共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质几何学是数学的一个重要分支，而解析几何则是几何学中的一个重要工具。
在高中阶段的数学学习中，我们需要掌握一些几何知识，其中包括向量的共线与共面性质。
本文将对这些性质进行解析解析，以加深对几何知识的理解。
一、向量的共线性质在几何中，向量是一个具有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
在解析几何中，我们通常将向量表示为坐标形式，即[x, y]。
如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们是共线的。
换句话说，如果两个向量的方向向量相等或者相反，那么它们是共线的。
例如，向量A=[2, 3]，向量B=[4, 6]，可以通过将向量B的坐标除以2得到向量A，即[4/2, 6/2] = [2, 3]，所以向量A和向量B是共线的。
在解析几何中，我们可以通过计算向量的斜率来判断两个向量是否共线。
如果两个向量的斜率相等，那么它们是共线的。
以直线上的两个点A和B为例，坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么两个点的斜率就可以通过公式(y2-y1)/(x2-x1)来计算。
二、向量的共面性质在几何中，如果三个或者更多个向量在同一个平面上，那么它们是共面的。
换句话说，如果一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么它们是共面的。
例如，有向量A=[1, 2, 3]，向量B=[4, 5, 6]，以及向量C=[2, 4, 6]。
我们可以看到，向量C可以表示为向量A和向量B的线性组合，即C=2A+2B。
因此，向量A、向量B和向量C是共面的。
在解析几何中，我们可以通过计算向量的混合积来判断三个向量是否共面。
向量的混合积可以通过公式[A, B, C]来计算，其中A、B和C是三个向量。
如果混合积等于零，那么这三个向量是共面的，否则就不共面。
总结：在高中的几何学中，向量的共线与共面性质是非常重要的知识点。
通过解析几何的方法，我们可以判断两个向量是否共线，以及三个向量是否共面。
向量的共线性质可以通过方向向量相等或者相反来判断，也可以通过计算斜率来判断；向量的共面性质可以通过线性组合或者计算混合积来判断。
高二数学共线向量与共面向量
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E
H D F C G
B
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
4.若对任意一点O，且 OP xOA y AB ，
则x+y=1是P、A、B三点共线的：
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设点P在直线AB上并且AP PB( 1)
，O为空间任意一点，求证：
OA OB OP 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O
a a
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
条件是存在实数对x, y 使P
xa yb
b
B
p
A
P
M a A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
共线向量与共面向量
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a , b (b o ), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解(含答案)
共线向量与共面向量（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2019秋•西城区期末）已知向量(1a =，x ，2)，(0b =，1，2)，(1c =，0，0)，若a ，b ，c 共面，则x 等于( ) A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1或02．（2019秋•朝阳区期末）若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( ) A ．,,b c b b c -+ B ．,,a b c a b c +++C ．,,a b a b c +-D ．,,a b a b a -+3．（2014•海淀区校级模拟）已知ABCD 为平行四边形，且(4A ，1，3)，(2B ，5-，1)，(3C ，7，5)-，则点D 的坐标为( ) A ．7(2，4，1)-B ．(2，3，1)C ．(3-，1，5)D ．(5，13，3)-4．（2013•北京校级模拟）已知空间直角坐标系中(1A ，1，0)且1(42AB =，0，2)，则B 点坐标为( ) A ．(9，1，4)B ．(9，1-，4)-C ．(8，1-，4)-D ．(8，1，4)5．（2013秋•西城区期末）若(a x =，1-，3)，(2b =，y ，6)，且//a b ，则( ) A ．1x =，2y =-B ．1x =，2y =C ．1,22x y ==-D ．1x -，2y =-6．（2012秋•西城区期末）已知向量(1a =-，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，那么实数x y +等于( ) A ．3B ．3-C ．9D ．9-7．（2017秋•昌平区期末）下面向量中，与向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)共面的向量是( ) A ．(1a =，1，0)B ．(1b =，1-，0)C ．(1c =，0，0)D ．(1d =，0，1)-二．填空题（共8小题）8．（2017秋•西城区校级期中）已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，则OG = ．9．（2015秋•顺义区期末）已知点(A m ，2-，)n ，点(5B -，6，24)和向量(3,4,12)a =-且//AB a ．则点A 的坐标为 ．10．（2016秋•海淀区校级期中）如图，四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、DC 上的点，且AE BE =，2CF DF =，设DA a =，DB b =，DC c =．