考研高数讲义新高等数学下册辅导讲义——第十二章
高等数学下册第十二章习题答案详解
高等数学下册第十二章习题答案详解1．写出下列级数的一般项: (1)1111357++++；2242468x x +++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+.解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和: (1) 23111555+++；(2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑；(3)1n ∞=∑.解：(1) 因为21115551115511511145n n n n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14． (2)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211nS x x x x x x xx x n x nx n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-=⎪++++⎝⎭因此()1lim 21nn S x x →∞=+，故级数的和为()121x x +(3)因为nU =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=所以lim 1n n S →∞=13．判定下列级数的敛散性:(1)1n ∞=∑；(2)1111166111116(54)(51)n n +++++⋅⋅⋅-+；(3)231232222(1)3333nn n --+-+-+；(4)1155n ++.解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15．(3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． *4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1)11(1)n n n +∞=-∑；(2)1cos 2n n nx ∞=∑； (3)()0111313233n n n n ∞=+-+++∑.解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n++++++<<+， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛．(2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n pn n n p n p n p n U U U xn p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++-⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．习题12-21．用比较判别法法判别下列级数的敛散性: (1)1114657(3)(5)n n ++++⋅⋅++； (2)22212131112131nn +++++++++++；(3)π1sin 3n n ∞=∑；(4)n ∞=； (5)11)1(0nn aa ∞=+>∑； (6)11(21)nn ∞=-∑.解：(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛． (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛．(4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n nU a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a∞=+∑也收敛． 当a =1时，11lim lim022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．2．用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)213n n n ∞=∑；(2)1!31n n n ∞=+∑； (3)232233331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅； (4) 12!n n n n n ∞=⋅∑. 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．3．用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1)1531nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； (2)()11ln(1)n n n ∞=+∑； (3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑； (4)1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中,,,()n n a a n a b a →→∞均为正数.解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散． (2) ()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==<⎪-⎝⎭， 故原级数收敛．(4) lim limn n nb b a a →∞==， 当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．习题12-31．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1) 1+；(2)111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；(3)2341111111153555333⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑； (5)11ln (1)n n n n∞-=-⋅∑； (6)()11113∞--=-∑n n n n； *（6）1(1)111(1)23nnn n∞=-++++⋅∑. 解：(1)()11n n U-=-，级数1n n U ∞=∑>0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n nU -=-⋅，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)由()121!+=-nn n u n2122=<==⨯⨯，由正项级数的根值判别法知，2!n n 收敛，则级数()1121!∞+=-∑nn n n 收敛，112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑绝对收敛. (5)函数()ln =xf x x在[)e,+∞为单调递减函数，则当n 充分大时()ln 1ln 1+>+n n n n ，且ln lim 0→∞=n n n ，由莱布尼兹判别法知交错级数收敛，又ln 1>n n n ，而调和级数11∞=∑n n是发散的，则11ln (1)n n nn∞-=-⋅∑条件收敛. （6）111310333+-+---=-=>n n n n nn n n n u u ，则1+>n n u u ，又1lim 03-→∞=n n n，根据莱布尼兹判别法知()11113∞--=-∑n n n n 收敛，又由比较判别法知1131133-+=<+n n nn n n ，则级数()11113∞--=-∑n n n n 收敛，则级数()11113∞--=-∑n n n n绝对收敛. *(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散． 记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又11111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由1111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛． 2．如果级数23111111122!23!2!2nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的和用前n 项的和代替，试估计其误差.()()()()()()()12121211111=1!22!211111!21!21111=11!222111=11!21211!2n n n n n n nn n n n n n n σ++++++⎛⎫⎛⎫++⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+⎝⎭-=+＜3．若2lim n n n u →∞存在，证明：级数1n n u ∞=∑收敛.221211lim =lim ,.1n n n n n n n u n u nnu ∞→∞→∞=∞=∑∑存在而收敛所以也收敛*4．证明：若21nn u∞=∑收敛，则1nn u n ∞=∑绝对收敛. 222211111110221,2.n n n n n n n n n n n n u u u n n nu u n n u un n∞∞∞===∞∞===≤+∑∑∑∑∑＜而和都收敛，由比较审敛法得知收敛从而收敛，即绝对收敛习题12-41．