电场强度与电势梯度知识
第六节 场强与电势梯度
U ab dV E d l E d l cos El dl
dV El dl
上式表明：电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量， 等于这一点的电势沿该方向的变化率（电势的方向导数） 反号。
《大学物理》
教师：
胡炳全
三、电场强度与电势梯度的关系
由上述关系我们可以分别得到电场中任意一点处电 场强度的X，Y，Z分量，即：
《大学物理》
教师：
胡炳全
第六节 电场强度与电势梯度的关系 一、等势面 1、定义：电场中电势相等的点所构成的曲面。 2、规定：相邻等势面的电势差相等。这就意味着 等势面密的地方电场强，而等势面稀疏的地方电场 弱。 3、常见电场的等势面：
q 等势面与电场线总是正交的
《大学物理》
教师：
胡炳全
二、场强分量与电势方位正电荷从A点移到B 点，电场力所做的功为： V+dV B V E A dl l
V Ex x
V Ey y
V Ez z
V V V E i j k x y z grad(V )
即：电场强度等于电势的负梯度。
电场强度与电势
电场强度与电势
电场强度（E）和电势（V）是描述电场特性的两个重要参数。
电场强度是指单位正电荷在某点所受到的力的大小。
它的方向与力的方向相同，单位是牛顿/库仑（N/C）。
电势是指单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的功。
它的单位是伏特（V）。
电势是标量量，它描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在以下关系：
1. 电场强度为负梯度电势：E = -∇V
这个公式表示电场强度是电势的负梯度，其中∇是梯度算子。
2. 电场强度和电势的关系：E = -dV/dr
这个公式表示电场强度是电势对位置的导数，其中dV/dr表示电势对位置的变化率。
3. 电场强度和电势的关系：V = -∫E·dl
这个公式表示电势是电场强度积分后的结果，其中∫E·dl表示电场强度沿路径l的线积分。
在一维情况下，电势和电场强度之间的关系可以通过上述公式进行计算。
在三维情况下，电势和电场强度之间的关系需要考虑电场的分布情况，并使用泊松方程或拉普拉斯方程进行计算。
总之，电场强度描述了电场中的力的大小和方向，而电势描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在一定的关系，可以通过公式进行计算。
8-5电场强度与梯度
电场强度和电势都是描述电场性质的物理量，电场强度反映了电场 中力的作用，而电势则从能量的角度反映电场的性质。电场强度可以形 象地用电场线来描述，电势同样也可以用一个形象的图形来描述，这就 是等势面。
8.5.1 等势面 1、等势面：电场中电势相等的点构成的面，称为等势面。 点电荷的等势面 q U 4 0 r 平行板电容器电场的等势面。
dq dS
U U (x)
x dU 1 2 2 1/ 2 (1 ) E Ex 2 2 ( R x ) 2 x 1 2 0 dx R x2 2 0
作业：8-10 8-11
E
θ
P
2
只有 cos 0 即： E dl
Q dl
∴电场线垂直于等势面 （2）等势面较密的地方场强大，稀疏的地方场强小，电场线 指向电势降落的方向。 等势面的规定：任意相邻的两等势面间的电势差相等。
等势面的法线方向：电势增加的方向为正方向。
记
U ab E1 ab
式中
( i j k) x y z
梯度算符
c、场强与电势的关系 ∵电场中某点的场强总可以在等势面的切线方向和法线 方向上分解
E E En E 0 En n0
E E En E 0 En n0
U 又 E 0
En
U dU E n0 n0 U n dn
U n
电势梯度 的负值
说明：沿等势面的法线方向上电势的变化率最大。 例8-10 自看 例8-11 求均匀带电圆盘轴线上一点的电势和电场强度。设 q 圆盘半径为R，带电量为q。 dr R 2 解： ∵dq在P点的电势
电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势梯度的关系