（1）以{a ，b ，}c 为基底，表示FE = ；（2）若60ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，且||4DA =，||3DB =，||3DC =，则||FE = ．11．（2013春•海淀区期中）已知三个点(1A ，1-，)b ，(2B ，a ，1)，(0O ，0，0)在同一条直线上，则a = ，b = ．12．（2017秋•西城区校级期中）若空间三点(1A ，5，2)-，(2B ，4，1)，(C p ，3，2)q +共线，则p = ，q = ． 13．（2011秋•西城区期末）已知向量(a x =，2-，6)和(1b =，y ，3)-平行，那么x = ，y = ． 14．（2010秋•海淀区期末）已知(a x =，2-，6)，(2b =，1-，3)，//a b ，则x = ． 15．（2009秋•西城区期末）已知(1a =，2，1)-，(b x =，y ，2)，且//a b ，那么x y += ．共线向量与共面向量（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2019秋•西城区期末）已知向量(1a =，x ，2)，(0b =，1，2)，(1c =，0，0)，若a ，b ，c 共面，则x 等于( ) A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1或0【分析】由a ，b ，c 共面，得a mb nc =+，由此能求出x 的值． 【解答】解：向量(1a =，x ，2)，(0b =，1，2)，(1c =，0，0)， a ，b ，c 共面，∴a mb nc =+，(1∴，x ，2)(n =，m ，2)m ，解得1n =，m x =，22m =，1x ∴=． 故选：B ．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2019秋•朝阳区期末）若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( ) A ．,,b c b b c -+ B ．,,a b c a b c +++C ．,,a b a b c +-D ．,,a b a b a -+【分析】利用向量共面定理即可判断出结论． 【解答】解：向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量A ，b c -与b c +共面，进而得出三个向量共面．.()B a b c a b c ++=++，因此三个向量共面． C ．三个向量不共面；D ．不含有c ，三个向量一定共面．故选：C ．【点评】本题考查了向量共面定理、向量的基，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（2014•海淀区校级模拟）已知ABCD 为平行四边形，且(4A ，1，3)，(2B ，5-，1)，(3C ，7，5)-，则点D 的坐标为( ) A ．7(2，4，1)-B ．(2，3，1)C ．(3-，1，5)D ．(5，13，3)-【分析】根据ABCD 为平行四边形，得到AB CD =-，设出点D 的坐标，求出向量,AB CD 的坐标，代入上式，解方程组即可求得点D 的坐标． 【解答】解：ABCD 为平行四边形，∴AB CD =-，设(D x ，y ，)z ，则(2AB =-，6-，2)-，(3CD x =-，7y -，5)z +， ∴327652x y z -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得5133x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩， 故选：D ．【点评】此题是个基础题．考查利用相等向量求点的坐标，以及平行四边形的性质，同时考查学生的基本运算，和利用知识分析、解决问题的能力．4．（2013•北京校级模拟）已知空间直角坐标系中(1A ，1，0)且1(42AB =，0，2)，则B 点坐标为( ) A ．(9，1，4)B ．(9，1-，4)-C ．(8，1-，4)-D ．(8，1，4)【分析】设出B 的坐标，利用向量关系，即可得到结论． 【解答】解：设(B x ，y ，)z 空间直角坐标系中(1A ，1，0)且1(42AB =，0，2)， 所以(1x -，1y -，)(8z =，0，4) 所以9x =，1y =，4z =，B 点坐标为(9，1，4)故选：A ．【点评】本题考查空间向量的平行与相等，考查学生的计算能力，属于基础题． 5．（2013秋•西城区期末）若(a x =，1-，3)，(2b =，y ，6)，且//a b ，则( ) A ．1x =，2y =-B ．1x =，2y =C ．1,22x y ==-D ．1x -，2y =-【分析】利用向量共线定理，列出关于x ，y 的方程，解之即可得出． 【解答】解：(a x =，1-，3)，(2b =，y ，6)，//a b ，∴存在实数λ，使得a b λ=，可得2136x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得12λ=，1x =，2y =-．故选：A ．【点评】本题考查向量共线定理的应用，属于基础题．6．（2012秋•西城区期末）已知向量(1a =-，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，那么实数x y +等于( ) A ．3B ．3-C ．9D ．9-【分析】由(1a =-，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，知3121x y==-，由此能求出实数x y +的值． 【解答】解：(1a =-，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，∴3121x y ==-， 解得6x =-，3y =-，∴实数639x y +=--=-．故选：D ．【点评】本题考查共线向量的性质和应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，是基础题． 7．（2017秋•昌平区期末）下面向量中，与向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)共面的向量是( ) A ．