高中数学教学 共线向量与共面向量
共线向量与共面向量.
加法结合律（点乘不适用） 数乘分配律(点乘分配律也适用) 即：a · (b
± c )= a ·b ± a ·c
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二、有关概念：
1，共线向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合，则这些向量称为共线向量或为平行向量
(说明：平行向量与直线的平行是有区别的) 符号：“∥” 例如：右图中三线段互相平行， b a 则有： a∥ b ∥ c 读作： , , 是共线向量。 b a c c 2，对共线向量的理解： （1）提问：你能想到空间内的共线向量所在直线的位 置关系有哪些？ （2）注重平面内的共线向量向空间内的共线向量转化： 3 主要是直线位置摆放的变化（ 0 怎么认识？ ）
2，判定三个向量共面方法： 共面向量定义和定理（两种判定方法），要素为：
定义法：这多个向量与同一平面平行； 定理判定：一向量是另外两个向量的线性组合 3，作用：判定向量、四点共面，向量间计算等 推论：点P在面MAB内 存在x、y∈R，满足： MP=x MA +y MB 或 OP= OM+x MA+y MB(O为任一点) P 分析： 点 P 已在平面 MAB 内， y MB MP 必有 MP MA MB在同一面内 B （还有 PM PA PB 在同一面内） 则：一个是另外两个的线性组合 MP =x MA +y MB 成立 M x MA 15A 由共面向量定义及有公共点M即证
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2,判断正误(其中x、y ∈R)： ①若 a b c 共面，则有： a =x b +y c ( ) ②若 a b c不共面，则： a =x b +y c 不成立（ ） b c不共线，则：a =x b +y c ( ) ③若 a b c 共面， ④若 a =x b +y c ，则： a b c 共面。（ ）
第二课时共线向量与共面向量
问题探究
1．空间一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 P 在 △ ABC 表示的平面内且O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，那 么 x，y，z 满足什么关系？
提示：x＋y＋z＝1.因为O→P＝O→A＋mA→B＋nA→C＝O→A ＋m(O→B－O→A)＋n(O→C－O→A) ＝(1－m－n)O→A＋mO→B＋nO→C. ∴x＋y＋z＝(1－m－n)＋m＋n＝1.
第二课时 共线向量与共面向量
课前自主学习
课标研读 1．了解共线向量、共面向量的概念；掌握共 线向量定理和共面向量定理；会利用共线向 量定理和共面向量定理解决相关问题． 2．重点是共线向量定理、共面向量定理，难 点是共线向量、共面向量的判定．
温故夯基
1．平面向量a与b共线，即存在非零实数λ，使 得___a_＝__λ_b_(b_≠_0_)___． 2．空间向量的加减法仍可根据__三__角__形__法则 和_平__行__四__边__形__法则进行． 3．空间向量的加法交换律为_a_＋__b_＝__b_＋__a_，加 法结合律为_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_)_，数乘分配 律为__λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b__.
例2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、E→F是 共面向量．
【思路点拨】 解答本题可利用向量共面的充要 条件证明，也可利用向量共面的定义证明．
【证明】 法一：如图①所示． E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B＝12B→1C－A→1B.
例1 如果点O为平行六面体ABCD—A1B1C1D1 中AC1的中点，求证：B1、O、D三点共线． 【思路点拨】 寻求O→B1与O→D的等式关系． 【证明】 如图所示，连结OB1、OD.