求下列函数项级数的收敛域： (1)11x n n∞=∑；(2)()1111n xn n ∞+=-∑.2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域: (1)2323nx x x nx +++++；(2)1!nnn n x n∞=∑； (3)21121n n x n ∞-=-∑；(4)21(1)2nn x n n∞=-⋅∑. 解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e !∞=∑n n n n n，()()()()11111!11!11e e e e +++++++⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+n n nnn n n nnn n n n u n n u n n n 11e =⎛⎫+ ⎪⎝⎭nn ， 在→+∞n 的过程中，11+>n nu u ，又0>n u ，则e =x 时，常数项级数为单调递增函数，1e =u ，则lim 0→∞≠n n u ，由级数收敛的必要条件，级数的一般项不趋于零，则该级数必发散，同理在e =-x 时，()1e !∞=-∑nnn n n 变为交错级数，其中!lim e →∞n n n n n依旧不等于0，，则在e =-x 时也发散，则其收敛域为(),e e -．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2] 3．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数:(1)11n n nx∞-=∑；(2)2221n n x n ∞+=+∑. ()()()()1112111111111n n n n n n n n nx x x S x nx x x x x x ∞-=∞∞∞-==='''⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑∑∑解：（）可求得函数在＜时收敛，＜(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011nn S x x x ∞='==-∑， 故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x+-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x+==<-习题12-51．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间: (1)()()ln 2f x x =+； (2)()2cos f x x =； (3)()()()1ln 1f x x x =++； (4)()2x f =(5)()23f x xx =+；(6)()e e)12(x x f x -=-； 解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()11ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2xf x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n n n n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1) 故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e !n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑2．将()2132x x f x ++=展开成()4x +的幂级数.()()()()()()20100102101113212111114x+4141343333134713111114414224222212462241323nn nn n nn nn n nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞=∞+=∞=∞+=∞+==-+++++⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=---+⎛+⎫⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=--+=-++∑∑∑∑∑解：而＜＜＜＜＜-从而()()()10110421146223nn n n n n n x x x ∞+=∞++=++⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭∑∑＜＜3．将函数()f x 1()x -的幂级数. 解：因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑4．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1) ln3(误差不超过10.000)； (2) cos2︒(误差不超过10.000).解：(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-， 故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦- 又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯． 因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos 2110.00060.99942!⎛⎫ ⎪⎝⎭≈-≈-≈ 5．将函数()d 0arctan x tF x t t=⎰展开成x 的幂级数. 解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx nn n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）6．求下列级数的和函数： (1) 2121n n x n ∞+=+∑；(2)10(1)!n n nx n ∞-=-∑(提示：应用e x 的幂级数展开式)；解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x∞='==-∑ ()200111d d ln 121xxx S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021xS S x x+-=-，S (0)=0 所以()11ln 21xS x x+=-，(|x |<1)(2)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xx n n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)7.试用幂级数解法求下列微分方程的解：222(1)0;(2)0;(3)1;(4)(1);(5)(1)2.y x y y xy y y xy x x y x y x y x x y '''''-=++=''--=-=-'+=-+()()()()()()()()()1220120220120223405121,,11212021=210320435421nn n nn n n n n n n n nnn n n n nnn n n n n n y a x y na xy n n a xn n a x n n a x xa xn n a x a x a a a a a a n n a a ∞∞∞∞--+====∞∞+==∞∞+-==+-'''===-=++++-=++====++=∑∑∑∑∑∑∑∑解：（）设则代入原方程得即比较同次幂系数，得一般地()()()()222001423456785801910111291134243042,3,210,,,0,3445783478,0,894589111234781112,12134589121303478414n n k k k n a a n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k-+++==++===================-即所以有所以()()()14145121481221,2,1,2,4589441134347834781112145458945891213k k a a k k k x x x y C x x x C x +===+⎛⎫=++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎛⎫+++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭因此是方程的解()()()()()()()()()212120222220210211021100,1,2,10,1,2,2111122222n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n k k y a x a n n xx a nxa x n n a n a x n n a n a n a a n n a a a k k k ∞=∞∞∞--===∞+=++-=-++=++++=⎡⎤⎣⎦++++===-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑（）设为该方程的解，代入该方程得即故即从而()()()()01212112242000021351111!2111112121213135211111!22!2!211313513521kk k k nnk k a k a a a a k k k k a a a y a x x x n a a x a x x k +-+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪⎪ ⎪++-⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡-+++-+⎢⋅⋅⋅⋅⋅-⎣因而()()()()()()22222202135135212011221211111!22!2!2111131351352111313513521121!!n k k x n nn x x x x a n x a x x x k x x x a e a x k y C eC x n ++-+-⎤⎥⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+-+++-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=+-+-+-+⎢⎥+⎣⎦-=+-故原方程的通解为11n n ∞-=∑()()()101110111120210001234567213,=,112120111111,,,,,,23243524611,,3571nn n n n n n n nn n n n nn n n y a a x y na x na xx a a x x a a a x a n a x a a a a a a a a a a a ∞∞-==∞∞-==∞++=-'=+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭-+--+-++=⎡⎤⎣⎦+++======⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∑∑∑∑∑（）设方程的解为从而代入方程得即因而()()()()()()023521242000023521222001,352124621113!!5!!21!!24!!2!!111113!!5!!21!!22!!2!!2n n n n n a a n n a a a x x x y a x x x x n n x x x x x x a x a n n --+=⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤+++=+++++++++++⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此()()()()()()()222321200032120212113!!21!!113!!21!!121!!x n x n x n x x a a a e x n x x a e x n x y Ce n ---⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+++++++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=++-++++⎢⎥-⎣⎦=+-+-故方程的通解为()()()()()()01210210102321102311110,20,3=1,11041,0,,32234521123431n n n n nn n n n n n n n n n n n y a x x na xx a x n a n a x x a a a a a n a n a n a a a a n n n n n a a n n n n n y C ∞=∞∞-==∞+=+-=-=-++-=⎡⎤⎣⎦+==-+--=≥=-==-----==---=∑∑∑∑（4）令是该方程的解，代入该方程得即比较系数得以及故因而()()3412.31n n x x x n n ∞=-++-∑是方程的解()()()()10112011121101102231102315,=,2120,22,3111032,1,311nn n n n n n n n nnn n n n n n n n n n n n y a x y na x na x na xa a x x xna n a a x a a x xa a a a a n a n a n a a a a n a n ∞∞-==∞∞∞-===∞+=++'=+--=-++-+-=-⎡⎤⎣⎦-==-+=-++=≥==-=-=-+∑∑∑∑∑∑（）设方程的解为则代入方程得即比较系数得从而()()()()()()()()()()()1344331234121242114641131141412411.31n n n n n n n n n n n n n a a a n n n n a n n n n n a n n n y C x x x x n n ----∞-=-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--- ⎪⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=-≥++=-≥-=+-++--∑即因而原方程的通解为8. 试用幂级数解法求下列方程满足所所给定初始条件的解：2222(1)(2)2(1)20,(0)(1)1;(2),(0)0;(3)cos 0,(0),(0)0.x x y x y y y y dyx y y dx d xx t x a x dt '''-+-+====+='+===()()()()12122212121,,12121201.nn n n n n n n n n n n n n n n n n y a x y na xy n n a x xx n n a x x na x a x y x x ∞∞∞--===∞∞∞--==='''===---+-+==-+∑∑∑∑∑∑（）设则代入原方程得比较同次项系数，由初始条件可得方程的解为()1001211125,,00,0..11220nn n n n n n n n n n n y a x y na x y a na x a x xy x x ∞∞-==∞∞-=='====⎛⎫-= ⎪⎝⎭=++∑∑∑∑（2）设则由得代入原方程得比较同次幂系数得方程的解为()()()()21220120123423456246230123232345(3),,10,00,,0232435465102!4!6!23243546nn n n n n n n n dx d x x a t na t n n a t dt dt x a x a a a a a t a t a t a t t t t a a t a t a t a a t a t a t ∞∞∞--======-'====+⋅+⋅+⋅+⋅+⎛⎫+++++-+-+= ⎪⎝⎭++++∑∑∑设则由初始条件所以代入原方程得即4602240012123420310421530264010213024502!2!2!4!203204302!5402!6502!4!,0,220322!434!a t a a a a a a t a t a t a t a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a aa a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⋅+=⋅+-=⋅+-=⋅+-+====-=-=-=⋅-+==⋅比较系数得又得到1350024246867824682!0549552!4!2!4!6,0,,656!878!1295512!4!6!8!a a a a a a a a a a a a a t x a t t t t -+==⋅-+--+-+==-===⋅⋅⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭所以习题12-61．设()f x 是周期为π2的周期函数，它在(,ππ-⎤⎦上的表达式为ππ. 32,0,(),0x f x x x -<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩试问()f x 的傅里叶级数在πx =-处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+ 2．写出函数ππ. 21,0,(),0x f x x x --<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的傅里叶级数的和函数.解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩3. 写出下列以π2为周期的周期函数的傅里叶级数，其中()f x 在),ππ-⎡⎣上的表达式为： (1)π,0π4()π,π04x f x x ⎧≤<⎪=⎨⎪--≤<⎩ ；(2)()2()f x x πx π=-≤<；(3)ππ,π22ππ(),22ππ,π22x f x x x x ⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩ ； (4)()ππcos ()2f x x x=-≤≤. 解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π] 4. 将下列函数()f x 展开为傅里叶级数： (1)()πππ(2)4x xf x =-<<-；(2)()π2sin (0)f x xx =≤≤.解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx xn x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nxf x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 5. 设()π1(0)f x x x =+≤≤，试分别将()f x 展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 6. 将()211()f x xx =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和.解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n ∞==∑ 7. 