共面向量定理
3.1共面向量定理
作业： P74练习4
§3.1.2 共面向量定理
• 学习目标： 1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理; 2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共 面的问题。 • 自学指导： 1.什么叫做共面向量？ 2.空间向量中的共面向量定理与平面基本定理在 形式和本质上有区别吗？ 3.共面向量定理的作用是什么？ 4.是否可以用几何方法解决例1? 5.学习平面向量时有类似于例2的结论吗? •自学检测：P74练习1
如图在长方体A1B1C1D1 ABCD中, A1B1 AB A1D1 AD, 而 AB, AD, AC在同一平面内, 此时 我们称 A1B1 , A1D1 , AC是同面向量 一般地,能平移到同一平面内 的向量叫做共面向量
F N A M B C
E
D
例2 设空间任意一点O和不共线三点A,B,C,若 点P满足向量关系 OP xOA yOB zOC (其中x y z 1) 试问:P,A,B,C四点是否共面
• 分层训练： • 必做题：P74练习2，3 • 思考题：对于空间四边形，试证明它的一 对对边的中点的连线与另一对对边平行于 同一平面。
反过来,空间三个向量p, b, 其中a, a, b不共线,如果 存在有序实数(x,y)组,使得 p xa yb 那么,向量p与a, b共面吗 ?
实际上, 如果存在有序实数(x,y)组, 使得, p xa yb,那么,在空间任取一点M , 作 MA a, MB b,MA xa, 过点A作 AP yb, 则 MP MA AP xa yb p 所以点P在平面MAB内, 从而MP, MA, MB共面, 即向量 p与向量a, b共面.
共面向量定理怎么证
共面向量定理怎么证共面向量定理怎么证引言：共面向量定理是线性代数中一个重要的结论，它描述了三维空间中向量的共面性质。
在本文中，我们将探讨共面向量定理的证明过程，并深入理解这一定理的几何本质。
通过本文的阅读，读者将能够对共面向量定理有一个全面、深刻和灵活的理解。
正文：一、共面向量的定义在开始证明共面向量定理之前，我们首先要理解何为共面向量。
在三维空间中，若存在三个非零向量a、b和c，且它们满足线性相关的关系a = kb + mc，其中k和m为实数，则这三个向量是共面的。
二、证明共面向量定理为了证明共面向量定理，我们需要使用线性代数中的向量运算和性质。
下面是证明共面向量定理的步骤：1. 取一个任意的非零向量a，让我们称之为基准向量。
2. 假设我们有另外两个向量b和c，我们要证明的是这两个向量与基准向量a共面。
3. 由于a是非零向量，所以它们存在一个非零分量，不妨设为a1。
4. 根据共面向量的定义，我们可以得到两个线性方程：b1 = ka1 和c1 = ma1，其中k和m为实数。
5. 将这两个线性方程分别代入a = kb + mc的形式中，得到a =k(b1/a1)a + m(c1/a1)a。
6. 可以看出，a可以表示为两个倍数与a的乘积之和。
7. 由于向量的加法和数量乘法满足结合律和交换律，我们可以将上式重写为a = (kb1/a1 + mc1/a1)a。
8. 通过上一步的重写，我们得到了a = (k*b1 + m*c1)/a1。
9. 由于k和m是任意实数，所以(k*b1 + m*c1)是一个任意实数。
10. 根据向量的乘法性质，我们可以将(a = (k*b1 + m*c1)/a1)重写为a = d*a，其中d是一个任意实数。
11. 我们可以得出结论，向量b和c与基准向量a共面。
三、几何解释共面向量定理的证明过程清晰地展示了共面向量的几何本质。
我们可以将基准向量a看作三维空间中的一个点，向量b和c则可以看作是由此点向外延伸的线段。
第3章 3.1.2 共面向量定理
→ → ②若AB＝CD，则 A，B，C，D 四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R). 解析 当a，b中有零向量时，①不正确；
→ → AB＝CD时，A，B，C，D 四点共面不一定共线，故②不正确；
由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确.
→ → 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA，MB实质 就是平面 MAB 内平面向量的一组基底.
D四点共面.
[思考辨析
判断正误] ) )
1.实数与向量之间可进行加法、减法运算 × .( 2.空间中任意三个向量一定是共面向量.( ×
→ → → 3.若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB.( × )
题型探究
类型一 向量共面的判 定 例1 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则 这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分
要条件是 存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb
_____________________________________，即向量p可以由 两个不共线的向量a，b线性表示.
知识点三 空间四点共面的 条件
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 使 → → → → 得OA＝xOB＋yOC＋zOD，且 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，则 A，B，C，
解答
反思与感悟
利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的
进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程 中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.
跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1 ― → ― → → 和 A1D1 的中点.证明：向量 A1B ， B1C ，EF是共面向量.
1.2空间向量基本定理
把一个空间向量分解为三个_两_两__垂__直__的向量，叫做把空间向量
进行正交分解．
6
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{ O→A ， O→B ， O→C }不能构成空间的一个基底，则O，A，B，
C四点共面．
()
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．
()
(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．
[提示] (1)√ (2)√ (3)×
()
7
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
[答案] D
8
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的 是( )
B．2个
C．3个
D．4个
11
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－e3， O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否 作为空间的一个基底．
12
基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构 成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存 在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解， 则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
2 [如图，A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋12B→C1＝A→B＋12(B→C＋B→B1)＝A→B＋ 12A→D＋12A→A1.