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。
高中数学学案：空间向量的共线与共面
高中数学学案：空间向量的共线与共面基础诊断1. 对于空间任意一点O,下列命题正确的是________．(填序号) ①若OP→＝OA →＋tAB →,则P,A,B 三点共线； ②若3OP→＝OA →＋AB →,则P 是AB 的中点； ③若OP→＝OA →－tAB →,则P,A,B 三点不共线；④若OP →＝－OA →＋AB →,则P,A,B 三点共线．2. 已知向量a ＝m i ＋5j －k ,b ＝3i ＋j ＋r k ,若a ∥b ,则实数m ＝________,r ＝________．3. 已知A,B,C 三点不共线,对平面ABC 外的任意一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是________．(填序号)①OM→＝OA →＋OB →＋OC →； ②OM→＝2OA →－OB →－OC →； ③OM→＝OA →＋12OB →＋13OC →； ④OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.范例导航考向例1 在空间四边形ABCD 中,AC 和BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E 是BD 上的一点,BE ＝3ED,以{AB→,AC →,AD →}为基底,则GE →＝__________________．如图,在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,AM →＝12MC →,A 1N →＝2ND →,设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,用基底{a ,b ,c }表示向量MN→＝________________________________________________________________________.考向例2 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12.(1) 求线段PQ的长度；(2) 求证：PQ⊥AD；(3) 求证：PQ∥平面CDD1C1.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．求证：(1) AE⊥CD；(2) PD⊥平面ABE.自测反馈1. 若A(m ＋1,n －1,3),B(2m,n,m －2n),C(m ＋3,n －3,9)三点共线,则m ＋n ＝________．2. 设点A,B,C,D 是空间四点,有以下几个条件：①OD →＝OA →＋12OB →＋12OC →；②OD→＝12OA →＋13OB→＋14OC →；③OD →＝12OA →＋13OB →＋15OC →；④OD →＝12OA →＋13OB →＋16OC →.其中能够使A,B,C,D 四点一定共面的条件是________．(填序号)3. 向量a ＝(8,3,13),b ＝(2,3,5),c ＝(－1,3,1)________共面．(填“是”或“不是”)1. 用基底表示空间向量,作为基底的三个向量要不共面,注意上面题目中的基底是否共面？2. 四点共面成立的充要条件是什么？证明线面平行需要交代线不在平面内．3. 你还有哪些体悟,写下来：第3课 空间向量的共线与共面基础诊断1. ① 解析：①若OP →＝OA →＋tAB →,则AP →＝tAB →,所以A,B,P 共线,所以①正确；②若3OP →＝OA →＋AB→,则3OP →＝OB →,不能得到P 是AB 的中点,所以②错误；③若OP →＝OA →－tAB →,则AP →＝－tAB→,A,B,P 共线,所以③错误；④若OP →＝－OA →＋AB →,则OP →＝－2OA →＋OB →,且－2＋1≠1,所以A,B,P 不共线,所以④错误．2. 15 －15 解析：因为a ∥b ,所在存在实数λ使得a ＝λb ,可得⎩⎨⎧m ＝3λ，5＝λ，－1＝λr ，解得m ＝15,λ＝5,r ＝－15.3. ④ 解析：由向量共面定理得,OM→＝xOA →＋yOB →＋zOC →,x ＋y ＋z ＝1.①1＋1＋1＝3≠1,则①不能确定；②2－1－1≠1,所以②不能确定；③1＋12＋13≠1,所以③不能确定；④13＋13＋13＝1,所以④能确定．范例导航例1 －112AB →－13AC →＋34AD → 解析：由题意,连结AE,则GE→＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD→＋14DB →－23·12(AC →＋AB →)＝AD →＋14(AB →－AD →)－13AC →－13AB →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.－13a ＋13b ＋13c 解析：MN →＝AN →－AM →＝AA 1→＋A 1N →－13AC →＝AA 1→＋23A 1D →－13(AB →＋BC →)＝AA 1→＋23(AD →－AA 1→)－13(AB →＋AD →)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .例2 解析：(1) 以D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1,所以D(0,0,0),D 1(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,0)． 因为P,Q 分别是线段AD 1和BD 上的点,且D 1P ∶PA ＝DQ ∶QB ＝5∶12, 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫517，0，1217,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫517，517，0, 所以PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，517，－1217,所以PQ ＝|PQ →|＝1317. (2) 因为DA→＝(1,0,0),所以PQ →·DA →＝0,即PQ ⊥AD. (3) 因为DC →＝(0,1,0),DD 1→＝(0,0,1),所以PQ →＝517DC →－1217DD 1→.又DD 1,DC 平面CDD 1C 1,PQ 平面CDD 1C 1, 所以PQ ∥平面CDD 1C 1.解析：(1) 由题意知AB,AD,AP 两两垂直,以A 为坐标原点,分别以AB,AD,AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图,设PA ＝AB ＝BC ＝1,则P(0,0,1).因为∠ABC ＝60°,AB ＝BC, 所以△ABC 为正三角形, 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D(0,y,0),则AC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0, CD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y －32，0. 