将函数()12(0)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)8. 设11,02()122,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩，()01cos π,2n n a a n x s x x ∞==-∞<∞+<+∑，其中πd 102()cos n a f x n x x =⎰，求()52s -.解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭9.设函数()21(0)f x x x =≤<，而()1sin π,n n n x b s x x ∞==-∞<<+∞∑，其中()πd 1,2,3,102()sin n f x n x xb n ==⎰.求()12s-.解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故. 211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10. 将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为： (1)()2111 22f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭ ；(2) 3. 21,30,()1,0x x f x x +-≤≤⎧=⎨≤<⎩解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰， ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑(-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x xn x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)习题十二1. 填空题：(1)级数1211()1n n n ∞=+∑的敛散性是 发散(2)级数1()21nn n n ∞=-∑的敛散性是 收敛 (3)已知幂级数级数级数1(2)04nn n a x x x ∞=+==-∑在处收敛，在处发散，则幂级数1(3)nn n a x ∞=-∑的处收敛域为 (1,5](4) 设函数()1()f x x x ππ=+-<<的傅里叶级数的和函数为(),(5)S x S π则等于 1(5)设函数2()(0)f x x x π=≤≤的正弦函数1sin nn bnx ∞=∑的和函数(),(,2)()S x S x ππ∈=则当x 时， 2(2)x π--2. 选择题：(1) 正项级数1nn a∞=∑收敛的充分条件是（ C ）。
高数3(第十二章第5、6、7节)
(1) 函数 P, Q, R 中变量 x, y, z 不独立 受到 不独立, 曲面∑方程的限制 方程的限制； 曲面∑方程的限制； (2)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ Σ Σ r 其中 V = {P , Q , R }, v dS = {dydz , dzdx , dxdy } 为有向面积元素
2011年3月28日 高等数学 A（三） 7
记作
∫∫Σ R( x, y, z)dxdy = lim ∑ R(ξ i ,ηi ,ζ i )( ∆Si ) xy λ →0
i =1
n
类似可定义： 类似可定义： P(x, y, z) 在有向曲面∑上对坐标 y, z 的曲面积分 在有向曲面∑
n
∫∫Σ P( x, y, z)dydz = lim ∑ P (ξ i ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz λ →0 i =1
解：曲面向 yoz平面投影时 平面投影时, 平面投影时 z
2
Σ : x = ± 1 − y2
− 1 ≤ y ≤ 1 (前后曲面 D y z : 前后曲面) 前后曲面 0≤ z≤2
平面投影时, 曲面向 xoy平面投影时 平面投影时
1
x
y
投影为曲线, 投影为曲线 无 Dx y ,
即
∫∫ Σ
e x sin y dxdy = 0 .
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§6 高斯公式 通量与散度
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一、高斯(Gauss)公式 高斯(Gauss)
格林公式表达了平面闭区域上的 二重积分与其边界曲线上的曲线积分 之间的关系, 之间的关系, 而高斯公式表达了空间 闭区域上的三重积分与其边界曲面上 的曲面积分之间的关系。 的曲面积分之间的关系。
高等数学第六版(同济版)第十二章复习资料
注：r.级数是无穷多个数相加的结果./!-12°.级数£知的形成经历了一个有限到无限的过程.n-13•级数的和:称级数亍“”的前”项和s 产士％为级数的部分和.称数列｛»｝为级数的部分和数列. /r-l女■】 若部分和数列｛片｝有极限$，即lim»=s ，则称级数收敛，称s 为级数的和，即"K-1s = u { + u 2 + w 3+ ・・• + ll n + ….称差值/；,=5-5,_为级数的余项，显然lim/^0. 気 "T* 若数列｛»｝的极限不存在，则称发散.H-1X例1 •讨论等比级数（几何级数）5>/=0 +如+如2+…+呵“+…的敛散性,其中。
工0・ 解：（1）・若§工1 ,则部分和片=工彳/ =a + aq+ +aq n ^9a(l — q")_ a acfl_g l_g \-q当I ty 1< 1 0寸,有lim 片=—^―,则乞呵收敛.…1 _ qn-l综上,等比级数为诃在Iglvl 时收敛,在Iglni 时发散. F1-In-1 n-1当I g l> 1时，有lini s H = oo ，则为“q"发散n->xn-1⑵.若q = 1 ,则部分和s n = na* ,有liin s” = s ,则工发散fi->xn-1⑶•若§ = -1，则部分和》=<::二严,有呼不存在'则討发散X例2.证明等差级数2> = 1 + 2 + 3 +… n-l证明：由于部分和L + 2 +…卄冒有lim s = s从而发散.J7-1航判定级数£法r护右…躺r…的敛散性•解：由于通项= —=-—-L ,因此部分和片=1 一丄+丄一丄+…+丄一丄=丄n(n +1) n n + \12 2 3 n n + \ n + \且lim s n = lim 1 ---- !— I = 1，则， ! 收敛,其和为1.―丸n + \)/?(// +1)二、收敛级数的基本性质性质1 :若级数Y知收敛，和为$ ,则级数工《冷也收敛，和为愿，其中&H0. n-l n-1性质2 :若级数与$>"都收敛，其和分别为S和CT ,则土儿也收敛，其和为S±b.H-l K-l fl-1性质3 :在级数工“”中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数丫心的敛散性. n-l n-i 性质4 :若级数丫匕收敛,则对该级数的项任意加括号后所形成的级数n-i(⑷+ …+5) +(仏+1+ •••+%) + ••• + (%” + ••• + %) + ••.仍收敛.注：r.反之不成立，即去掉收敛级数各项中的括号后得到的级数未必收敛.例如：为(1-1) = (1-1) +…+ (1-1) +…收敛于o,但去掉括号后所形成的级数“■】90工(・1)M =1_1 + 1_1 +・・・+ (_1)曲+・・・/I-1□0C Q 77 = 2£却发散•因为yc-ir1的部分和必=‘ "/ 不存在极限.”■11, n = 2k +1 ・XX2°.若级数乞叫的项加括号后所形成的级数发散，则也发散n-i/r-1x性质5 :若级数5X 收敛,则limw w =O.J?-l"T*X21若lim u n = 0 ,则，u n 未必收敛.x1例4•证明调和级数》丄发散.证明：用反证法.001假设级数工丄收敛于$，再令该级数的部分和为》,有,从而也有Um = 5 ,Iln->x n->» -即 lim(s 2 -5 ) = 0.但1 1 I 1 1 1 1 九一兀= ---- + ----- + …+— > — + — + …+—=-,n + \ n + 2 2n 2n 2n 2n 2x i这与鯉（％-$”）= 0矛盾，从而调和级数岁发散. 三.级数收敛的判别法一（柯西审敛原理）8定理：级数工心收敛、3N 已N ・、Pn>N Np 已W ，都有+/^2+ --- + ^p \<£/r-l成立.8证明：级数》©收敛O 数列｛S 〃｝收敛OVw>0 , mN , V/7 > N , Vp e ，都有；t-iI S 一 片 1=1 %】+ %2 + …+ J IV £ 成立.x 1例5•利用柯西审敛原理判定级数若占的敛散性.X 注：1°.若lim/HO ,则发散 n->xH-l解:V^>0 , V/r N+ ,要使不等式1 ---------- +…+(“ +1)(〃 + 2)] (/? + /7-l)(n + p)1 1 1 ------- -- —I ---------- n + \ n +2 n + p -11< - n 成立，只须"〉丄.由柯西审敛原理知,数收敛.叽+%+…+%匸时+ -------- T + …+ ---------- T ⑺ + 2)" 1 -- + n{n +1) 于是， Vw>0VpeAT ■都有l%】+%2 + ・第二节常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法 1 •正项级数及其收敛性(1) .正项级数：若级数中的通项＞0 ,则称为正项级数./|-1n-1(2).正项级数收敛：设正项级数£ 的部分和数列｛»｝收敛于s ,则称£叫收敛，其和为s. n-1 n-1注：正项级数工知的部分和数列｛»｝是单调增加的数列.