(1a =，1，0)B ．(1b =，1-，0)C ．(1c =，0，0)D ．(1d =，0，1)-【分析】求出向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)的公共法向量(1p =，1，1)-，由1100b p =-+=，得到与向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)共面的向量是(1b =，1-，0)．【解答】解：设向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)的公共法向量为(p x =，y ，)z ， 则00n p x z m p y z =+=⎧⎨=+=⎩，取1x =，得(1p =，1，1)-，1100b p =-+=，∴与向量(0m =，1，1)，(1n =，0，1)共面的向量是(1b =，1-，0)．故选：B ．【点评】本题考查两个向量的共面向量的求法，考查法向量的性质、向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二．填空题（共8小题）8．（2017秋•西城区校级期中）已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，则OG =111366OA OB OC ++ ． 【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量用是基底的向量来表示，即可得出结论． 【解答】解：如图示：，13OG OM MG OM MN =+=+1()3OM MO OC CN =+++211()336OM OC OB OC =++- 111366OA OB OC =++， 故答案为：111366OA OB OC ++．【点评】熟练掌握向量的三角形法则及平行四边形法则是解题的关键．9．（2015秋•顺义区期末）已知点(A m ，2-，)n ，点(5B -，6，24)和向量(3,4,12)a =-且//AB a ．则点A 的坐标为 (1，2-，0) ．【分析】根据空间向量的坐标表示与运算，求出AB ，再根据共线定理列出方程组求出m 、n 的值，即可得出点A 的坐标．【解答】解：点(A m ，2-，)n ，点(5B -，6，24)，∴(5AB m =--，8，24)n -；又向量(3,4,12)a =-，且//AB a ，∴AB a λ=，即53842412m n λλλ--=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩， 解得2λ=，1m =，0n =；∴点A 的坐标为(1，2-，0)．故答案为：(1，2-，0)．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，也考查了共线定理的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•海淀区校级期中）如图，四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、DC 上的点，且AE BE =，2CF DF =，设DA a =，DB b =，DC c =．（1）以{a ，b ，}c 为基底，表示FE = 111322c a b -++ ；（2）若60ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，且||4DA =，||3DB =，||3DC =，则||FE = ．【分析】（1）如图所示，连接DE ．FE FD DE =+，13FD DF DC =-=-，1()2DE DA DB =+，即可得出．（2）22222111111111||()223449233FE a b c a b c a b a c b c =+-=+++--，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）如图所示，连接DE ．FE FD DE =+，13FD DF DC =-=-，1()2DE DA DB =+，∴111322FE c a b =-++． （2）22222111111111||()223449233FE a b c a b c a b a c b c =+-=+++--222111143343cos6024493=⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒⨯ 21393cos6034-⨯︒=． ∴39||FE =故答案为：111322c a b -++，39．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2013春•海淀区期中）已知三个点(1A ，1-，)b ，(2B ，a ，1)，(0O ，0，0)在同一条直线上，则a = 2- ，b = ．【分析】先根据三个点(1A ，1-，)b ，(2B ，a ，1)，(0O ，0，0)在同一条直线上，转化为向量OA 与OB 共线，再利用向量共线的基本定理得存在λ，使得OA OB λ=，从而建立方程求解即可． 【解答】解：三个点(1A ，1-，)b ，(2B ，a ，1)，(0O ，0，0)在同一条直线上，∴向量OA 与OB 共线，即存在λ，使得OA OB λ=， 即(1，1-，)(2b λ=，a ，1)∴211a b λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得12212a b λ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩ 故答案为：2-，12． 【点评】本题主要考查了共线向量与共面向量，考查了转化思想，属于基础题．12．（2017秋•西城区校级期中）若空间三点(1A ，5，2)-，(2B ，4，1)，(C p ，3，2)q +共线，则p = 3 ，q = ． 【分析】将三点共线，转化为向量共线，再利用向量共线的条件，即可得到结论． 【解答】解：(1A ，5，2)-，(2B ，4，1)，(C p ，3，2)q +∴(1,1,3)AB =-，(1,2,4)AC p q =--+空间三点共线∴113124p q -==--+ 3p ∴=，2q =故答案为：3，2【点评】本题考查向量知识的运用，解题的关键是将三点共线，转化为向量共线．13．