电场与电势是相互关联的，电势是电场的线积分，电场是电势的变化梯度，即电势的求导，电势变化越快的地方电场越强，有一个特殊的地方，电势零点可以任意选取，电场不为零的地方电势可以为零，电势为零的地方电场可以不为零电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
1、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
2、场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
3、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
4．场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
电场线假设与等势面不垂直，那么沿等势面就有分量，这样电荷在沿等势面移动时电场力就可做功，故假设不正确。
因此，电场线应与等势面垂直。
电场线越密处，电荷所受电场力大，移动相同距离电场力做功多也可能是克服电场力做功多，故在此处沿电场线方向移动相同距离比疏处电势差大。
那么相邻等势面差值一样时，电场线越密处等势面也越密。
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度与电场强度是电学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系和相互依赖关系。
本文将从电势梯度和电场强度的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面展开阐述。
我们来了解一下电势梯度和电场强度的定义。
电势梯度是指电势在空间中变化的快慢程度，表示为电势的变化率。
电场强度是指单位正电荷所受的力的大小和方向，表示为电场力的大小。
电势梯度的计算方法是通过对电势函数沿着某一方向求偏导数，即电势梯度等于电势函数在某一方向上的偏导数。
电场强度的计算方法是通过库仑定律得到的，即电场强度等于单位正电荷所受力的大小。
接下来，我们来探讨电势梯度和电场强度之间的关系。
根据定义可知，电场强度是电势梯度的负梯度，即电场强度与电势梯度具有相反的方向。
这是因为电势梯度表示电势的变化率，而电场强度表示单位正电荷所受的力的大小和方向，二者之间存在着直接的关系。
进一步地，我们可以通过电势梯度和电场强度的性质来理解它们之间的关系。
首先，电势梯度的方向指向电势变化率最快的方向，而电场强度的方向指向力的作用方向。
由于力的方向是电势下降最快的方向，所以电势梯度的方向与电场强度的方向相反。
电势梯度的大小与电场强度的大小成正比。
根据电势梯度的定义可知，电势梯度的大小等于电势函数在某一方向上的偏导数。
而根据电场强度的定义可知，电场强度的大小等于单位正电荷所受力的大小。
由于电场力与电势梯度具有相反的方向，所以电场强度的大小与电势梯度的大小成正比。
我们可以通过具体的例子来进一步说明电势梯度和电场强度之间的关系。
假设有一个点电荷位于原点，我们要计算该点电荷在距离原点某一点的电场强度。
首先，我们可以通过库仑定律计算出该点电荷在距离原点某一点的电势。
然后，我们可以通过计算电势在该点的梯度得到该点电荷在该点的电场强度。
根据电势梯度和电场强度的关系可知，电场强度的大小与电势梯度的大小成正比，方向与电势梯度的方向相反。
电势梯度和电场强度之间存在着密切的关系。
电场中的电场强度与电势
电场中的电场强度与电势在电学中，电场是指由电荷周围所产生的一个物理现象。
而电场强度与电势则是描述电场性质的两个重要概念。
本文将探讨电场中的电场强度与电势，并分析它们之间的关系。
一、电场强度的概念及计算方法电场强度是指单位正电荷所受到的力的大小，用E表示。
在电场中，如果一个电荷位于某点，那么它会受到周围电荷的力的作用，这个力与该点的电场强度有关。
电场强度的计算公式为：E =F / q其中，E表示电场强度，F表示所受力的大小，q表示电荷的大小。
二、电场强度的方向电场强度是一个矢量量，其大小和方向都有意义。