“■1 (3) .正项级数收敛的性质：X 00定理1.正项级数为“”收敛O 工叫的部分和数列匕｝有界.n-ln-I注：正项级数£血发散的部分和数列｛»｝无界./i-ln-l2.正项级数审敛法(敛散性判别法) (1) .比较审敛法,满足s 叫，/7 = (1,2,-)，若£气,收敛，则£收敛；若”■】 H-18 X发散，则\＞”发散(大的收敛保证小的必收敛；小的发散导致大的发散)n-ln-l证明：1°.设fl ，”收敛于和＜7 ,则土叫的部分和n-1n-1S fJ = U x +U 2 + ・・• + ll n + ■' * < Vj + v 2 + • • • + \；, + ・・• V b ,即部分和数列｛»｝有上界，且单调增加，于是由单调有界准则知｛»｝收敛，从而也收敛.2°.假设收敛，由1知也收敛，出现矛盾，故发散.n-1 n-1 n-1X X定理2•对正项级数丫知和工叫 w-l n-l推论：对正项级数工冷和为匕，若Y匕收敛，且2N , V/7 > TV，有u n < kv n伙>0), n-l /t-l n-1□000 X则丫你收敛・若工X发散、且mN w N十,\fn>N , u H > kv n伙>0),则》叫发散n-l n-l n-ix 1例i•讨论〃-级数(广义调和级数)y4(p>0)的收敛性・解：(I).当0</虫1时，有-L>1 ,而调和级数发散，从而广义调和级数£占发散.(2).当P>1 时，由于m"时，有君 V 士，所以-L = ^l_dx<\k_^dx ,a>2). 从而级数的部分和『1+£存1+£匸占心出号心< 1 + —-—(72 = 2,3,…). ”一1=1 +00 1这表明数列｛»｝有界,从而广义调和级数工丄收敛.tin8 1综上,广义调和级数工丄当”>1时收敛,当0</7<1发散.n-l n例2•证明级数V , 1是发散的.台/心+ 1)I 1 x i证明：由于/?(« + 1)<(/: + 1)2 ,从而.1> —>而级数，丄是调和级数,发散•故级yjn(n +1) 7? + 1 铝"+ 1x ]数》，是发散的.禽3®+1)(2).比较审敛法的极限形式定理3.对正项级数和"，满足!坐如=/n-l n-l 叫(1).若Ov/v+s ,为比与》心同敛态.n-l /?-!(2).若/ = 0 ,且£ v”收敛，则“收敛.n-l n-l(3) .若/ = +s ,且£卩”发散，则发散. n-l w-l证明：⑴•由 lim = / ，贝 1」对£ = — , mNwTT宀v n 2若£叫收敛，由于U n <^v n ,从而$>“收敛.若£叫发散，由于叫〉A ，从而发散. “■1 2 “■] “■】 2H-IX从而YX 收敛・n-i⑶•由lim/ = ”o 知lim — = 0 ,假设工心收敛,则由⑵知工匕收敛,矛盾，故工心发散xi例3•判定级数工sin 丄的收敛性.・1 sin- — x f解：由于1曲—^ = 1 ,又》丄发散,从而工sin 丄发散 “虫 1 粽n 粽 川 (3).比值审敛法©Alembert 判别法) X定理4.对正项级数，知，满足lim 也(1)•若pvl ,则工心收敛.12-1⑵.若Q>1或Q = +s ,则》"”发散./r-1(3) .若Q = 1 ,则£叫敛散性待定.n-1证明：,V/7 > N , W —-/ <£ =—⑵•由lim 乞=0 ,则对 £ =丄，3/Ve7V +, V/7 > N ,有性2VnV ,即u n <Lv n .^±v n 收敛,例6.判断级数£ 解：由于 lim 也=lim "°"7卩2"屮）=lim“y u n "TOC 1/（2〃-1）2” "TOC （2〃+ 1）（2”+ 2）1 1 x 1 x 1由于2—沁〃,从而十讣，而若+收敛，从而希坛收釵 (4) .根值审敛法(柯西判别法)(1) •由lim 上伫丄= /?vl ，取£>0 ,使/? + £ = /・vl ,存在正数加,当n > m B 寸，有或护"+ £ =厂‘即心V" •从而柿<",%2 <叽G …由于级数j^r ku m 收敛，于是根据比较判别法的推论知乞竹收敛. J1 “■】 (2).由limdd = Q>l ，取£>0,使°一£>1,存在正数加，当n > m 时，有 "T8 linlfn或也>° —£>1，即“心>©「即数列｛血｝是单调增加的，从而,因此工©发散. 心 “ 粽(3).当° = 1日寸，土叫可能收敛也可能发散，例如：广义调和级数£丄满足”■】 n-l “u ICC \/n P 1叫〃 + 1 丿P=1,但当301x1”>1时工二收敛,当0</,<1时工二发散n-i n/r-i nx1例4 •证明级数若聞的收敛性.证明：由于 lim = lim = Um - = 0< IS H "TOC /?! HT3C JJ x1I,故工时收敛.w-1 例5.判定级数£竺的收敛性."■1 1° 解：由于lim 乞日n->® 叫2* nl/\O n 10，故謠发散.⑵-1)2“=1 ,故比值判别法失效.n-l定理5・对正项级数为心，满足lim诉7 = °・/r-l(1).若pel ,则£©收敛.n-1⑵.若p>l或Q = +S ,则工"”发散./r-l(3)•若p = \ ,则工心敛散性待定.n-l注：当0=1时，£心可能收敛也可能发散，例如：广义调和级数£2满足“■】n-l “lim li/w? = limn->»v n->x但当”>1时£厶收敛，当0</7<l时£丄发散例7.判断级数£2 + 3的收敛性.W-1/— 1 i -------------------- 1 一训2+(-1*] 1 Um-ln|2+(-l)rt J 解：由于lim 呃=lim -r{l2 + (一1)“ = lim =lim _疋"““Tx> v— x> 2 “f00 2 “f00 2 =0，从而£2 + (-1)"/r-l收敛.(5) •极限审敛法定理6•对正项级数工匕，w⑴•若lim nu n = / (0 < / < +s),则Y u n发散.H—n-lg⑵•若〃 > 1 而lim n p u n =1 (0</ < +s),则乞收敛.n-ln-»»证明：(1).在比较审敛法的极限形式中，取V n=-,由调和级数E丄发散，结论成立. (2).在比较审敛法的极限形式中，取v…=J-，当p>l时，由“-级数丈丄收敛，结论成立.例&判断级数finn-lT 的收敛性.二.交错级数及其收敛法解：由于In ； 1+ 1 - ---- (〃 T s)，有 lim /?2 In 1 i f 丿 rr 心30 V + -L ) = lim n 2- 1 zr 丿 gg 1 30 ' 1 '—=1 ,故工In 1 +眉 收敛.irn-l 例9.判断级数 n-l 的收敛性.1-COS- 77解：由于1- cos — = 2sin 2n 7t2n )、2 ，有3 lim n 2( 〃 1・ 》1 - cos — = lim 八"丿1 2= _7V21-COS-n 丿收敛.1.交错级数：称各项是正负交错的级数为交错级数，记作E （j ）”「S”或£（j ）s”（"”no ）・n-lw-12•交错级数审敛法：（莱布尼兹判别法）定理7•若交错级数工（_1）心知满足（1）.给》也（〃 =123,…）,（2）. 收敛,且其和余项乙满足|/;?|<^rX oc简记：若交错级数为（-1广5”中数列｛“”｝单调减少趋近0 ,则为（-1）”“叫收敛.H-1W-1xi例io •判断交错级数yc-ir 1丄的收敛性.11 1 x解：由于(1 )・冷=—> -- =%](〃 = 1,2,3,…),(2). lim u n = lim — = 0 ,从而工(-1)心—收敛. n n + \ 『―30 28 口 訂 n II三.任意项级数及其绝对绝对收敛.条件收敛1.任意项级数：若级数$>”中各项为任意实数，则称$>”为任意项级数. n-ln-l00X2.绝对收敛：若级数£h/n l 收敛，则称级数绝对收敛・H-ln-l例如：$（j ）心丄绝对收敛；yc-ir 1-条件收敛・ 3•级数收敛的绝对审敛法:定理8.若级数绝对收敛，则必定收敛.n-ln-l001证明：由已知,有刃"」收敛，设匕=一（冷+1"口1） >则有匕V"」,从而有工叫收敛. “■】 2□00C 130OC3030又亍匕=乞：7（如+1"」）’有刃匕=乞2叫-力叩’从而亍心收敛./i-l/r-1 乙/i-ln-l/r-1n-1注：「反之不成立,即收敛的级数未必是绝对收敛的.2°.—般来讲，£|“”1发散，办”未必发散 但若1心1不趙近0则由£|“”1发散可知n-ln-ln-ln-I发散.例11.判定级数£弓笋 的收敛性.条件收敛：若级数“收敛，而级数£|“」发散，则称级数条件收敛.n-1/i-lH-l/I-1解：由于sin na 活而洋收敛吨譽艸收敛，从而£耳笋也收敛•例12. x1 / 1 Y r判定级数£(_1)”厶1+丄 的收敛性.n=l2 Ifl )71=1 T £>1 （“TS）,从而有©不趋近0 ,因此2工 I I工（T ）发散.第三节幕级数—、函数项级数的相关概念1.函数项级数：设有区间/上的函数列｛叫(力｝,将｛n…(A)｝中各项依次用加号连接起来，即n I(x) + H2(x)+ -- + zf/l(x) + - -,称为函数项无穷级数，简称函数项级数，记作£"“(尤).n-1注：1°.若x = x.el ,则函数项级数］>”(切成为常数项级数$>“(无).n-1 /r-l2°.函数项级数分两类：幕级数、三角级数.2.函数项级数的收敛域：若常数项级数(忑)收敛，则称儿是函数项级数£心(羽的收敛n-1 n-1点，收敛点的全体称为它的收敛域.若常数项级数£馮(无)发散，则称也是函数项级数/r-l£叫(劝的发散点，发散点的全体称为它的发散域.“■1X3•函数项级数的和函数：对收敛域内的任一数x ,常数项级数£知(0都有一个确定的和数/r-ls(x),称之为函数项级数£你(切的和函数，即=n-1 H-1注：和函数s(x)的定义域是£叫(切的收敛域. n-1x4•函数项级数的余项：若的部分和为片(x),其和函数为s(x),有lim s n(x) = s(x), n—l则称r n(x) = s n(x) - s(x)为工u… (x)的余项，有liny;(x) = 0.