由AC ⊥CD,得AC→·CD →＝0,即y ＝233,则D ⎝⎛⎭⎪⎫0，233，0, 所以CD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0. 又AE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12, 所以AE →·CD →＝－12×14＋36×34＋0×12＝0, 所以AE→⊥CD →,即AE ⊥CD. (2) 因为P(0,0,1),所以PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE→·PD →＝14×0＋34×233＋12×(－1)＝0, 所以PD→⊥AE →,即PD ⊥AE.因为AB →＝(1,0,0),所以PD →·AB →＝0. 所以PD ⊥AB.又AB ∩AE ＝A,AB,AE 平面ABE, 所以PD ⊥平面ABE.自测反馈1. 0 解析：因为A(m ＋1,n －1,3),B(2m,n,m －2n),C(m ＋3,n －3,9),所以AB →＝(m －1,1,m －2n－3),AC→＝(2,－2,6)．又因为A,B,C 三共点共线,所以存在实数λ使得AB →＝λAC →,即⎩⎨⎧m －1＝2λ，1＝－2λ，m －2n －3＝6λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ＝－12，所以m ＋n ＝0＋0＝0.2. ④ 解析：由向量共面定理得,OD→＝xOA →＋yOB →＋zOC →,x ＋y ＋z ＝1.①因为1＋12＋12≠1,所以不能使A,B,C,D 共面；②因为12＋13＋14≠1,所以不能使A,B,C,D 共面；同理③亦不能；④因为12＋13＋16＝1,所以④能使A,B,C,D 共面．3. 是解析：假设a ＝x b ＋y c ,则可得⎩⎨⎧8＝2x －y ，3＝3x ＋3y ，13＝5x ＋y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2.又因为b ＝(2,3,5),c ＝(－1,3,1),所以b ,c 不共线,则a ,b ,c 三向量共面．。
课件1：3.1.2 空间向量的数乘运算（共线与共面向量）
∴EH ∥FG且|EH |＝43|FG |≠|FG |.
又 F 不在直线 EH 上， ∴四边形 EFGH 是梯形．
规律方法 判断向量 a，b 共线的方法有两种： (1)定义法 即证明 a，b 所在基线平行或重合． (2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断 a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质， 结合具体图形，化简得出 a＝xb，从而得 a∥b，即 a 与 b 共 线．
存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc
.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性表
达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记 作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
互动探究
题型一：共线向量的判定 例 1 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F， G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
图 3－1－11
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？ (2)|E→H|与|F→G|相等吗？ 【自主解答】 ∵E，H 分别是 AB、AD 的中点， ∴A→E＝21A→B，A→H＝12A→D， 则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D ＝21(C→D－C→B)＝12(32C→G－32C→F) ＝43(C→G－C→F)＝34F→G，
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又 过同一点 M，
∴M、A、B、C 四点共面， ∴M 在面 ABC 内．
规律方法 1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序 实数对(x，y)，使 MP xMA yMB.满足这个关系式的点 P 都 在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个 关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
高中数学空间向量的基本定理知识点解析
素养评析 证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向 向量共线问题.这里关键是利用向量的线性运算，从而确定C→E＝λM→N中的 λ 的值.
3 达标检测
PART THREE
1.给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
4.设 e1，e2 是平面内不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1 －e2，若 A，B，D 三点共线，则 k＝_－__8__. 解析 ∵B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2，A→B＝2e1＋ke2， 又 A，B，D 三点共线，由共线向量定理得A→B＝λB→D， ∴12＝－k4.∴k＝－8.
其中真命题的个数为
A.0
√B.1
C.2
D.3
解析 ①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；
②真命题.这是关于零向量的方向的规定；
③假命题.当b＝0，则有无数多个λ使之成立.
12345
2.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是
√A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
②对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R).
③对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1).
跟踪训练 1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，
F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝32F→C. 求证：E，F，B三点共线.
