共面向量
共面向量定理证明
共面向量定理证明引言共面向量定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了三个向量是否共面的条件。
在本文中，我们将详细介绍共面向量定理的证明过程。
共面向量定理的表述首先，让我们回顾一下共面向量定理的表述：“对于三个非零向量A、B和C，如果存在实数x、y和z，使得xA + yB + zC = 0，并且至少有一个系数不为零，则这三个向量是共面的。
”证明过程为了证明共面向量定理，我们将分两步进行推导。
第一步：假设至少有一个系数不为零首先，假设存在实数x、y和z（其中至少有一个系数不为零），使得xA + yB +zC = 0。
我们可以将上述等式转化为矩阵形式：[A, B, C] [x, y, z]^T = 0，其中[A, B, C]表示由A、B和C组成的矩阵。
根据矩阵乘法的定义，上述等式可以进一步转化为：Ax + By + Cz = 0。
第二步：证明存在平面包含这三个向量现在我们需要证明存在一个平面包含这三个向量A、B和C。
我们可以将向量A表示为[A1, A2, A3]，向量B表示为[B1, B2, B3]，向量C表示为[C1, C2, C3]。
上述等式可以重写为：A1x + A2y + A3z = 0，B1x + B2y + B3z = 0，C1x + C2y + C3z = 0。
我们可以将上述三个等式合并为一个矩阵方程：[A1, A2, A3; B1, B2, B3; C1,C2, C3] [x; y; z] = 0。
根据线性代数的知识，如果一个矩阵的行秩小于其列秩，则存在非零解。
因此，我们只需要证明矩阵[A1, A2, A3; B1, B2, B3; C1, C2, C3]的行秩小于其列秩即可。
第三步：证明行秩小于列秩要证明矩阵[A1, A2, A3; B1, B2, B3; C1, C2,C 3]的行秩小于其列秩，我们可以使用行列式的性质。
根据行列式的性质，一个矩阵的行秩等于其最大非零子式的阶数。
而列秩等于该矩阵的转置矩阵的行秩。
§2 共面向量定理
§2 共面向量定理教学目的：1.掌握共面向量定理2.会用定理证明一些共面，平行等问题教学重难点：共面向量定理的应用教学过程：一、问题情境：平面向量基本定理：注：（1）12,e e 叫平面内所有向量的一组基底（2）a 用12,e e 表示称为向量的分解，当12e e ⊥时称为正交分解。
二、学生活动：上述定理可推广到空间吗？是什么形式？三、数学建构1、共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量（或平行于同一平面的向量）注：两个向量一定共面，三个向量不一定共面2、三个向量共面的条件：（1）若p 与,a b 共面，则由平面向量基本定理：存在唯一实数对,x y ，使p xa yb =+（2）若存在唯一一对实数,x y ，使p xa yb =+在空间中一点M 作,MA a MB b ==且作','MA xa MB yb ==，则MP xa yb p =+= P 在面MAB 内， p ∴与,a b 共面3、共面向量定理：注：（1）p 可用,a b 线性表示（2）作用：证明线面平行，证明点共面（3）推论：点P 在面MAB 内充要条件是：存在,x y 使MP xMA yMB =+四、数学应用：例1、课本如图。
已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且BM=31BD,AN=31AE.求证：CDE MN 平面//.注：（1）找向量关系，封闭图形（2）尽量用面CDE 中向量表示练习：76P １ ３例2、如图，AB 所在直线为AB ，O 为直线AB 外一点，则P 在直线AB 上充要条件是：存在实数t ，使(1)OP t OA tOB =-+证明：（1）若(1)OP t OA tOB =-+，则(OP OA t =+ AP t AB ∴=,,A B P ∴三点共线。
推广：设空间任意一点O 和不共线三点A,B,C 若点P 满足向量关系)1(=++++=→→→→z y x OC z OB y xOA OP 其中，试问：P,A,B,C 四点是否共面？练习：在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面,ABCD ABCD 为矩形，,M N 在,PC PD 上，且:2:1PM MC =，N 为PD 中点。
共面向量
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。 3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
2.若对任意一点O， O PxO AyO B ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
p
P
A
4.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在
平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE
上，且
BM 1 BD 3
AN 1 AE 3
求证：MN∥平面CDE
5.对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试 问满足向量关系式
O P x O A y O B z O C
（其中 xyz1 ）的四点P、A、B、C
是否共面？
练习 下列命题中正确的有：
( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共 面 ; ( 2 )p 与 a 、 b 共 面 p x a y b ；
( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共 面 ；
( 4 ) P 、 M 、 A 、 B 共 面 M P x M A y M B ；
高二数学组
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实
平面向量的共线和共面关系
平面向量的共线和共面关系平面向量是数学中的一个重要概念，它们在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。
在研究平面向量时，我们经常会涉及到共线和共面的关系。
本文将介绍平面向量的共线和共面关系，并探讨它们的性质和应用。
一、共线关系在平面几何中，如果有两个向量的方向相同或相反，且它们的长度也成等比例关系，那么这两个向量就是共线的。
1.1 共线向量的定义设有两个向量→，→，如果存在实数，使得→=→ （≠0），那么→与→是共线的。
此时，我们可以称→是与→共线的，也可以称→是与→共线的。
1.2 共线向量的性质共线向量具有以下性质：（1）共线向量的方向相同或相反；（2）共线向量的长度成等比例关系；（3）共线向量的终点在一条直线上。
1.3 共线向量的判定判断两个向量是否共线，可以通过以下方法：（1）比较两个向量的方向是否相同或相反；（2）比较两个向量的长度是否成等比例关系；（3）验证两个向量的终点是否在同一条直线上。
二、共面关系在三维空间中，如果有三个向量的起点都相同，或者起点都在同一平面上，并且这三个向量所在的平面没有其他向量，那么这三个向量就是共面的。
2.1 共面向量的定义设有三个向量→，→，→，如果存在实数，，，使得→=→+→ （≠0，≠0），那么我们可以称→，→，→为共面向量。
此时，我们可以称→是由→与→共面确定的向量，也可以称→与→共面确定的向量是→。
2.2 共面向量的性质共面向量具有以下性质：（1）共面向量所在的平面上，任意两个向量也是共线的；（2）共面向量的线性组合仍然在同一平面上；（3）共面向量的终点在同一个平面上。
2.3 共面向量的判定判断三个向量是否共面，可以通过以下方法：（1）比较三个向量的起点是否相同或在同一平面上；（2）验证三个向量是否可以表示为一个向量的线性组合；（3）验证三个向量的终点是否在同一平面上。
三、共线和共面关系的应用共线和共面关系在几何学和物理学中有着广泛的应用。