“■1"T*二、幕级数及其收敛性1.幕级数：称各项都是幕函数的函数项级数Xa n x"为幕级数，即/!-090为G*=a0 + a}x + a2x2 + ・・・ + a n x n + ….zi-0注：幕级数在兀=0处收敛于5.（幕级数还在X轴上哪些点收敛，又在哪些点n-0 n-0发散呢？下面的介绍的幕级数的收敛性能回答这些问题.）2 •幕级数的收敛性X例1 •考察幕级数E疋的收敛性・J7-0解：暂时固定X，则工弋为几何级数，从而当lxl<10寸,工0收敛,其和为5（x）=—；当H-0K-0 1 —XX 8lxl>lH寸,£対发散,即亍*在（一1,1）上收敛,在（V — l]U[l, + s）发散.□■0“■（）由此可见幕级数壬疋的收敛域是一个区间，这个结论对一般的幕级数也成立，即: /!-（>定理l.（Abel定理）若级数工当％ =儿工0时收敛,则Vx：lxl<x0 ,有工©0绝对收敛.”■（）口■（）若级数^a n x"当x =儿H 0时发散，则Vx: I x 1>心，有为发散./!-0 口■（）注：由Abel定理可以看出，幕级数^a…x n的收敛域是以原点为中心的区间：（-1忑1,1忑1）；/!-0(-lx0IJx0 I] ； [-lx0IJx D l) ； [-lx o IJx o l].推论：若幕级数工©0既不仅在x = 0 —点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在，使得1.当\x\<R时，幕级数绝对收敛./!-02•当\x\>R时,幕级数发散・/I-03•当1x1=/?时,幕级数工敛散性待定.zi-0注：称/?为幕级数工勺工的收敛半径.7!-02 •幕级数收敛半径的求法x定理2•设有幕级数工，若lim紜a ft =p ,则的收敛半径R = <H-0丄，Q H 0P+ s,p = 00, p = +sX X定理3.设有幕级数，若巴]呃| = °，则为©*的收敛半径/? = <n-0n-0 丄，"0 P+ s,p = 0・例2•求幕级数$(-1)心匸=兀-少+匸+・・・+ (-1)心匸+…的收敛半径与收敛区间. 铝n 2 3 n1= lim 斗1 = 1，则该级数的收敛半径为/? = ! = !."T8 1 1nX 1 X 1 X 1又当X = -\时,工(—1尸7丄=_工丄发散；当*1时,工(—1)^丄是交错级数,H-l f1/i-l ,l/r-1 n，从而收敛区间为(-1, 1]・例3.求幕级数£匚=w-0料・心+計・丄+…的收敛区间.IV.解：由于Q = lim 土=1曲竺岂=1曲丄=0，从而级数歹匸的收敛半径R=W2 8 1 2" n + \粽川收敛区间为(_S,+QO)・例4•求幕级数为川疋= l + x + 2!/ +…+川疋+…的收敛区间.n-0解：由于p = lim =亦也士 = lim〃+ l = +s ,从而级数丈匸的收敛半径R = 0 MT* n\ “TOC粽 /?!从而例g 级数£器0的收敛半径.收敛；当4I X I 2>1 ,即lx 卜丄时，级数£ 斗0发散，从而级数£ 半的收敛半2 /r-o (川) /I-O (n!) 径R =丄.2例6.求幕级数£口匕的收敛区间.n-0 2"・〃解：令y = x-l ，则有级数■*于Q = lim|加|=lim ——/—=-，从而级数幺 2"•” ” | "2间心 + 1)/ 2” •“ 2 £恙的收敛半径X X 1 X / ［ W"001当"2时,工4 =工丄发散；当尸一2时，工畔二=工(一1)“丄收敛；因此级数 /I-0 乙• n/r-(> n/r-(>Z •11 /r-() 口-的收敛区间为［-2, 2).n-o 2 • n由-2<x-\<2 , fiP-l<x<3 ,于是级数f的收敛区间为［—1,3)n-0 2 • ll三. 幕级数的运算x x定理4.设幕级数为如卍与工>屏的收敛半径分别为&和鸟，令/? = nin{/?1,/?2},则有n-0n-»0□c 00吃认=工加* , 2为常数,H</?j ；“■0£%"±£加"=£("“±»)x", \x\<R ;/I «B 0//-()n»0= ,其中 C n =^a k b n _k , \X \<R ；n=0 A-0级数n-0仅在x = 0收敛.解：由于lim/t->x ⑵2+ 2)!宀+2 /⑵叭2〃 W + 1)!]' / 耐.—当仆"即I 吨时,级哼霧0x / oo x n工工仇x"=》C 詁川,其中5=工％5“ ,凶 ＜凡,&比&和心都小＞ /|-0 / /i-O n-0 X:-()x例如：工％疋=1 ,其中(q = 1“ =0昇2 = 1,2,…),/|-0^b n x'' = \-x ，其中 ％ = 1,勺=一1,戈=0, “ = 2,3,…，这两个级数的收敛半径均为R = +s ,但是Z唧/ E X” =一=工八1+%+F +…+疋+… /I-0 /n-0 1 — X /!-()的收敛半径只是/? = !.四. 幕级数和函数的性质 定理5•若幕级数的收敛半径7?＞0 ,则其和函数$(对满足：n-0 ⑴.在收敛区间(-ER)上连续；90f3D(2)•在收敛区间内可逐项求导,且F(x) =》(d =£叫严,xw(—R 、R);/T -O/r-J(3).在收敛区间内可逐项积分，且匚$(x)〃x = £qJ (X 血,xe(-R.R). n»0 注：逐项积分时，运算前后端点处的敛散性不变. 例7.求幕级数£匚的和函数5(x). 緬n\解：由于R = lim 厶=血］化丄=+00 ,所以该级数的收敛域为(-1 + 00),设其函数为 1计川两端乘以「,有(e~v s(x)) =0 •因此s(x) = Ce" •由 s(0) = 1 得 s(x) = e",故有 V — = e v . 紜n\X yfl,(一OOVXV+S ),贝9s'M = X/?=|⑺一1)!(一 oo <X< +s)・例8.求幕级数的和函数s(x).w-0—[——f/x = - —ln(l -x) , [0<lxl<l)及 x = -l ・ x Jo l-x x 而$(o )= q = i 或由和函数的连续性得到5(0) = lim s(x) = lim | - ln (1~ V )=1，于是5 XT 叭 X 丿心-抑-"[7叽(0'1) 1,x = 0第四节函数展开成幕级数—、函数展开成幕级数的相关概念1. 函数展开成幕级数：若在区间/上存在幕级数j^a n x n收敛于给定的函数/(x),则称/(x)n.O在I 上能展开成幕级数，即/(A ) = Xa n x n .n-02. 泰勒级数：若函数/(x)在儿的某邻域内具有” + 1阶导数，则称乞£2学2(X _站 *(勺)+几G (—勺)+今2(一勺)2+…+£2^2(兀—勺)”+…为/(对的泰勒级数，即 心)〜歹口^2(—观)”.解：由于 /? = lim|^|=lim —= 1 ”鬥勺+] | “* n又x = ±l 时，级数<>(±1)"发散，所以该级数的收敛11-0域为(-1,1)，设其函数为 s(x) = £nx" , (-lvxvl)，则 ;r-()5(x)=为必"=xy' nx n ~l;r —0 口 ■()X 川例9.求幕级数y — E+i 的和函数s(x)・ 解：由于/? = liman= lim 出.=1，又x = 10寸，级数Y —发散,% = -!时，级数Y — E “ + 1 忍"+ 1 禺八+ 1收敛，所以该级数的收敛域为［-1,1),设其和函数为s(x) , 1-1<X<1),当XH0日寸，有心)=£n-0= xE (x”)'=x(£x")= ;t -0 /r-1[IFH +1当心=0时，泰勒级数又叫麦克劳林级数.注：泰勒级数£ 匚如(―勺)"在“儿处收敛于f(x0).為n\3.函数展成幕级数的条件定理1 .函数/(X)在点儿的某一邻域t/(x(J内具有各阶导数，则/(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是/G)的泰勒公式的余项满足liin/?w(x) = O.证明：设S”+") = 土心如(―勺)*为泰勒级数£匚如(—和”的” + 1项余和，/⑴的z k!n=o ”！〃阶泰勒公式为fM = S ll+l(x) + ^(x),其中R ii(x) = J^l(x-x o y l+l为拉格朗日余项.S + 1)!必要性：若_/3在邻域“忑)内能展开成泰勒级数/W = y£2^(x-x(>)« ,则有伺川lim R tl(x) = -S”+](x)] = O.HTOC n->®充分性：若lim R ti(A) = 0，则有f(x) = lini 5ZI+1(A)=工一(x-x0)".，l /F n=0 料・思考：函数_/3在儿处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同？定理2•若/(x)能展成x的幕级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证明：设/(X)所展成的幕级数为f(x) = a0 + a x x + a2x2 + - - - + a tl x n + • •,有勺=/(。
高等数学同济第七版第十二章课后习题答案
…I I
半径为 I,收敛区间为（-1 J）.
（4）lim %" = lim —= 0 ,故收敛半在为+8，收敛区间是（-8 , ♦ 8 ）. …14 | …2 （门♦ I）
第十二童无穷级数
221
由此可知.对任意给定的正数£ .取正整数 A m 岫十,当〃 >投时,对一切正整数 p, 都有 S--
力 < £ ,按柯西收敛原理.该级数收敛•
(4)本题与(2)类同.因 4 =丁\ + (
故对 3/1 ♦ 1 \3n +2 3n + 3) 3〃 ♦ I An
% = + .不论/!取什么正整数.取 p = 〃时.就有 1〃.,・h1 =%八+U..2 ।…+
219
解(D 此级数为公比 g =-5 的等比级数.因|°| < 1 ,故该级数收敛.
