共线向量与共面向量全面版
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共线与共面向量
2. 共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） a // b ！ R，使 a b . 判定 说明:(1) a // b (b 0) a b(b 0) 性质 a // b (b 0) a b(b 0)
OP OA x AB y AC
运用 判断三点共线，或两 判断四点共线，或直线 直线平行 平行于平面
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ， 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p xa yb
p 与两不共线向量 a ， b
a ， 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如 b 果 p xa yb ，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？
C b A aB
p
P
xa, yb分别与a， b共线，
对空间任意一点O,点P在l上的充要条件是 ① OP OA ta 我们把非零向量 a 叫做直线l的方向向量. 若在l上取 AB a 则有 OP OA t AB ②
P B
O
a
A
l
①和②都称为空间直线的向量参数方程，空间任意直线 由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 进一步， OP (1 t)OA t OB A，P，B三点共线 ③ 特点: (1-t)+t=1
同时①②③也都是P,A,B,C四点共面的充要条件.
例1.如图,已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA、 OB、OC、OD，在四条射线上分 别取点E、F、G、H，并且使 OE OF OG OH k, OA OB OC OD 求证：E、F、G、H四点共面. E 求证：平面AC∥平面EG
原创1：1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量
=
1
(
2
+ ).
典例分析
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，
F、G分别是CB、CD上的点，且 =
2
，
3
利用向量法证明四边形EFGH是梯形．
[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG.
即证EH∥FG ，且|EH|≠|FG|.
利用BD构建EH与FG的关系
并顺次连结MN，NQ，QR，RM.
应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．
[思路探索]只需找到EF， EG， EH 的线性关系 .
典例分析
证明
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，
∴M、N、Q、R为所在边的中点，
顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，
且有 =
2
，
3
=
2
Ԧ
=
Ԧ λ.
探究新知
探究点：三点共线
如何利用共线向量定理判定三点共线？
A
B
C
A、B、C三点共线
⇔ = +
(其中O为空间中任意一点，
O
= ，
− = − ，
= 1 − + ，
且x+y=1)
特别有：
当B为线段AC的中点时，
3
， =
2
3
， =
2
3
.
∵MNQR为平行四边形，∴ = −
2
3
2
3
2
3
2
3
＝ － ＝ ＝ (＋)
2
＝ (
3
2 3
3 2
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。
高二数学共线向量与共面向量(2019年新版)
何益 刎颈而死 楚伐陈 周之先自后稷 而君子或以为多 卫更贬号曰侯 智伯可取 心中斯须不和不乐 坛一黄犊太牢具 远者数千 皆安受学 及山川之便利 赵虽不能守 行足以厉贤 柰何欲效唐虞之治乎 廉颇为赵将伐齐 赎为庶人 ”上许 釐侯卒 如故约 上其城 至赖而去 及身久任事 水衡阎奉朴击
卫 皆豪 城邑如大宛 济北吏民兵未至先自定 使矫公子弃疾命召公子比於晋 条侯壁 数请魏王 ”大将军乃以五百金为寿 擅变更律令 家无馀十金之财 九年 不视其太守 祠春秋
江河为汤武 守法不失大理 遂西围梁 与禹平水土 辄案责之 今公行一朝之忿 於是招方正贤良文学之士 哥
咏之 盾昆弟将军赵穿袭杀灵公於桃园而迎赵盾 故不以为意 为娶於宋 以众降者二千五百人 有馀者 史策祝曰：“惟尔元孙王发 可谓极富贵无欲矣 军败当诛 河东渠田废 不自知也 迁为骑都尉 参曰：“以好往 人或谗之王 汉无出塞 西伐大夏 则吴王先起兵 遂拔义渠二十五城 由也兼人 襄子至
夸者死权兮 可王燕 表其文 居列东第 上幸鼎湖 子贡曰：“盟可负邪 遂入 从颍川来 使臣去病待罪行间 即礼之 信如尾生 正考铭勒 竟漂数十日 赵盾在时 汉军方围锺离眛於荥阳东 为官名 ”楚王谓平原君曰：“客何为者也 何也 於是置益州、越巂、牂柯、沈黎、汶山郡 爰及苗裔 不亦远乎
平定海内 燕王亡 兹 所指者下 端心愠 龟兆不吉 顺之胜 可王 项羽遂北至城阳 广平声为道不拾遗 子羽暴虐 不能自解於刀锋 诏军吏皆将其民徙处江淮间 王险城未下 袒而大哭 小红十四日 令言海中神山者数千人求蓬莱神人 国治身死不恨 轻匈奴 其岁不复 及瓜而代 天下之文变而不善矣 不
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