（2011秋•西城区期末）已知向量(a x =，2-，6)和(1b =，y ，3)-平行，那么x = 2- ，y = ． 【分析】直接利用向量共线的条件列式计算．【解答】解：因为向量(a x =，2-，6)和(1b =，y ，3)-平行， 所以存在非零实数λ满足a b λ=，即(x ，2-，6)(1λ=，y ，3)-． 则263x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得2x =-，1y =．故答案为2-，1．【点评】本题考查了共线向量和共面向量，考查了向量共线的条件，是基础的计算题． 14．（2010秋•海淀区期末）已知(a x =，2-，6)，(2b =，1-，3)，//a b ，则x = 4 ．【分析】根据所给的两个向量的坐标和两个向量之间的平行关系，写出向量平行的坐标形式的充要条件，解方程即可． 【解答】解：(2a =，1-，3)，(2b =，1-，3)，//a b∴26213x -==- 4x ∴=故答案为：4【点评】本题考查共线向量与共面向量，本题解题的关键是记住两个向量共线的坐标形式的充要条件，本题是一个基础题．15．（2009秋•西城区期末）已知(1a =，2，1)-，(b x =，y ，2)，且//a b ，那么x y += 6- ．【分析】由已知中(1a =，2，1)-，(b x =，y ，2)，且//a b ，根据向量平行（共线）的充要条件，我们可得存在R λ∈，使a b λ=，构造方程组求出λ，x ，y 后，即可求出答案．【解答】解：(1a =，2，1)-，(b x =，y ，2)，又//a b ，则存在R λ∈，使a b λ= 即(1，2，1)(x λ-=，y ，2)， ∴1212x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩解得12λ=-2x ∴=-，4y =-6x y ∴+=-故答案为：6-．【点评】本题考查的知识点是共线向量，其中根据向量平行（共线）的充要条件，得到存在R λ∈，使a b λ=，构造方程组是解答本题的关键．。
高二数学共线向量与共面向量(2019年新版)
何益 刎颈而死 楚伐陈 周之先自后稷 而君子或以为多 卫更贬号曰侯 智伯可取 心中斯须不和不乐 坛一黄犊太牢具 远者数千 皆安受学 及山川之便利 赵虽不能守 行足以厉贤 柰何欲效唐虞之治乎 廉颇为赵将伐齐 赎为庶人 ”上许 釐侯卒 如故约 上其城 至赖而去 及身久任事 水衡阎奉朴击
卫 皆豪 城邑如大宛 济北吏民兵未至先自定 使矫公子弃疾命召公子比於晋 条侯壁 数请魏王 ”大将军乃以五百金为寿 擅变更律令 家无馀十金之财 九年 不视其太守 祠春秋
江河为汤武 守法不失大理 遂西围梁 与禹平水土 辄案责之 今公行一朝之忿 於是招方正贤良文学之士 哥
咏之 盾昆弟将军赵穿袭杀灵公於桃园而迎赵盾 故不以为意 为娶於宋 以众降者二千五百人 有馀者 史策祝曰：“惟尔元孙王发 可谓极富贵无欲矣 军败当诛 河东渠田废 不自知也 迁为骑都尉 参曰：“以好往 人或谗之王 汉无出塞 西伐大夏 则吴王先起兵 遂拔义渠二十五城 由也兼人 襄子至
夸者死权兮 可王燕 表其文 居列东第 上幸鼎湖 子贡曰：“盟可负邪 遂入 从颍川来 使臣去病待罪行间 即礼之 信如尾生 正考铭勒 竟漂数十日 赵盾在时 汉军方围锺离眛於荥阳东 为官名 ”楚王谓平原君曰：“客何为者也 何也 於是置益州、越巂、牂柯、沈黎、汶山郡 爰及苗裔 不亦远乎
平定海内 燕王亡 兹 所指者下 端心愠 龟兆不吉 顺之胜 可王 项羽遂北至城阳 广平声为道不拾遗 子羽暴虐 不能自解於刀锋 诏军吏皆将其民徙处江淮间 王险城未下 袒而大哭 小红十四日 令言海中神山者数千人求蓬莱神人 国治身死不恨 轻匈奴 其岁不复 及瓜而代 天下之文变而不善矣 不
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
高一数学 《共线向量与共面向量》
3 ． 向 量 a 、 b 不 共 线 ， p ＝ ma ＋ nb ， 则 p ＝ 0 的 充 要 条 件 是 ________________________________________________________________________．
2．共面向量 (1)共面向量的定义 已知平面 α 与向量 a，作 OA―→＝a，如果直线 OA 平行于平面 α 或 a 在 α 内，就说向 量 a 平行于平面 α，记作 a∥α.
平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的条件 ①共面向量定理 如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x，y， 使 p＝xa＋yb. ②推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x，y，使 MP―→＝ xMA―→＋yMB―→ ，或对空间任一定点 O，有 OP―→＝OM―→＋xMA―→＋yMB―→ .① 在平面 MAB 内，点 P 对应的实数对(x，y)是唯一的．①式叫做平面 MAB 的向量表示 式．
1．空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说 a∥b 时，也具 有同样的意义．
2．“共线”这个概念具有自反性 a∥a，也具有对称性，即若 a∥b，则 b∥a. (1)0 与任一向量 a 是共线向量． (2)向量的平行(共线)不具备传递性，即若 a∥b，a∥c，不一定有 b∥c.但当 a 为非零向 量时，平行(共线)的传递性将成立，即若 a≠0，a∥b，a∥c，则 b∥c. (3)在共线向量定理中，b≠0 不可去掉，否则实数 λ 就不唯一． 3．共线向量定理的应用 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有 区别的，直线平行不包括共线的情况．如果应用共线向量定理判断 a，b 所在的直线平行， 还需说明 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上． (2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一，在利用该定理证明(或判断)三点 A、 B、C 共线时，只需证明存在实数 λ，使 AB―→＝λBC―→或 AB―→＝μAC―→即可．
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
高中数学选择性必修一,二,三知识点汇编