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
第3章 3.1.2 共面向量定理
→ → ②若AB＝CD，则 A，B，C，D 四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R). 解析 当a，b中有零向量时，①不正确；
→ → AB＝CD时，A，B，C，D 四点共面不一定共线，故②不正确；
由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确.
→ → 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA，MB实质 就是平面 MAB 内平面向量的一组基底.
D四点共面.
[思考辨析
判断正误] ) )
1.实数与向量之间可进行加法、减法运算 × .( 2.空间中任意三个向量一定是共面向量.( ×
→ → → 3.若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB.( × )
题型探究
类型一 向量共面的判 定 例1 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则 这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分
要条件是 存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb
_____________________________________，即向量p可以由 两个不共线的向量a，b线性表示.
知识点三 空间四点共面的 条件
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 使 → → → → 得OA＝xOB＋yOC＋zOD，且 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，则 A，B，C，
解答
反思与感悟
利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的
进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程 中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.
跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1 ― → ― → → 和 A1D1 的中点.证明：向量 A1B ， B1C ，EF是共面向量.
共线向量与共面向量
例2、已知平行四边形ABCD，从平面AC外 一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC， OH=KOD。 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC。 O
D A H E F C
B
G
练习 .1.如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心。
A
1 求证：AG ( AB AC AD) 3
不共线,则向量P与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对x, y使 P xa yb
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.对空间任一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1） OP=xOA+yOB+zOC 的四点P、A、B、C共面。
P B
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
a
A
若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)
O 空间直线的向量参数表示式
二.共面向量:
向量所在的直线与平面平行或在平面内，叫向量 与平面平行。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面 向量.
a
O A
a
2.共面向量定理:如果两个向量 a, b
共线向量与共面向量
2004.12.11
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
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例、 已知平行四边形 ABCD ，从平面 AC 外一点O引向量 OG k OC ， OE kOA ，
OH k OD ， OF k OB ， 求证： (1) 四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC .
A H E
O
D B
C
G F
例5. 如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O OE OF OG OH
存在实数对x,y使 p xa yb
b
C
p
P
A a B
空间四点A、B、C、P共面
存在唯一实数对（x , y） , 使得AP x AB y AC
OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
C'
b
C
p
P
A a B
O
共线向量
共面向量
向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 定义 行或重合 . 叫做共面向量.
由面面平行判定定理的推论得：
A
H
D
C
B
G
F
面EG // 面AC
E
量a， 存在唯一实数对λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底．
共面向量
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共
面向量.
O
a a
A
共面向量定理：如果两个向量 a ， b 不共线， 则向量 p 与向量 a ，b 共面的充要条件是：
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG。 证明： ② EF
OF OE kOB kOA
O
k (OB OA) kAB 由①知 EG kAC
EG // AC EF // AB
D
O
EG OG OE kOC kOA
C
k (OC OA) kAC k ( AB AD) （﹡）代入 k (OB OA OD OA)
A
H
B
G
OF OE OH OE E F EF EH 所以 E、F、G、H共面。
例
已知平行四边形ABCD ，从平面AC外一点O引向量
定理 a // b (a 0)
a b a b 共面
p
p x yb
O P x O A y OB OP xOA yOB zOC 0 推论 ( x y 1) ( x y z 1)
运用 判断三点共线，或两 判断四点共面，或直线 直线平行 平行于平面
共
面
向
量
回 顾
平行向量：向量a 与 b 的方向相同或者相反称它们 为平行向量，又称共线向量，记为： a ∥b 。 并规定：零向量与任何向量都平行。
平面向量共线定理：
若a ≠ 0 ，则a ∥ b 存在唯一的实数λ，b
=λa
回顾 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两
个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向
求证：
OA
OB
OC
OD
k,
D
B H F
C
G
A ⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
E
例5 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG. 证明： ∵四边形ABCD为 ① ∴AC AB AD （﹡）