共线向量与共面向量.

与
C1
C
A1
B1
（3）理解： 0 与任意向量成共线向量。
： BD 成共线向量所在的对角线有
D
B
4
图3 A
三、共线向量定理：
1， TH内容：对空间任意两个向量 a ， b （ b ≠ ），有： 0 λ（ λ∈ R ），使得： = a ∥ b 存在实数 b . a λ 成立 证明： a ∥b 即a 、 b 为共线向量 ∵ ∴a 与 b 方向要么相同，要么相反 不妨取：││ =μ a ∶││ b ∴方向相同时： a = μ b=λ b 方向相反时： a =－μ b =λ b 若 a = λ b （ λ∈R ）成立 则：由数乘向量定义知， a 与 b 共线 λ>0 ；λ=0时， 与任意向量共线 0 5 λ<0



加法结合律（点乘不适用） 数乘分配律(点乘分配律也适用) 即：a · (b

± c )= a ·b ± a ·c





2
二、有关概念：
1，共线向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合，则这些向量称为共线向量或为平行向量
(说明：平行向量与直线的平行是有区别的) 符号：“∥” 例如：右图中三线段互相平行， b a 则有： a∥ b ∥ c 读作： , , 是共线向量。 b a c c 2，对共线向量的理解： （1）提问：你能想到空间内的共线向量所在直线的位 置关系有哪些？ （2）注重平面内的共线向量向空间内的共线向量转化： 3 主要是直线位置摆放的变化（ 0 怎么认识？ ）
共线向量与共面向量
宣汉县第二中学 主讲者 杜林
课 件 说 案
1
一、回忆引入

1，空间向量：具有大小，方向的量； （向量两要素） 2，相等向量：根据向量的两要素判定几个向量是否相等；也叫 同一向量。 长方体及平行六面体中有一些相等向量 3，运算律： 加法交换律（点乘也适用）
a
a 即：

b = b ·a ·
3，定理及推论作用： a 可证明多点共线，判定线平行，向量共线,线段中点等。 11
L A P


0
五，共面向量：
1，观察图示：注意向量所在线与平面位置关系

a

α b 图2 β 图示1中： 所在线a//面α； b所在线b 面α a 图示2中： 所在线b面β; 、 所在线c、m∥β b c m 平行 提问：这儿 、 、、与相应平面满足什么关系呢？ b c a m 记作：∥面 α， b ∥面α；、 β a c ∥ m β， ∥ b 2，定义：平行于同一平面的向量叫共面向量。 （共面向量是针对多个向量来说的） 上图2中， b 、、 c m 是一组共面向量；当然图1中a b 也是。 提问：对“平行”是怎么理解的？ 12
9
C
作业(第一课时)：
1，课本9.5节第1题 2，同步练习相应题型
10
四，回忆引入：
1，作业中的问题： 有的学生作业中不画图；有的过程较略或者只有答案 （仅少数）；讲评后的作业没有更正。 2，共线定理： ≠ ） a ∥b 存在实数λ（λ∈R ），使得： = aλ 成立（ b

推论：点A∈l，l平行于向量 ( ≠ )所在直线，有： 点P在直线l上 存在实数t，使得： a a 0 = + t (其中点O为空间任意一点) O a OA OP
8
C） 练习 2，（1）下列正确的命题是（ A A若 a 与 b 共线，a 与 c 共线，则 b 与 c 共线 E B当 a =t b 时，则 a 和 b 所在线确定一个面 C O C零向量没有确定的方向 F D若 a // b 时，则存在唯一数λ，使得 a =λ b B （2）空间四边形OABC中，点E在线段OA上，点F为BC 中点，OE=2EA，若 OA= a ，OB= b ，OC = c ；则 1 1 用 a 、b 、 c 表示 EF 为 2 a b c 3 2 2 A1 D1 （3）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 则 : D1A 、 是（ D ） D1C 、A1C C1 B1 A有相同起点的向量； B等长的向量 D A C可以放到同一个平面的向量 D不能放入同一个平面的向量 B
问题提示： （1）观察图示：

a
B


b
c
· A
C 图2
图1 图1中：共线向量所在直线互相平行 ；
图2中： AB 与AC 是共线向量，它们所在直线重合。
(性质：共线向量的方向：相同或相反)
（2）说出图3长方体中：共线向量有哪些？ D1 例：与 AB 成共线向量所在的棱有： CD，A1B1，C1D1




2，判定两向量共线的方法有： 共线向量定义及定理（共两种方法），要素为： 定义：线段平行或重合； 定理：一向量是另一向量的λ倍。 3，作用：可判定多点共线；直线平行等。 推论：点A∈l，l平行于向量 a( a≠ 0 )所在直线，有： 点P在直线l上 存在实数t，使得： OP = OA + t a (其中点O为空间任意一点) 分析： OP= OA + t a 可转化为： － OA =t a OP P 即为：AP =t a l a 翻译为：点P在直线l上 AP =t a 证明：（易）
以上证明过程可逆 （ 到 AP = t a 时，有： O AP与 a 所在线重合或平行） （过线外一点仅一条线与已知线平行）
A

7
练习1：如图网格中，定出点 P、Q、R、S，以满足： P C （1 ） OP =OA +2 AB +2 AC A B 作向量：2 AB +2 AC OQ =OA －3 AB （2 ） －2 AC R Q S 作向量：3 AB+2 AC OR = OA +3 AB－2 AC （3） 作向量：3 AB －2 AC O （4 ） OS = OA +2 AB －3 AC 作向量：2 AB－3 AC 规律：①保持向量 OA 不动； ②平移后两式运算结果的向量，以满足加法或减法
O A
6
推论：点A∈l，l平行于向量 a ( ≠ )所在直线，有： a 0 点P在直线l上 存在实数 t，使得： OP = OA + t a (其中点O为空间任意一点)

∵点P在直线l上，而l平行于 a 所在线 证明： ∴线AP=线l （A∈l） ∴ AP ∥ a 即有：AP =t a (t∈R) 而 AP = OP－ OA P ∴OP = OA + t a (点O为空间任一点) l a