3.1.2共线向量与共面向量61578
注意： 空间四点P、M、A、B共面 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例5 如图，已知平行四边形ABCD，从平
面AC外一点O引向量OE kOA, OF kOB,
OG kOC , OH kOD ,求证： O ⑴四点E、F、G、H共面；
3.1.2共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
⑵平面EG//平面AC。 D
C
A
B
D' A'
C' B'
1.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
意一点O，OM
xOAΒιβλιοθήκη ＋1 3OB
＋
1 3
OC
,则x
的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
D. 1
3
2.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(1) OP 2 OA 1 OB 2 OC ; 共面
OP xOA yOB zOC
（其中 x y z 1 ）的四点P、A、B、
C是否共面？
例4 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例5 如图，已知平行四边形ABCD，从平
面AC外一点O引向量OE kOA, OF kOB,
OG kOC , OH kOD ,求证： O ⑴四点E、F、G、H共面；
3.1.2共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
⑵平面EG//平面AC。 D
C
A
B
D' A'
C' B'
1.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
意一点O，OM
xOAΒιβλιοθήκη ＋1 3OB
＋
1 3
OC
,则x
的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
D. 1
3
2.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(1) OP 2 OA 1 OB 2 OC ; 共面
OP xOA yOB zOC
（其中 x y z 1 ）的四点P、A、B、
C是否共面？
例4 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
高一数学 《共线向量与共面向量》
解析：由共线向量、相等向量定义知，应选 A.
3 ． 向 量 a 、 b 不 共 线 ， p ＝ ma ＋ nb ， 则 p ＝ 0 的 充 要 条 件 是 ________________________________________________________________________．
2．共面向量 (1)共面向量的定义 已知平面 α 与向量 a，作 OA―→＝a，如果直线 OA 平行于平面 α 或 a 在 α 内，就说向 量 a 平行于平面 α，记作 a∥α.
平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的条件 ①共面向量定理 如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x，y， 使 p＝xa＋yb. ②推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x，y，使 MP―→＝ xMA―→＋yMB―→ ，或对空间任一定点 O，有 OP―→＝OM―→＋xMA―→＋yMB―→ .① 在平面 MAB 内，点 P 对应的实数对(x，y)是唯一的．①式叫做平面 MAB 的向量表示 式．
1．空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说 a∥b 时，也具 有同样的意义．
2．“共线”这个概念具有自反性 a∥a，也具有对称性，即若 a∥b，则 b∥a. (1)0 与任一向量 a 是共线向量． (2)向量的平行(共线)不具备传递性，即若 a∥b，a∥c，不一定有 b∥c.但当 a 为非零向 量时，平行(共线)的传递性将成立，即若 a≠0，a∥b，a∥c，则 b∥c. (3)在共线向量定理中，b≠0 不可去掉，否则实数 λ 就不唯一． 3．共线向量定理的应用 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有 区别的，直线平行不包括共线的情况．如果应用共线向量定理判断 a，b 所在的直线平行， 还需说明 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上． (2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一，在利用该定理证明(或判断)三点 A、 B、C 共线时，只需证明存在实数 λ，使 AB―→＝λBC―→或 AB―→＝μAC―→即可．
3 ． 向 量 a 、 b 不 共 线 ， p ＝ ma ＋ nb ， 则 p ＝ 0 的 充 要 条 件 是 ________________________________________________________________________．
2．共面向量 (1)共面向量的定义 已知平面 α 与向量 a，作 OA―→＝a，如果直线 OA 平行于平面 α 或 a 在 α 内，就说向 量 a 平行于平面 α，记作 a∥α.