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2， 故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0， 又∵e1，e2不共线，
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
高中数学选择性必修一-二。三知识点汇编
高中数学选择性必修一-二。
三知识点汇编选择性必修一第一章 空间向量与立体几何一、共线向量、共面向量定理1.共线向量定理:对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =xa +yb. 二、空间向量基本定理如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使得p =xa +yb +zc.三、空间向量运算的坐标表示1.空间向量运算的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 运算 坐标表示加法 a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) 减法 a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3) 数乘 λa =(λa 1,λa 2,λa 3),λ∈R数量积a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 32.空间向量常用结论的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 结论 坐标表示共线 a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ⇔a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R) 垂直a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0向量长度 |a |=√a ·a =√a 12+a 22+a 32向量夹 角公式cos<a ,b >=a ·b|a||b|=112233√a 1+a 2+a 3·√b 1+b 2+b 33.空间两点间的距离公式设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,则P 1P 2=|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.四、空间向量1.设直线l ,m 的方向向量分别为μ,v ,平面α,β的法向量分别为n 1,n 2,则线线平行 l ∥m ⇔μ∥v ⇔μ=λv ,λ∈R 线面平行 l ∥α⇔μ⊥n 1⇔μ·n 1=0 面面平行 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1=λn 2,λ∈R线线垂直 l ⊥m ⇔μ⊥v ⇔μ·v =0 线面垂直 l ⊥α⇔μ∥n 1⇔μ=λn 1,λ∈R 面面垂直 α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0 线线夹角 l ,m 的夹角θ∈[0,π2],cos θ=|μ·ν||μ||ν| 线面夹角 l ,α的夹角为θ∈[0,π2],sin θ=|μ·n 1||μ||n 1|面面夹角α,β的夹角为θ∈[0,π2],cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|2.点到直线的距离设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u ,点P 到直线l 的距离PQ =√|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√a 2-(a ·u)2. 3.点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点,过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离PQ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n||n|.第二章 直线和圆的方程一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°范围[0,π)2.直线的斜率定义当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α斜率公式 经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =y 2-y1x 2-x 13.直线的方向向量直线的方向向量 设A ,B 为直线上的两点,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 就是这条直线的方向向量 方向向量的坐标 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(其中x 1≠x 2),则直线AB 的一个方向向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1) 方向向量与斜率 若直线l 的斜率为k ,则直线l 的一个方向向量为(1,k )4.两条直线平行和垂直的判定对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2. 位置关系 判定特例平行 l 1∥l 2⇔k 1=k 2 直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行垂直l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直二、直线的方程直线方程的五种形式及适用范围:名称几何条件方程适用条件斜截式 纵截距、斜率 y =kx +b与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y -y 0=k (x -x 0)两点式 过两点y−y 1y 2-y 1=x−x 1x 2-x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 横、纵截距x a +yb=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)所有直线三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点坐标直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.位置关系 方程组的解的个数相交 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解 平行 方程组无解 重合方程组有无数个解2.距离公式距离类型 已知几何元素距离公式两点间的距离两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)|P 1P 2|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0,y 0),直线l :Ax +By +C =0 d =00√A 2+B 2两条平行直线间的距离两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0d =12√A 2+B 2四、圆的方程圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 圆 的方 程 标准式 (x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)圆心坐标:(a ,b )半径为r 一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 圆心坐标:(-D2,-E2) 半径r =12√D 2+E 2-4F五、直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系判断; (2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断. 位置关系 几何法代数法相交 d <r Δ>0 相切 d =r Δ=0 相离d >rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 12(r 1>0),圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0).方法位置关系几何法:根据圆心距d =|O 1O 2|与r 1+r 2或|r 1-r 2|的大小关系进行判断代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断外离 d >r 1+r 2 无解 外切 d =r 1+r 2一组实数解 相交 |r 1-r 2|<d <r 1+r 2两组不同的实数解 内切 d =|r 1-r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1-r 2|(r 1≠r 2)无解第三章 圆锥曲线的方程一、椭圆1.椭圆的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距符号语言集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数 轨迹类型a >c点M 的轨迹为椭圆 a =c点M 的轨迹为线段 a <c点M 不存在2.椭圆的标准方程及其几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形性范围-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b-a ≤y ≤a ,-b ≤x ≤b质 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b )A 1(0,-a ),A 2(0,a ),B 1(-b ,0),B 2(b ,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ,a 为长半轴长;短轴B 1B 2的长为2b ,b 为短半轴长焦距 |F 1F 2|=2c离心率e =ca ,e ∈(0,1),其中c =√a 2-b 2a ,b ,c 的关系a 2=b 2+c 2二、双曲线1.双曲线的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距符号语言集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a ,0<2a <|F 1F 2|},|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数,且a >0,c >0 轨迹类型a <c点M 的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支) a =c点M 的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线) a >c点M 不存在2.