高中数学选择性必修一，二，三知识点汇编选择性必修一第一章 空间向量与立体几何一、共线向量、共面向量定理1.共线向量定理:对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =xa +yb. 二、空间向量基本定理如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使得p =xa +yb +zc.三、空间向量运算的坐标表示1.空间向量运算的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 运算 坐标表示加法 a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) 减法 a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3) 数乘 λa =(λa 1,λa 2,λa 3),λ∈R数量积a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 32.空间向量常用结论的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 结论 坐标表示共线 a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ⇔a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R) 垂直a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0向量长度 |a |=√a ·a =√a 12+a 22+a 32向量夹 角公式cos<a ,b >=a ·b|a||b|=112233√a 1+a 2+a 3·√b 1+b 2+b 33.空间两点间的距离公式设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,则P 1P 2=|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.四、空间向量1.设直线l ,m 的方向向量分别为μ,v ,平面α,β的法向量分别为n 1,n 2,则线线平行 l ∥m ⇔μ∥v ⇔μ=λv ,λ∈R 线面平行 l ∥α⇔μ⊥n 1⇔μ·n 1=0 面面平行 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1=λn 2,λ∈R线线垂直 l ⊥m ⇔μ⊥v ⇔μ·v =0 线面垂直 l ⊥α⇔μ∥n 1⇔μ=λn 1,λ∈R 面面垂直 α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0 线线夹角 l ,m 的夹角θ∈[0,π2],cos θ=|μ·ν||μ||ν| 线面夹角 l ,α的夹角为θ∈[0,π2],sin θ=|μ·n 1||μ||n 1|面面夹角α,β的夹角为θ∈[0,π2],cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|2.点到直线的距离设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u ,点P 到直线l 的距离PQ =√|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√a 2-(a ·u)2. 3.点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点,过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离PQ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n||n|.第二章 直线和圆的方程一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°范围[0,π)2.直线的斜率定义当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α斜率公式 经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =y 2-y1x 2-x 13.直线的方向向量直线的方向向量 设A ,B 为直线上的两点,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 就是这条直线的方向向量 方向向量的坐标 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(其中x 1≠x 2),则直线AB 的一个方向向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1) 方向向量与斜率 若直线l 的斜率为k ,则直线l 的一个方向向量为(1,k )4.两条直线平行和垂直的判定对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2. 位置关系 判定特例平行 l 1∥l 2⇔k 1=k 2 直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行垂直l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直二、直线的方程直线方程的五种形式及适用范围:名称几何条件方程适用条件斜截式 纵截距、斜率 y =kx +b与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y -y 0=k (x -x 0)两点式 过两点y−y 1y 2-y 1=x−x 1x 2-x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 横、纵截距x a +yb=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)所有直线三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点坐标直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.