(2)此级数的部分和
即该级数发散.
lim sA = + oc , 冬■一
(3)此级数的一股项% =*，有 要条 忖％ = lim(y), = 1 ,不满足级数收敛的必
件，故该级数发散. (4)此级数为公比 4 二方的等比级数，因|q| > 1 ,故该级数发散. (5)此级数的一般项% =3.二注意到与£ 上分别是公比”;
•
・a
散,故各项乘;志的级数 Ej 也发放,由比较审敛法知原级数 s 二二■? 发散.
1 解法二 因=1,而 y 1 发故.故由极限形式的比较审敛法知原 … I 2 1n
级数发散 (2) u = Lt： >二而 f L 发散.由比较审敛法知原级数 ・
1 > n2 n n2 n Sf”
222
一• 《高等数学》(第七版)下册习咫全解
高数(下)线代考研详细知识点(考研必看!)
【高等数学】第十章（重要，数二数三相对于数一，本章更加重要，数二数三基本必考答题）第一节（了解）p132--133二重积分的概念与性质（重要）p133 平面薄片的质量可以不看p134--135 定义与性质重点看p136 习题10--1只做2、4（2）（3）、5（3）（4）其余均不用做第二节（重要，数二数三及其重要）p138--148 直角坐标与极坐标均看（重要）例1、2、3、5做例6只有数一做例4不用做p149--153 二重积分的换元法不用看p153习题10--2只做1（1）（4）、2（1）（3）、3记住结论、4（重点做）、6（2）（4）（6）【8、9、10】（只有数一做）、11（2）（4）、12（2）（3）（4）、13（1）（3）、14（2）（3）、15（2）（3）、18（数一）其余均不做第三节（只有数一考）一、（了解）二、（重要）p157--163 三重积分的概念与计算数一重点看例1、2、3、4均要做p164 习题10--3（只有数一做）只做4、7、9、11 其余均不用做第四节（了解)p165—176（只有数一考，可以先不用看，上过强化班以后，再专门解决一些不太重要的边边角角的考点）p176--181含参变量的积分的章节与习题10--5均不用看与做p181 总习题十只做1（1）（数一）（2）（3）、2（2）（4）、3（2）（3）、4、6、7（数一）、8（1）（3）、9（数一）其余均不用做第十一章（只有数一考，数二数三均不考，数一考大题考难题的经典章节）第一节（重要）一、对弧长曲线的概念（理解）与性质（了解）【重点看】二、对弧长曲线积分的计算法（重要）p187 记住定理的结论，证明不用看p189 只做例1. 例2、3不用做p190 习题1--1 只做3（3）（4）（5）（8），其余不用做第二节（重要）一、对坐标的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）【重点看】二对弧长曲线积分的计算法（重要）p194--195 定理及其证明要重点看p196--198 例1--4均重点做例5不用做p199 两类曲线积分之间的关系（记住结论）【一般看】p200--201 习题11-2只做3（2）（4）（8）、4（3）（4）、7其余不用做第三节（重要）一、（重要）二、（重要）三、（理解）*四、（不用看）p202 定理1及其证明（重点看）p204 例1、2不用做p204--205 例3、4重点做p205 平面上曲线积分与路径无关的条件（重点看）p206 定理2 记住结论，证明不用看p208 定理3 记住结论，证明不用看p209 推论记住结论p210 例5 做p211 例6不用做例7做p212--213 曲线积分的基本定理不用看p213--215 习题11-3只做3、5（2）（3）、8（2）（4）（7）其余不用做第四节（重要）一、（了解）二、（重要）p215--216 对面积的曲面积分的概念与性质及计算法均要重点看p217--218 例1、2 重点做p219--220习题11--4 只做3、4、5、6（1）其余均不用做第五节（重要）一、（了解）二、（重要）三、（了解）p220 对坐标的曲面积分（重点看）p220--228 对坐标的曲面积分与性质计算法与两类曲面积分之间的联系均要重点看例1、2、3均要重点做习题11-5 只做3（1）（2）（3）、4（1）（2）其余均不用做第六节高斯公式（重要） *通量（不用看）与散度（了解）、一、（重要）二、（不用看) 三、（了解）p229 定理1及其证明重点看p231 例1不用做例2重点做 p232 例3 做p233 定理2 记住结论证明不用看p234 例4不用做p235 记住散度定义及公式p236 例5做p236--237 习题11--6只做1（2）（3）（5）、3（2）、4 其余均不作第七节斯托克斯公式（重要） *环流量（不用看）与旋度（了解）一、重要二、（不用看）三、（了解）p237 定理1及其证明重点看 p240 例1、2重点做p241 定理2只记住结论，证明不用看p242 定理2只记住结论p243旋度记住定义与公式p244 例4做p245 习题11--7只做2（2）（3）（4）、3（2）、4（1）其余均不用做p246 总习题十一只做1（1）（2）、2、3（1）（3）（5）（6）、4（1）（2）、7、9（1）（2）.其余均不用做第十二章（1、数二不考，不用看。
《高等数学(下册)》 第12章
n
0 时， (i ，i )si 的极限即为曲线形构件的质量，即 i 1
n
M
lim 0
i 1
(i
，i )si ．
上述例子是通过“分割、近似、求和、取极限”的方法来计算密度不均匀的曲
线形构件质量，对该过程进行提炼，便可得到对弧长的曲线积分的概念．
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
2．概念与性质
定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x ，y) 在 L 上有界．在 L 上用任
意的 点 M1 ，M2 ， ，Mn1 把曲线弧 L 分 割成 n 个小 弧段，记第 i 个 小弧段的 长度为
si (i 1，2 ， ，n) ，并在 si 上任取一点 (i ，i ) si ，作乘积 f (i ，i )si ，并作和
x y
(t) ， (t) ，(
t
)，
若(t) ， (t) 在[ ， ] 上具有一阶连续导数且不同时为零，则曲线积分 f (x ，y)ds 存在， L
且
f (x ，y)ds f [(t) ， (t)] 2 (t) 2(t)dt ( ) ．
L
（12-1）
由以上定理可知，在计算对弧长的曲线积分时，只要将被积表达式中的 x ，y ，ds 依
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
1．引例——曲线形构件的质量 为了方便理解，曲线形构件可理解为一根弯曲的金属细丝．若曲线形构件为均 匀质体，即其线密度为常数，则构件的质量就等于线密度与构件长度的乘积．若构 件为非均匀质体，则不能直接用上述方法来计算．一般情况下，由于工艺制造的原 因，曲线形构件多为非均匀质体，因此，可认为曲线形构件的线密度是变量．
最后，要取得功 W 的精确值，只需对上述式子求极限即可，即
新编文档-同济大学第五版高等数学(下)课件D112数项级数及审敛法-精品文档
第十一章
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 u n 收敛
部分和序列 S n
n 1
(n1,2, )有界 .
(n
1 1)p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在NZ, 对一切 nN,
(1)
un
1 n
,
则un 发散;
n1
(2)
unn1p
(p1),
则un
n1
收敛.