它的方向是指在该点的电场中正电荷所受到的力的方向，即正电荷在电场中受力的方向与电场强度的方向相同，而负电荷在电场中受力的方向与电场强度的方向相反。
三、电势的概念及计算方法电势是指单位正电荷在电场中的电势能，用V表示。
在电场中，一个电荷从A点移动到B点所做的功，即电势能的变化，可以表示为：ΔV = W / q其中，ΔV表示电势差，W表示做功的大小，q表示电荷的大小。
四、电势的性质1. 电势是一个标量量，它没有方向，只有大小。
2. 在电场中，电势随距离变化而变化，电势的变化可以用电势梯度来描述。
电势梯度的大小等于电场强度的大小。
3. 电势在电场中沿着等势面保持不变，等势面上的点具有相同的电势。
五、电场强度与电势的关系电场强度与电势具有一定的关系，可以通过以下公式来描述：E = -▽V其中，E表示电场强度，▽表示取梯度（即求导）运算，V表示电势。
根据以上公式可以看出，电场强度和电势之间是有负相关的关系。
当电势增加时，电场强度减小；当电势减小时，电场强度增加。
这是因为电场强度是电势的负梯度，电势的变化越大，电场强度的大小就越小，反之亦然。
六、应用举例1. 在电容器中，电势的变化可以通过电场强度来解释。
当两个电极之间有电势差时，就会形成电场，而电场的强度与电势差有关。
电场强度的大小决定了电容器中的电势分布情况。
9-5 电场强度与电势梯度的关系
qE dl q[U (U dU)] qdU 即： E dl dU
ˆ) (dxi ˆ) ˆ Ey ˆ ˆ dyˆ E dl ( Exi j Ez k j dzk
Ex dx Ey dy Ez dz
又因电势是空间坐标的函数U=U(x,y,z)，因此，对 电势的微分可表示为：
课堂练习：利用场强与电势梯度的关系，计 算均匀带电圆盘中心轴线上的场强。
dr
R
r
o
x
P
x
Up
R
2rdr
4 0
0
2 2 [ R x x] 2 2 2 0 r x
U Ex x
U Ey y
U Ez z
U x Ex [1 ] 2 2 x 2 0 R x
例、在x－y平面上，各点的电势满足下 面的式子：
ax b U 2 2 2 2 x y (x y )
式中的x、y为任一点的坐标，a、b为常 数。求任一点电场强度的Ex和Ey分量。
U Ex x
U Ey y
2
U Ez z
U a 2ax bx Ex 2 2 2 2 2 2 2 3/ 2 x x y (x y ) (x y )
U ˆ U ˆ U ˆ 在数学上，我们将 ( i j k) x y z
定义为电势U的梯度，用gradU或U表示，即：
U ˆ U ˆ U ˆ gradU U i j k x y z
“梯度”是指一个物理量的空间变化率，电 势梯度当然就是指电势的空间变化率。注意： 电势梯度是矢量,其大小等于电势变化最快 的方向上的电势变化率，方向与等势面正交 且指向电势升高的方向。
5-5 电场强度与电势梯度的关系
2
2
P 2 2 4 x y 4 0 ( x 2 y 2 ) 2
P(0,y) y E -q
-L/2
讨论：
1. 在X轴上，y=0，则
Ex P 20 x 3 P 40 y
Ey 0
3
2. 在Y轴上，x=0，则
Ex
+q
O
L/2
P(x,0)
Ey 0
E
x
与用叠加原理得到的结果一致。
1 1
E
en
P2
P1
P3
V
V+dV
例1 试由电偶极子的电势分布求其的电场强度。 解： 在直角坐标系中先写出电势的表达式，
1 q 1 q q r r V 40 r 40 r 40 r r
L cos P cos 2 2 40 r 4 0 r Px 40 ( x 2 y 2 ) 3 / 2 q
P3
V
则 dn dl cos
V+dV
定义电势梯度
dV grad V en dn
单位:V/m
其量值为该点电势增加率的最大值。 方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。 电势梯度与电场强度的关系 2
en
电荷q从等势面1移动到等 势面2，电场力做功
1
en P1
dA qE dl qE dl cos qE den
例2 将半径为R2 的圆盘在盘心处挖去半径为R1的小孔,并 使盘均匀带电.试通过用电势梯度求电场强度的方法,计算这 个中空带电圆盘轴线上任一点P处的电场强度.