位置关系 方程组的解的个数相交 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解 平行 方程组无解 重合方程组有无数个解2.距离公式距离类型 已知几何元素距离公式两点间的距离两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)|P 1P 2|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0,y 0),直线l :Ax +By +C =0 d =00√A 2+B 2两条平行直线间的距离两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0d =12√A 2+B 2四、圆的方程圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 圆 的方 程 标准式 (x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)圆心坐标:(a ,b )半径为r 一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 圆心坐标:(-D2,-E2) 半径r =12√D 2+E 2-4F五、直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系判断; (2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断. 位置关系 几何法代数法相交 d <r Δ>0 相切 d =r Δ=0 相离d >rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 12(r 1>0),圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0).方法位置关系几何法:根据圆心距d =|O 1O 2|与r 1+r 2或|r 1-r 2|的大小关系进行判断代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断外离 d >r 1+r 2 无解 外切 d =r 1+r 2一组实数解 相交 |r 1-r 2|<d <r 1+r 2两组不同的实数解 内切 d =|r 1-r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1-r 2|(r 1≠r 2)无解第三章 圆锥曲线的方程一、椭圆1.椭圆的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距符号语言集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数 轨迹类型a >c点M 的轨迹为椭圆 a =c点M 的轨迹为线段 a <c点M 不存在2.椭圆的标准方程及其几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形性范围-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b-a ≤y ≤a ,-b ≤x ≤b质 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b )A 1(0,-a ),A 2(0,a ),B 1(-b ,0),B 2(b ,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ,a 为长半轴长;短轴B 1B 2的长为2b ,b 为短半轴长焦距 |F 1F 2|=2c离心率e =ca ,e ∈(0,1),其中c =√a 2-b 2a ,b ,c 的关系a 2=b 2+c 2二、双曲线1.双曲线的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距符号语言集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a ,0<2a <|F 1F 2|},|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数,且a >0,c >0 轨迹类型a <c点M 的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支) a =c点M 的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线) a >c点M 不存在2.双曲线的标准方程及其几何性质标准方程x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)图形性 质范围 x ≤-a 或x ≥a ,y ∈R x ∈R,y ≤-a 或y ≥a对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点顶点 A 1(-a ,0),A 2(a ,0)A 1(0,-a ),A 2(0,a )渐近线y =±ba xy =±ab x离心率 e =ca ,e ∈(1,+∞),其中c =√a 2+b 2轴实轴A 1A 2的长为2a ,a 为实半轴长; 虚轴B 1B 2的长为2b ,b 为虚半轴长a ,b ,c 的关c 2=a 2+b 2系 三、抛物线1.抛物线的定义定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线符号语言 集合P ={M ||MF |=d }(d 为点M 到准线l 的距离) 特例当F ∈l 时,动点M 的轨迹是过F 点垂直于l 的直线2.抛物线的标准方程及其几何性质图形标准方程 y 2= 2px (p >0) y 2= -2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=-2py (p >0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离性质 顶点 O (0,0)对称轴 y =0 x =0焦点 F (p2,0)F (-p2,0)F (0,p2)F (0,−p2)离心率 e =1准线方程x =-p 2 x =p2y =-p2 y =p2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈Ry ≤0,x ∈R开口方向 向右向左向上向下选择性必修二一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A =a +b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d.4.