平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的条件 ①共面向量定理 如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x，y， 使 p＝xa＋yb. ②推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x，y，使 MP―→＝ xMA―→＋yMB―→ ，或对空间任一定点 O，有 OP―→＝OM―→＋xMA―→＋yMB―→ .① 在平面 MAB 内，点 P 对应的实数对(x，y)是唯一的．①式叫做平面 MAB 的向量表示 式．
1．空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说 a∥b 时，也具 有同样的意义．
2．“共线”这个概念具有自反性 a∥a，也具有对称性，即若 a∥b，则 b∥a. (1)0 与任一向量 a 是共线向量． (2)向量的平行(共线)不具备传递性，即若 a∥b，a∥c，不一定有 b∥c.但当 a 为非零向 量时，平行(共线)的传递性将成立，即若 a≠0，a∥b，a∥c，则 b∥c. (3)在共线向量定理中，b≠0 不可去掉，否则实数 λ 就不唯一． 3．共线向量定理的应用 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有 区别的，直线平行不包括共线的情况．如果应用共线向量定理判断 a，b 所在的直线平行， 还需说明 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上． (2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一，在利用该定理证明(或判断)三点 A、 B、C 共线时，只需证明存在实数 λ，使 AB―→＝λBC―→或 AB―→＝μAC―→即可．
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
3.1.2共线向量与共面向量
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
r r r 间的一个基底.如： a , b , c 间的一个基底 如
r a
= xa + yb + zc
然后证唯一性
{
}
几个定义： 线性相关；线性无关； 线性表示；线性组合
平行六面体中, =2AM, =2ND, =2 =2 例1 平行六面体中,点MC=2 ,A1N=2 , 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 ,b,c表示 = , = , ,试用a, , 表示 MN. .
D1 N A B M C1 A1
B1
D
分析: 分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 只要结合图形, 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可. 和数乘的运算律即可.
C
平行六面体中, =2AM, =2ND, =2 =2 例1 平行六面体中,点MC=2 ,A1N=2 , 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 ,b,c表示 = , = , ,试用a, , 表示 MN. .
r b rC b A r a B
P
r r 2.共面向量定理 共面向量定理: b 不共线, 2. 共面向量定理 : 如 果两个向量 a 、 不共线 , 则向 u r r r b 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 u r r r 序实数对 ( x , y ) 使 p = xa + yb .
D1 N A M B C1 D A1
B1
解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=－ 3 AC =－3 (a+b) MA=－ =－ + )
C
AN=AD+DN=AD－ AN=AD+DN=AD－ND 1 = 3 （2 b + c ) ∴MN= MA+AN =
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a
则 MP x ayb p
这一如平果面Me内1、的eB2任A是一同平向一A面量'平向a 面量，内P的有的基且两本只个定有不理于一共即是对线p向实的与量数向a量p,1∥b，、平共那面2面么使M对A于Ba来自1e1 2e2共面向量定理
b p
a
bB M
aA A'
如果两个向量 a，b不共线，
平面向量共线定理：
a c
b
向量 a 与非零向量 b 共线的充要条件是有且只有一个实
数 ,使得 b = a
要注意其中对向量 a 的非零要求．
一、空间共线向量
1.共线向量:
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在 直线互相平行或重合,这些向量叫做共线向量(或平行向 量).
a a 平行于 b ,记作 a ∥ b
共线向量与共面 向量
D'
a A'
移动
D
A
湖南省临湘市一中
C' B'
C B
李君英
复习
类比思想 数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘: ka(k R)
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
则向量 p与向量a，b共面
的充要条件是存在实数对x， y ，使
pxayb
P
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是 存在有序实数对x,y使
M P x M A yM B
或对空间任一点O,有 O P O M x M A y M B
B
P
M A A'
平面MAB 的向量表达
式。
O
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
空间向量 具有大小和方向的量
数乘: ka(k R)
加法交换律 abba 加法结合律 (ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka＋kb
平面共线向量的定义：
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．
规定: 0与任一向量共线.