双曲线的标准方程及其几何性质标准方程x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)图形性 质范围 x ≤-a 或x ≥a ,y ∈R x ∈R,y ≤-a 或y ≥a对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点顶点 A 1(-a ,0),A 2(a ,0)A 1(0,-a ),A 2(0,a )渐近线y =±ba xy =±ab x离心率 e =ca ,e ∈(1,+∞),其中c =√a 2+b 2轴实轴A 1A 2的长为2a ,a 为实半轴长; 虚轴B 1B 2的长为2b ,b 为虚半轴长a ,b ,c 的关c 2=a 2+b 2系 三、抛物线1.抛物线的定义定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线符号语言 集合P ={M ||MF |=d }(d 为点M 到准线l 的距离) 特例当F ∈l 时,动点M 的轨迹是过F 点垂直于l 的直线2.抛物线的标准方程及其几何性质图形标准方程 y 2= 2px (p >0) y 2= -2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=-2py (p >0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离性质 顶点 O (0,0)对称轴 y =0 x =0焦点 F (p2,0)F (-p2,0)F (0,p2)F (0,−p2)离心率 e =1准线方程x =-p 2 x =p2y =-p2 y =p2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈Ry ≤0,x ∈R开口方向 向右向左向上向下选择性必修二一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A =a +b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d.4.前n 项和公式:S n =n(a 1+a n )2=na 1+n(n -1)2d (n ∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (m ,n ∈N *).(2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值. 二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则其通项公式为a n =a 1q n -1. 4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1−q =a 1-a n q 1−q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m(m ,n ∈N *).(2)若k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则有a k ·a l =a m ·a n .(3)当q ≠-1或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n. 三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )=c (c 为常数) f'(x )=0f (x )=x α(α∈Q,且α≠0)f'(x )=αx α-1 f (x )=sin x f'(x )=cos x f (x )=cos x f'(x )=-sin x f (x )=a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=a x ln a f (x )=e xf'(x )=e x f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=1xlna f (x )=ln xf'(x )=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f (x ),g (x )的导数分别为f'(x ),g'(x ).若f'(x ),g'(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]'=f'(x )±g'(x ); (2)[f (x )g (x )]'=f'(x )g (x )+f (x )g'(x ); (3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g (x )≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x . 四、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般地,函数f (x )的单调性与导函数f'(x )的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )>0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增; 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )<0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递减. 2.函数的极值与导数条件f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0 x 0附近的左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.选择性必修三一、计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.3.排列与排列数(1)排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A n m表示.4.组合与组合数(1)组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C n m 表示.5.二项式定理(1)二项式定理:(a +b )n =C n 0a n +C n 1a n -1b 1+…+C n k a n -k b k +…+C n n b n ,n ∈N * .(2)二项展开式的通项:T k +1=C n k a n -k b k ,通项为展开式的第k +1项.6.各二项式系数的和(1)(a +b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n ,即C n 0+C n 1+C n 2+…+C n n =2n .(2)在(a +b )n 的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C n 1+C n 3+C n 5+…=C n 0+C n 2+C n 4+…=2n -1.二、随机变量及其分布1.条件概率一般地,设A ,B 为两个随机事件,且P (A )>0,则称P (B |A )=P(AB)P(A)为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率,简称条件概率.对任意两个事件A 与B ,若P (A )>0,则P (AB )=P (A )P (B |A ),称此公式为概率的乘法公式.2.全概率公式一般地,设A 1,A 2,…,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪…∪A n =Ω,且P (A i )>0,i =1,2,…,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=∑i=1n P (A i )P (B |A i ),称此公式为全概率公式.3.离散型随机变量的分布列、期望与方差名称 表现形式(或公式)性质分布列 X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p np i ≥0,i =1,2,3,…,n ; p 1+p 2+…+p n =1 期望 E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n =∑i=1n x i p i E (aX +b )=aE (X )+b 方差 D (X )=(x 1-E (X ))2p 1+(x 2-E(X ))2p 2+…+(x n -E (X ))2p n =∑i=1n (x i -E (X ))2p i(1)D (aX +b )= a 2D (X ); (2)D (X )=E (X 2)-[E (X )]2 4.几种常见的概率分布名称 概念(或公式)数字特征 二项分布 P (X =k )=C n k p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,…,n.记作X~B (n ,p ) E (X )=np ; D (X )=np (1-p )超几何分布 P (X =k )=C M k C N−M n−k C N n ,k =m ,m +1,m +2,…,r.其中n ,N ,M∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m =max{0,n -N +M },r =min{n ,M }E (X )=nM N 正态分布 随机变量X 服从正态分布记为X~N (μ,σ2),特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X 服从标准正态分布 若X~N (μ,σ2),则E (X )=μ,D (X )=σ2; P (X ≤μ)=P (X ≥μ)=0.5三、成对数据的统计分析1.样本相关系数r =∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1(x i -x)2√∑i=1(y i -y)2. 2.经验回归方程方程y ^=b ^x +a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的回归方程,其中a ^,b ^是待定参数,其最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i -x)2,a ^=y-b ^x. 3.2×2列联表Y =0 Y =1 合计 X =0a b a +b X =1c d c +d 合计a +cb +d a +b +c +d 4.独立性检验:χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n =a +b +c +d.。
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点M、N分别在BD，AE上，且分别是距B点、A点较近
的三等分点，求证：MN//平面CDE
F
E
N A
B
M
D C
例：已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C , uuur uuur uuur uuur
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
∴ OP (1 t )OA tOB
∵
A
、B
、P
三点共线,且
uuur OP
uuur
OA
uuur
OB
又
O
为直线
AB
外一点,故
uuur OA
uuur 、OB
不共线
∴由平面向量基本定理可知 1 t , t
∴ 1
uuur uuur uuur
反过来,如果已知 OP OA OB ,且 1 ,
即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
例1 已知A、B、P三点共线，O为直线外
uuur uuur uuur
一点，且OP OA OB，求 的值.