前n 项和公式:S n =n(a 1+a n )2=na 1+n(n -1)2d (n ∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (m ,n ∈N *).(2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值. 二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则其通项公式为a n =a 1q n -1. 4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1−q =a 1-a n q 1−q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m(m ,n ∈N *).(2)若k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则有a k ·a l =a m ·a n .(3)当q ≠-1或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n. 三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )=c (c 为常数) f'(x )=0f (x )=x α(α∈Q,且α≠0)f'(x )=αx α-1 f (x )=sin x f'(x )=cos x f (x )=cos x f'(x )=-sin x f (x )=a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=a x ln a f (x )=e xf'(x )=e x f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=1xlna f (x )=ln xf'(x )=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f (x ),g (x )的导数分别为f'(x ),g'(x ).若f'(x ),g'(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]'=f'(x )±g'(x ); (2)[f (x )g (x )]'=f'(x )g (x )+f (x )g'(x ); (3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g (x )≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x . 四、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般地,函数f (x )的单调性与导函数f'(x )的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )>0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增; 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )<0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递减. 2.函数的极值与导数条件f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0 x 0附近的左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.选择性必修三一、计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.3.排列与排列数(1)排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A n m表示.4.组合与组合数(1)组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C n m 表示.5.二项式定理(1)二项式定理:(a +b )n =C n 0a n +C n 1a n -1b 1+…+C n k a n -k b k +…+C n n b n ,n ∈N * .(2)二项展开式的通项:T k +1=C n k a n -k b k ,通项为展开式的第k +1项.6.各二项式系数的和(1)(a +b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n ,即C n 0+C n 1+C n 2+…+C n n =2n .(2)在(a +b )n 的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C n 1+C n 3+C n 5+…=C n 0+C n 2+C n 4+…=2n -1.二、随机变量及其分布1.条件概率一般地,设A ,B 为两个随机事件,且P (A )>0,则称P (B |A )=P(AB)P(A)为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率,简称条件概率.对任意两个事件A 与B ,若P (A )>0,则P (AB )=P (A )P (B |A ),称此公式为概率的乘法公式.2.全概率公式一般地,设A 1,A 2,…,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪…∪A n =Ω,且P (A i )>0,i =1,2,…,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=∑i=1n P (A i )P (B |A i ),称此公式为全概率公式.3.