第二课时共线向量与共面向量

子为平面 MAB 的向量表示式．
问题探究
1．空间一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 P 在 △ ABC 表示的平面内且O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，那 么 x，y，z 满足什么关系？
提示：x＋y＋z＝1.因为O→P＝O→A＋mA→B＋nA→C＝O→A ＋m(O→B－O→A)＋n(O→C－O→A) ＝(1－m－n)O→A＋mO→B＋nO→C. ∴x＋y＋z＝(1－m－n)＋m＋n＝1.
第二课时 共线向量与共面向量
课前自主学习
课标研读 1．了解共线向量、共面向量的概念；掌握共 线向量定理和共面向量定理；会利用共线向 量定理和共面向量定理解决相关问题． 2．重点是共线向量定理、共面向量定理，难 点是共线向量、共面向量的判定．
温故夯基
1．平面向量a与b共线，即存在非零实数λ，使 得___a_＝__λ_b_(b_≠_0_)___． 2．空间向量的加减法仍可根据__三__角__形__法则 和_平__行__四__边__形__法则进行． 3．空间向量的加法交换律为_a_＋__b_＝__b_＋__a_，加 法结合律为_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_)_，数乘分配 律为__λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b__.
例2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、E→F是 共面向量．
【思路点拨】 解答本题可利用向量共面的充要 条件证明，也可利用向量共面的定义证明．
【证明】 法一：如图①所示． E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B＝12B→1C－A→1B.
例1 如果点O为平行六面体ABCD—A1B1C1D1 中AC1的中点，求证：B1、O、D三点共线． 【思路点拨】 寻求O→B1与O→D的等式关系． 【证明】 如图所示，连结OB1、OD.
O→B1＝O→C1＋C→1B1＝12A→C1＋C→1B1， O→D＝O→A＋A→D＝－12A→C1＋B→1C1 ＝－12A→C1－C→1B1＝－(12A→C1＋C→1B1)， ∴O→B1＝－O→D， ∴O→B1、O→D共线，即 B1、O、D 共线．
【证明】 (1)如图，连结 BG，则 E→G＝E→B＋B→G＝E→B＋12(B→C＋B→D) ＝E→B＋B→F＋E→H＝E→F＋E→H 由共面向量定理的推论知， E、F、G、H 四点共面． (2)∵E→H＝A→H－A→E ＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B)
思维误区警示
未掌握两平面平行的判定定理
题型三 共线向量、共面向量综合应用
空间向量的共线或共面可用来解决立体几何中的点 、线、面的位置关系．
例3 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD
边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面；
(2)用向量法证明BD∥平面EFGH. 【思路点拨】 (1)证明E→G与E→F和E→H的关系； (2)寻找E→H＝12B→D
2．向量共面与点共面是否一致？ 提示：不一致．四个点共面，由这些点所成的向 量共面；但三个向量共面，表示这些向量的有向 线段的起点与终点不一定共面．
课堂互动讲练
题型一 共线向量定理及应用
(1)判断给定的两个非零向量a，b共线，即 a∥b⇔a＝λb. (2)论证两条直线平行，即只要证明这两条直线 上的非零向量共线． (3)论证三点共线，即A、B、C共线⇔＝λ. (4)论证线面平行，设直线的方向向量为a，平面 α内一非零向量为b，则a∥b⇔a∥α.(注意a所在 的直线不在平面α内)．
【名师点评】 在判定向量a、b所在直线平 行时，除证明a∥b外，还需证a(或b)所在直线 上有一点不在b(或a)所在直线上．
题型二 共面向量及应用
(1)论证向量共面．直接应用 p、a、b 共面⇔p＝λa ＋μb(前提条件是 a、b 不共线)． (2)论证线面平行．即证直线的方向向量与平面内两 不共线向量共面． (3)论证四点共面．P、M、A、B 四点共面的充要条 件为：对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z，使O→P ＝xO→M＋yO→A＋zO→B(其中 x＋y＋z＝1)．
=由向量共面的充要条件知A→1B，B→1C，E→F是共面向量．
【思维总结】 证 向量的线性组合；二是寻找平面α，证明这些向 量都与平面α平行．
变式训练
已知三个非零向量a＝pe1－qe2，b＝re2－pe3，c ＝qe3－re1，且p、q、r不全为零，求证：a、b、c 共面．
5．若 a、b 不共线，p 与 a、b 共面的充要条件是存 在实数对 x、y，使_p_＝__x_a_＋__y_b____. 6．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在
有序实数对 x、y，使_M→__P_＝__x_M_→__A_＋__y_M_→_B_，或对空间
任一定点，有_O_→_P_＝__O_→_M__＋__x_M→__A_＋__y_M_→_B___，称这个式
例 已知平行四边形 ABCD，从平面外一点 O 引向量O→E＝kO→A，O→F＝kO→B，O→G＝kO→C，O→H＝ kO→D(k≠1)． 求证：平面 EG∥平面 AC.
【错证】 E→F＝O→F－O→E ＝kO→B－kO→A ＝k(O→B－O→A)＝kA→B， ∴EF∥AB，同理 HG∥CD， ∴平面 EG∥平面 AC.
知新益能
1．如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相__平__行__或__重_合______，则这些向量叫做共线 向量或平行向量．记作___a_∥_b__. 2．对空间任意两个向量 a、b(b≠0)，a∥b 的 充要条件是存在实数 λ，使__a_＝__λb___. 3．空间直线 l 的向量的参数方程：O→P＝ __O→_A_＋__ta______. 其 中 向 量 a 叫 做 直 线 l 的 __方__向__向_量______. 4．_平__行__于____同一平面的向量叫做共面向量．