体中，这些点按照不同的方式排列。
晶格可以用一个简单单元重复填充整个空间，这个简单单元称为基本晶胞。
二、点阵点阵是指在平面上无限延伸的点阵，它描述了二维物质中原子或离子的排列方式。
每个点代表一个原子或离子，在不同类型的二维物质中，这些点按照不同的方式排列。
与三维空间类似，二维物质也可以用一个简单单元重复填充整个平面。
三、Bravais格子Bravais格子是指在三维空间中无限延伸的点阵，它描述了晶体中原子或离子的排列方式。
Bravais格子包括14种不同类型，每种类型有不同的对称性。
这些对称性可以通过晶体中原子或离子的排列方式来描述。
四、基本晶胞基本晶胞是指最小的、可重复填充整个晶体空间的三维单元，它由一组基元构成。
在一个基本晶胞中，包含了整个晶体结构的所有信息。
不同类型的晶体具有不同形状和大小的基本晶胞。
五、原胞原胞是指在三维空间中无限延伸的点阵中最小的、可重复填充整个空间的三维单元，它由一组基元构成。
原胞可以用来描述Bravais格子和基本晶胞之间的关系。
在一个原胞中，包含了整个Bravais格子结构和所有可能出现的基本晶胞。
六、小结以上介绍了晶体结构中最重要的几个概念：晶格、点阵、Bravais格子、基本晶胞和原胞。
这些概念是理解和描述各种物质结构特征所必需的。
通过深入理解这些概念，可以更好地理解晶体结构和性质，为材料科学和化学研究提供基础。
第一章 晶体结构
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
晶体结构
§1.1 晶格的周期性
一、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。
定义:
各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重
复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式
Ra为n3 基 n矢1a1， n。2为Ra其2n 布中n拉3a，3菲、格子、的取n格1整矢n数2，，n或3 称、正、格矢a。1
3、金刚石结构（ diamond ）：
碳的同素异构体。 经琢磨后的金刚石又称钻石。 无色透明、有光泽、折光力极强，最硬的物质。
金刚石结构是复式晶格结构，基元中有两个碳原子A、B， 布拉菲格子是面心立方。
或可视为两个面心立方子晶格，沿体对角线平移1/4 体对角 线长度套构而成，如图所示．
金刚石晶体的配位数是4, 这4个碳原子构成一个 正四面体，碳-碳键角为109º28´。
基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。
可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
具有金刚石结构的晶体有： 金刚石、元素半导体Si、Ge ，灰锡等。
4、闪锌矿（立方ZnS）结构：（ cubic zinc sulfide ）
与金刚石结构类似，金刚石的基元是化学性质相同的两个 原子A、B ，而闪锌矿结构的基元是两个不相同的原子．
闪锌矿结构也可视为是两个不同原子的面心立方子晶格， 沿体对角线平移1/4 体对角线长度套构而成．
例如，简立方晶格的几个晶列如图所示。
晶体结构基础
左图是晶体
右图是晶体的点阵
左图是晶体
右图是晶体的点阵
在晶体点阵的每个阵点上按 同一种方式安置结构基元，则得
到晶体。
晶体 ＝ 点阵 + 结构基元
结构基元为
一 一 两个粒子
晶体的点阵
粒子的种类相同，且每个粒子均处
于由 3 个粒子构成的正三角形的中心。
但是一类粒子处于一个顶角向上的 三角形的中心 这种粒子相当于右图中的红色粒子
晶系名称
晶格常数特征
独立晶格常数
1 立方晶系 2 四方晶系 3 正交晶系
a=b= c
a a， c a， b， c
= = = 90°
a = b ≠c
= = = 90°
a≠b≠c
= = = 90°
晶系名称
晶格常数特征
独立晶格常数
4 六方晶系
a=b≠c a， c = = 90° =120°
在点阵中可以找到 8 个顶点均为 阵点的平行六面体，如下图的 A
整个空间点阵可以看成是以这个
平行六面体为单位并置而成的
这个平行六面体称为空间点阵的点阵单位
点阵单位并不是唯一的，图中的 A，B 和 C 均属于这样的平行六面体
D 也属于这样的平行六面体
平行六面体上的阵点的位置
可分为 4 种:
c
a 晶格平行六面
体的三个棱长分别
b
三个棱之间的
夹角分别用 ，，
用 a，b，c 表示，
表示。
c
a
b
其中 a 和 b 的夹角为 ，a 和 c 的 夹角为 ，b 和 c 的夹角为 。
c
a
b
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晶体中结构基元的确定
一. 结构基元与点阵
晶体的周期性结构使得我们可以把它抽象成“点阵”来研究. 首先确定晶体中重复出
现的最小单元, 作为结构基元. 各个结构基元相互之间不但化学内容完全相同, 而且它们所
处的环境也必须完全相同. 每个结构基元可以用一个数学上的点来代表, 称为点阵点或结点. 于是, 整个晶体就被抽象成了一组点, 称为点阵.
尽管实际晶体的大小有限, 但从微观角度来看, 原子数目仍然极多, 而且处于内部
的原子数目远远多于表面. 所以, 不妨将晶体看作无限重复的周期性结构, 相应地, 点阵也
就包含无穷多的点阵点了.
二. 结构基元与点阵点
（1）一维周期性结构与直线点阵
我们首先以几种简单的一维周期性结构为例, 说明如何从周期性结构中辨认结构基
元(右图中用方框标出), 进而画出点阵. 应当说明, 将结构基元抽象为点阵点以后, 点阵点
放在何处是任意的, 但所有点阵点的放置必须采用同一标准:
由图可见, 并非每个原子或化学单元都能被看作结构基元.