离散型随机变量的分布列、期望与方差名称 表现形式(或公式)性质分布列 X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p np i ≥0,i =1,2,3,…,n ; p 1+p 2+…+p n =1 期望 E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n =∑i=1n x i p i E (aX +b )=aE (X )+b 方差 D (X )=(x 1-E (X ))2p 1+(x 2-E(X ))2p 2+…+(x n -E (X ))2p n =∑i=1n (x i -E (X ))2p i(1)D (aX +b )= a 2D (X ); (2)D (X )=E (X 2)-[E (X )]2 4.几种常见的概率分布名称 概念(或公式)数字特征 二项分布 P (X =k )=C n k p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,…,n.记作X~B (n ,p ) E (X )=np ; D (X )=np (1-p )超几何分布 P (X =k )=C M k C N−M n−k C N n ,k =m ,m +1,m +2,…,r.其中n ,N ,M∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m =max{0,n -N +M },r =min{n ,M }E (X )=nM N 正态分布 随机变量X 服从正态分布记为X~N (μ,σ2),特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X 服从标准正态分布 若X~N (μ,σ2),则E (X )=μ,D (X )=σ2; P (X ≤μ)=P (X ≥μ)=0.5三、成对数据的统计分析1.样本相关系数r =∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1(x i -x)2√∑i=1(y i -y)2. 2.经验回归方程方程y ^=b ^x +a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的回归方程,其中a ^,b ^是待定参数,其最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i -x)2,a ^=y-b ^x. 3.2×2列联表Y =0 Y =1 合计 X =0a b a +b X =1c d c +d 合计a +cb +d a +b +c +d 4.独立性检验:χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n =a +b +c +d.。
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
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共线向量与共面向量
1．共线向量与共面向量
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
→ 向量，记作 푎
∥
→ →
푏．0与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
→ → →
→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →
푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理
→
→ → → →
→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →
푎 +푦푏．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
→ →
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具
→ → →
体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥
→
푏．
→ （2）푎 ∥
→ → →
푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．
→ → →
（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
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证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
【命题方向】
1，考查空间向量共线问题
→→→
→例：若
푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）
A．x＝1，y＝1 B．x =1
2
，y =―
1
2C．x =
1
6
，y =―
3
2D．x =―
1
6
，y =
3
2→→
分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．
→→
解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，
2푥故有
1=
1
―2푦=
3
9
．
∴x =1
6
，y =―
3
2
．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）
→A．푂푀=
→
푂퐴
+
→
푂퐵
+
→→→
푂퐶B．푂푀=2푂퐴―
→
푂퐵―
→
→
푂퐶
C．푂푀
=
→
푂퐴
+
1
2
→
푂퐵
+
1
3
→
→
푂퐶
D．푂푀
=
1
3
→
푂퐴
+
1
3
→
푂퐵
+
1
3
→
푂퐶→
分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅
→
푂퐴
+푛
⋅
→
푂퐵
+푝
⋅
→
푂퐶，푚+푛+푝=1，说明
M、A、B、C
共面，判断选项的正
误．
→
解答：由共面向量定理
푂푀=푚⋅
→
푂퐴+푛
⋅
→
푂퐵+푝
⋅
→
푂퐶，푚+푛+푝=
1，
说明M、A、B、C 共面，
可以判断A、B、C 都是错误的，
则D 正确．
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故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
3/ 3。