空间共面向量基本定理推论乐乐课堂
空间共面向量基本定理推论乐乐课堂
【最新版】
目录
1.空间共面向量定理的概念及背景
2.空间共面向量定理的推论
3.空间共面向量定理的应用举例
4.空间共面向量定理在乐乐课堂中的讲解
正文
一、空间共面向量定理的概念及背景
空间共面向量定理是空间向量理论中的一个基本定理，它描述了三个向量共面的充要条件。
该定理的表述如下：如果三个向量中的两个向量共线，那么这三个向量一定共面。
二、空间共面向量定理的推论
根据空间共面向量定理，我们可以得到以下几个推论：
1.如果三个向量共线，那么它们一定共面。
2.如果两个向量不共线，那么它们与另一个向量一定共面。
3.如果三个向量不共线，那么它们一定不共面。
三、空间共面向量定理的应用举例
空间共面向量定理在实际问题中有广泛的应用，例如在三维图形学中，判断三个点是否共线，以及在物理学中，判断三个力是否共点等。
四、空间共面向量定理在乐乐课堂中的讲解
在乐乐课堂中，我们会通过生动的实例和练习，帮助学生理解和掌握空间共面向量定理及其推论。
我们会让学生了解空间共面向量定理的背景
和应用，并通过例题讲解和练习，帮助学生熟练掌握空间共面向量定理的运用。
共面向量定理怎么证
共面向量定理怎么证摘要：1.共面向量定理的定义与基本概念2.共面向量定理的证明方法3.共面向量定理的应用举例4.结论正文：一、共面向量定理的定义与基本概念共面向量定理是平面向量基本定理的一个重要推论。
它指的是：如果两个向量不共线，则这两个向量与另一个向量共面的充要条件是存在一对实数x，y，使得这两个向量与另一个向量的数量积之和等于零。
即对于向量a，b，c，如果a，b 不共线，则存在实数x，y 使得a·c = x(b·c) 且b·c =y(a·c)。
二、共面向量定理的证明方法为了证明共面向量定理，我们可以先引入一个重要的概念：共线向量定理。
共线向量定理指的是：如果两个向量共线，则它们与任意一个向量都共线。
证明过程如下：设a，b，c 是三个不共面的向量，我们要证明存在实数x，y 使得a·c = x(b·c) 且b·c = y(a·c)。
由于a，b 不共线，根据平面向量基本定理，存在一个向量d 使得a = xd 且b = yd。
将这两个等式代入a·c = x(b·c) 和b·c = y(a·c) 中，得到：x(d·c) = y(d·c) 且y(d·c) = x(d·c)这说明d·c 与a，b 共线，由于a，b，c 不共面，所以d 与c 不共线，因此存在实数z 使得d = zc。
将这个等式代入前面的等式，得到：x(z·c) = y(z·c) 且y(z·c) = x(z·c)这说明z·c 与a，b 共线，因此存在实数m，n 使得z·c = m·a = n·b。
由于a，b 不共线，所以m，n 唯一确定，因此存在实数x，y 使得a·c = x(b·c) 且b·c = y(a·c)。
高中数学共面向量基本定理
OP OA tAB (1 t)OA tOB
3、空间共面向量定理
p xa yb MP xMA yMB OP OM xMA yMB
作业P162之友
B
PA
OP (1 t)OA tOB
P、A、B 三点共线
O
P B
A
O
OP xOA yOB
O、P、A、B 四点共面
②平面AC//平面EG。
证明：② EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得：
D
A
H
C
B
G
面EG // 面AC
E
F
四、课堂练习 1、如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使
例3 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC, OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴ AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC k面
OP 1 (OA OB) 2
（中点公式）
例1：若点P分线段AB成2:1,对空间任意一点O，
试用 OA,OB表示OP
B P A
O
练习： 已知点P分线段AB的比为m:n(mn>0)，点O为空间任一点，则
A.
OP m OA n OB
mn mn
B.
OP n OA m OB
C A
B
O
1、如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使
共面向量定理
共面向量定理共面定理的定义为能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量。
共面向量定理是数学学科的基本定理之一。
属于高中数学立体几何的教学范畴。
主要用于证明两个向量共面，进而证明面面垂直等一系列复杂定理。
内容如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使p=x a+y b定义为：能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量推论推论1设OABC是不共面的四点则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面（但PABC 四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件）证明：1）唯一性：设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0∵OA、OB、OC不共面∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'故实数x,y,z是唯一的2）若x+y+z=1 则PABC四点共面：假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOCOP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立推论2空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量}或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A B C D M N 共面向量定理
教学目标：
1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；
2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；
教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理
教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
教学过程：
一、创设情景 1、关于空间向量线性运算的理解
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。
二、建构数学
1、 共面向量的定义
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫 向量；
理解：(1)若b a ,为不共线且同在平面α内，则p 与b a ,共面的意义是p 在α内或α//p
(2) 空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．
2、共面向量的判定
平面向量中，向量b 与非零向量a 共线的充要条件是a b λ=，类比到空间向量，即有 共面向量定理 如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组 ，使得 .
这就是说，向量p 可以由不共线的两个向量b a ,线性表示。
M N A
D
C
A B C D E F N M 三、数学运用 例1 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且AE AN BD BM 3
1,31==. 求证：MN//平面CDE
例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=（其中x+y+z=1）试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面？
例3 已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列各条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面？(1)OA OP OM OB -=+3；(2)OM OB OA OP --=4
解题总结：
推论：空间一点P 位于平面M AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y 使得：
MB y MA x MP +=，或对空间任意一点O 有：OB z OA y OM x OP ++=(其中x+y+z=1)。
课堂练习：
（1）已知非零向量21e ，e 不共线，如果2121213382e e AD ，e e AC ，e e AB -=+=+=，求证：A 、B 、C 、D 共面。
（2）课本86页练习1－6
四、回顾总结
1、共面向量定理；
2、类比方法的运用。