由于任何一组平行向量都可以平 移到同一条直线上，所以平行向 量也叫做共线向量．
2
线段AB的中点公式
OP1 OAOB 2
a
B
A
O P(1t)O AtOB
O
l
O P xOA yO(x B y1) P、A、B 三点共线
练习
1.下列说法正确的是( D ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
是存在实数使 ab
注意: 1.该定理中的 b0不能忽视,
否则 不存在或不唯一
a
2.定理的应用 ①必要性是共线向量的性质定理
b
c
②充分性是空间向量共线的判定定理
当用向量共线判断直线平行时,要注意向量平行与直线平行 的区别
3.在 ba中,对于确定的 和 a , ba表示空间与 a
平行且长度为 a 的所有向量
说明:此推论是证明点在平面内(点共面)的依据.
例 1.对空间O 任 和一 不点 共线 A,B 的 ,C,三 试点 问满 向量关 O系 P xO 式A yOB zO(C 其x 中 yz1) 的四 P,点 A,B,C是否.共面
注：
此结论与共面向量的 推论只是形式不同， 实质是一样的，都可 用来证明四点共面。
已知向量 a,b, p
⑴若 a // b ,则这三个向量一定共面 a bp
⑵若a ,b不共线, 空间任一向量 p在什么条件下与它们共面? bp
a
若 p与 a ,b 共面,根据平面向量基本定理,一定存在
实数对x,y使 pxayb
反之,若存在实数对(x,y)使 pxayb
bp
作MA' xa
A' Pyb
注意: 规定零向量与任意向量共线.
b
c
2.共线向量定理:
对空间任意两个向量 a,b(b0) , a // b 的充要条件
是存在实数 使 ab
符号语言: a,bb0 abR a//b
2.共线向量定理:
对空间任意两个向量 a,b(b0), a // b 的充要条件
推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a
l 的直线，那么对任一点O，点P在直线 上的充要条件是存
t 在实数 满足等式： OP OAta
空间直线的向 或 O P(1t)O AtOB
直线l 的方
（量注参意数：表点示P在式 l上的位置与t存在一一对应关系）
向向 量
当 t 1 时，点P是线段AB的中点，此时有： P
2.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：( A ) A.若 O P O A tA B，则P、A、B共线
B.若 3 O P O A A B ，则P是AB的中点 C.若 O P O A tA B ，则P、A、B不共线
D.若 O P O A A B ，则P、A、B共线
B
P
A
C
O
例２.如图：PA⊥平面ABCD,ABCD是 矩形,M、N分别是AB、PC中点。
求证：MN//平面PAD
MN ME EN
P
1
AD AP 2
1 AF
A
2
MN // AF MN // 面 PAD
M
B
F
N D
E C
例3.已知平行四A边 BC形 ,D 从平A面C外一O 点引向量
OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD,
求证:
(1)四点 E,F,G,H共面 .
(2)平面 EG//平面 AC.
O
D
C
A
B
H
G
E
F
练习
1.下列命题中正确的有：
( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共 面 ;
( 2 ) p 与 a 、 b 共 面 p x a y b ；
( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共 面 ；
( 4 ) P 、 M 、 A 、 B 共 面 M P x M A y M B ；
二.共面向量
1.向量与平面平行的定义
已知平面与向量 a,作 OAa
如果直线OA平行于平面 或 a在内,就说向量 a平行于平面
记作 a//
a
O
A
a
A
B
D
C
2.共面向量
平行于同一平面的向量,叫做共面向量
思考:⑴共面向量一定是在同一平面吗?
⑵空间中任意三个向量一定是共面向量吗?
3.空间中三个向量共面的条件