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1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
高等教育出版社《高等数学》同济第六版下册第十二章PPTD12-4函数展开成幂级数
f
(n)
(0)
(
0, 1) k
,
n2k n2k1
(k0,1,2, )
得级数:
x
1 3!
x
351!x5 (1)n1(2n1 1)!x2n1
其收敛半径为 R, 对任何有限数 x , 其余项满足
Rn(x)
sin((n1)π 2)
(n1)!
x n 1
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
例4. 将函数
1 1 x2
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x 2 ( 1 )nx n (1x1) 1 x 把 x 换成 x 2 , 得
n! 当 m = –1 时
1 1
x
1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ,x(1,1)
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思考与练习
1. 函数 f(x)在x0处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰
数” 有何不同 ? 勒级 提示: 后者必需证明 limRn(x)0,前者无此要求.
就是代数学中的二项式定理.
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对应 m12,12,1的二项展开式分别为 1x 11x 1 x 2 13 x3 135 x4
2 2 4 2 46 2468 (1x1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 x3 1357x4 2 46 2468
1 2
1
1 (x π)2 2! 4
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1 n2
【答案】（1）收敛；（ 2）当 0 a 1 时，发散；当 a 1时，收敛；
（3）收敛；
（ 4）发散；
（ 5）收敛
1
1
【例 2】（97 一）设 a1
2 ， an 1
(an 2
)( n 1,2, ) ，证明 an
(
Ⅰ)
lim
n
an 存在；（Ⅱ）级数
( an a n 1 n 1
1)收敛 .
【解析】（1）用单调有界必收敛证明； （ 2）用比较审敛法证明
1
具体的： 若存在 N Z ，对一切 n N ， (1) un
，则 un 发
n
n1
散； (2) un
1 np
(p
1) ，则 un 收敛。
n1
【例 1】 判断下列级数的敛散性
（ 1）
n
13
n 1n 5
（2）
n
11
1 an
（a
0, a
1）
6n
（ 3）
n 1 7n 5n
1
（4）
n 1 n2 n 1
（ 5） ln 1
第一节 常数项级数的概念和性质
学习笔记：
一、常数项级数的收敛与发散
给 定 一 个 数 列 u1, u2 , u3 , ,un , 将 各 项 依 次 相 加 , 简 记 为
un ，即 u n u1 u 2 u3
n1
n1
un
，称该式为无穷级数，
其 中 第 n 项 un 叫 做 级 数 的 一 般 项 , 级 数 的 前 n 项 和
【例】 (1 1) (1 1)
0 ，但 1 1 1 1 发散。
【例 2】判断级数的敛散性：
1 21
1 21
【解析与答案】
1 31
1 31
1 41
1 41
S2n
1
1
21 21
1 n11
1 n11
1
1
21 21
212
2
3
n
11
1
21
23
n
lim
n
S2n 不存在
故原级数发散
四、级数收敛的必要条件
1 n11
(ln 3) n
【例 1】（93 三）级数
n1
2n
的和为
.
【答案】 ln 3 2 ln 3
结论：等比（几何）级数
n
aq
：收敛
n0
当|q| 1时
发散 当 | q | 1 时
二、收敛级数的和
n
若 un 收敛，则其和定义为 S
un
lim
n
uk
lim
n
Sn 。
n1
n1
k1
三、无穷级数的基本性质
（ 1）若级数 un 收敛于 S ，即 S
穷
利用级数的若干性质（添项减项，加括号，去括号等等）
级 求 和—转化为幂级数求和或者利用定义
数
幂级数收敛性的特点 求幂级数的收敛域的方法 幂级数 幂级数和函数的性质 幂级数的求和
直接法 函数展开成幂级数
间接法 求定义在 [ l , l ]上的函数的傅里叶级数 求定义在 [0, l ]上函数的正弦或者余弦级数 傅里叶级数 已知函数的表达式求它的傅里叶级数和常数项级数求和 狄利克来收敛定理
【例】调和级数
1
11
1
n1n
23
1
，虽然
n
lim un lim 1 0 ，但是此级数发散。 事实上， 假设调和级数收敛于
n
nn
S ，则 lim (S2n Sn) 0 ， n
但 S2 n Sn
假设不真。
11 n1 n2
1 n3
1 n1
，矛盾！所以
2n 2n 2
【例 3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和：
n1
界。
收敛定理 2 ： ( 比较审敛法 ) 设 un ， vn 是两个正项级数 , 且存
n1
n1
在 N Z ，对一切 n N ，有 un k vn （常数 k 0 ), 则有
（ 1）若强级数
vn 收敛，则弱级数
un 也收敛；
n1
n1
（ 2）若弱级数 un 发散，则强级数
vn 也发散。
n1
n1
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数。
n
Sn
uk u1 u2 u3
k1
un 称 为 级 数 的 部 分 和 。 若
lim Sn S 存在，则称 无穷级数收敛 ，并lim
n
Sn
不存在，则称
无穷级数发散
。
n1
当级数收敛时 , 称差值 rn S Sn u n 1 un 2
为级数的余
项。显然 lim rn 0 。 n
1 n11
学习笔记：
必要条件： 若
un 收敛，则
lim
n
un
0。
n1
逆否命题： 若级数的一般项不趋于 0，则级数必发散。
1234
【例】
2345
un
n1
( 1)
n
，当 n
n1
( 1) n 1 n n1
，其一般项为
时， un 不趋于 0，因此这个级数发散。
注： lim un 0 并非级数收敛的充分条件 n
第十二章 无穷级数
【本章网络结构图】
定义
性质
由定义判断
由收敛的必要条件判断级数的发散性
常 数 项
判断敛散性 级 数
利用收敛判别法则
收敛的充要条件 比较审敛法 比较审敛法的极限形式 正项级数 比值审敛法 根值审敛法 常用级数： p级数和几何级数
交错级数（莱布尼茨判别法）
变号级数
无
一般级数（绝对收敛和条件收敛）
un ，则各项乘以常数 c 所得
n1
n1
学习笔记：
级数 c un 也收敛，其和为 cS 。
n1
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变
（ 2）设有两个收敛级数 S
un ，
n1
vn ，则级数 ( un vn )
n1
n1
也收敛 , 其和为 S 。
注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减
相关结论：（1）若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn ) 必发散。
n1
（2）若二级数都发散，
( un vn ) 不一定发散。
n1
【例】取 un
( 1) 2n ， vn
(
1) 2n
1
，而
un
vn
0。
（ 3）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性。 （ 4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和。 推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。 注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。
，当 p
1 时收
敛，当 p 1 时发散。
【重点小结】 1、常数项级数收敛和发散的定义 2、常数项级数敛散的性质 3、常数项级数收敛的必要条件 4、常用的两个常数项级数
学习笔记：
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
正项级数： 若 u n 0 ，则称 un 为正项级数。
n1
收敛定理 1：正项级数 un 收敛 等．价．于部分和序列 Sn (n 1,2, ) 有
学习笔记：
收敛定理 3：( 比较审敛法的极限形式 ) 设两正项级数
（ 1）
1 ln 1
n1
n
（ 2） n 1 cos
n1
n
【答案】（1）发散；（ 2）发散
五、两个重要级数：几何级数与 p 级数的敛散性
（ 1）几何级数：
r n ，当 | r | 1时收敛；当 | r | 1时发散 .
n1
（ 2） p 级数 ( 或对数 p 级数 ) ： 1 n 1 np
1
或
n
2
n ln p n