解:∵
A
、B
、P
三点共线,∴ t
uuur R ,使OP
uuur OA
uuur t AB
uuur
uuur uuur
那么 A 、B 、P 三点共线吗?
平面向量基本定理：
ur uur 如果是 e1，e2 同一平面内两个不共线的 向量r 量ar ，，ur那有么且对只uur于有这一一对平实面数内1，的任2，一使向
a 1e1 2e2
r a
思考ur 1：空间任意向
r b
量的向p 与量两ar ，个br 共不面共时线，
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
r b
C
ur p
P
A
r a
B
思考2：有平面ABC，若
P点在此面内，须满足什
ur
么条件？
r b
C
r
Aa
B
p
P
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
uuur uuur uuur 存在有序实数对x,y使 AP x AB y AC
uuur uuur uuur uuur 或对空间任一点O,有 OP OA x AB y AC
uuur uuur uuur
OP xOA yOB(其中x y 1)
特别地，若P为A,B中点,则OuuPur 1
uuur uuur OA OB
2
那么空间又如何呢？
思考:如图,
l
为经过已知点
A
且平行非零向量
r a
的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
练习3： 已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，
点P是否与A、B、M一定共面？
uuur uuuur uuur uuur (1) OB＋OM 3OP－OA
uuur uuur uuur uuuur (2) OP 4OA OB OM
注意：
空间四点P、M、A、B共面 uuuur uuuur uuuur 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA)
uuur uuur
(1 t)OA tOB
B
结论：设O为平面上任一点，则A、P、 P
uuur
uuur uuur
B三点共线 OP (1 t)OA tOB
或：令x=1-t，y=t，则A、P、B三点共线 A
可证明或判断四点共面
练习 1:已知 OE 是以 OA、OB 、OC 为棱的平行六面
体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:
C
F
证三点共线可
尝试用向量来分析. B M
D
O'
O
A
练习2：已知矩形ABCD和ADEF所在的平面互相垂直，
共线向量与共面向量
复习回顾: 复一习、回共顾线:向量：
11..共共线线向向量量:: 如如果果表表示示空空间间向向量量的的有有向向线线段段所所在在的的
思直向a直量rar/量线/线．考//规2．互br规2互barr.:.的的定共相如平定a相共r 充平充:线图行平平:线oror要行要向于,行行向与与l条于条量或或量b为r任任件件记定b重定重r经一一记是作是理合理合过向向作存存a：，：r，已量量则空/空在在/ar则知baarrr这间/间实实/．这是点是b些r任任数数共些．共A向意意且线向线量两两，，平向量向叫个个使使行量量叫做向向ara非r..做共量量零共线aa向brbr线、向、..量bb向量（（ar量或bbr的r或平≠≠直行平00rr线向））行，,，
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
•l
A• r P
a
uuur uuur
我们已经知道：平面中，如图 OA、O不B共线，
uuur uuur
uuur uuur uuur
AP t AB(t R)，则可以用OA、OB表示OP如下： O
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r b
C
P
它们之间存在怎样 的关系呢？
A
r a
Bபைடு நூலகம்
二.共面向量:
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空
a
间任意三个向量就不
一定共r 面r的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
ur
rr
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
r BP
注:我们把非零
r
向量 a 叫做直线
a
uuur Or
l 的方向向量.
uuur r
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t R ,使 AP t a .
uuur r
∴ 点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
uuur uuur uuur
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
uuur uuur r
则点 P 在直线 l 上 uu唯ur 一r实数 t R, 使 OP OA t a ②
⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
uuur uuur uuur
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,