解：设圆盘上的电荷 面密度为 轴线上任一点p 到中空圆盘的 距离为x，在圆 盘上取半径为r 宽为dr的圆环 ，环上所带电 z 荷为
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电势梯度是指电势在空间中的变化率，而电场强度则是指单位电荷在电场中所受到的力的大小。
在电学中，电势梯度和电场强度的关系是非常紧密的，它们之间存在着一定的数学关系。
我们来看一下电势梯度的定义。
电势梯度是指电势在空间中的变化率，它的大小可以用下面的公式来表示：∇V = -E其中，∇V表示电势梯度，E表示电场强度。
这个公式告诉我们，电势梯度的大小与电场强度成反比。
也就是说，当电场强度增大时，电势梯度就会减小；反之，当电场强度减小时，电势梯度就会增大。
这个公式的意义是什么呢？我们可以这样理解：电势梯度是电势在空间中的变化率，它描述了电势在空间中的变化情况。
而电场强度则是描述电场中电荷所受到的力的大小。
这个公式告诉我们，电场强度越大，电荷所受到的力就越大，电势梯度就越小；反之，电场强度越小，电荷所受到的力就越小，电势梯度就越大。
这个公式还有一个重要的应用，就是计算电场中电荷的运动轨迹。
我们知道，电场中的电荷会受到电场力的作用，从而产生运动。
而电场力的大小与电场强度成正比，与电荷的电量成正比。
因此，我们可以利用电势梯度和电场强度的关系，来计算电荷在电场中的运动轨迹。
电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电势梯度描述了电势在空间中的变化情况，而电场强度描述了电场中电荷所受到的力的大小。
它们之间的关系可以用公式∇V = -E来表示，这个公式告诉我们，电场强度越大，电势梯度就越小；反之，电场强度越小，电势梯度就越大。
这个公式还可以用来计算电场中电荷的运动轨迹，具有重要的应用价值。
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第五版
5-8 电场强度与电势梯度
一 等势面
电场中电势相等的点所构成的面.
电荷沿等势面移动时，电场力做功为零.
b
WAB q(VA VB )
qE dl
a
0
E dl
某点的电场强度与通过该点的等势面垂直.
第五章 静电场
1
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
用等势面的疏密表示电场的强弱. 任意两相邻等势面间的电势差相等. 等势面越密的地方，电场强度越大.
5
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
El
dV dl
dl dln
En
dV dln
En El
E
dV dln
en
大小
E
dV
dln
V
V V
E
en
dl
dln
低高 电电 势势
方向 由高电势处指向低电势处
第五章 静电场
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物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
电场强度等于电势梯度的负值
r0
第五章 静电场
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物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
r0 r r r r0 cosθ
V
V
V
q 4πε0
r r r r
q 4πε0
r0
cos θ r2
1 4πε0
p cosθ r2
θ0
V
1 4πε0
p r2
θπ
θπ 2
V
1 4πε0
p r2
V 0
rr r 2
y
A
r
r r
- +x
r0
第五章 静电场
10
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
1 p cosθ
V 4πε0
r2
p 4πε0
(x2
x y2 )3/2
Ex
V x
p 4πε0
y2 2x2 (x2 y2)5/2
Ey
V y
p 4πε0
3xy (x2 y2 )5/2
y
A
r
r r
E
Ex2
E
2 y
p 4πε0
(4x2 (x2
点电荷的电场线与等势面
-
第五章 静电场
2
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
-
+
第五章 静电场
3
物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
二 电场强度与电势梯度
V E l
V
El cosθ
E cos θ El
E
（ V
i
V
j
V
k ) gradV
V
x y z
求电场强度的三种方法
利用电场强度叠加原理 利用高斯定理 利用电势与电场强度的关系
第五章 静电场
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物理学
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5-8 电场强度与电势梯度
例1 用电场强度与电势的关系，求均匀
带电细圆环轴线上一点的电场强度.
解
E
Ex
V x
q V 4πε0 (x2 R2 )1 2
V El l
El
lim V l0 l
dV dl
V V
l A
El
B
E
I
II
第五章 静电场
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物理学
第五版
5-8 电场强度与电势梯度
dV El dl
电场中某一点 的电场强度沿任一 方向的分量，等于 这一点的电势沿该 方向单位长度上电 势变化率的负值.
V
V V
l A
El
B
E
I
II
第五章 静电场
x
4πε0
q (x2
R2
)1
2
qx 4πε0 (x2
R2 )3
2
Ro
x Px
第五章 静电场
8
物理学
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5-8 电场强度与电势梯度
例2 求电偶极子电场中任意一点A的电势
和电场强度.
1q
解
V 4πε0 r
V
1 4πε0
q r
y
A
r
r r
V
V
V
q 4πε0
r r r r
- +x
y2 )1/ 2 y2 )2Βιβλιοθήκη - +xr0
第五章 静电场
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5-8 电场强度与电势梯度
E
p 4πε0
(4x2 (x2
y2 )1/ 2 y2 )2
y0 x0
E
2p 4πε0
1 x3
E p 4πε0
1 y3
y
A
r
r r
- +x
r0
第五章 静电场
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