再看两个更实际也稍微复杂的问题——硒的螺旋链和伸展聚乙烯链：
一维周期性结构中的结构基元硒螺旋链
和伸展聚乙烯链的点阵
在此基础上, 再将周期性结构扩展到二维和三维.
（2）二维周期性结构与平面点阵
实例1：Cu晶体的一种密置层（111）.
每个原子是一个结构基元，对应一个点阵点(图中平行四边形是一个平面正当格子).
实例2: 石墨层
下图是石墨晶体的一层, 右下图中的小黑点是抽象出的平面点阵（为了比较二者的关系, 暂时将平面点阵放在了石墨层上）
为什么不能将石墨层的每个C原子都抽象成点阵点呢？这就必须从点阵的数学定义来理解了.不难想象, 若将所有结构基元沿某一方向平移到相邻或不相邻的另一个结构基元位置上, 晶体不会有任何变化(当然是假设不考虑表面原子) , 或者说可以复原. 相应地, 若将所有点阵点沿此方向平移到相邻或不相邻的另一个点阵点位置上, 点阵也不应当发生任何变化. 现在, 可以从数学角度给出点阵的定义:
点阵是按连接其中任意两点的矢量将所有的点平移而能复原的一组无限多个点.
石墨层及其点阵
假设石墨层上每个C原子都抽象成点阵点, 得到的是如下的一组无限多个点, 但这并不是点阵! 试选择一个矢量a , 将所有“点阵点”沿此方向平移，请看能够复原吗？
实例：NaCl(100)晶面（左下图）. 矩形框中是一个结构基元，包括一对正负离子Na+和Cl-, 可抽象为一个点阵点. 安放点阵点的位置是任意的，但必须保持一致. 这样就得到了点阵（右下图）：
石墨层点阵的错误抽取法 NaCl(100)晶面(a)及其点阵(b)
或等价地画成下图. 矩形框中的内容是与上述相同的一个结构基元,也包括一对正负离子Na+和Cl-:
（3）三维周期性结构与空间点阵
下面是一些金属单质的晶体结构，依次叫做立方面心、立方体心和立方简单.其中, 属于立方面心的金属有Ni Pd Pt Cu Ag Au等; 属于立方体心的金属有Li Na K Cr Mo W等; 属于立方简单的金属很少.
如何将这些金属的晶体结构抽象成点阵呢？
立方面心、立方体心和立方简单金属单质(每一个原子对应一个点阵点)
这里的每一个原子就是一个结构基元，从而都可以被抽象成一个点阵点. 所以，点阵看上去与晶体结构一样, 只是概念上有所不同.
CsCl型晶体中A、B是不同的原子，不能都被抽象为点阵点. 否则，得到的将是错误的立方体心点阵. 立方体心点阵虽然不会违反点阵的数学定义，却不是CsCl型晶体的点阵！若把立方体心点阵放回到该晶体中，则如图所示的平移操作将把A与B位置互换，而不能使晶体结构复原.
正确的做法是按统一的取法把每一对离子A-B作为一个结构基元，抽象成为一个点阵点. 点阵点可以放在任意位置，但必须保持一致（例如都放在A处），就得到正确的点阵——立方简单.
同理，NaCl型晶体中，A、B离子不能都被抽象为点阵点，而是每一个离子对A-B按统一的方式构成一个结构基元，抽象为一个点阵点. 于是，点阵成为立方面心:
CsCl型晶体的点阵不是为立方体心的原因将CsCl型晶体抽象成立方体心点阵的做
法
NaCl型晶体及其点阵
如果说CsCl型和NaCl型晶体中都有A、B两种不同的原子, 因而不能都被抽象为点阵点的话，金刚石中的C原子都能被抽象为点阵点吗？
假若可以这样做的话，得到的“点阵点”看上去与晶体中原子的分布相同. 现在, 请你根据点阵的数学定义来检验. 例如, 按图中箭头所示将所有点进行平移，这组点能复原
吗？不能. 说明这组点违反了点阵的定义, 本身就不是点阵! 更别说是金刚石晶体的点阵了.
正确的做法是按统一的取法把每一对原子C-C作为一个结构基元，抽象成为一个点
阵点，就得到正确的点阵——立方面心.
类似地, 六方金属晶体(例如Mg)也不能将每个原子都抽象为点阵点. 否则,得到的
所谓“点阵”也是违反点阵定义的, 本身就不是点阵. 将这种错误的“点阵”作用于晶体并
不能使之复原：
正确的做法是按统一的取法把一对原子Mg-Mg作为一个结构基元，抽象成为一个点
阵点，就得到正确的点阵——六方简单:
金刚石晶体的点阵为立方面心的理由 Mg晶体结构. 右图是一个晶胞
错误的点阵不能使Mg晶体复原从Mg晶体中抽象出六方简单点阵
这些实例表明,将晶体抽象成点阵的关键是正确地辨认结构基元.为了避免出错,当你把一种晶体抽象成一组点以后，应当问自己两个问题：
1. 这一组点符合点阵的定义吗? 将金刚石、Mg晶体中每个原子都抽象成所谓的“点阵点”, 得到的一组点就违反了点阵定义, 所以不是点阵.
2. 它是所研究晶体的点阵吗? 将CsCl型、NaCl型晶体中的每个原子都抽象成点阵点，得到的一组点并不违反点阵定义，但却不是所研究的晶体的点阵.。